# Pierpont-Primzahl

Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form $2^{u}3^{v}+1$. Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.

## Definition

Eine Primzahl $p$ heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form
    $p=2^{u}3^{v}+1$
ist, wobei $u,v\in \mathbb {N} _{0}$ natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen $p$, für die $p-1$ 3-glatt ist.

## Beispiele

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:
    2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, … (Folge A005109 in OEIS)
Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist
    $3\cdot 2^{10.829.346}+1$
mit 3.259.959 Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.

## Eigenschaften
### Spezialfälle

* Für $u=0$ und $v>0$ gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn $3^{v}+1$ ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt.
* Für $u>0$ und $v=0$ muss $u$ eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl.
* Für $u>0$ und $v>0$ hat eine Pierpont-Primzahl die Form $6k+1$.

### Verteilung

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als $10,100,1000,\ldots$ ist
    $4,10,18,25,32,42,50,58,65,72,78,83,93,106,114,125,139,\ldots$ (Folge A113420 in OEIS).
Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als $10^{1},10^{2},10^{4},10^{8},\ldots$ ist
    $4,10,25,58,125,250,505,1020,2075,4227,8597,17213\ldots$ (Folge A113412 in OEIS).
Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt. Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es
    $O(\log N)$
Pierpont-Primzahlen kleiner als $N$, im Gegensatz zu $O(\log \log N)$ Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.

### Faktoren von Fermat-Zahlen

Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle gibt Werte für $m$, $k$ und $n$ an, sodass gilt:
    $k\cdot 2^{n}+1{\text{ teilt }}2^{2^{m}}+1$.
Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls $k$ eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.
| $m$ | $k$ | $n$ | Jahr | Entdecker |
| 38 | 3 | 41 | 1903 | Cullen, Cunningham & Western |
| 63 | 9 | 67 | 1956 | Robinson |
| 207 | 3 | 209 | 1956 | Robinson |
| 452 | 27 | 455 | 1956 | Robinson |
| 9428 | 9 | 9431 | 1983 | Keller |
| 12185 | 81 | 12189 | 1993 | Dubner |
| 28281 | 81 | 28285 | 1996 | Taura |
| 157167 | 3 | 157169 | 1995 | Young |
| 213319 | 3 | 213321 | 1996 | Young |
| 303088 | 3 | 303093 | 1998 | Young |
| 382447 | 3 | 382449 | 1999 | Cosgrave & Gallot |
| 461076 | 9 | 461081 | 2003 | Nohara, Jobling, Woltman & Gallot |
| 495728 | 243 | 495732 | 2007 | Keiser, Jobling, Penné & others |
| 672005 | 27 | 672007 | 2005 | Cooper, Jobling, Woltman & Gallot |
| 2145351 | 3 | 2145353 | 2003 | Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot |
| 2478782 | 3 | 2478785 | 2003 | Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot |
| 2543548 | 9 | 2543551 | 2011 | Brown, Reynolds, Penné & Fougeron |

## Anwendungen

Ein regelmäßiges Polygon mit $N$ Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn $N$ von der Form
    $N=2^{m}3^{n}p_{1}\cdots p_{k}$
ist, wobei $p_{1},\ldots ,p_{k}$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen $n=0$ und $p_{1},\ldots ,p_{k}$ verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist $11$. Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen $n$-Ecke mit $3\leq n\leq 21$ können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.
In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit $N$ Seiten zu bilden, wenn $N$ von der obigen Form ist.

## Verallgemeinerung

Eine Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form $2^{u}\cdot 3^{v}-1$. Die ersten Zahlen dieser Art sind:
    2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747,… (Folge A005105 in OEIS)
Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form $p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$.
Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form $p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1$ mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$.
In beiden Fällen muss $p_{1}=2$ sein. Alle weiteren $p_{i}$ sind ungerade Primzahlen.
Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Überlegung: Wäre p$_1$ nicht 2, so wäre das Produkt $p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot p_{3}^{n_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}$ aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade. Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert, wäre die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim.
Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont-Primzahlen:
| {p$_1$, p$_2$, p$_3$, …, p$_k$} | +1 | OEIS-Folge | -1 | OEIS-Folge |
| {2} | 2, 3, 5, 17, 257, 65537 | (Folge A092506 in OEIS) | 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, … | (Folge A000668 in OEIS) |
| {2, 3} | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, … | (Folge A005109 in OEIS) | 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, … | (Folge A005105 in OEIS) |
| {2, 5} | 2, 3, 5, 11, 17, 41, 101, … | (Folge A077497 in OEIS) | 3, 7, 19, 31, 79, 127, 199, … | (Folge A077313 in OEIS) |
| {2, 3, 5} | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, … | (Folge A002200 in OEIS) | | |
| {2, 7} | 2, 3, 5, 17, 29, 113, 197, … | (Folge A077498 in OEIS) | 3, 7, 13, 31, 97, 127, 223, … | (Folge A077314 in OEIS) |
| {2, 3, 5, 7} | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, … | (Folge A174144 in OEIS) | | |
| {2, 11} | 2, 3, 5, 17, 23, 89, 257, 353, … | (Folge A077499 in OEIS) | 3, 7, 31, 43, 127, 241, 967, … | (Folge A077315 in OEIS) |
| {2, 13} | 2, 3, 5, 17, 53, 257, 677, … | (Folge A173236 in OEIS) | 3, 7, 31, 103, 127, 337, … | (Folge A173062 in OEIS) |