# Weierstraßsche ℘-Funktion

In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.

## Definition

Seien $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ zwei komplexe Zahlen, welche über $\mathbb {R}$ linear unabhängig sind und sei $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ das Gitter, das von $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter $\Lambda$ wie folgt definiert:
    $\wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$
Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in $\mathbb {C} \setminus \Lambda$. Häufig wird statt $\wp (z,\omega _{1},\omega _{2})$ auch nur $\wp (z)$ geschrieben.
Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle $\lambda \in \Lambda$ hat. Da die Summe $\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}$ alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ hinzuzufügen.

## Motivation

Eine Kubik der Form $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}$, wobei $g_{2},g_{3}\in \mathbb {C}$ komplexe Zahlen sind mit $g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0$, lässt sich nicht rational parametrisieren. Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.
Für die Quadrik $K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}$, also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:
    $\psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K$, $t\mapsto (\sin(t),\cos(t))$.
Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier $\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.
Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich $\mathbb {C} /\Lambda$, was topologisch einem Torus entspricht.
Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion
    $a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})}}}$,
dann lässt sich diese durch die Substitution $y=\sin(t)$ und $s=\arcsin(x)$ vereinfachen. Dadurch ergibt sich:
    $a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin(x)$
Das bedeutet, $a^{-1}(x)=\sin(x)$. Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.
Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:
Sei
    $u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}$.
Dann lässt sich $u^{-1}$ auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.

## Eigenschaften

* ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt $\wp (z)=\wp (-z)$ für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda$, wie man auf folgende Weise sieht:
    $\wp (-z)={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z)$
Die vorletzte Gleichheit folgt daraus, dass $\{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda$. Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.
* ℘ ist meromorph und die Ableitung ist gegeben durch
    $\wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}$.
* $\wp$ und $\wp '$ sind doppeltperiodisch mit den Perioden $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$. Das bedeutet, es gilt:
    $\wp (z+\omega _{1})=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2})$ und $\wp '(z+\omega _{1})=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2})$.
Daraus folgt, dass für alle $\lambda \in \Lambda$ gilt: $\wp (z+\lambda )=\wp (z)$ und $\wp '(z+\lambda )=\wp '(z)$. Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.

## Laurent-Entwicklung

Sei $r:=\min\{{|\omega }|:\omega \neq 0\}$. Dann hat die ℘-Funktion für $0<|z|<r$ folgende Laurent-Reihe:
    $\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}$,
wobei
    $G_{n}=\sum _{0\neq \omega \in \Lambda }\omega ^{-n}$ für $n\geq 3$ sogenannte Eisensteinreihen sind.

## Differentialgleichung

Wir setzen $g_{2}=60G_{4}$ und $g_{3}=140G_{6}$. Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung:
    $\wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}$.
Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle $z=0$ durch eine Linearkombination von Potenzen von $\wp$ und $\wp '$ eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.

## Invarianten und modulare Diskriminante

Die Koeffizienten $g_{2}$ und $g_{3}$, die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet $g_{2}$ und $g_{3}$ als Funktionen in $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ und definiert die Diskriminante $\Delta :=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$.
Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind $g_{2}$ und $g_{3}$ homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:
    $g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$, $g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$, $\Delta (\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})$ für $\lambda \neq 0$.
Wenn $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ so gewählt sind, dass $\operatorname {Im} \left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0$, können $g_{2},g_{3}$ und $\Delta$ als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}$ aufgefasst werden.
Dazu setzt man $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ und erhält:
    $g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$, $g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$ und $\Delta (1,\tau )=\omega _{1}^{12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})$.
Also werden $g_{2}$, $g_{3}$ und $\Delta$ dadurch nur skaliert. Man setzt nun:
    $g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )$, $g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )$, $\Delta (\tau ):=\Delta (1,\tau )$
Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.

## Zusammenhang mit elliptischen Kurven

Sei ein Gitter $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$, wobei $\omega _{1},\omega _{2},g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ komplexe Zahlen sind, sodass $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ linear unabhängig über $\mathbb {R}$ sind.
Betrachte nun die ebene kubische Kurve
    $C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}$
bzw. die projektive Kurve
    ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}$.
Für diese Kubiken, auch Weierstraßkubiken genannt, existieren keine Parametrisierungen durch rationale Funktionen, falls $\Delta \neq 0$ ist. Trotzdem gibt es eine explizite Parametrisierung mittels der ℘-Funktion und ihrer Ableitung $\wp '$.
Damit erhält man die Abbildung
    $\varphi :\mathbb {C} \setminus \Lambda \to C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$.
Indem man das Gitter $\Lambda$ auf den Punkt $\infty$ abbildet, kann die Abbildung fortgesetzt werden zu
    $\varphi :\mathbb {C} \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.
Aufgrund der Periodizität von $\wp$ und $\wp '$ ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Wählt man stattdessen $\mathbb {C} /\Lambda$, erhält man dann die Abbildung
    ${\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.
$\mathbb {C} /\Lambda$ ist dabei sowohl eine abelsche Gruppe als auch ein topologischer Raum, versehen mit der Quotiententopologie.
Die Abbildung ${\tilde {\varphi }}$ ist nun bijektiv und parametrisiert die Kurve ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$.
Weiter lässt sich zeigen, dass jede glatte Weierstraßkubik auf diese Weise gegeben ist. Also dass es für jedes Paar $g_{2},g_{3}\in \mathbb {C}$ mit $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0$ ein Gitter $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ gibt, sodass
$g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$ und $g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})$.
Die Aussage, dass alle elliptischen Kurven über $\mathbb {Q}$ durch Modulformen über $\mathbb {Q}$ parametrisiert werden können, ist als Modularitätssatz bekannt. Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. Andrew Wiles konnte mit einem Teilbeweis des Modularitätssatzes 1995 den Großen Fermatschen Satz beweisen.

## Additionstheoreme

Seien $z,w\in \mathbb {C}$, sodass $z,w,z+w,z-w\notin \Lambda$. Dann gilt:
    $\wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)$.
Darüber hinaus gibt es noch die Verdopplungsformel:
    $\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z)$.
Diese Formeln haben auch eine geometrische Bedeutung, wenn man wie im vorherigen Abschnitt die elliptische Kurve ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ zusammen mit der Abbildung ${\tilde {\varphi }}:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ betrachtet.
$\mathbb {C} /\Lambda$ ist als Faktorgruppe selbst eine Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf die Kurve ${\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ (siehe Gruppenoperationen auf elliptischen Kurven) und kann dort geometrisch interpretiert werden.
Damit ist ${\tilde {\varphi }}$ dann insbesondere ein Gruppenisomorphismus. Nun lässt sich das Additionstheorem auch auf folgende Weise geometrisch formulieren:
Die Summe dreier paarweise verschiedener Punkte $a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }$ist genau dann Null, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden in $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}$ liegen.
Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:
    $\det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0$,
wobei $\wp (u)=a$, $\wp (v)=b$ und $u,v\notin \Lambda$ gelte.