# Henkelzerlegung

In der Differentialtopologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Henkelzerlegung die Grundlage für die Klassifikation und Beschreibung von Mannigfaltigkeiten.

## Definition: Ankleben eines Henkels

Notation: $B^{n}$ bezeichne die $n$-dimensionale Vollkugel, $S^{n-1}=\partial B^{n}$ die $(n-1)$-dimensionale Sphäre.
Im Folgenden bezeichnen wir als $k$-Henkel einer $m$-dimensionalen Mannigfaltigkeit das Produkt
    $H_{k}=B^{k}\times B^{m-k}$
mit der durch die Produktstruktur gegebenen Zerlegung
    $\partial H_{k}=S^{k-1}\times B^{m-k}\cup B^{k}\times S^{m-k-1}$.
$B^{k}\times \left\{0\right\}$ wird als Kern und $\left\{0\right\}\times B^{m-k}$ als Kokern des Henkels bezeichnet.
Nun sei $M$ eine $m$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Das Ergebnis des Anklebens eines $k$-Henkels ist die Mannigfaltigkeit
    $M\cup _{f}H_{k}=\left(M\sqcup (B^{k}\times B^{m-k})\right)/\sim$
    mit der Äquivalenzrelation $\sim$ erzeugt durch $(p,x)\sim f(p,x)$ für alle $(p,x)\in S^{k-1}\times B^{m-k}\subset B^{k}\times B^{m-k}$,
für eine Einbettung $f\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$. Durch kanonisches Glätten der Ecken erhält man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. (Insbesondere ist das Ankleben eines $0$-Henkels die disjunkte Vereinigung mit einem $m$-Ball $B^{m}$).
Die so erhaltene Mannigfaltigkeit ist eindeutig bestimmt durch die Einbettung $f\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$ oder äquivalent durch eine gerahmte Einbettung $S^{k-1}\to \partial M$.
Die Sphäre $S^{k-1}\times \left\{0\right\}$ heißt die Anklebesphäre und die Sphäre $\left\{0\right\}\times S^{m-k-1}$ heißt die Gürtelsphäre.

## Henkelzerlegung

Jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt eine Henkelzerlegung.
Der Beweis dieses Satzes benutzt Morse-Theorie. Zu jeder differenzierteren Mannigfaltigkeit $M$ gibt es eine Morse-Funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$, deren kritische Punkte unterschiedlichen Funktionswerten entsprechen (und nicht auf dem Rand liegen). Der Satz folgt dann mittels vollständiger Induktion aus folgender lokalen Beschreibung der Umgebung eines kritischen Punktes.
Es sei $f\colon M\to \mathbb {R}$ eine $C^{\infty }$-Funktion mit genau einem kritischen Punkt in $f^{-1}(0)$ und keinen weiteren kritischen Punkten in $f^{-1}(\left[-\epsilon ,\epsilon \right])$ (für ein geeignetes $\epsilon >0$). Dann entsteht $f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])$ aus $f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])$ durch Ankleben eines $k$-Henkels, wobei $k$ der Index des kritischen Punktes in $f^{-1}(0)$ ist.
Dieser Satz geht auf Stephen Smale zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der Poincaré-Vermutung in Dimensionen $\geq 5$ benutzte. John Milnor bewies in seinem Buch „Morse Theory“ eine schwächere Version, die besagt, dass $f^{-1}(\left[-\infty ,\epsilon \right])$ homotopieäquivalent zu dem aus $f^{-1}(\left[-\infty ,-\epsilon \right])$ durch Ankleben einer k-Zelle entstehenden Raum ist. Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben. vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui und Madsen-Tornehave.

## Niedrigdimensionale Beispiele

* Klassifikation der Flächen: Jede geschlossene, orientierbare Fläche besitzt eine Henkelzerlegung aus einem 0-Henkel, $2g$ 1-Henkeln und einem 2-Henkel. Die Zahl $g$ ist das Geschlecht der Fläche.
* Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten: Ein (3-dimensionaler) Henkelkörper vom Geschlecht $g$ entsteht durch Ankleben von $g$ 1-Henkeln an einen 0-Henkel. Als Heegaard-Zerlegung bezeichnet man die Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper. Jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung, das minimal mögliche $g$ wird als Heegaard-Geschlecht bezeichnet. Eine Heegaard-Zerlegung bestimmt eine Henkelzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in einen 0-Henkel, $g$ 1-Henkel, $g$ 2-Henkel und einen 3-Henkel.
* Kirby-Kalkül: Henkelzerlegungen 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten werden durch Kirby-Diagramme beschrieben.

## Relative Henkelzerlegung

Es sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes $\partial M$ in (möglicherweise leere) Teilmengen
    $\partial M=\partial _{+}M\sqcup \partial _{-}M$.
Eine Henkelzerlegung von $M$ relativ zu $\partial _{-}M$ ist eine Darstellung von $M$ als durch sukzessives Ankleben von Henkeln an $\partial _{-}M\times \left[0,1\right]$ konstruierte Mannigfaltigkeit. Mittels Morse-Theorie kann man zeigen, dass es zu jedem solchen Paar $(M,\partial _{-}M)$ eine Henkelzerlegung von $M$ relativ zu $\partial _{-}M$ gibt.

## Cerf-Theorie

Zwei Henkelzerlegungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch Henkelgleiten (engl.: handle slide) und Hinzufūgen oder Weglassen zweier komplementärer Henkel (engl.: cancellation) ineinander überführen.

### Henkelgleiten

Die Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ entstehe aus $M$ durch Ankleben eines $k$-Henkels mittels der Anklebe-Abbildung $\phi \colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$. Es sei $h\colon M\times \left[0,1\right]\to M$ eine Isotopie mit $h_{0}=id$ und $h:=h_{1}$. Dann ist die durch Ankleben eines $k$-Henkels an $M$ mittels der Verklebeabbildung $h\circ \phi$ konstruierte Mannigfaltigkeit $M^{\prime \prime }$ diffeomorph zu $M^{\prime }$.
Insbesondere kann man einen $k$-Henkel stets so ankleben, dass seine Anklebesphäre disjunkt von den Gürtelsphären aller $l$-Henkel mit $l\geq k$ ist. Als Folgerung daraus kann man für jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Henkelzerlegung so konstruieren, dass Henkel in aufsteigender Folge ihrer Indizes an eine Menge von $0$-Henkeln angeklebt werden, d. h. für $l\geq k$ werden die $l$-Henkel nach den $k$-Henkeln angeklebt.

### Komplementäre Henkel

Ein $k$-Henkel und ein $(k+1)$-Henkel heißen komplementär, wenn die Anklebesphäre des $(k+1)$-Henkels die Gürtelsphäre des $k$-Henkels in genau einem Punkt transversal schneidet.
Wenn eine Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ aus einer Mannigfaltigkeit $M$ durch Ankleben eines $k$-Henkels und anschließendes Ankleben eines zu diesem komplementären $(k+1)$-Henkels entsteht, dann ist $M^{\prime }$ diffeomorph zu $M$. Als Folgerung daraus kann man eine Henkel-Zerlegung stets so wählen, dass es genau einen 0-Henkel gibt und weiterhin, falls $\partial M=\emptyset$ bzw. $\partial M\not =\emptyset$ so dass es genau einen bzw. keinen $m$-Henkel mit $m=\dim(M)$ gibt.

### Satz von Cerf

Zwei (relative) Henkelzerlegungen eines Paares $(M,\partial _{-}M)$ (mit in aufsteigender Reihenfolge der Indizes angeklebten Henkeln) lassen sich durch eine Folge von Henkel-Gleiten, Hinzufügen/Entfernen eines komplementären Henkelpaares und Isotopien ineinander überführen.

## Chirurgien (Sphärische Modifikationen) und Zusammenhang zur Kobordismustheorie

Wenn eine Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ aus $M$ durch Ankleben eines $k$-Henkels entsteht, dann entsteht die (m-1)-Mannigfaltigkeit $\partial M^{\prime }$ aus $\partial M$ durch eine $(k-1)$-Chirurgie, d. h. durch Ausschneiden der eingebetteten $S^{k-1}\times D^{m-k}$ und anschließendes Einkleben von $D^{k}\times S^{p-k-1}$ mittels der kanonischen Identifikation
    $\partial (D^{k}\times S^{m-k-1})=S^{k-1}\times S^{m-k-1}=\partial (S^{k-1}\times D^{m-k})$.
(Diese Chirurgien werden in der Literatur auch als sphärische Modifikationen bezeichnet.)
Sei $W$ ein Kobordismus zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten $M_{0}$ und $M_{1}$, also eine kompakte Mannigfaltigkeit $W$ mit $\partial W=M_{0}\sqcup M_{1}$. Dann erhält man mit dem Satz von Smale eine Henkelzerlegung von $W$ relativ zu $M_{0}$ und mithin eine Konstruktion von $M_{1}$ aus $M_{0}$ durch eine Abfolge von Chirurgien (sphärischen Modifikationen).