# Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen
    $(x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N}$
als Polynom $n$-ten Grades in den Variablen $x$ und $y$ auszudrücken. Die Bezeichnung rührt vom Ausdruck Binom, welches hier $x+y$ ist.

## Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt
    $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)$
Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$ (mit der Konvention $0^{0}=1$).
Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten
    ${\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}$,
die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\dotsm n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

### Bemerkung

Die Terme ${\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\tbinom {n}{k}}$ an das Ringelement $x^{n-k}y^{k}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\mathbb {Z}$-Modul benutzt.

### Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n=2$ heißt erste binomische Formel.

### Verallgemeinerungen

* Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente $x$ und $y$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. $x\cdot y=y\cdot x$ gilt.
* Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
    $(x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}$.
* Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

### Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl $n$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden. Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis. Für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

### Beispiele

    $(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}$
    $(x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}$
    ${\biga+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}$, wobei $i$ die imaginäre Einheit ist.

## Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten $\alpha$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn $\alpha$ eine beliebige komplexe Zahl ist.
Der binomische Lehrsatz lässt sich mithilfe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten ${\tbinom {\alpha }{k}}$ kompakt schreiben als
    $(x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}.\quad (2)$
Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x>0$ und $\left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1$.
Im Spezialfall $\alpha \in \mathbb {N}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in \mathbb {C}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

## Trivia

Gelegentlich wird als wissenschaftlicher Witz die Entdeckung oder Erfindung des binomischen Lehrsatzes einem Herrn Binomi zugeschrieben.