# Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

## Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper $k$, d. h. eine algebraische Varietät $G$ über $k$ zusammen mit
* einem Morphismus $m\colon G\times G\to G$ (Multiplikation)
* einem Morphismus $i\colon G\to G$ (inverses Element)
* und einem ausgezeichneten Punkt $e\in G(k)$ (neutrales Element),
so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Assoziativgesetz: $m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)$;
* neutrales Element: $m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=\mathrm {id} _{G}=m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})$;
* inverses Element: $m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e\circ \xi =m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}$; dabei ist $\Delta _{G}\colon G\to G\times G$ die Inklusion der Diagonale ($g\mapsto (g,g)$) und $\xi \colon G\to \mathrm {Spec} (k)$ der Strukturmorphismus.
Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass $(m,i,e)$ für jedes $k$-Schema $T$ auf der Menge $G(T)$ der $T$-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

## Beispiele

* Die additive Gruppe $\mathbb {G} _{\mathrm {a} }$: $\mathbb {G} _{\mathrm {a} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})$ mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für $T=k$ ist $\mathbb {G} _{\mathrm {a} }(k)=(k,+)$ die affine Gerade $\mathbb {A} ^{1}(k)$ mit der Addition.
* Die multiplikative Gruppe $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }$: $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}^{\times })$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für $T=k$ ist $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }(k)=(k^{\times },\cdot )$ die offene Teilmenge $\mathbb {A} ^{1}(k)\setminus \left\{0\right\}$ mit der Multiplikation.
* Die allgemeine lineare Gruppe $\mathrm {GL} _{n}$: $\mathrm {GL} _{n}(T)=\mathrm {GL} _{n}(\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}))$; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen im Ring $\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})$. $\mathrm {GL} _{1}$ kann mit $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }$ identifiziert werden.
* Der Kern eines Morphismus $f:G\rightarrow H$ algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist $\mathrm {SL} _{n}(T)=\mathrm {ker} (\mathrm {det} :\mathrm {GL} _{n}\to \mathbb {G} _{\mathrm {m} })$ eine algebraische Gruppe.
* Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
* Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von $\mathrm {GL} _{n}$ werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
* Unipotente algebraische Gruppen.

## Satz von Chevalley

Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe $G$ gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe $G_{\mathrm {aff} }$, diese ist normal und der Quotient $A(G):=G/G_{\mathrm {aff} }$ ist eine abelsche Varietät:
    $0\rightarrow G_{\mathrm {aff} }\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0$.
Die Abbildung $G\rightarrow A(G)$ ist die Albanese-Abbildung.