# Pivotstatistik

Eine Pivotstatistik, auch Pivot-Größe genannt, kurz ein Pivot, ist eine spezielle Funktion in der mathematischen Statistik. Es handelt sich um Statistiken mit bestimmten Invarianzeigenschaften, die zur Konstruktion von Konfidenzbereichen verwendet werden. Der Name leitet sich ab vom französischen pivot (deutsch Anker, hier im Sinne von Dreh- und Angelpunkt) und beruht auf den Invarianzeigenschaften.

## Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$
Ein Pivot ist eine Zufallsvariable $T(X,\vartheta )$ als Funktion von der Stichprobenvariable $X$ und $\vartheta$, deren Verteilung unabhängig von $\vartheta$ ist.
Streng formell wird eine Pivotstatistik wie folgt definiert: Gegeben seien ein Entscheidungsraum $(\Gamma ,{\mathcal {\mathcal {A}}}_{\Gamma })$ und eine zu schätzende Funktion
    $g\colon \Theta \to \Gamma$.
Meist ist $\Gamma \subset \mathbb {R}$. Dann heißt eine messbare Abbildung
    $T\colon {\mathcal {X}}\times \Gamma \to \Gamma$
eine Pivotstatistik für $g$, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:
* Für alle $B\in {\mathcal {A}}_{\Gamma }$ und alle $\vartheta \in \Theta$ ist die Menge $\{x\in {\mathcal {X}}\mid T(x,g(\vartheta ))\in B\}$ in ${\mathcal {A}}$ enthalten.
* Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $Q$ auf $(\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })$, so dass für alle $\vartheta \in \Theta$ stets $P_{\vartheta }\circ T(\cdot ,g(\vartheta ))^{-1}=Q$ gilt.

## Beispiel

Gegeben sei ein festes $\sigma _{0}>0$ und sei ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma _{0}^{2})$ die Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma _{0}^{2}$. Sei ${\mathcal {N}}^{n}(\mu ,\sigma _{0}^{2})$ das n-fache Produktmaß.
Betrachtet wird als statistisches Modell das Produktmodell $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),({\mathcal {N}}^{n}(\mu ,\sigma _{0}^{2}))_{\mu \in \mathbb {R} })$ bei fester Varianz und unbekanntem Erwartungswert.
Dann ist eine Pivot-Statistik gegeben durch
    $T(X,\mu )={\frac {{\sqrt {n}}({\overline {X}}-\mu )}{\sigma _{0}}}$.
Hierbei ist
    ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
das Stichprobenmittel. Dass es sich um ein Pivot handelt, folgt direkt aus den Rechenregeln für normalverteilte Zufallsvariablen (siehe Invarianz der Normalverteilung gegenüber Faltung), denn es ist ${\overline {X}}-\mu \sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{0}^{2}/n)$. Durch Normierung mit der Standardabweichung $\sigma _{0}/{\sqrt {n}}$ erhält man, dass $T$ immer standardnormalverteilt ist, also $T(\cdot ,\mu )\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ für alle $\mu \in \mathbb {R}$.

## Konstruktion von Konfidenzbereichen mittels Pivots

Existiert eine Pivotstatistik $T$ und ist eine Menge $B\in {\mathcal {A}}_{\Gamma }$ gegeben, so wird durch
    $C_{B}(x)=\{\gamma \in \Gamma \mid T(x,\gamma )\in B\}$
ein Bereichsschätzer definiert. Aufgrund der Definition des Bereichsschätzers ist dann
    $\{x\in {\mathcal {X}}\mid g(\vartheta )\in C_{B}(x)\}=\{x\in {\mathcal {X}}\mid T(x,g(\vartheta ))\in B\}$
und somit
    $P_{\vartheta }(\{x\in {\mathcal {X}}\mid g(\vartheta )\in C_{B}(x)\})=P_{\vartheta }(\{x\in {\mathcal {X}}\mid T(x,g(\vartheta ))\in B\})=Q(B)$
für alle $\vartheta \in \Theta$ aufgrund der Pivoteigenschaft von $T$. Der Bereichsschätzer $C_{B}$ liefert also einen Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau $Q(B)$. Die Wahl der Menge $B$ bestimmt somit Konfidenzniveau und Geometrie des Konfidenzbereiches.

## Beispiel zur Konstruktion von Konfidenzbereichen

Unter denselben Rahmenbedingungen wie im obigen Beispiel soll ein Konfidenzbereich für den Mittelwert zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ bestimmt werden. Da $Q={\mathcal {N}}(0,1)$ ist, muss zuerst eine Menge $B$ gewählt werden, so dass
    $Q(B)={\mathcal {N}}(0,1)(B)=1-\alpha$.
Die Wahl von $B$ hängt im Wesentlichen von der Anwendung ab. Gängig sind einseitige Konfidenzintervalle
    $B_{1}=[a_{1},+\infty )$ oder $B_{2}=(-\infty ,a_{2}]$
oder zweiseitige Konfidenzintervalle
    $B_{3}=[-a_{3},a_{3}]$.
Dabei müssen $a_{1},a_{2},a_{3}$ nun so gewählt werden, dass ${\mathcal {N}}(0,1)(B_{i})=1-\alpha$ für $i=1,2,3$ ist. Dafür wählt man die passenden $p$-Quantile $u_{p}$ der Standardnormalverteilung aus und erhält $a_{1}=u_{\alpha }$ sowie $a_{2}=u_{1-\alpha }$ und $a_{3}=u_{1-\alpha /2}$.
Damit ergibt sich für den Bereichsschätzer mit der Menge $B_{1}$
    ${\begin{aligned}C_{B_{1}}(X)&=\{\mu \in \mathbb {R} \mid T(X,\mu )\in [u_{\alpha },+\infty )\}\\&=\left\{\mu \in \mathbb {R} \;\mid \;{\frac {{\sqrt {n}}({\overline {X}}-\mu )}{\sigma _{0}}}\geq u_{\alpha }\right\}\\&=\left\{\mu \in \mathbb {R} \mid \mu \geq {\overline {X}}-{\frac {\sigma _{0}u_{1-\alpha }}{\sqrt {n}}}\right\}\end{aligned}}$,
da aufgrund der Symmetrie der Standardnormalverteilung $u_{1-\alpha }=-u_{\alpha }$ gilt.
Als einseitiges Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ für den Erwartungswert erhält man somit
    $C_{B_{1}}(X)=\left[{\overline {X}}-{\frac {\sigma _{0}u_{1-\alpha }}{\sqrt {n}}},+\infty \right)$.
Durch analoges Vorgehen mit den Mengen $B_{2}$ und $B_{3}$ erhält man als zweites einseitiges Konfidenzintervall
    $C_{B_{2}}(X)=\left(-\infty ,{\overline {X}}+{\frac {\sigma _{0}u_{1-\alpha }}{\sqrt {n}}}\right]$
und als beidseitiges Konfidenzintervall
    $C_{B_{3}}(X)=\left[{\overline {X}}-{\frac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2};{\overline {X}}+{\frac {\sigma _{0}}{\sqrt {n}}}u_{1-\alpha /2}\right]$.

## Verwandte Konzepte

Eng mit den Pivotstatistiken sind die approximativen Pivotstatistiken verwandt. Sie dienen der Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen und beruhen auf Grenzwertbetrachtungen.