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# Interpolationssatz von Riesz-Thorin

Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin (oder Konvexitätssatz von Riesz-Thorin) ist ein Resultat aus der Operatortheorie, welches sagt, dass ein linearer Operator, welcher auf zwei L$^p$-Räumen (für unterschiedliche $p$) beschränkt ist, auch auf allen $L^{p}$-Räumen für dazwischen liegende $p$ beschränkt ist. Die Aussage gilt dabei für $p\in [1,\infty ]$. Das heißt also, zeigt man das ein Operator zum Beispiel auf $L^{1}$ und $L^{\infty }$ beschränkt ist, so gilt die Aussage nach dem Interpolationssatz auch für $L^{p}$ mit $1\leq p\leq \infty$.
Die ursprüngliche reelle Variante des Satzes wurde 1926 von dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz bewiesen; sein schwedischer Student G. Olof Thorin erweiterte ihn 1936 dann auf die heutige komplexe Form. Die reelle Variante benötigt eine zusätzliche Restriktion in Form von $p_{k}\leq q_{k}$ für $k=0,1$. Geometrisch gesehen führt dies dazu, dass die dazwischen liegenden Räume, welche mit $L^{p}$ und $L^{q}$ notiert werden, als Punkte $(1/p,1/q)$ in einem unteren Dreieck liegen. Im komplexen hingegen sind die Punkte im Quadrat $[0,1]\times [0,1]$.
Der Satz ist neben dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz eine der Grundlagen der Interpolationstheorie für Operatoren.

## Interpolationssatz

Seien $(U,\Sigma _{1},\mu )$ und $(V,\Sigma _{2},\nu )$ zwei σ-endliche Maßräume. Mit $L^{p}(U,\Sigma _{1},\mu )$ bezeichnen wir die $L^{p}$-Räume für komplex-wertige Funktionen und mit $\|T\|_{L^{a},L^{b}}$ die Operatornorm
    $\|T\|_{L^{a},L^{b}}=\sup \limits _{f\neq 0}{\frac {\|Tf\|_{L^{b}}}{\|f\|_{L^{a}}}}.$
Wir formulieren nur den komplexen Fall vollständig, da der reelle Fall nur eine kleine Modifikation benötigt.

### Komplexer Fall

Seien $p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}\in [1,\infty ]$ mit $p_{0}\neq p_{1}$ und $q_{0}\neq q_{1}$, sowie $\theta \in (0,1)$.
Sei $T$ ein beschränkter linearer Operator, so dass
    $T:L^{p_{0}}(U,\Sigma _{1},\mu )+L^{p_{1}}(U,\Sigma _{1},\mu )\to L^{q_{0}}(V,\Sigma _{2},\nu )+L^{q_{1}}(V,\Sigma _{2},\nu )$
mit
    $\|T\|_{L^{p_{0}},L^{q_{0}}}=M_{0}\quad$ und $\quad \|T\|_{L^{p_{1}},L^{q_{1}}}=M_{1}.$
Dann ist die Einschränkung
    $T:L^{p}(U,\Sigma _{1},\mu )\to L^{q}(V,\Sigma _{2},\nu )$
beschränkt mit Norm
    $\|T\|_{L^{p},L^{q}}\leq M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }$
wobei $p$ und $q$ durch
    ${\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}}\quad$ und $\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}$
gegeben sind.

### Reeller Fall

Damit die Aussage im reellen Fall auch gilt, muss zusätzlich $p_{0}\leq q_{0}$ und $p_{1}\leq q_{1}$ gelten. Außerdem ändert sich die Abschätzung der Norm auf
    $\|T\|_{L^{p},L^{q}}\leq 2M_{0}^{1-\theta }M_{1}^{\theta }.$

## Anwendungsbeispiele

* Der Satz kann verwendet werden, um die Faltungsungleichung von Young zu beweisen.
# Sychrov (Begriffsklärung)

Sychrov bezeichnet mehrere Orte in Tschechien
* Sychrov, Gemeinde im Okres Liberec
* Sychrov, Ortsteil von Borotín u Tábora, Okres Tábor
* Sychrov, Ortsteil von Hostouň, Okres Domažlice
* Sychrov, Ortsteil von Ledeč nad Sázavou, Okres Havlíčkův Brod
* Sychrov, Ortsteil von Mnichovo Hradiště, Okres Mladá Boleslav
* Sychrov, Ortsteil von Rosovice, Okres Příbram
* Sychrov, Ortslage von Úpice, Okres Trutnov
* Sychrov, Ortslage von Vsetín, Okres Vsetín
* Burg Sychrov in Rabštejn nad Střelou, Okres Plzeň-sever
* Schloss Sychrov in Sychrov, Okres Liberec
# Jim Schapperoew

Jim Schapperoew (* 21. September 1949 in New London, Connecticut) ist ein amerikanischer Jazzmusiker (Schlagzeug, Komposition).

## Leben und Wirken

Schapperoew begann mit 14 Jahren, Schlagzeug zu lernen. Er trat bald mit der Band seines Onkels auf, spielte aber auch in der Marching Band und dem Tanzorchester seiner Highschool und trat mit einer Vielzahl von unterschiedlichen Bands auf. Nach seinem Highschool-Abschluss 1967 besuchte er die Berklee School of Music, wo er im Hauptfach Arrangement und Komposition studierte. Nach zwei Semestern wechselte er an das New England Conservatory of Music, wo er sich auf das Schlagzeug konzentrierte.
1971 lernte er dort Chris Hinze kennen, mit dessen Band er auf dem Montreux Jazz Festival 1971 und 1972/73 in den Niederlanden, Deutschland, Frankreich, Belgien und der Schweiz auftrat. Weiterhin spielte er dort mit Charlie Mariano. Dann kehrte er in die Gegend von Boston zurück. 1974 lernte er den Pianisten Charles Farrell kennen und begann, mit dessen Trio zu arbeiten. Mit Farrell wirkte er in den unterschiedlichsten Konstellationen zusammen, in der Popmusik ebenso wie mit Frank Strozier oder mit Innovatoren wie Ornette Coleman und Evan Parker. Er arbeitete aber auch mit Alan Braufman (Live in New York City, February 8, 1975).
In den frühen 1980er Jahren zog Schapperoew mit seiner Familie nach New York City, wo er mit Strozier, etwa mit Tommy Flanagan oder Roland Hanna in unterschiedlichen Gruppen arbeitete und 1984 auch Auftritte in London und Dublin hatte, wie das Doppel-Album Soliloquy dokumentiert.
1985 zog Schapperoew nach New Haven, wo sein Album Uranian Rhythm (Kerralee Records) entstand, das ausschließlich Eigenkompositionen enthält. Im Dezember 2015 zog er nach Clearwater, Florida.
# Elk Valley

Elk Valley ist der Name folgender geografischen Objekte:
in den Vereinigten Staaten:
* Elk Valley (North Carolina), Ort im Avery County
* Elk Valley (Tennessee), Ort im Campbell County
in Kanada: