# Mehrwertige Abhängigkeit

Eine mehrwertige Abhängigkeit (englisch multivalued dependency (MVD)) $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ beschreibt die Abhängigkeit einer Menge von Attributen $\beta$ von einer Menge aus Attributen $\alpha$.

## Definition und Erläuterung

Im Folgenden repräsentiere $t[\alpha ]$ alle Attribute (Spalten) $\alpha$ des Tupels (Zeile) $t$ dar. Eine mehrwertige Abhängigkeit $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ zwischen Attributen einer Relation $R$ liegt vor, wenn gilt:
Für zwei Tupel $t_{1}$ und $t_{2}$ mit $t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]$ existieren in jeder zulässigen Instanz von $R$ stets zwei weitere Tupel $t_{3}$ und $t_{4}$ mit:
    ${\begin{matrix}t_{1}[\alpha ]=t_{2}[\alpha ]=t_{3}[\alpha ]=t_{4}[\alpha ]\\t_{1}[\beta ]=t_{3}[\beta ]\\t_{2}[\beta ]=t_{4}[\beta ]\\t_{1}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]=t_{4}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]\\t_{2}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]=t_{3}[R\setminus (\alpha \cup \beta )]\end{matrix}}$
Anschaulich ergibt sich daraus:
    ${\begin{matrix}{\text{Tupel}}&\alpha &\beta &R\setminus (\alpha \cup \beta )\\t_{1}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&d_{1}..d_{k}\\t_{2}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{3}&a_{1}..a_{n}&b_{1}..b_{m}&e_{1}..e_{k}\\t_{4}&a_{1}..a_{n}&c_{1}..c_{m}&d_{1}..d_{k}\end{matrix}}$
Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls $\beta \subseteq \alpha$ oder $\alpha \cup \beta =R$.

## Hüllenbildung

Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge $D$ bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten $FD$ und mehrwertigen Abhängigkeiten $MVD$. Ziel ist die Bestimmung der Hülle $D^{+}$. Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:
* Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
* Wiederholung: Falls $\alpha \rightarrow \beta$, dann auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta$
* Komplement: Zu jedem $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ existiert auch $\alpha \twoheadrightarrow R\setminus \{\alpha \cup \beta \}$
* Mehrwertige Erweiterung: Gelte $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und sei $\gamma \subseteq R$ sowie $\delta \subseteq \gamma$, dann gilt auch $\alpha \gamma \twoheadrightarrow \beta \delta$
* Mehrwertige Transitivität: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\beta \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma \setminus \beta$
* Verschmelzung: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$, $\gamma \subseteq \beta$ und existiert ein $\delta$ mit $\delta \subseteq R$, $\gamma \cap \delta =\varnothing$ und $\delta \rightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$
Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:
* Mehrwertige Vereinigung: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \gamma$
* Durchschnitt: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \cap \gamma$
* Differenz: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \setminus \gamma$ bzw. $\alpha \twoheadrightarrow \gamma \setminus \beta$