# Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

## Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring $R$. Ist
    $0\rightarrow X{\xrightarrow {\alpha }}Y{\xrightarrow {\beta }}Z\rightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von Links-$R$-Moduln und Modul-Morphismen und ist $A$ ein Rechts-$R$-Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit $A$ zu einer exakten Sequenz
    $A\otimes _{R}X{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \alpha }}A\otimes _{R}Y{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \beta }}A\otimes _{R}Z\rightarrow 0$
von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt $\mathrm {id} _{A}\otimes \alpha$ ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.
Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz
    $0\rightarrow \mathbb {Z} {\xrightarrow {\alpha }}\mathbb {Z} {\xrightarrow {\beta }}\mathbb {Z} _{2}\rightarrow 0$
von $\mathbb {Z}$-Moduln, wobei $\alpha (n):=2n$ und $\beta$ die natürliche Abbildung von $\mathbb {Z}$ auf die Restklassengruppe $\mathbb {Z} _{2}=\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}$ sei. Tensoriert man diese Sequenz mit $\mathbb {Z} _{2}$, so ist $\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}\otimes \alpha$ nicht injektiv, denn es ist
    $(\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}\otimes \alpha )({\overline {1}}\otimes 1)=\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}({\overline {1}})\otimes \alpha (1)={\overline {1}}\otimes 2\cdot 1=2\cdot {\overline {1}}\otimes 1={\overline {0}}\otimes 1=0$.
Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe $\mathbb {Z}$ mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe $\mathbb {Z} _{2}$ verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus $\alpha$ beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

## Definition

Es seien $A$ ein Rechts-$R$-Modul und $B$ ein Links-$R$-Modul. Weiter sei
    $0\rightarrow S{\xrightarrow {\mu }}P{\xrightarrow {\nu }}B\rightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul $P$. Dann definiert man die abelsche Gruppe
    $\operatorname {Tor} (A,B):=\operatorname {ker} (A\otimes _{R}S\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \mu } A\otimes _{R}P)$
und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz $0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow B\rightarrow 0$ mit projektivem $P$ abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise $\operatorname {Tor} (A,B)$ ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring $R$ an und schreibt $\operatorname {Tor} ^{R}(A,B)$.
Ist $\alpha \colon A\rightarrow A'$ ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm
    ${\begin{array}{cccccc}A\otimes _{R}S&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \mu }}&A\otimes _{R}P&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \nu }}&A\otimes _{R}B&\rightarrow 0\\\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{S}}&&\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{P}}&&\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{B}}&\\A'\otimes _{R}S&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A'}\otimes \mu }}&A'\otimes _{R}P&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A'}\otimes \nu }}&A'\otimes _{R}B&\rightarrow 0\end{array}}$,
dass die Einschränkung von $\alpha \otimes \mathrm {id} _{S}$ den Kern von $\mathrm {id} _{A}\otimes \mu$ nach $\operatorname {ker} (\mathrm {id} _{A'}\otimes \mu )$ abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus $\alpha _{*}\colon \operatorname {Tor} (A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} (A',B)$ definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor $\operatorname {Tor} ^{R}(-,B)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$ von der Kategorie der Rechts-$R$-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.
Weiter kann man die Rollen von $A$ und $B$ vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz $0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow A$ von Rechts-$R$-Moduln aus und zeigt, dass man mit $\operatorname {ker} (S\otimes _{R}B\rightarrow P\otimes _{R}B)$ eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit $\operatorname {Tor} (A,B)$ bzw. $\operatorname {Tor} ^{R}(A,B)$ bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor
    $\operatorname {Tor} ^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$
von dem Produkt der Kategorie der Rechts-Moduln über $R$ mit der Kategorie der Links-Moduln über $R$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.
Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen
    $\operatorname {Tor} ^{R}(A\oplus A',B)\cong \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \operatorname {Tor} ^{R}(A',B)$
    $\operatorname {Tor} ^{R}(A,B\oplus B')\cong \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \operatorname {Tor} ^{R}(A,B')$
für Rechts-$R$-Moduln $A,A^{'}$ und Links-$R$-Moduln $B,B^{'}$.

## Abelsche Gruppen

Wählt man $\mathbb {Z}$ als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die $\mathbb {Z}$-Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen Links- und Rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

### Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen $A$ und $B$ kann $\operatorname {Tor} (A,B)$ wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.
Die Menge ${\mathcal {E}}$ der Erzeuger sei die Menge aller Symbole $\langle a,m,b\rangle$ mit $a\in A,m\in \mathbb {Z} ,b\in B$, $am=0$ und $mb=0$, wobei hier die $\mathbb {Z}$-Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge ${\mathcal {R}}$ der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form
    $\langle a_{1}+a_{2},m,b\rangle =\langle a_{1},m,b\rangle +\langle a_{2},m,b\rangle ,\quad \langle a_{1},m,b\rangle ,\langle a_{2},m,b\rangle \in {\mathcal {E}}$
    $\langle a,m,b_{1}+b_{2}\rangle =\langle a,m,b_{1}\rangle +\langle a,m,b_{2}\rangle ,\quad \langle a,m,b_{1}\rangle ,\langle a,m,b_{2}\rangle \in {\mathcal {E}}$
    $\langle a,mn,b\rangle =\langle am,n,b\rangle ,\quad \langle am,n,b\rangle \in {\mathcal {E}}$
    $\langle a,mn,b\rangle =\langle a,m,nb\rangle ,\quad \langle a,m,nb\rangle \in {\mathcal {E}}$
Dann kann man zeigen, dass die durch $\langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle$ präsentierte Gruppe zu $\operatorname {Tor} (A,B)$ isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung $\langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle \rightarrow \operatorname {Tor} (A,B)$ sei $0\rightarrow S{\xrightarrow {\mu }}P{\xrightarrow {\nu }}B\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $\mathbb {Z}$-Modul $P$ und $\langle a,m,b\rangle$ ein Erzeuger. Wähle $p\in P$ mit $\nu (p)=b$. Dann ist $\nu (mp)=mb=0$ und wegen der Exaktheit gibt es genau ein $s\in S$ mit $\mu (s)=mp$. Man kann zeigen, dass $a\otimes s$ nicht von der Wahl $p$ abhängt. Da
    $(\mathrm {id} _{A}\otimes \mu )(a\otimes s)=a\otimes \mu (s)=a\otimes mp=am\otimes p=0\otimes p=0$,
liegt $a\otimes s$ im Kern von $\mathrm {id} _{A}\otimes \mu$ und damit definitionsgemäß in $\operatorname {Tor} (A,B)$. Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung $\langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle \rightarrow \operatorname {Tor} (A,B)$, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

### Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:
* $A$ ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
* $\operatorname {Tor} (A,B)=0$ für alle abelschen Gruppen $B$.
* Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen $\beta \colon B\rightarrow C$ ist auch $\mathrm {id} _{A}\otimes \beta \colon A\otimes _{\mathbb {Z} }B\rightarrow A\otimes _{\mathbb {Z} }C$ injektiv.
* Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit $A$ wieder in eine exakte Sequenz über.
Insbesondere ist $\operatorname {Tor} (A,B)=0$, falls eine der Gruppen gleich $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Q}$ ist.

### Endlich erzeugte abelsche Gruppen

$\operatorname {Tor} (A,B)$ lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass $\operatorname {Tor} (A,B)$ wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich $\mathbb {Z}$, so ist $\operatorname {Tor} (A,B)=0$ und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei $\mathbb {Z} _{n}$ die zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Dann folgt
    $\operatorname {Tor} (\mathbb {Z} _{n},B)\cong \{b\in B;nb=0\}$
und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ mit $(m,n)$ bezeichnet:
    $\operatorname {Tor} (\mathbb {Z} _{m},\mathbb {Z} _{n})\cong \mathbb {Z} _{(m,n)}$,
was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung $0\rightarrow \mathbb {Z} {\xrightarrow {a\mapsto ma}}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{m}$ herleiten kann. Damit ist $\operatorname {Tor} (A,B)$ für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

## Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch
    $\operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B):=L_{n}(-\otimes _{R}B)(A)\cong L_{n}(A\otimes _{R}-)(B)$
als $n$-te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring $R$ durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach $\operatorname {Tor} _{n}(A,B)$. Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren
    $\operatorname {Tor} _{n}^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$.
Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von $\operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B)$, so sieht man, dass $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(A,B)$ mit dem oben definierten $\operatorname {Tor}$-Funktor zusammenfällt.
Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.
Ist $0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von Rechts-$R$-Moduln und $B$ ein Links-$R$-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz
    $\ldots \rightarrow \operatorname {Tor} _{2}(A^{''},B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A^{'},B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A^{''},B)$
       $\rightarrow A\otimes _{R}B\rightarrow A^{'}\otimes _{R}B\rightarrow A^{''}\otimes _{R}B\rightarrow 0$.
Ist $0\rightarrow B\rightarrow B^{'}\rightarrow B^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von Links-$R$-Moduln und $A$ ein Rechts-$R$-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz
    $\ldots \rightarrow \operatorname {Tor} _{2}(A,B^{''})\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B^{'})\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B^{''})$
       $\rightarrow A\otimes _{R}B\rightarrow A\otimes _{R}B^{'}\rightarrow A\otimes _{R}B^{''}\rightarrow 0$.