# Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.

## Definition

Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen, sie zu definieren. Sei $f$ eine komplexwertige Funktion und $\nu >-{\tfrac {1}{2}}$. Dann kann man die Hankel-Transformation $\operatorname {H} _{\nu }$ der Ordnung $\nu$ von $f$ durch
    $F_{\nu }(u)=\operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot J_{\nu }(ut)\cdot t\,\mathrm {d} t$
definieren, dabei sind die
    $J_{\nu }(x):=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}({\frac {x}{2}})^{2r+\nu }}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}$
Bessel-Funktionen erster Gattung und $\Gamma (\cdot )$ ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man $\operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}$ die Hankel-Transformierte von $f$. Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.
Eine andere Möglichkeit die Hankel-Transformation der Ordnung $\nu >-{\tfrac {1}{2}}$ von $f$ zu definieren, ist
    $F_{\nu }(u)=\operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot {\sqrt {ut}}\cdot J_{\nu }(ut)\,\mathrm {d} t\,.$
Hier werden mit $J_{\nu }$ ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und $\operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}$ heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.

## Inverse Hankel-Transformation

Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich, aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls $f\in L^{1}0,\infty$ eine Lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion $f$ aus der Hankel-Transformierten $F_{\nu }$ mit der inversen Integraltransformation
    $f(t)=\operatorname {H} _{\nu }^{-1}\{F_{\nu }(u)\}=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(u)\cdot J_{\nu }(ut)\cdot u\,\mathrm {d} u$
zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.

## Eigenschaften
### Orthogonalität

Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt
    $\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(ut)\cdot J_{\nu }(u't)\cdot t\,\mathrm {d} t={\frac {\delta (u-u')}{u}}$
für $u$ und $u'$ größer 0 und mit $\delta$ als der Delta-Distribution.

### Algebraisierung des besselschen Differentialoperators

Sei
    $B_{\nu }(f):=\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}+(r^{2}-\nu ^{2})\right)(f)$
der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also $B_{\nu }(J_{\nu })=0$. Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich, diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt
    $\operatorname {H} _{\nu }(B_{\nu }(f))(s)=-s^{2}\operatorname {H} _{\nu }(f)(s)\,.$
Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.

## Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu $\phi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C}$ eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt, die Funktion $f(r,\theta ):=\phi (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))$ ist unabhängig von $\theta$, weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter $r$ notiert wird. Von dieser Funktion $f$ wird nun mit Hilfe der Funktion $\phi$ und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.
Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral
    ${\mathcal {F}}(\phi )(\xi _{1},\xi _{2})={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\phi (x,y)e^{-i(x\xi _{1}+y\xi _{2})}\,\mathrm {d} (x,y)$
von $\phi$ in Polarkoordinaten transformiert, was zu
    ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\phi )(s\cos(\sigma ),s\sin(\sigma ))=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }r\int _{\theta =0}^{2\pi }\phi (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))e^{-isr\cos(\theta -\sigma )}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r\\=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }rf(r)\int _{\alpha =0}^{2\pi }e^{-isr\cos(\alpha )}\,\mathrm {d} \alpha \,\mathrm {d} r\\=&\int _{r=0}^{\infty }rf(r)J_{0}(sr)\,\mathrm {d} r\end{aligned}}$
führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich, zu einer gegebenen Funktion $f\colon0,\infty\to \mathbb {C}$ eine entsprechende radialsymmetrische Funktion $\phi$ zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von $f$ berechnen kann.

## Hankel-Transformation für Distributionen

Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich, sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum $H_{\nu }0,\infty$ und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.

### Distributionenraum

Sei $\nu \in \mathbb {R}$, dann ist $H_{\nu }0,\infty$ definiert durch
    $H_{\nu }0,\infty:=\left\{\phi \in C^{\infty }0,\infty\left|\forall k,m\in \mathbb {N} _{0}:\sup _{x\in0,\infty}\left|x^{m}\left({\tfrac {1}{x}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k}(x^{-\nu -{\frac {1}{2}}}\phi (x))\right|<\infty \right.\right\}\,.$
Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge $(\phi _{j})\subset H_{\nu }0,\infty$ konvergiert genau dann gegen Null, wenn
    $\lim _{j\to \infty }\sup _{x\in0,\infty}\left|x^{m}\left({\tfrac {1}{x}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k}(x^{-\nu -{\frac {1}{2}}}\phi _{j}(x))\right|=0$
für alle $k,m\in \mathbb {N} _{0}$ gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum $H_{\nu }'0,\infty$, auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in $]0,\infty [$, wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum $H_{\nu }'0,\infty$ enthalten.

### Hankel-Transformation

Für $T\in H_{\nu }'0,\infty$ ist die Hankel-Transformation für alle $\phi \in H_{\nu }0,\infty$ definiert durch
    $\operatorname {H} _{\nu }(T)(\phi ):=T(\operatorname {H} _{\nu }(\phi ))\,.$
Der Ausdruck $\operatorname {H} _{\nu }(\phi )$ ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums $H_{\nu }0,\infty$ wird hier allerdings die Konvention $\textstyle \operatorname {H} _{\nu }(\phi )=\int _{0}^{\infty }f(t){\sqrt {ut}}J_{\nu }(ut)\,\mathrm {d} t$ für die Transformation verwendet.
Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion $\phi$ berechnet.

## Beispiele

| Signal $f(t)\,$ | Hankel-Transformierte $F_{0}(u):=\operatorname {H} _{0}(f)(u)\,$ |
| $1\,$ | $\delta (u)/u\,$, gültig für $u\neq 0$ |
| $1/t\,$ | $1/u\,$ |
| $t\,$ | $-1/u^{3}\,$ |
| $t^{3}\,$ | $9/u^{5}\,$ |
| $t^{m}\,$ | ${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{u^{m+2}\Gamma (-m/2)}}\,$, gültig für ungerades $m$ |
| ${\frac {1}{\sqrt {t^{2}+z^{2}}}}\,$ | ${\frac {e^{-u|z|}}{u}}={\sqrt {\frac {2|z|}{\pi u}}}K_{-1/2}(u|z|)\,$ |
| ${\frac {1}{t^{2}+z^{2}}}\,$ | $K_{0}(uz)\,$, $z\in \mathbb {C}$ |
| $e^{\mathrm {i} at}/t\,$ | $\mathrm {i} /{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}\quad (a>0,u<a)\,$ $1/{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}\quad (a>0,u>a)\,$ |
| $e^{-a^{2}t^{2}/2}\,$ | ${\frac {e^{-u^{2}/(2a^{2})}}{a^{2}}}$ |
| $-t^{2}f(t)\,$ | ${\frac {d^{2}F_{\nu }}{du^{2}}}+{\frac {1}{u}}{\frac {dF_{\nu }}{du}}$ |
In diesem Abschnitt wird mit $K_{n}(z)$ die Bessel-Funktionen zweiter Gattung $n$-ter Ordnung, mit $\Gamma$ die Gammafunktion, mit $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit und mit $\delta$ wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.

### Die Hyperbel 1/t

Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von ${\tfrac {1}{t}}$ gilt
    ${\begin{aligned}\operatorname {H} _{0}\left({\frac {1}{t}}\right)(s)=&\int _{0}^{\infty }t\cdot {\frac {1}{t}}\cdot J_{0}(st)\mathrm {d} t\\=&\int _{0}^{\infty }J_{0}(st)\,\mathrm {d} t\\=&{\frac {1}{s}}\end{aligned}}$.
Die Funktion ${\tfrac {1}{t}}$ ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

### Die Gaußsche Glockenkurve

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve $e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über $\mathbb {R} ^{2}$ berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist $e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ ein Fixpunkt, woraus folgt, dass die Hankel-Transformierte von $e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ ebenfalls wieder $e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

### Die Delta-Distribution

In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution $\delta$ berechnet. Es gilt
    ${\begin{aligned}\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\delta _{0})(\phi )=&\operatorname {H} _{0}(\delta _{0})({\tfrac {1}{u}}\phi )=\delta _{0}(\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\phi ))=\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\phi )(0)\\=&\int _{0}^{\infty }{\tfrac {u}{u}}J_{0}(0)\phi (u)\,\mathrm {d} u\\=&\int _{0}^{\infty }\phi (u)\,\mathrm {d} u\end{aligned}}$.
Der Ausdruck $\textstyle \int _{0}^{\infty }\phi (u)\mathrm {d} u$ ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf
    $\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\delta _{0})(t)=\int _{0}^{\infty }\delta (u)\cdot {\frac {1}{u}}\cdot u\cdot J_{0}(tu)\,\mathrm {d} u=J_{0}(0)=1$.
Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich, die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.

## Quellen

* Larry C. Andrews, Bhimsen K. Shivamoggi: Integral Transforms for Engineers. SPIE Press, University of Central Florida, 1999, ISBN 978-0-8194-3232-2, Kapitel 7.
* Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.
* L. S. Dube, J. N. Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337–354.