# Turinggrad

In der Berechenbarkeitstheorie und der mathematischen Logik misst der Turinggrad (auch Grad der Unlösbarkeit) einer Menge natürlicher Zahlen die algorithmische Unlösbarkeit der Menge. Das Konzept des Turinggrades ist fundamental in der Berechenbarkeitstheorie, wo Mengen natürlicher Zahlen oft als Entscheidungsprobleme angesehen werden; der Turinggrad einer Menge gibt an, wie schwer das Entscheidungsproblem für die Menge ist.
Zwei Mengen sind Turing-äquivalent, wenn sie den gleichen Grad der Unlösbarkeit haben; jeder Turinggrad ist eine Menge Turing-äquivalenter Mengen, sodass zwei Mengen genau dann in unterschiedlichen Turinggraden liegen, wenn sie nicht Turing-äquivalent sind. Außerdem sind die Turinggrade im folgenden Sinne partiell geordnet: Wenn der Turinggrad einer Menge $X$ kleiner als der Turinggrad einer Menge $Y$ ist, dann kann jede (unberechenbare) Prozedur, die korrekt entscheidet, ob Zahlen in $Y$ liegen, berechenbar in eine Prozedur umgewandelt werden, die korrekt entscheidet, ob Zahlen in $X$ liegen. In diesem Sinne korrespondiert der Turinggrad einer Menge mit dem Grad ihrer algorithmischen Unlösbarkeit.
Die Turinggrade wurden 1944 von Emil Leon Post eingeführt, und viele grundlegende Resultate wurden 1954 von Stephen Cole Kleene und Post bewiesen. Die Turinggrade sind bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Viele Beweise in diesem Gebiet benutzen eine Beweistechnik, die als Prioritätsmethode bekannt ist.

## Turing-Äquivalenz

Im Folgenden bezieht sich das Wort Menge auf Teilmengen natürlicher Zahlen. Eine Menge $X$ heißt Turing-reduzierbar auf eine Menge $Y$, wenn es eine Orakel-Turingmaschine gibt, die mit Hilfe eines Orakels für $Y$ entscheidet, ob eine gegebene Zahl in $X$ liegt. Die Notation $X\leq _{T}Y$ steht für: $X$ ist auf $Y$ Turing-reduzierbar.
Zwei Mengen $X$ und $Y$ heißen Turing-äquivalent, wenn sie aufeinander Turing-reduzierbar sind. Die Notation $X\equiv _{T}Y$ steht für: $X$ und $Y$ sind Turing-äquivalent. Die Relation $\equiv _{T}$ ist eine Äquivalenzrelation.

## Turinggrad

Ein Turinggrad ist eine Äquivalenzklasse der Relation $\equiv _{T}$. Die Notation $[X]$ bezeichnet die Äquivalenzklasse, die die Menge $X$ enthält. Die Klasse aller Turinggrade wird mit ${\mathcal {D}}$ bezeichnet.
Die Turinggrade haben eine partielle Ordnung $\leq$. Sie ist so definiert, dass $[X]\leq [Y]$ genau dann gilt, wenn $X\leq _{T}Y$. Es gibt einen Turinggrad, der genau die entscheidbaren Mengen enthält, und dieser Grad ist kleiner als alle anderen. Er wird mit $\mathbf {0}$ (Null) bezeichnet, da er das kleinste Element der partiell geordneten Menge ${\mathcal {D}}$ ist. Turinggrade werden meist durch Fettdruck bezeichnet, um sie von Mengen zu unterscheiden. Als Variablen für Turinggrade dienen fette kleine Buchstaben $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ etc.
Für alle Mengen $X$ und $Y$ ist $X\oplus Y$ (gesprochen join) die Vereinigung der Mengen $\left\{2n\mid n\in X\right\}$ und $\left\{2n+1\mid n\in Y\right\}$. Der Turinggrad von $X\oplus Y$ ist das Supremum der Grade $[X]$ und $[Y]$. Damit ist ${\mathcal {D}}$ ein oberer Halbverband. Das Supremum der Grade $\mathbf {a}$ und $\mathbf {b}$ wird mit $\mathbf {a} \cup \mathbf {b}$ bezeichnet. Es ist bekannt, dass ${\mathcal {D}}$ kein Verband ist, da es Paare von Graden ohne Infimum gibt.
Für jede Menge $X$ bezeichnet $X^{\prime }$ die Menge der Indizes von Orakelmaschinen, die auf ihrem eigenen Index als Eingabe halten, wenn sie $X$ als Orakel benutzen. Die Menge $X^{\prime }$ wird als Turing-Sprung von $X$ bezeichnet. Der Turing-Sprung eines Grades $[X]$ ist der Grad $\left[X^{\prime }\right]$; dies ist wohldefiniert, da $X^{\prime }\equiv _{T}Y^{\prime }$ aus $X\equiv _{T}Y$ folgt. Ein wichtiges Beispiel ist $\mathbf {0} ^{\prime }$, der Grad des Halteproblems.

## Grundlegende Eigenschaften der Turinggrade

* Jeder Turinggrad ist abzählbar unendlich, das heißt, er enthält genau $\aleph _{0}$ Mengen.
* Es gibt $\beth _{1}$ (siehe Beth-Funktion) verschiedene Turinggrade.
* Für jeden Grad $\mathbf {a}$ gilt die strikte Ungleichung $\mathbf {a} <\mathbf {a} ^{\prime }$.
* Für jeden Grad $\mathbf {a}$ ist die Menge der Grade unter $\mathbf {a}$ höchstens abzählbar. Die Menge der Grade über $\mathbf {a}$ hat Mächtigkeit $\beth _{1}$.

## Struktur der Turinggrade

Die Struktur der Turinggrade wurde intensiv erforscht. Die folgende Liste gibt nur wenige der vielen bekannten Ergebnisse an. Generell lässt sich aus den bekannten Ergebnissen schließen, dass die Struktur der Turinggrade sehr kompliziert ist.

### Ordnungseigenschaften

* Es gibt minimale Grade. Ein Grad $\mathbf {a}$ heißt minimal, wenn $\mathbf {a}$ ungleich $\mathbf {0}$ ist und es keinen Grad zwischen $\mathbf {0}$ und $\mathbf {a}$ gibt. Damit ist die Ordnung der Grade nicht dicht.
* Für jeden Grad $\mathbf {a}$ ungleich $\mathbf {0}$ gibt es einen Grad $\mathbf {b}$, der mit $\mathbf {a}$ nicht vergleichbar ist.
* Es gibt $\beth _{1}$ untereinander nicht vergleichbare Turinggrade.
* Es gibt Paare von Graden ohne Infimum. Damit ist ${\mathcal {D}}$ kein Verband.
* Jede abzählbare partielle Ordnung lässt sich in die Turinggrade einbetten.
* Keine unendliche, strikt aufsteigende Folge von Graden hat ein Supremum.

### Eigenschaften des Sprungoperators

* Für jeden Grad $\mathbf {a}$ gibt es einen Grad zwischen $\mathbf {a}$ und $\mathbf {a} ^{\prime }$. Es gibt sogar eine abzählbar unendliche Folge paarweise nicht vergleichbarer Grade zwischen $\mathbf {a}$ und $\mathbf {a} ^{\prime }$.
* Ein Grad $\mathbf {a}$ hat die Form $\mathbf {b} ^{\prime }$ für ein $\mathbf {b}$ genau dann, wenn $\mathbf {0} <\mathbf {a}$ gilt.
* Für jeden Grad $\mathbf {a}$ gibt es einen Grad $\mathbf {b}$, sodass $\mathbf {a} <\mathbf {b}$ und $\mathbf {a} ^{\prime }=\mathbf {b} ^{\prime }$. Solch ein Grad $\mathbf {b}$ heißt niedrig relativ zu $\mathbf {a}$.
* Es gibt eine unendliche Folge $\left(\mathbf {a} _{i}\right)_{i}$ von Graden, sodass $\mathbf {a} _{i+1}^{\prime }\leq \mathbf {a} _{i}$ für alle $i$.

### Logische Eigenschaften

* Simpson (1977) zeigte, dass die Theorie von ${\mathcal {D}}$ in der Prädikatenlogik erster Stufe in der Sprache $\left\langle {\leq },{=}\right\rangle$ oder $\left\langle {\leq },{\cdot }^{\prime },{=}\right\rangle$ many-one-äquivalent zur Theorie der natürlichen Zahlen in der Prädikatenlogik zweiter Stufe ist.
* Shore und Slaman (1999) zeigten, dass sich der Sprungoperator in der Struktur der Grade in der Logik erster Stufe mit der Sprache $\left\langle {\leq },{=}\right\rangle$ definieren lässt.

## Struktur der rekursiv aufzählbaren Turinggrade

Ein Grad heißt rekursiv aufzählbar, wenn er eine rekursiv aufzählbare Menge enthält. Jeder rekursiv aufzählbare Grad ist kleiner oder gleich $\mathbf {0} ^{\prime }$, aber nicht jeder Grad kleiner $\mathbf {0} ^{\prime }$ ist rekursiv aufzählbar.
* (Satz von Friedberg und Muchnik, 1956) Es gibt rekursiv aufzählbare Grade zwischen $\mathbf {0}$ und $\mathbf {0} ^{\prime }$.
* (G. E. Sacks, 1964) Die rekursiv aufzählbaren Grade sind dicht, das heißt, zwischen zwei rekursiv aufzählbaren Graden existiert immer ein dritter rekursiv aufzählbarer Grad.
* (A. H. Lachlan, 1966a und C. E. M. Yates, 1966) Es gibt zwei rekursiv aufzählbare Grade, die kein Infimum in den rekursiv aufzählbaren Graden haben.
* (A. H. Lachlan, 1966a und C. E. M. Yates, 1966) Es gibt ein Paar von rekursiv aufzählbaren Graden ungleich $\mathbf {0}$, deren Infimum $\mathbf {0}$ ist.
* (S. K. Thomason, 1971) Jeder endlicher distributiver Verband kann in die rekursiv aufzählbaren Grade eingebettet werden. Es ist sogar möglich, die abzählbare boolesche Algebra ohne Atome so einzubetten, dass Suprema und Infima erhalten bleiben.
* (A. H. Lachlan und R. I. Soare, 1980) Nicht alle endlichen Verbände können in die rekursiv aufzählbaren Grade eingebettet werden, sodass Suprema und Infima erhalten bleiben. So kann insbesondere der rechts abgebildete Verband nicht eingebettet werden.
* (A. H. Lachlan, 1966b) Es gibt kein Paar rekursiv aufzählbarer Grade, deren Infimum $\mathbf {0}$ ist und deren Supremum $\mathbf {0} ^{\prime }$ ist,
* (L. A. Harrington und T. A. Slaman, siehe Nies, Shore und Slaman (1998)) Die Theorie der rekursiv aufzählbaren Grade in der Sprache $\left\langle \mathbf {0} ,{\leq },{=}\right\rangle$ in Logik erster Stufe ist many-one-äquivalent zur Theorie der Arithmetik in Logik erster Stufe.