# Von-Neumann-Algebra

Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann On rings of operators. Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonné zurück.

## Definition

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra $L\left(H\right)$ der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums $H$, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* $A=A''$.
* $A$ ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie.
* $A$ ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie.
Hierbei ist $A':={\bigl \x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}$ die Kommutante von $A$ und entsprechend $A''$ die Kommutante von $A'$.
Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:
* Ist $A\subset L(H)$ eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist $A''$ der Abschluss von $A$ sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.
Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.
Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:
* Eine Von-Neumann-Algebra $A$ ist eine C*-Algebra, die der topologische Dualraum eines Banachraums $A_{\star }$ ist.

## Faktoren

Die Von-Neumann-Algebra $A$ heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* $A\cap A'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}$.
* $A\cup A'$ erzeugt $L\left(H\right)$.
Da $A\cap A'$ die Menge der Operatoren aus $A$ ist, die mit allen Operatoren aus $A$ kommutieren, ist $A\cap A'$ das Zentrum von $A$. Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.
$L\left(H\right)$ und $\mathbb {C} \cdot 1_{H}$ sind Beispiele für Faktoren. Mit $A$ ist auch $A'$ ein Faktor; offenbar gilt $L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}$ und $(\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)$.
Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

## Kommutative Von-Neumann-Algebren

Sei $(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum. Dann ist $H=$ L$^2$$(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion $f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )$ definiert via Multiplikation einen Operator $M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g$. Die Menge aller $M_{f}$ ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra ${\mathcal {M}}\subset L(H)$, und die Abbildung $f\mapsto M_{f}$ ist ein *-Isomorphismus $L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )\to {\mathcal {M}}$. Man kann ${\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}$ zeigen, das heißt, die Algebra ${\mathcal {M}}$ stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, ${\mathcal {M}}$ ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.
Betrachtet man speziell den Maßraum $([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )$ (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von $\{M_{f};\,f\in C([0,1])\}$ mit ${\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])$ zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt $C([0,1])$ zum maßtheoretischen Konstrukt $L^{\infty }([0,1])$ entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

## Eigenschaften

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.
Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.