# Dizyklische Gruppe

Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen $\mathrm {Dic} _{n}$ der Ordnung $4n$, Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.

## Konstruktion der Gruppe

Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe $C_{2n}$, die wir als multiplikative Untergruppe in $\mathbb {C}$ realisieren, d. h.
    $C_{2n}=\{\exp(\nu \pi i/n)\mid \nu =0,\ldots ,2n-1\}$
Die Gruppe wird von $a:=\exp(\pi i/n)$ erzeugt und es ist
    $a^{\nu }=\exp(\nu \pi i/n)=\cos(\nu \pi /n)+i\sin(\nu \pi /n)$
Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung $2n$, damit $-1=a^{n}\in C_{2n}$ ist. Indem wir die komplexen Zahlen $\mathbb {C} =\mathbb {R} +i\mathbb {R}$ als Unteralgebra der Quaternionen $\mathbb {H} =\mathbb {R} +i\mathbb {R} +j\mathbb {R} +k\mathbb {R}$ auffassen, ist $C_{2n}$ auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums $\mathbb {H}$. Wir wollen $b:=j$ als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher
    $\mathrm {Dic} _{n}:=$ von $\{a,b\}$ erzeugte multiplikative Untergruppe von $\mathbb {H}$.
Da $i\cdot j=k$ ist
    $a^{\nu }b=j\cos(\nu \pi /n)+k\sin(\nu \pi /n)$,
und man kann zeigen, dass
    $\mathrm {Dic} _{n}=\{a^{\nu },a^{\nu }b\mid \nu =0,\ldots ,2n-1\}$
Dazu rechnet man zunächst $(ab)^{2}=-1$ und damit $ba=a^{-1}b=a^{2n-1}b$; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass $\mathrm {Dic} _{n}$ tatsächlich nur die angegebenen $4n$ Elemente enthält.
Da die Elemente $a^{\nu }b$ genauso wie die $a^{\nu }$ ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.

## Die dizyklische Gruppe als Erweiterung

Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben:
    $0\rightarrow C_{2n}\,{\xrightarrow {\iota }}\,\mathrm {Dic_{n}} \,{\xrightarrow {p}}\,C_{2}\rightarrow 0$.
Dabei ist $\iota$ die Inklusionsabbildung und $p(a^{\nu })=1,\,p(a^{\nu }b)=-1$. Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

## Präsentation der dizyklischen Gruppen

Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen $a^{2n}=1,\quad a^{n}=-1=b^{2},\quad ba=a^{-1}b$. Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung $4n$ für $n\geq 2$ erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und Relationen:
    $\left\langle x,y\mid x^{2n}=1,x^{n}=y^{2},yx=x^{-1}y\right\rangle$.

## Dic$_n$ für kleine n

    $\mathrm {Dic} _{1}=\{1,-1,j,-j\}$
ist eine zur zyklischen Vierergruppe $C_{4}$ isomorphe Gruppe.
    $\mathrm {Dic} _{2}=\{1,i,-1,-i,j,ij,-j,-ij\}$
ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.
    $\mathrm {Dic} _{3}=\{1,a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},b,ab,a^{2}b,a^{3}b,a^{4}b,a^{5}b\}$
ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:
| $\cdot$ | 1 | a | a$^2$ | a$^3$ | a$^4$ | a$^5$ | b | ab | a$^2$b | a$^3$b | a$^4$b | a$^5$b |
| 1 | 1 | a | a$^2$ | a$^3$ | a$^4$ | a$^5$ | b | ab | a$^2$b | a$^3$b | a$^4$b | a$^5$b |
| a | a | a$^2$ | a$^3$ | a$^4$ | a$^5$ | 1 | ab | a$^2$b | a$^3$b | a$^4$b | a$^5$b | b |
| a$^2$ | a$^2$ | a$^3$ | a$^4$ | a$^5$ | 1 | a | a$^2$b | a$^3$b | a$^4$b | a$^5$b | b | ab |
| a$^3$ | a$^3$ | a$^4$ | a$^5$ | 1 | a | a$^2$ | a$^3$b | a$^4$b | a$^5$b | b | ab | a$^2$b |
| a$^4$ | a$^4$ | a$^5$ | 1 | a | a$^2$ | a$^3$ | a$^4$b | a$^5$b | b | ab | a$^2$b | a$^3$b |
| a$^5$ | a$^5$ | 1 | a | a$^2$ | a$^3$ | a$^4$ | a$^5$b | b | ab | a$^2$b | a$^3$b | a$^4$b |
| b | b | a$^5$b | a$^4$b | a$^3$b | a$^2$b | ab | a$^3$ | a$^2$ | a | 1 | a$^5$ | a$^4$ |
| ab | ab | b | a$^5$b | a$^4$b | a$^3$b | a$^2$b | a$^4$ | a$^3$ | a$^2$ | a | 1 | a$^5$ |
| a$^2$b | a$^2$b | ab | b | a$^5$b | a$^4$b | a$^3$b | a$^5$ | a$^4$ | a$^3$ | a$^2$ | a | 1 |
| a$^3$b | a$^3$b | a$^2$b | ab | b | a$^5$b | a$^4$b | 1 | a$^5$ | a$^4$ | a$^3$ | a$^2$ | a |
| a$^4$b | a$^4$b | a$^3$b | a$^2$b | ab | b | a$^5$b | a | 1 | a$^5$ | a$^4$ | a$^3$ | a$^2$ |
| a$^5$b | a$^5$b | a$^4$b | a$^3$b | a$^2$b | ab | b | a$^2$ | a | 1 | a$^5$ | a$^4$ | a$^3$ |
Hier ist $\textstyle a={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ und $b=j$. Da $a^{3}=-1$, kann man auf die Potenzen $a^{3},a^{4},a^{5}$ verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei $\mathrm {Dic} _{2}$ mit $a=i$ und $b=j$ bereits getan hatten. Es ist dann $\mathrm {Dic} _{3}=\{1,a,a^{2},-1,-a,-a^{2},b,ab,a^{2}b,-b,-ab,-a^{2}b\}$