# Satz von Kato-Rellich

Der Satz von Kato-Rellich ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Funktionalanalysis. Benannt wurde er nach dem japanischen Mathematiker Tosio Kato und dem deutschen Mathematiker Franz Rellich.

## Notation und Terminologie

Im Folgenden bezeichne $H$ einen komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und zugehöriger Norm $\Vert \cdot \Vert :={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}$.
* Ein dicht definierter, linearer Operator ist eine lineare Abbildung $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$, wobei ${\mathcal {D}}(A)\subset H$ einen dichten Untervektorraum von $H$ bezeichne. Derartige Operatoren können beschränkt oder unbeschränkt sein, darüber wird hier keine Annahme getroffen.
* Man bezeichnet einen dicht definierten, linearen Operator $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ als symmetrisch, falls $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ für alle $x,\,y\in {\mathcal {D}}(A)$ gilt.
* Zu einem dicht definierten, linearen Operator $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ lässt sich der adjungierte Operator wie folgt definieren: Man definiert den Raum ${\mathcal {D}}(A^{\ast })\subset H$ als die Menge aller $x\in {\mathcal {D}}(A)$, für die gilt, dass das lineare Funktional $L_{x}:{\mathcal {D}}(A)\to H$, welches durch $L_{x}(y):=\langle x,Ay\rangle$ für $y\in {\mathcal {D}}(A)$ definiert ist, stetig ist. Da der Definitionsbereich ${\mathcal {D}}(A)$ dicht definiert ist, besitzt dieses Funktional eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf $H$. Daher existiert nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ein eindeutig bestimmtes Element $z\in H$ mit der Eigenschaft $L_{x}(y)=\langle z,y\rangle$. Man setzt nun $A^{\ast }x:=z$ und erhält dadurch einen Operator $A^{\ast }:{\mathcal {D}}(A^{\ast })\to H$ mit der Eigenschaft $\langle A^{\ast }x,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ für alle $x\in {\mathcal {D}}(A^{\ast })$ und alle $y\in {\mathcal {D}}(A)$.
* Man nennt einen dicht definierten, linearen $A:{\mathcal {D}}(A)\to H$ selbstadjungiert, falls ${\mathcal {D}}(A^{\ast })={\mathcal {D}}(A)$ und $A$ symmetrisch ist.

## Formulierung des Satzes

Um den Satz zu formulieren, wird der Begriff eines relativ beschränkten Operators benötigt:
Seien $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ und $B\colon {\mathcal {D}}(B)\to H$ zwei dicht definierte, lineare Operatoren. Man bezeichnet $B$ als relativ beschränkt bezüglich $A$ oder kurz $A$-beschränkt, falls ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$ gilt und zwei positive reelle Zahlen $a$ und $b$ existieren, so dass die folgende Ungleichung für alle $x\in {\mathcal {D}}(A)$ erfüllt ist:
    $\Vert Bx\Vert \leq a\Vert Ax\Vert +b\Vert x\Vert$
Das Infimum aller Zahlen $a$, für die ein $b$ existiert, sodass die obige Ungleichung für alle $x\in {\mathcal {D}}(A)$ erfüllt ist, wird als relative Schranke von $B$ bezüglich $A$ bezeichnet.
Satz (von Kato-Rellich):
Es sei $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ ein selbstadjungierter Operator und $B\colon {\mathcal {D}}(B)\to H$ ein symmetrischer Operator. Ist der Operator $B$ relativ beschränkt bezüglich $A$ mit einer relativen Schranke $<1$, dann ist der Operator $A+B\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ selbstadjungiert.

## Beweis des Satzes

Der Operator $A+B\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ ist offensichtlich wohldefiniert, da ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$. Des Weiteren ist er nach Voraussetzung symmetrisch. Ein symmetrischer Operator $T\colon {\mathcal {D}}(T)\to H$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn ein $\mu >0$ existiert, sodass $\mathrm {Bild} (T\pm i\mu )=H$, wobei $\mathrm {Bild} (T)$ das Bild von $T$ bezeichnet. Daher reicht es zu zeigen, dass ein $\mu >0$ existiert, sodass $\mathrm {Bild} (A+B\pm i\mu )=H$ gilt.
Sei $\mu \in \mathbb {R}$. Die Beweisidee des Satzes von Kato-Rellich ist nun, den Operator $A+B+i\mu$ als $A+B+i\mu =(1+B(A+i\mu )^{-1})(A+i\mu )$ zu schreiben. Das ist möglich, da nach Voraussetzung $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ selbstadjungiert ist und daher $(A+i\mu )^{-1}$ existiert. Da weiters $\mathrm {Bild} (A+i\mu )=H$, genügt es zu zeigen, dass $(1+B(A+i\mu )^{-1})$ einen beschränkten inversen Operator hat.
Nach Voraussetzung gilt für alle $x\in H$ die Ungleichung
    $\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq a\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert +b\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert$.
Des Weiteren gilt für alle $y\in {\mathcal {D}}(A)$ die Gleichheit $\Vert (A+i\mu )y\Vert ^{2}=\Vert Ay\Vert ^{2}+\mu ^{2}\Vert y\Vert ^{2}$ und daher mit $y=(A+i\mu )^{-1}x$
    $\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq \Vert x\Vert$
und
    $\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\frac {1}{\vert \mu \vert }}\Vert x\Vert$.
Kombiniert man die soeben genannten Ungleichungen, findet man, dass für alle $x\in H$ die Abschätzung
    $\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\bigga+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}\Vert x\Vert$.
gilt. Da $a<1$, ist es möglich, $\mu$ groß genug zu wählen, sodass ${\bigga+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}<1$ gilt, womit die Ungleichung
    $\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert <1$
für alle $x\in H$ gezeigt ist. Es folgt, dass $(1+B(A+i\mu )^{-1})$ invertierbar ist mit einem beschränkten inversen Operator (siehe Neumann-Reihe). Damit ist $\mathrm {Bild} (A+B+i\mu )=H$ gezeigt.

## Anwendungen

Anwendung findet der Satz von Kato-Rellich zum Beispiel in der Quantenmechanik:
Sei $V=V_{1}+V_{2}$ mit $V_{1}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ und $V_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})$. Dann lässt sich mithilfe des Satzes von Kato-Rellich zeigen, dass der Hamiltonoperator $H:=-\Delta +V$ mit dem Laplace-Operator $\Delta$ selbstadjungiert ist, wenn man als Definitionsbereich den Sobolev-Raum $H^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ wählt.