# Fraktionale Caputo-Ableitung

Die fraktionale Caputo-Ableitung ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung von Ableitungen für nicht-ganzzahlige Ordnungen benannt nach Michele Caputo. 1967 definierte Caputo diese Form der fraktionalen Ableitung das erste Mal.

## Motivation

Die fraktionale Caputo-Ableitung ist motiviert aus den fraktionalen Riemann–Liouville-Intergal. Sei f{\textstyle f} stetig in $\left(0,\,\infty \right)$, dann ist das fraktionale Riemann–Liouville-Integral $^{RL}$I{\textstyle {^{\text{RL}}\operatorname {I} }} aus f{\textstyle f} gegeben durch
${_{0}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(-\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{1-\alpha }}}\,\operatorname {d} t$
wobei Γ(⋅){\textstyle \Gamma \left(\cdot \right)} die Gammafunktion ist.
Man definiert D$_x$$^α$:=d$^α$/d⁡x$^α$ {\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }:={\frac {\operatorname {d} ^{\alpha }}{\operatorname {d} x^{\alpha }}}} mit der Eigenschaft D$_x$$^α$⁡D$_x$$^β$=D$_x$$^{α+β}${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }\operatorname {D} _{x}^{\beta }=\operatorname {D} _{x}^{\alpha +\beta }} und D$_x$$^α$=$^{RL}$I$_x$$^{−α}${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }={^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{-\alpha }}}. Wenn α=m+z∈R∧m∈N$_0$∧0<z<1{\textstyle \alpha =m+z\in \mathbb {R} \wedge m\in \mathbb {N} _{0}\wedge 0<z<1} gilt, folgt daraus D$_x$$^α$=D$_x$$^{m+z}$=D$_x$$^{z+m}$=D$_x$$^{z−1+1+m}$=D$_x$$^{z−1}$⁡D$_x$$^{1+m}$=$^{RL}$I$_x$$^{1−z}$D$_x$$^{1+m}${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }=\operatorname {D} _{x}^{m+z}=\operatorname {D} _{x}^{z+m}=\operatorname {D} _{x}^{z-1+1+m}=\operatorname {D} _{x}^{z-1}\operatorname {D} _{x}^{1+m}={^{\text{RL}}\operatorname {I} }_{x}^{1-z}\operatorname {D} _{x}^{1+m}}. Sollte also $f$ $C^{m}\left(0,\,\infty \right)$ sein, so folgt
${\operatorname {D} _{x}^{m+z}}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(1-z\right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(1+m\right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{z}}}\,\operatorname {d} t.$
Der Zusammenhang wird als fraktionale Caputo-Ableitung bezeichnet, mit der häufig genutzten Notation $^C$D$_x$$^α${\textstyle {^{\text{C}}\operatorname {D} }_{x}^{\alpha }}.

## Definition

Die erste Definition der fraktionale Caputo-Ableitung wurde von Caputo gegeben durch:
${^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{m+z}}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(1-z\right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(m+1\right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{z}}}\,\operatorname {d} t$
mit $f$ $C^{m}\left(0,\,\infty \right)$ und m∈N$_0$∧0<z<1{\textstyle m\in \mathbb {N} _{0}\wedge 0<z<1}.
Eine andere beliebte äquivalente Definition ist gegeben durch:
${^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(\left\lceil \alpha \right\rceil \right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t$
wobei α∈R$_{>0}$∖N{\textstyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}\setminus \mathbb {N} } und ⌈⋅⌉{\textstyle \left\lceil \cdot \right\rceil } ist die Aufrundungsfunktion. Das kann aus der vorherigen Formel durch die Substitution α:=m+z{\textstyle \alpha :=m+z} und den Fakt, dass ⌈α⌉=m+1{\textstyle \left\lceil \alpha \right\rceil =m+1} gilt, und somit ⌈α⌉+z=α+1{\textstyle \left\lceil \alpha \right\rceil +z=\alpha +1} folgt.
Eine weitere beliebte äquivalente Definition ist gegeben durch:
${^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(n\right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-n}}}\,\operatorname {d} t$
mit n−1<α<n∈N.{\textstyle n-1<\alpha <n\in \mathbb {N} .}.
Das Problem mit diesen Definitionen ist, dass sie nur Argumente in (0, ∞){\textstyle \left(0, \, \infty \right)} zulassen. Das kann behoben werden, indem die untere Grenze des Integrals mit a{\textstyle a} ausgetauscht wird: $_a$$^C$D$_x$$^α$[f(x)]=1/Γ(⌈α⌉−α) ⋅∫$_a$$^x$ f$^{(⌈α⌉)}$(t)/((x−t)$^{α+1−⌈α⌉}$) d⁡t{\textstyle {_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{a}^{x}{\frac {f^{\left(\left\lceil \alpha \right\rceil \right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\, \operatorname {d} t}. Der neue Definitionsbereich ist (a, ∞){\textstyle \left(a, \, \infty \right)}.

## Eigenschaften und Sätze
### Wichtige Eigenschaften und Sätze

Einige wichtige Eigenschaften sind:
Eine Tabelle wichtiger Eigenschaften und Sätze :
| Eigenschaften | $f\left(x\right)$ | ${_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]$ | Bedingung |
| Definition | $f\left(x\right)$ | $f^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)-f^{\left(\alpha \right)}\left(a\right)$ | |
| Linearität | $b\cdot g\left(x\right)+c\cdot h\left(x\right)$ | $b\cdot {_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[g\left(x\right)\right]+c\cdot {_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[h\left(x\right)\right]$ | |
| Indexregel | $\operatorname {D} _{x}^{\beta }$ | ${_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha +\beta }}$ | $\beta \in \mathbb {Z}$ |
| Halbgruppenregel | ${_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\beta }}$ | ${_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha +\beta }}$ | $\left\lceil \alpha \right\rceil =\left\lceil \beta \right\rceil$ |

#### Antikommutativität

Die Indexregel ist nicht kommutativ:
$\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha }\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\beta }=\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha +\beta }\neq \operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\beta }\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha }$
mit $\alpha \in \mathbb {R} _{>0}\setminus \mathbb {N} \wedge \beta \in \mathbb {N}$.

#### Fraktionale Produktregel

Die Produktregel für die fraktionale Caputo-Ableitung ist gegeben durch:
$\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha }\left[g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left[{\binom {a}{k}}\cdot g^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot \operatorname {_{a}^{\text{RL}}D} _{x}^{\alpha -k}\left[h\left(x\right)\right]\right]-{\frac {\left(x-a\right)^{-\alpha }}{\Gamma \left(1-\alpha \right)}}\cdot g\left(a\right)\cdot h\left(a\right)$
mit (a/b)=(Γ(a+1))/(Γ(b+1)⋅Γ(a−b+1)) {\textstyle {\binom {a}{b}}={\frac {\Gamma \left(a+1\right)}{\Gamma \left(b+1\right)\cdot \Gamma \left(a-b+1\right)}}} als der Binomialkoeffizient.

### Beziehung zu anderen fraktionalen Differentialoperatoren

Die fraktionale Caputo-Ableitung ist eng verbunden mit dem fraktionalen Riemann–Liouville-Integral, bedingt durch ihre Definition:
${_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[\operatorname {D} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[f\left(x\right)\right]\right]$
Des Weiteren gilt folgende Relation:
${_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]-\sum \limits _{k=0}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[{\frac {x^{k-\alpha }}{\Gamma \left(k-\alpha +1\right)}}\cdot f^{\left(k\right)}\left(0\right)\right]$
wobei ${_{a}^{\text{RL}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}$ die fractionale Riemann–Liouville-Ableitung ist.

### Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation der fraktionalen Caputo-Ableitung ist gegeben durch:
${\mathcal {L}}_{x}\left\{{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]\right\}\left(s\right)=s^{\alpha }\cdot F\left(s\right)-\sum \limits _{k=0}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[s^{\alpha -k-1}\cdot f^{\left(k\right)}\left(0\right)\right]$
mit L$_x${f(x)}(s)=:F(s){\textstyle {\mathcal {L}}_{x}\left\{f\left(x\right)\right\}\left(s\right)=:F\left(s\right)}.

## Fraktionale Caputo-Ableitung einiger Funktionen

Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Konstante $c$ ist gegeben durch:
${\begin{aligned}{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[c\right]&={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{a}^{x}{\frac {\operatorname {D} _{t}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[c\right]}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{a}^{x}{\frac {0}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t\\{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[c\right]&=0\end{aligned}}$
Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Potenzfunktion $x^{b}$ ist gegeben durch:
${\begin{aligned}{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[x^{b}\right]&={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[\operatorname {D} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[x^{b}\right]\right]={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-\left\lceil \alpha \right\rceil +1\right)}}\cdot {_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[x^{b-\left\lceil \alpha \right\rceil }\right]\\{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[x^{b}\right]&={\begin{cases}{\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-\alpha +1\right)}}\left(x^{b-\alpha }-a^{b-\alpha }\right),\,&{\text{for }}\left\lceil \alpha \right\rceil -1<b\wedge b\in \mathbb {R} \\0,\,&{\text{for }}\left\lceil \alpha \right\rceil -1\geq b\wedge b\in \mathbb {N} \\\end{cases}}\end{aligned}}$
Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Exponentialfunktion $e^{a\cdot x}$ ist gegeben durch:
${\begin{aligned}{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[e^{b\cdot x}\right]&={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[\operatorname {D} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[e^{b\cdot x}\right]\right]=b^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\cdot {_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[e^{b\cdot x}\right]\\{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[e^{b\cdot x}\right]&=b^{\alpha }\cdot \left(E_{x}\left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha ,\,b\right)-E_{a}\left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha ,\,b\right)\right)\\\end{aligned}}$
wobei E$_x$(ν, a):=a$^{−ν}$⋅e$^{a⋅x}$⋅γ(ν, a⋅x)/Γ(ν) {\textstyle E_{x}\left(\nu , \, a\right):={\frac {a^{-\nu }\cdot e^{a\cdot x}\cdot \gamma \left(\nu , \, a\cdot x\right)}{\Gamma \left(\nu \right)}}} die E$_t${\textstyle \operatorname {E} _{t}}-Funktion und γ(a, b){\textstyle \gamma \left(a, \, b\right)} die untere unvollständige Gammafunktion ist.