# Kernoperator

In der Mathematik versteht man unter dem Kern einer Menge eine Teilmenge, die klein genug ist, um bestimmte Anforderungen zu erfüllen, und zugleich die größte Menge ist, die diese Anforderungen erfüllt. Das wichtigste Beispiel ist der offene Kern bzw. das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raums. Kernoperator bezeichnet die Vorschrift, durch die jeder Menge von Objekten ihr Kern zugeordnet wird. Die durch einen Kernoperator gegebene Kerne bilden ein Kernsystem, also ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften.

## Definitionen
### Kernoperatoren

Über einer gegebenen Grundmenge $X$ ist ein Kernoperator eine intensive, monotone, idempotente Abbildung $K\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ auf der Potenzmenge von $X$, die jeder Teilmenge $A\subseteq X$ eine weitere Teilmenge von $X$, nämlich den Kern $K(A)\subseteq X$, zuordnet, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind:
    Intensivität: $K(A)\subseteq A$, das heißt: Der Kern von $A$ ist in der Menge $A$ selbst enthalten.
    Monotonie bzw. Isotonie: $A\subseteq B\ \Rightarrow \ K(A)\subseteq K(B)$, das heißt: Wenn $A$ Teilmenge von $B$ ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Kerne.
    Idempotenz: $K(K(A))=K(A)$, das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so bleibt dieser unverändert.
Aufgrund der beiden anderen Anforderungen genügt es auch, an Stelle der Idempotenz nur $K(A)\subseteq K(K(A))$ zu fordern, das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so wird nichts mehr weggenommen.
Äquivalent zu den drei genannten Einzelforderungen ist folgende. $K\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ heißt Kernoperator, wenn für alle $A,B\subseteq X$ gilt:
    $K(A)\subseteq K(B)\Longleftrightarrow K(A)\subseteq B$

### Kernsysteme

Ein Kernsystem ist ein unter beliebiger Vereinigungsmengenbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h., ein Kernsystem über einer Menge $X$ ist eine aus Teilmengen der Grundmenge $X$ bestehende Menge ${\mathcal {S}}$ mit folgenden Eigenschaften:
    ${\mathcal {S}}$ enthält die leere Menge: $\emptyset \in {\mathcal {S}}$.
    Für jede nichtleere Teilmenge ${\mathcal {T}}$ von ${\mathcal {S}}$ ist die Vereinigung der Elemente von ${\mathcal {T}}$ ein Element aus ${\mathcal {S}}$, oder kurz: $\forall {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\,{\mathcal {T}}\neq \emptyset \colon \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}$.
Wegen $\bigcup \emptyset =\emptyset$ lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen äquivalenten Bedingung vereinfachen:
    Für jede Teilmenge ${\mathcal {T}}$ von ${\mathcal {S}}$ ist die Vereinigung der Elemente von ${\mathcal {T}}$ ein Element aus ${\mathcal {S}}$, oder kurz: $\forall {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}\colon \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}$.

## Zusammenhang zwischen Kernsystemen und Kernoperatoren

Kernsysteme und Kernoperatoren entsprechen einander:
* Ist ${\mathcal {S}}$ ein Kernsystem über $X$, dann kann man einen Kernoperator $K_{\mathcal {S}}$ auf $X$ wie folgt definieren:
       $K_{\mathcal {S}}(A):=\bigcup \{Y\in {\mathcal {S}}\mid Y\subseteq A\}$ für alle $A\subseteq X$
* Umgekehrt kann aus jedem Kernoperator $K$ auf $X$ ein Kernsystem ${\mathcal {S}}_{K}$ über $X$ gewonnen werden:
       ${\mathcal {S}}_{K}:=\{K(A)\mid A\subseteq X\}$

## Beispiel

* Die offenen Mengen eines topologischen Raumes bilden ein Kernsystem, nämlich die Topologie des Raumes. Der zugehörige Kernoperator ist die Bildung des Inneren einer Teilmenge.