# Schwarzsches Lemma

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt fest lassen.

## Aussage

Es bezeichne $\mathbb {D} :=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|<1\right\}$ die offene Einheitskreisscheibe. Sei $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D}$ eine holomorphe Funktion mit $f(0)=0$. Dann gilt $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {D}$ und $|f'(0)|\leq 1$. Falls in einem Punkt $z_{0}\in \mathbb {D} ,z_{0}\neq 0,$ zusätzlich die Gleichheit $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ besteht oder $|f'(0)|=1$ gilt, so ist $f$ eine Drehung, d. h. $f(z)=e^{i\lambda }\cdot z$ für ein geeignetes $\lambda \in \mathbb {R}$.

## Beweis

Sei $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ die Taylorentwicklung von $f$ um den Punkt $z=0$. Wegen $f(0)=0$ ist $a_{0}=0$, so dass die Funktion
    $g(z):={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}},&{\text{falls }}z\not =0,\\f'(0),&{\text{sonst}}\end{cases}}$
auf $\mathbb {D}$ holomorph ist und die Taylorentwicklung $g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n-1}$ um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion $|g|$ auf dem Kreis $K_{r}:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq r\}$, $r\in (0,1)$, ihr Maximum auf dem Rand $\partial K_{r}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=r\}$ an. Dort gilt aber:
    $|g(z)|=\left|{\frac {f(z)}{z}}\right|={\frac {|f(z)|}{r}}\leq {\frac {1}{r}},$
so dass |g(z)| auf ganz $K_{r}$ durch ${\frac {1}{r}}$ beschränkt ist. Da $0<r<1$ beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang $r\to 1$ schon $|g(z)|\leq 1$ und somit $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {D}$. Weiterhin ist $|f'(0)|=|g(0)|\leq 1$.
Falls zusätzlich ein $z_{0}\in \mathbb {D}$ mit $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ existiert oder $|f'(0)|=1$ gilt, dann gibt es ein $z_{0}\in \mathbb {D}$ mit $|g(z_{0})|=1$. Mit dem Maximumprinzip folgt, dass $g$ konstant ist, also $g(z)=c$ für ein $c$ mit $|c|=1$. Es gilt also $f(z)=c\cdot z$.

## Anwendungen

* Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: $\mathrm {Aut} (\mathbb {D} )=\left\{f(z)=e^{i\lambda }{\frac {z-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z}}\;,\;\lambda \in [0,2\pi ),\;z_{0}\in \mathbb {D} \right\}$.
    Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene $\mathbb {H}$ bestimmen und erhält $\mathrm {Aut} (\mathbb {H} )\cong PSL(2,\mathbb {R} )$.
* Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
* Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen $f:\mathbb {D} \to \mathbb {D}$ gilt ${\frac {|f'(z)|}{1-|f(z)|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-|z|^{2}}}$ für alle $z\in \mathbb {D}$.

## Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion $f:\mathbb {D} \to \mathbb {D}$ mit $f(0)=0$ in der Potenzreihenentwicklung $f(z)=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}z^{j}$ die Bedingung $|a_{1}|\leq 1$ gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch $|a_{2}|\leq 2$ gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass $|a_{j}|\leq j$ für alle $j\in \mathbb {N} \;$. Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.