# Periodische Funktion

In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Einfache Beispiele sind Sinus- und Kosinus-Funktionen. Damit auch Funktionen mit Lücken im Definitionsbereich, wie z. B. die Tangens-Funktion, zu den periodischen Funktionen gerechnet werden können, erlaubt man Definitionsbereiche mit periodischen Lücken. Eine periodische Funktion besitzt allerdings nicht nur eine Periode, denn jedes Vielfache einer Periode ist auch wieder eine Periode. Beispiel: Die Sinus-Funktion ist nicht nur $2\pi$-periodisch, sondern auch $4\pi$-periodisch, … Wenn man von ‚Periode‘ spricht, meint man in der Regel die kleinstmögliche positive Periode. Es gibt allerdings periodische Funktionen, die keine kleinste Periode besitzen. Beispiel: Jede auf $\mathbb {R}$ definierte konstante Funktion hat jede beliebige Zahl als Periode.
Periodische Funktionen treten natürlicherweise in der Physik zur Beschreibung von mechanischen, elektrischen oder akustischen Schwingungsvorgängen auf. Deshalb bezeichnet man eine Periode oft mit $T$ (engl.: Time).
Da eine periodische Funktion bekannt ist, wenn man ihren Verlauf innerhalb einer Periode kennt, werden nicht-trigonometrische periodische Funktion in der Regel in einem Grundintervall definiert und dann periodisch fortgesetzt.
So wie viele reelle Funktionen in Potenzreihen entwickelt werden können, kann man, unter gewissen Voraussetzungen, eine periodische Funktion als Reihe von Sinus- und Kosinus-Funktionen entwickeln: siehe Fourier-Reihe.
Periodische Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden werden.
Funktionen, die nicht periodisch sind, werden manchmal – um dies extra zu betonen – als aperiodisch bezeichnet.

## Reelle periodische Funktionen
### Definition

Eine reelle Zahl $T$ ist eine Periode einer in ${\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion, wenn für jedes $x$ aus ${\mathcal {D}}_{f}$ gilt:
* $x+T$ ist in ${\mathcal {D}}_{f}$ und
* $f(x+T)=f(x)\;.$
Die Funktion $f$ ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode $T\neq 0$ zulässt. Man sagt dann auch, $f$ sei „$T$-periodisch“.
Für ${\mathcal {D}}_{f}=\mathbb {R}$, was oft der Fall ist, ist die erste Eigenschaft immer erfüllt.

### Eigenschaften der Perioden

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:
* Ist $T$ eine Periode von $f$, so ist auch $-T$ eine Periode von $f$;
* Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ zwei Perioden von $f$, so ist auch $k_{1}T_{1}+k_{2}T_{2}$ mit $k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ eine Periode von $f$.
Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn $f$ eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von $f$ die Vielfachen von $T$. Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von $f$ dicht in $\mathbb {R}$.

### Beispiele
#### Trigonometrische Funktionen

Die Standardbeispiele periodischer Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. So ist beispielsweise die auf ganz $\mathbb {R}$ definierte Sinusfunktion periodisch. Ihre Funktionswerte wiederholen sich im Abstand von $2\pi$ ($\pi$ ist die Kreiszahl Pi); sie hat also die Periode $2\pi$. Die Tangensfunktion mit dem Definitionsbereich $\mathbb {R} \setminus \{k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}\;|\;k\in \mathbb {Z} \}$ ist ebenfalls eine trigonometrische Funktion; sie hat die Periode $\pi$ und nicht $2\pi$, obwohl sie als Quotient zweier $2\pi$-periodischer Funktionen darstellbar ist: $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$.

#### Summe von cos- und sin-Funktionen

Summen von cos- und sin-Funktionen mit einer gemeinsamen (nicht unbedingt kleinste) Periode $T$ sind wieder periodisch. (Im Bild ist die gemeinsame Periode $2\pi$.) Diese Eigenschaft der cos- und sin-Funktionen ist die Basis der Fourierreihen. Haben zwei Funktionen keine gemeinsame Periode, so ist die Summe nicht periodisch. Beispiel: $f(x)=\sin x+\sin(\pi x)$ ist nicht periodisch.

### Periodische Fortsetzung

Im Beispiel zur Definition wurde im oberen Teil des Bildes eine auf einem halboffenen Intervall $(a,b]$ gegebene Funktion durch einfaches Verschieben um ganzzahlige Vielfache von $b-a$ zu einer periodischen Funktion der Periode $T=b-a$ fortgesetzt. Diese Art nennt man direkte periodische Fortsetzung, zum Unterschied der geraden und ungeraden periodischen Fortsetzung.
Die folgende formale Definition liefert auch eine Möglichkeit, eine periodisch fortgesetzte Funktion mit einem Computer auszuwerten, da die verwendete Abrundungsfunktion in vielen Mathematik-Systemen direkt oder indirekt realisiert ist.
Definition Ist eine Funktion $f_{0}$ auf dem Intervall $[a,b]$ mit $f_{0}(a)=f_{0}(b)$ gegeben, dann ist die Funktion $f$ mit
    $f(x)=f_{0}\left(x-\left\lfloor {\frac {x-a}{T}}\right\rfloor \cdot T\right),\;x\in \mathbb {R}$
die (direkte) periodische Fortsetzung von $f_{0}$ auf ganz $\mathbb {R}$ und $T=b-a$ ihre Periode. $\lfloor \cdot \rfloor$ ist die Abrundungsfunktion. Die Verwendung der Abrundungsfunktion stellt sicher, dass die Funktion $f_{0}$ nur für x-Werte aus ihrem Definitionsbereich ausgewertet wird (s. Bild).
Beispiel: Periodische Fortsetzung des Parabelbogens $f_{0}(x)=(x-1)(4-x),\;a=1,b=4$ mit der Periode $T=b-a=3$. Der Funktionswert an der Stelle (z. B.) $x=8$
    $f(8)=f_{0}\left(8-\left\lfloor {\frac {7}{3}}\right\rfloor \cdot 3\right)=f_{0}(8-2\cdot 3)=f_{0}(2)=2\;.$
Da periodische Funktionen oft in Fourier-Reihen entwickelt werden und eine gerade/ungerade periodische Funktion ausschließlich mit Kosinus/Sinus-Termen darstellbar ist, sind die folgenden Fortsetzungen von besonderem Interesse:
Ungerade Fortsetzung: In diesem Fall geht man von einer auf dem Intervall $[0,b]$ definierte Funktion $f_{0}$ mit $f_{0}(0)=f_{0}(b)=0$ aus. In einem ersten Schritt setzt man die Funktion durch Spiegeln am Nullpunkt auf das Intervall $[-b,0]$ fort:
    $f_{u}(x)={\begin{cases}\quad f_{0}(x)\;,\ \quad 0\leq x\leq b\\-f_{0}(-x)\;,\;-b\leq x<0\ .\end{cases}}$
Die auf dem Intervall $[-b,b]$ definierte Funktion $f_{u}$ wird jetzt (wie oben beschrieben) direkt periodisch fortgesetzt. Dadurch entsteht eine auf $\mathbb {R}$ definierte ungerade periodische Funktion $f$ der Periode $T=2b$.
Gerade Fortsetzung: Die analoge Prozedur mit
    $f_{g}(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad \ \ 0\leq x\leq b\\f_{0}(-x),\;-b\leq x<0\end{cases}}$
liefert eine gerade periodische Funktion der Periode $T=2b$.

### Fourierreihe: Beispiel

Die Fourierreihe einer $2\pi$-periodischen ungeraden Funktion $f$ hat die Form
    $\;\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\sin \left(kt\right)\;$
mit
    $b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cdot \sin \left(kt\right)\mathrm {d} t\quad {\text{für }}k\geq 1\;.$
Das Ziel einer Fourierreihenentwicklung ist die Approximation einer periodischen Funktion auf (ganz !) $\mathbb {R}$ durch Summen von einfachen periodischen Funktionen. Im Idealfall stellt die Fourierreihe die gegebene Funktion auf $\mathbb {R}$ dar. (Eine Potenzreihenentwicklung approximiert eine Funktion, die kein Polynom ist, mit ihren Partialsummen auf einem beschränkten (!) Intervall durch Polynome.)
Im Bild wird eine auf dem Intervall $[0,\pi ]$ gegebene Funktion $f_{0}$ (zwei Geradenstücke, rot) ungerade zu einer $2\pi$-periodischen Funktion $f$ fortgesetzt und dann in eine Fourierreihe (nur mit sin-Termen) entwickelt. Man erkennt, wie gut/schlecht Teilsummen der Fourierreihe (der Längen $n=3,6,12$) die Funktion $f_{0}$ approximieren. Während $f_{0}$ unstetig ist (sie hat Sprungstellen), sind die Teilsummen als Summen von sin-Termen alle stetig.
Im Beispiel ist
    $f_{0}(x)={\begin{cases}x\;,\ \quad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\\2{,}5\;,\;{\frac {\pi }{2}}<x<\pi \\0\;,\qquad x=\pi \ .\end{cases}}$
und die Teilsumme für $n=3$:
    $\;\sum _{k=1}^{3}b_{k}\sin \left(kt\right)={\frac {1}{\pi }}\left(7\sin x+\left({\frac {\pi }{2}}-5\right)\sin 2x+{\frac {13}{9}}\sin 3x\right)\ .$

## Allgemeinere Definition

Der Begriff der periodischen Funktion beschränkt sich nicht nur auf reelle Funktionen. Man kann ihn allgemeiner definieren für Funktionen, auf deren Quellmenge eine Addition erklärt ist.
Sei also $G$ eine (additive) Halbgruppe, $M$ eine Menge und $f\colon G\to M$ eine Funktion. Existiert ein $T\in G$ mit
    $f(g+T)=f(g)$
für alle $g\in G$, dann heißt die Funktion $f$ periodisch mit Periode $T$.

## Beispiele
### Periodische Folgen

Da eine reelle Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Funktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ in die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodisch, falls es ein $T$ gibt, so dass für alle $n\in \mathbb {N}$ die Gleichheit $a_{n+T}=a_{n}$ gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

### Exponentialfunktion

Die (komplexe) Exponentialfunktion $\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit $x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ ist eine $2\pi \mathrm {i}$-periodische Funktion. Diese Eigenschaft zeigt sich nur bei der Exponentialfunktion mit komplexem Definitionsbereich. Beweisen kann man sie mit der eulerschen Formel.

### Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie

Es sei $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$ der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf $\mathbb {R}$ mit Periode $T$ mit Funktionen auf $S^{1}$ identifizieren: Einer Funktion $f$ auf $S^{1}$ entspricht die $T$-periodische Funktion
    $x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})$.
Hierbei ist $\textstyle x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})$ eine Funktion auf dem Einheitskreis, also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.
Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}$ unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}$.

## Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum, z. B. $\mathbb {R} ^{n}$. Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion $f$ auf $V$ oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil $D$ von $V$ ist ein Vektor $\gamma \in V$, so dass
* der Definitionsbereich $D$ von $f$ invariant unter der Translation mit $\gamma$ ist, d. h. $x\in D\;\Leftrightarrow \;x+\gamma \in D$
* für alle $x\in D$ gilt: $f(x+\gamma )=f(x)$.
Die Menge $\Gamma$ aller Perioden von $f$ ist eine abgeschlossene Untergruppe von $V$. Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von $V$ und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.
Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum $V=\mathbb {C}$ an und betrachtet nur holomorphe Funktionen $f$, so gibt es die folgenden Fälle:
* $\Gamma =\{0\}$: $f$ ist nicht periodisch.
* $\Gamma =\mathbb {Z} \cdot \gamma$: $f$ ist eine gewöhnliche periodische Funktion; beispielsweise ist die Exponentialfunktion periodisch mit Periode $\gamma =2\pi \mathrm {i}$.
* $\Gamma$ enthält einen nichttrivialen reellen Unterraum: Eine holomorphe Funktion, die entlang einer Gerade konstant ist, ist insgesamt konstant.
* $\Gamma =\mathbb {Z} \cdot \gamma _{1}+\mathbb {Z} \cdot \gamma _{2}$: $f$ hat zwei reell linear unabhängige Perioden. Ist $f$ auf der ganzen Ebene meromorph, so spricht man von einer elliptischen Funktion.