# Liste stochastischer Prozesse

Nachfolgend finden sich eine Übersicht und kategoriale Einordnung stochastischer Prozesse sowie die stochastischen Differentialgleichungen (SDGL) der Prozesse und deren Lösungen.

## Markow-Prozesse

Markow-Prozesse erfüllen die Markow-Eigenschaft. Zu den Markow-Prozessen zählen u. a. die affinen Prozesse und die Itō-Prozesse.

### Affine Prozesse

Zu den affinen Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse (also auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess), außerdem einige Itō-Prozesse wie z. B. der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wurzel-Diffusionsprozess.

#### Lévy-Prozesse

Lévy-Prozesse sind Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. Zu den Lévy-Prozessen zählen u. a. die Poisson-Prozesse.

##### Gamma-Prozess

Der Gamma-Prozess $\Gamma (t;\gamma ,\lambda )$ ist ein reiner Sprung-Lévy-Prozess mit Intensitätsmaß $\nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x)$

##### Varianz-Gamma-Prozess

$X(t;\theta ,\sigma ,\nu )=B(\Gamma (t;1,\nu ),\theta ,\sigma ),\qquad t\geq 0.$

##### Zusammengesetzter Poisson-Prozess

    $X_{t}:=\sum _{n=1}^{N_{t}}Y_{n}$

##### Inhomogener Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeitabhängig $\lambda (t).$

##### Räumlicher Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeit- und (Vektor-)raumabhängig $\lambda (t,x).$

##### Cox-Prozess

Die Intensität ist eine Zufallsvariable.

### Itō-Prozesse
#### Itō-Prozess

    $X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}u(s,X_{s})ds+\int _{0}^{t}v(s,X_{s})dW_{s}.$
SDGL:
    $\mathrm {d} X_{t}=u(t,X_{t})dt+v(t,X_{t})dW_{t}.$

#### Verallgemeinerter Wiener-Prozess / verallgemeinerte Brownsche Bewegung

Der verallgemeinerte Wiener-Prozess ist sowohl Gauß- als auch Itō-Prozess.
$X_{t}=\int _{0}^{t}f(s)\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}g(s)\mathrm {d} W_{s}$
SDGL:
    $\mathrm {d} X_{t}=f(t)\mathrm {d} t+g(t)\mathrm {d} W_{t}$
Einfache Form:
    $X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}$
SDGL:
    $\mathrm {d} X_{t}=\mu \mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}$

##### Standard-Wiener-Prozess / Standard-Brownsche Bewegung

    $X_{t}=W_{t}=\int _{0}^{t}dW_{s}$
SDGL:
    $\mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} W_{t}$

#### Weitere Itō-Prozesse
##### Geometrische Brownsche Bewegung

    $X_{t}=X_{0}e^{(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}})t+\sigma W_{t}}$
SDGL:
    $\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\mathrm {d} W_{t}$

##### Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

SDGL:
    $dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dW_{t},\;\;X_{0}=a$

##### Wurzel-Diffusionsprozess / CIR-Prozess

SDGL:
    $dX_{t}=\kappa (\theta -X_{t})dt+\sigma {\sqrt {X_{t}}}dW_{t}$

##### Bessel-Prozess

    $X_{t}=\|W_{t}\|_{2},$
SDGL:
    $\mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} W_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{X_{t}}}$

## Gauß-Prozesse

$(X_{t})_{t\in T}$ ist ein Gauß-Prozess, falls für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt: $\forall t_{1},t_{2}\ldots t_{n}\in T$ ist $(X_{t_{1}},X_{t_{2}}\ldots X_{t_{n}})$ durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben.
Zu den Gauß-Prozessen zählen u. a. die Gauß-Itō-Prozesse (z. B. der Wiener-Prozess), der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, die Brownsche Brücke und die fraktionelle Brownsche Bewegung.

### Gauß-Markow-Prozesse

Gauß-Markow-Prozesse besitzen sowohl die Markow-Eigenschaft als auch die Eigenschaft von Gauß-Prozessen.

#### Brownsche Brücke

Die Brownsche Brücke ist ein Gauß-Markow-Prozess, d. h. ein Gauß-Prozess mit der Markow-Eigenschaft.
    $B_{t}:=(W_{t}|W_{T}=0),\;t\in [0,T]$

## Feller-Prozesse

Ein Feller-Prozess ist ein Markow-Prozess mit der Feller-Übergangsfunktion, die zu einer Feller-Halbgruppe gehört. Zu den Feller-Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse, der Bessel-Prozess und die Lösungen von SDGL mit Lipschitz-stetigen Koeffizienten.