# Carlyle-Kreis

Der Carlyle-Kreis (auch Lill-Kreis) ist ein spezieller Kreis im kartesischen Koordinatensystem, dessen Schnittpunkte mit der x-Achse mit den Schnittpunkten einer normierten quadratischen Funktion und der x-Achse übereinstimmen. Er kann damit zur geometrischen Konstruktion der Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion verwandt werden.

## Definition und Eigenschaften

Für eine normierte quadratische Funktion $f(x)=x^{2}+px+q$ ist der Carlyle-Kreis definiert als derjenige Kreis, der die Verbindungsstrecke $AD$ der Punkte $A(0|1)$ und $D(-p|q)$ als Durchmesser besitzt.
Der so definierte Kreis besitzt den Mittelpunkt $M=\left({\tfrac {-p}{2}}|{\tfrac {q+1}{2}}\right)$, den Radius $r={\tfrac {\sqrt {p^{2}+(q-1)^{2}}}{2}}$ und die x-Koordinaten seiner Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion. Letzteres sieht man, indem man die Schnittpunkte mit der x-Achse in der Kreisgleichung betrachtet:
    $\left(x-{\frac {-p}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {q+1}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}+(q-1)^{2}}{4}}$
Für die Schnittpunkte mit der x-Achse gilt nun zusätzlich, dass ihre y-Koordinate 0 ist. Setzt man dies in der Kreisgleichung ein und löst die Gleichung dann nach x auf, so erhält man die p-q-Formel, die die Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion berechnet:
    $x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$
Man ergänze die Punkte $A(0|1)$ und $D(-p|q)$ aus der Definition um die Punkte $B(0|0)$ und $C(-p|0)$. Sei $m$ die Mittelparallele der Geraden $(AB)$ und $(CD)$ sowie $H$ der Schnittpunkt von $m$ mit der x-Achse; dann sind die Strecken $BH$ und $HC$ gleich. Der Carlyle-Kreis schneidet die Strecke $BC$ in den Punkten $S_{1}(x_{1}|0)$ und $S_{2}(x_{2}|0)$. $m$ halbiert die Strecke $AD$ im Mittelpunkt $M$ des Carlyle-Kreises, sodass $m$ auch eine Zentrale desselben ist. Wegen Achsensymmetrie zur Zentrale sind die Strecken $S_{1}H$ und $HS_{2}$ gleich, ebenso die Strecken $x_{1}=BH-S_{1}H=HC-HS_{2}=S_{2}C$. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel $\angle AS_{2}D$ ein rechter Winkel, was wiederum zur Folge hat, dass die Dreiecke $\triangle ABS_{2}$ und $\triangle S_{2}CD$ ähnlich sind. Dies liefert dann die folgende Verhältnisgleichung:
    ${\frac {1}{x_{2}}}={\frac {x_{1}}{q}}\,\Rightarrow \,x_{1}x_{2}=q$
Weiterhin gilt auch $x_{1}+x_{2}=-p$ und damit aufgrund der Umkehrung des Wurzelsatz von Vieta, dass $x_{1}$ und $x_{2}$ Nullstellen von $f(x)=x^{2}+px+q$ sind.
Dieser geometrische Nachweis der Eigenschaften des Carlyle-Kreises zeigt zudem, dass er sich als eine Modifikation eines Spezialfalls der Methode von Lill, einem graphischen Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms, auffassen lässt. Bei diesem werden zu einem gegebenen Polynom vom Grad $n$ von einem gemeinsamen Punkt ausgehend zwei Polygonzüge der Längen $n$ und $n-1$ konstruiert. Fallen nun auch deren Endpunkte zusammen, so ist der Tangens des Winkels, den die beiden Polygonzüge am gemeinsamen Ausgangspunkt bilden, eine Nullstelle des Polynoms. Für eine normierte quadratische Funktion erhält man als Polygonzüge $ABCD$ und $AS_{2}D$ und da diese beide in dem gemeinsamen Punkt $D$ enden, ist $\tan(\angle BAS_{2})=x_{2}$ eine Nullstelle der quadratischen Funktion.
Der Carlyle-Kreis kann auch verwandt werden, um die komplexen Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion zu konstruieren. In diesem Fall schneidet der Carlyle-Kreis die x-Achse nicht. Der identische Realteil $a$ der beiden komplexen Nullstellen entspricht dem vorzeichenbehafteten Abstand der Vertikalen $g$ durch den Mittelpunkt $M$ des Carlyle-Kreises zur y-Achse. Die Tangente vom Schnittpunkt $S(a|0)$ der Vertikalen $g$ mit der x-Achse an den Carlyle-Kreis berührt diesen in $R$. Der Betrag des Imaginärteils $b$ der Nullstelle entspricht dann der Länge der Strecke $SR$. Alternativ lässt sich ein weiterer Kreis konstruierten, dessen Mittelpunkt $T$ wie der des Carlyle-Kreises auf der Vertikalen $g$ liegt. Der Radius des zweiten Kreises entspricht dem Abstand $d$ des Mittelpunktes $M$ des Carlyle-Kreises von der x-Achse. Weiterhin berühren sich beide Kreise von außen, der Kreis um $T$ schneidet die x-Achse in $U_{1}$ und $U_{2}$. Der Betrag des Imaginärteils der Nullstelle $b$ entspricht dann der Länge der Strecken $SU_{1}$ oder $SU_{2}$.
Zum Beweis werde zu einer normierten quadratischen Gleichung mit den konjugiert komplexen Lösungen $x_{1}=a+bi$ und $x_{2}=a-bi$ deren Linearfaktor-Form $(x-a-bi)(x-a+bi)=0$ betrachtet und zu $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}=0$ vereinfacht. Koeffizientenvergleich mit der oben angegebenen Form ergibt $p=-2a$ sowie $q=a^{2}+b^{2}$. Der genannte vorzeichenbehaftete Abstand ist die x-Koordinate ${\tfrac {-p}{2}}$ von $M$ und für diesen $p=-2a\Leftrightarrow {\tfrac {-p}{2}}=a$, wie behauptet. Die angegebenen Konstruktionen einer Strecke der Länge $b$ sind beweisbar mit der Umformung:
    $d^{2}-r^{2}=\left({\frac {q+1}{2}}\right)^{2}-{\frac {p^{2}+(q-1)^{2}}{4}}=q-\left({\frac {-p}{2}}\right)^{2}=q-a^{2}=b^{2}$
Da jede Kreistangente senkrecht auf dem Berührradius steht, ist das Dreieck $MSR$ rechtwinklig und mit Pythagoras ${\overline {SR}}^{2}={\overline {MS}}^{2}-{\overline {MR}}^{2}=d^{2}-r^{2}=b^{2}$, also ${\overline {SR}}=b$, wie behauptet. Ist $P$ der Berührpunkt des Carlyle-Kreises mit dem Kreis um $T$, so gilt für die Streckenlängen ${\overline {SP}}={\overline {SM}}-{\overline {MP}}=d-r$, daher ${\overline {TS}}={\overline {TP}}-{\overline {PS}}=d-(d-r)=r$. In den rechtwinkligen Dreiecken $TSU_{1,2}$ ist mit Pythagoras ${\overline {SU}}_{1,2}^{2}={\overline {TU}}_{1,2}^{2}-{\overline {TS}}^{2}=d^{2}-r^{2}=b^{2}$, also ${\overline {SU}}_{1,2}=b$, wie behauptet.

## Polygonkonstruktionen

Carlyle-Kreise können zur Zirkel-und-Lineal-Konstruktion diverser regulärer Polygone verwandt werden. Hierbei wird benutzt, dass alle Punkte der Ebene mit rationalen Koordinaten prinzipiell mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind; daher ist es möglich, einen Carlyle-Kreis mit Punkt $D(-p|q)$ für $p,q\in \mathbb {Q}$ zu verwenden, ohne die Konstruktionsregeln zu verletzen.
Die prinzipielle Idee, die die Verwendung von Carlyle-Kreisen ermöglicht, besteht darin, die Eckpunkte eines regulären Polygons als die komplexen Wurzeln der Gleichung $z^{n}=1$ auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene aufzufassen. Aus mehreren komplexen Wurzeln leitet man dann zwei neue Zahlen her, die die Nullstellen einer normierten quadratischen Gleichung sind und somit mit Hilfe eines Carlyle-Kreises konstruiert werden können. Die beiden Zahlen sind zudem so gewählt, dass man bei ihrer Kenntnis die für sie verwendeten komplexen Wurzeln, also die Eckpunkte des Polygons, konstruieren kann. Im Folgenden wird dieser Ansatz am Beispiel des Fünfecks beschrieben, darüber hinaus lässt er sich insbesondere auch zur Konstruktion des Siebzehnecks, des 257-Ecks und des 65537-Ecks nutzen.
Zur Konstruktion eines Fünfecks lässt sich nutzen, dass beliebige $Z_{k}=\exp({\tfrac {2\pi ik}{5}}),k\in Z$ Lösungen der Gleichung $z^{5}=1$ sind. Für beliebige ganzzahlige $k=u,v$ ist $Z_{u}\cdot Z_{v}=Z_{u+v}$, wegen der Periodizität der Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen ist $Z_{u+5v}=Z_{u}$. Für $k=0,\dots ,4$ heißen die Lösungen die (fünften) Einheitswurzeln. Deren Summe ist $\textstyle \sum _{k=0}^{4}Z_{k}=0$.
Nun wählt man die beiden Zahlen $s_{1}=Z_{2}+Z_{3}$ und $s_{2}=Z_{1}+Z_{4}$. Da $Z_{2}$ und $Z_{3}$ (bzw. $Z_{1}$ und $Z_{4}$) konjugiert komplexe Zahlen sind, ist $s_{1}$ (bzw. $s_{2}$) der doppelte Realteil der zugehörigen $Z_{k}$. Ferner ist
    $s_{1}+s_{2}+1=\sum _{k=0}^{4}Z_{k}=0\Rightarrow s_{1}+s_{2}=-1$
und auch
    $s_{1}\cdot s_{2}=(Z_{2}+Z_{3})(Z_{1}+Z_{4})=Z_{3}+Z_{4}+Z_{1}+Z_{2}=s_{1}+s_{2}=-1.$
Damit sind $s_{1}$ und $s_{2}$ Nullstellen der normierten quadratischen Funktion $f(x)=x^{2}+x-1$.
Das ermöglicht das folgende Konstruktionsverfahren: Man zeichnet in einem x,y-Koordinatensystem mit Ursprung $O$ zunächst den Einheitskreis, in diesen den Punkt $Z_{0}=1$ und den zu $f(x)$ gehörenden Carlyle-Kreis mit $D(-1|-1)$, der die x-Achse in $P_{1}(s_{1}<0|0)$ und $P_{2}(s_{2}>0|0)$ schneidet. Ein Kreis um $P_{1}$ (bzw. $P_{2}$) mit Radius 1 schneidet den Einheitskreis in den Zahlen $Z_{2}'$ (bzw. $Z_{1}'$) oberhalb und $Z_{3}'$ (bzw. $Z_{4}'$) unterhalb der x-Achse. Die $Z_{k>0}'$ sind die vier Einheitswurzeln $Z_{k>0}$, die $Z_{0}$ zu einem Fünfeck ergänzen.
Denn die Diagonalen der Raute $P_{1}Z_{3}'OZ_{2}'$ sind Symmetrieachsen derselben und halbieren einander. Wegen Symmetrie zu $OP_{1}$ sind $Z_{2}',Z_{3}'$ konjugiert komplex. Wegen Symmetrie zu $Z_{2}'Z_{3}'$ ist der Realteil von $Z_{2}',Z_{3}'$ die Hälfte von $OP_{1}=s_{1}$, also der Realteil von $Z_{2},Z_{3}$. Mit beiden Betrachtungen ist $Z_{2}'=Z_{2}$ und $Z_{3}'=Z_{3}$, wie behauptet. Entsprechend folgt $Z_{1}'=Z_{1}$ und $Z_{4}'=Z_{4}$.

## Geschichte

Howard Eves (1911–2004) zufolge beschrieb der Mathematiker John Leslie (1766–1832) die Nullstellenkonstruktion mit Hilfe des Carlyle-Kreises in seinem Buch Elements of Geometry und merkte dort an, dass sie ihm von einem seiner Schüler, Thomas Carlyle (1795–1881), vorgeschlagen worden war. Die Darstellung bei Leslie enthält zwar eine analoge Kreiskonstruktion, jedoch noch ohne kartesisches Koordinatensystem, quadratische Funktion oder explizite quadratische Gleichung, stattdessen ist sie in eine elementargeometrische Problemstellung zur Konstruktion flächengleicher Rechtecke eingekleidet. Carlyle verwendete dabei Kreis und Trapez, um die Aufgabe zu lösen:
    Teile eine Strecke so, dass ihre Abschnitte die Seiten eines neuen Rechtecks bilden, das flächengleich zu einem vorgegebenen Rechteck ist (Proposition XVII in der dritten Ausgabe von John Leslies Elements of Geometry).
Mit den Mitteln, die im Abschnitt „Definition und Eigenschaften“ eingeführt sind, lässt sich das Problem in der nebenstehenden Zeichnung wie folgt bearbeiten: Bei gegebener Länge $l={\overline {BC}}$ der zu teilenden Strecke ist die Länge ${\overline {KC}}=:x$ der gesuchten Rechteckseite eine Lösung der Gleichung $x(l-x)=ab$, somit Nullstelle der normierten quadratischen Funktion $f(x)=x^{2}-lx+ab$. Eine elementargeometrische Überlegung, wann eine Rechtecksseite der Länge $x$ existiert, ist im Begleittext der Zeichnung aufgeführt; aus der Diskriminante des Funktionsterms ergibt sich diese Existenzbedingung mit ${\tfrac {(-l)^{2}}{4}}-ab\geq 0\Rightarrow l\geq 2{\sqrt {ab}}$. Weiter lässt sich in die Zeichnung ein Koordinatensystem mit Ursprung $B$ einführen, in dem die Seitenlänge $a={\overline {CE}}={\overline {BA}}=:1$ des gegebenen Rechtecks $CEFD$ die Längeneinheit ist, damit $a\cdot b=1\cdot b={\overline {EF}}$ die Fläche von $CEFD$; die Funktion wird zu $f(x)=x^{2}-lx+b$. Mit den Substitutionen $-l=:p,\;b=:q$ entstehen die oben eingeführten Koeffizienten und Koordinaten.
Der österreichische Ingenieur und Beamte Eduard Lill publizierte 1867 ein graphisches Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms (Lills Methode); wendet man dieses auf eine normierte quadratische Funktion an, so erhält man ebenfalls das weiter oben erwähnte Trapez $ABCD$ mit ${\overline {AB}}=1$ und die Strecke $AD$ als Durchmesser des Carlyle-Kreises. In einem 1925 veröffentlichten Artikel beschreibt G. A. Miller, dass man aus dem Verfahren von Lill im Falle einer normierten quadratischen Funktion eine Kreiskonstruktion ableiten kann, deren Schnittpunkte mit der x-Achse mit den Nullstellen der quadratischen Funktion übereinstimmen, und liefert damit die moderne Definition des Carlyle-Kreises.
Eves verwendete den Kreis im modernen Sinne für eine Übungsaufgabe in seinem Buch Introduction to the History of Mathematics (1953) und stellte dort in einer Anmerkung den Bezug zu Carlyle her. Spätere Publikationen beginnen dann zunehmend die Bezeichnung Carlyle-Kreis oder Carlyle-Verfahren zu übernehmen. Duane W. DeTemple verwendete den Carlyle-Kreis (1989, 1991), um möglichst einfache Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen bestimmter regelmäßiger Polygone zu erhalten. Ladislav Beran beschrieb 1999, wie man den Carlyle-Kreis verwenden kann, um auch die komplexen Nullstellen einer normierten quadratischen Funktion geometrisch zu konstruieren.