# Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

## Definition

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume $E_{n}$ mit punktierten stetigen Abbildungen
    $\sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}$.
Hierbei bezeichnet $SE_{n}$ die reduzierte Einhängung von $E_{n}$.
Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht $\sigma _{n}$ einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung $E_{n}\to \Omega E_{n+1}$. Ein Spektrum ist ein $\Omega$-Spektrum, wenn die Abbildungen $E_{n}\to \Omega E_{n+1}$ Homöomorphismen sind.
Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die $\Omega$-Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum $E_{n}$ durch $\operatorname {colim} _{k\to \infty }\Omega ^{k}E_{n+k}$ ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.
Ein Morphismus zwischen Spektren $(E_{n},\sigma _{n})$ und $(E_{n}^{\prime },\sigma _{n}^{\prime })$ ist eine Familie stetiger Abbildungen $f_{n}\colon E_{n}\to E_{n}^{\prime }$ mit $f_{n+1}\circ \sigma _{n}=\sigma _{n}^{\prime }\circ Sf_{n}$ für alle $n$.

## Beispiele

* Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum $X$ bildet $E_{n}:=S^{n}X$ mit den kanonischen Homöomorphismen $\sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}$ ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum $\Sigma ^{\infty }X$ des Raumes $X$ bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form $\Sigma ^{k}\Sigma ^{\infty }X$ mit $k\in \mathbb {Z}$ als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum $E=(E_{n},\sigma _{n})$ mit $\Sigma ^{k}E$ das Spektrum $(E_{n+k},\sigma _{n+k})$ gemeint ist.
* Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der $0$-dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit $\mathbf {S}$ bezeichnet. In diesem Fall ist also $E_{n}=S^{n}$ und $\sigma _{n}\colon SS^{n}\to S^{n+1}$ der kanonische Homöomorphismus.
* Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe $G$ bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit $E_{n}=K(G,n)$ und $\sigma _{n}\colon SK(G,n)\to K(G,n+1)$ der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit $HG$ bezeichnet.
* Thom-Spektrum: Die Thom-Räume $Th(\tau _{n})$ der universellen Vektorbündel $\tau _{n}\to BO(n)$ über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten $BO(n)$ bilden ein Spektrum $MO(n)$. Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung $BO(n)\to BO(n+1)$ des Vektorbündels $(\tau _{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }})\to BO(n)$ induzierte Abbildung $\sigma _{n}:SMO(n)=STh(\tau _{n})=Th(\tau _{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }})\to Th(\tau _{n+1})=MO(n+1).$
* Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch $E_{2n}=U,E_{2n+1}=\mathbb {Z} \times BU$ für alle $n\in \mathbb {N}$, wobei $U$ die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und $BU$ ihr klassifizierender Raum ist.
* $\Omega$-Spektren: Sei $X$ ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert $E_{n}=\Omega ^{-n}X$ ein $\Omega$-Spektrum.
* Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring $R$ mit Eins ist $X=BGL^{+}(R)$, die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von $GL(R)$, ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein $\Omega$-Spektrum.

## Homotopiegruppen von Spektren

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch
    $\pi _{k}(E):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\pi _{n+k}E_{n}$.
Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums $E_{n}=S^{n}X$ werden als stabile Homotopiegruppen von $X$ bezeichnet:
    $\pi _{k}^{s}(X):=\pi _{k}(\Sigma ^{\infty }X)$.
Für $\Omega$-Spektren gilt bereits $\pi _{k}(E)=\pi _{k}(E_{0})$.

### Beispiele

* Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums $\mathbf {S}$.
* Die algebraische K-Theorie $K_{i}(R)$ eines kommutativen Ringes $R$ mit Eins erhält man für $i\geq 1$ per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
* Die Kobordismusgruppe unorientierter $n$-Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur $n$-ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

### Äquivalenzen

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:
Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

## Verallgemeinerte Homologietheorien

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch
    ${\tilde {E}}_{k}(X):=\left[\Sigma ^{k}\mathbf {S} ,E\wedge X\right]$,
wobei $E\wedge X$ das mit Hilfe des Smash-Produktes durch $(E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X$ definierte Spektrum bezeichnet.
Insbesondere ist ${\tilde {E}}_{k}(S^{0})=\pi _{k}(E)$.

### Beispiel

$MO_{k}(X)$ ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer $k$-Mannigfaltigkeiten in $X$.

## Verallgemeinerte Kohomologietheorien

Jedes Spektrum $E$ definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch
    ${\widetilde {E}}^{k}(X):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\left[S^{n}X,E_{n+k}\right]$
für topologische Räume $X$, wobei $\left[.,.\right]$ die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)
Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit $E^{*}(X)$ bezeichnet.

### Beispiele

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum $K(G,n)$ definiert die singuläre Kohomologie $H^{*}(X;G)$, das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

### Berechnung

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen $E^{*}$ eines Raumes $X$ können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen $E^{*}(X)$ konvergierende Spektralsequenz mit $E_{2}$-Term
    $E_{2}^{pq}=H^{p}(X;E^{q}(X))$,
wobei $H^{*}(.;E^{q}(X))$ singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe $E^{q}(X)$ bezeichnet.

### Brownscher Darstellbarkeitssatz

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein $\Omega$-Spektrum darstellen lässt.

## Smash-Produkt

Für ein Spektrum $E=(E_{n},\sigma _{n})$ und einen Raum $X$ definiert man das Spektrum $E\wedge X$ durch $(E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X$ und die Strukturabbildungen $\Sigma _{n}\wedge id_{X}$.
Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren $E$ und $F$ ein Smash-Produkt $E\wedge F$ zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:
* Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
* Es gibt natürliche Äquivalenzen $\alpha \colon (E\wedge F)\wedge G\to E\wedge (F\wedge G),\tau \colon E\wedge F\to F\wedge E,l\colon \mathbf {S} \wedge E\to E,r\colon E\wedge \mathbf {S} \to E,\Sigma \colon \Sigma E\wedge F\to \Sigma (E\wedge F)$.
* Für jedes Spektrum $E$ und jeden CW-Komplex $X$ gibt es eine natürliche Äquivalenz $e\colon E\wedge X\to E\wedge \Sigma ^{\infty }X$. Insbesondere $\Sigma ^{\infty }(X\wedge Y)\simeq \Sigma ^{\infty }X\wedge \Sigma ^{\infty }Y$ für alle CW-Komplexe $X,Y$.
* Wenn $f\colon E\to F$ eine Äquivalenz ist, dann auch $f\wedge id_{G}\colon E\wedge G\to F\wedge G$.
* Für eine Familie $\left\{E_{\Lambda }\right\}$ von Spektra ist $\left\{i_{\Lambda }\wedge id_{F}\right\}\colon \vee _{\Lambda }(E_{\Lambda }\wedge F)\to (\vee _{\Lambda }(E_{\Lambda }))\wedge F$ eine Äquivalenz.
* Wenn $A\to B\to C$ eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch $A\wedge E\to B\wedge E\to C\wedge E$.

## Ringspektren

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum $R$ mit einem Smash-Produkt $\wedge$ und mit Morphismen
    $\mu \colon R\wedge R\to R,\epsilon \colon \mathbf {S} \to R,$
    $\alpha \colon R\wedge (R\wedge R)\to (R\wedge R)\wedge R,\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R$,
die den Bedingungen
    $\mu \circ (\mu \wedge id)\circ \alpha =\mu \circ (id\wedge \mu )\colon R\wedge (R\wedge R)\to R$
    $\mu \circ (\epsilon \wedge id)=\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\mu \circ (id\wedge \epsilon )=\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R$
genügen.