# Farey-Folge

Eine Farey-Folge (mathematisch unkorrekt auch Farey-Reihe oder einfach Farey-Brüche) ist in der Zahlentheorie eine geordnete Menge der vollständig gekürzten Brüche zwischen 0 und 1, deren jeweiliger Nenner den Index N nicht übersteigt. Benannt sind die Farey-Folgen nach dem britischen Geologen John Farey Sr., der diese Anordnung der Brüche 1816 vorschlug. Augustin Louis Cauchy griff das auf und benannte die Folgen nach Farey. Tatsächlich hatte aber ein Franzose namens Haros einige grundlegende Eigenschaften dieser Folge schon 1802 veröffentlicht, wovon aber erst später Notiz genommen wurde.

## Formale Definition

Eine Farey-Folge N-ter Ordnung $F_{N}$ ist eine geordnete Menge von Brüchen ${\frac {p_{i}}{q_{i}}}$ mit $p_{i}\leq q_{i}\leq N$, $i\in I$, $\operatorname {ggT} (p_{i},q_{i})=1$ mit $I$ Indexmenge und $p_{i},q_{i},N\in \mathbb {N}$, so dass
    ${\frac {p_{i}}{q_{i}}}<{\frac {p_{j}}{q_{j}}}$ für alle $i<j$ gilt.

## Beispiele

    $F_{1}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{1}}\right)$
    $F_{2}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{1}}\right)$
    $F_{3}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{1}}\right)$
    $F_{4}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {1}{1}}\right)$
    $F_{5}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {1}{1}}\right)$
    $F_{6}=\left({\tfrac {0}{1}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{5}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {1}{1}}\right)$.
Die ersten 8 Folgen in einer strukturierten Darstellung:

## Konstruktion

Für gegebenes N>2 erhält man den Bruch ${\frac {p_{i}}{q_{i}}}$ der Folge $F_{N}$ aus den letzten beiden Brüchen derselben Folge:
${\begin{array}{lcl}p_{1}&=&0\\q_{1}&=&1\\p_{2}&=&1\\q_{2}&=&N\\p_{i}&=&\lfloor {\frac {q_{i-2}+N}{q_{i-1}}}\rfloor p_{i-1}-p_{i-2}\\q_{i}&=&\lfloor {\frac {q_{i-2}+N}{q_{i-1}}}\rfloor q_{i-1}-q_{i-2}\\\end{array}}$
Dabei bedeuten die unten eckigen Klammern ein Abrunden. Mit Integer-Arithmetik wird bei Division implizit abgerundet, so dass man beispielsweise in Java die Berechnung ohne explizites Abrunden programmieren kann:

## Eigenschaften

Die Mächtigkeit einer Farey-Folge zum Index N ist gleich der Mächtigkeit der Vorgängerfolge zum Index N-1 addiert mit dem Wert der Eulerschen φ-Funktion für N:
    $|F_{N}|=|F_{N-1}|+\varphi (N)$.
Bei zwei aufeinander folgenden Brüchen ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{d}}$ einer Farey-Folge ergeben die Produkte a·d und b·c zwei aufeinander folgende Zahlen. Man kann auch schreiben:
    ${\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc=-1$.
Sind umgekehrt ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{d}}$ zwei Brüche mit $0\leq {\tfrac {a}{b}}<{\tfrac {c}{d}}\leq 1$ und $ad-bc=-1$, so handelt es sich um Nachbarn bis zur Farey-Folge $F_{b+d-1}$, mit anderen Worten: Jeder dazwischen liegende Bruch ${\tfrac {p}{q}}$ hat einen Nenner $q\geq b+d$. In der Tat müssen nämlich die Zähler der positiven Brüche ${\tfrac {p}{q}}-{\tfrac {a}{b}}={\tfrac {bp-aq}{qb}}$ und ${\tfrac {c}{d}}-{\tfrac {p}{q}}={\tfrac {cq-dp}{dq}}$ positive ganze Zahlen sein, also $bp-aq\geq 1$ und $cq-dp\geq 1$.
Hieraus folgt
    $q=(bc-ad)\cdot q=b\cdot (cq-dp)+d\cdot (bp-aq)\geq b+d$.
Ebenso folgt
    $p=(bc-ad)\cdot p=c\cdot (bp-aq)+a\cdot (cq-dp)\geq c+a$.
Beide Ungleichungen werden scharf genau für die Farey-Summe ${\tfrac {p}{q}}={\tfrac {a+c}{b+d}}$.

## Farey-Folgen und Riemannvermutung

Jérôme Franel bewies 1924 (ergänzt durch Edmund Landau), dass die Riemannvermutung zu einer Aussage über Farey-Reihen äquivalent ist.
Seien $\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ die Elemente der n-ten Farey-Folge $F_{n}$ und sei $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}$ der Abstand zwischen dem k-ten Term der n-ten Fareyfolge und dem k-ten Term der äquidistanten Punktreihe im Einheitsintervall mit derselben Anzahl von Termen wie die n-te Fareyfolge. Franel bewies dann die Äquivalenz der Riemannhypothese zu (verwendet werden die Landau-Symbole):
    $\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}={\mathcal {O}}(n^{r})\quad \forall r>-1$
und Landau bemerkte, dass die Riemannhypothese dann auch zu
    $\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|={\mathcal {O}}(n^{r})\quad \forall r>1/2$
äquivalent ist.