# Cesàro-Mittel

Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten $n$ Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende $n$ konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und der Fourier-Analysis von Bedeutung.

## Definition

Zu einer gegebenen Zahlenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bildet man die arithmetischen Mittel über die ersten $n$ Folgenglieder, also
    ${\begin{aligned}\sigma _{1}&=a_{1}\\\sigma _{2}&={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\\\sigma _{3}&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}}\\&\;\;\vdots \\\sigma _{n}&={\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}$
Man bezeichnet $\sigma _{n}$ dann als das $n$-te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge $(\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als Folge der Cesàro-Mittel.
Konvergiert die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen einen Wert $a$, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel $(\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$, das heißt, aus $a_{n}\rightarrow a$ folgt $\sigma _{n}\rightarrow a$ oder ausgeschrieben ${\tfrac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\rightarrow a$. Die Folge der Cesàro-Mittel $(\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.
Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge $\left((-1)^{n+1}\right)_{n\in \mathbb {N} }=(1,-1,1,-1,\ldots )$, sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel $(\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }=(1,0,{\tfrac {1}{3}},0,{\tfrac {1}{5}},\ldots )=\left({\tfrac {1+(-1)^{n+1}}{2n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen 0.
Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

## Spezialfall Reihen

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sind die Partialsummen der Reihe $\textstyle \sum a_{n}$ definiert als:
    ${\begin{aligned}s_{1}&=a_{1}\\s_{2}&=a_{1}+a_{2}\\s_{3}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=a_{1}+\ldots +a_{n}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}$
Zu dieser Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bildet man nun die Cesàro-Mittel $\sigma _{n}={\tfrac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$. Konvergieren diese, das heißt $\sigma _{n}\rightarrow \sigma$, so bezeichnet man die Reihe $\textstyle \sum a_{n}$ Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder $C_{1}$-summierbar zum Wert $\sigma$ und schreibt $C{\text{-}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sigma$. Den Grenzwert $\sigma$ nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wird dann als Cesàro-summierbar oder $C_{1}$-summierbar zum Wert $\sigma$ bezeichnet.
Bildet man zu der obigen Beispielfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}=(-1)^{n+1}$ die zugehörige Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}$, dann erhält man die folgenden Partialsummen:
    ${\begin{aligned}s_{1}&=1\\s_{2}&=1-1=0\\s_{3}&=1-1+1=1\\&\;\;\vdots \\s_{2n}&=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}=0\\s_{2n+1}&=\sum _{k=1}^{2n+1}(-1)^{k+1}=1\\&\;\;\vdots \end{aligned}}$
Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:
    ${\begin{aligned}\sigma _{1}&=1\\\sigma _{2}&={\tfrac {1+0}{2}}={\tfrac {1}{2}}\\\sigma _{3}&={\tfrac {1+0+1}{3}}={\tfrac {2}{3}}\\&\;\;\vdots \\\sigma _{2n}&={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{2n}s_{k}={\tfrac {n}{2n}}={\tfrac {1}{2}}\\\sigma _{2n+1}&={\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{2n+1}s_{k}={\tfrac {n+1}{2n+1}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2\cdot (2n+1)}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}$
Es gilt $\sigma _{n}\rightarrow {\tfrac {1}{2}}$ und damit $C{\text{-}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}={\tfrac {1}{2}}$. Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

## Terminologie

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe $\textstyle \sum a_{n}$ haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder $C_{1}$-summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe $\textstyle \sum a_{n}$ entspricht.

## Anwendungen

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.