# Reduktionsverfahren von d’Alembert

Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, das nach dem Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert benannt ist. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung $(n-1)$-ter Ordnung zurückzuführen.
Grob beschrieben, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung $L(y)=f$ zu lösen, beschaffe man sich eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung $L(u)=0$. Dann führt der Ansatz $y(x):=c(x)u(x)$, also die Variation der Konstanten, für die ursprüngliche Gleichung $L(y)=f$ auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung ${\tilde {L}}(c')=f$ der niedrigeren Ordnung $n-1$ für $c'(x)$.

## Formulierung des Satzes

Man betrachte den Differentialoperator $n$-ter Ordnung
    $L(v)(x):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)v^{(k)}(x)\ .$
Hierzu sei eine Lösung $u(x)$ der homogenen linearen Differentialgleichung
    $L(u)=0$
bekannt. Für
    $y(x):=c(x)u(x)$
gilt dann
    $L(y)(x)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{k \choose {j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x).$
Mit anderen Worten: $y(x)$ löst die inhomogene Differentialgleichung $n$-ter Ordnung ${\mathcal {L}}(y)=f(x)$ genau dann, wenn
    $z(x):=c'(x)$
die inhomogene lineare Differentialgleichung $(n-1)$-ter Ordnung
    $\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{k \choose {j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x)=f(x)$
löst.

### Beweis

Nach der leibnizschen Regel gilt
    $(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)\ ,$
also
    $\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)=\sum _{j=0}^{n}\sum _{k=j}^{n}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)\ .$
Hierbei gibt die Doppelsumme $\textstyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{k=j}^{n}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)$ an, dass nunmehr über die Ableitungen von $c^{(j)}(x)$ summiert wird.
Nun ist nach Voraussetzung $\textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {k}{0}}a_{k}(x)u^{(k)}(x)=L(u)=0$ und somit entfällt das 0te-Glied in der Summe über $j$, so dass folgt
    $L(y)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{j=1}^{n}\left[\sum _{k=j}^{n}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)\right]c^{(j)}(x)\ .$
Indexverschiebung liefert das Resultat
    $L(y)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{\binom {k}{j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x)$,
oder unter Verwendung von $z(x)=c'(x)$
    $L(y)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{\binom {k}{j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x)$.
$\Box$

### Beispiel

Gegeben sei die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
    $u''(x)+4u'(x)+4u(x)=0$.
Aus der Charakteristischen Gleichung $\lambda ^{2}+4\lambda +4=0$ mit der zweifachen Nullstelle $\lambda _{1,2}=-2$ ergibt sich eine Lösung $u(x)=e^{-2x}$ der Differentialgleichung. Mithilfe des Reduktionsverfahrens wird die zweite linear unabhängige Lösung unter Verwendung der bereits bekannten Lösung gefunden. Mit dem Ansatz der Variation der Konstanten folgt
    $y(x)=c(x)u(x)$
und die gegebene Differentialgleichung erhält folgende Darstellung
    ${\bigc''(x)u(x)+2c'(x)u'(x)+c(x)u''(x){\big )}+4{\bigc'(x)u(x)+c(x)u'(x){\big )}+4c(x)u(x)=0$.
Durch Umsortieren der Differentialgleichung nach den Ableitungen von $c(x)$ ergibt sich
    $u(x)c''(x)+{\big2u'(x)+4u(x){\big )}c'(x)+{\bigu''(x)+4u'(x)+4u(x){\big )}c(x)=0$.
Im dritten Term kommt die Differentialgleichung $u''(x)+4u'(x)+4u(x)=0$ zum Ausdruck und entfällt daher. Die Differentialgleichung lautet nun
    $u(x)c''(x)+\left(2u'(x)+4u(x)\right)c'(x)=0$
und ergibt mit der bereits bekannten Lösung $u(x)=e^{-2x}$ für den zweiten Term $2u'(x)+4u(x)=-4e^{-2x}+4e^{-2x}=0$, so dass die Differentialgleichung reduziert wird auf
    $u(x)c''(x)=0$.
Da $u(x)$ die Exponentialfunktion repräsentiert, daher überall größer null ist, folgt als Bedingung für die zweite Lösung der Differentialgleichung
    $c''(x)=0$.
Durch zweimalige Integration erhalten wir mit den Integrationskonstanten $c_{1},c_{2}$
    $c(x)=c_{1}x+c_{2}$.
Als Ansatz für die zweite Lösung der Differentialgleichung ergibt sich somit
    $y(x)=(c_{1}x+c_{2})u(x)=c_{1}xu(x)+c_{2}u(x)$.
Da der zweite Term $c_{2}u(x)$ lediglich ein skalares Vielfaches der ersten Lösung ist, und somit linear abhängig ist, lautet die zweite Lösung der Differentialgleichung, unter Auslassung der Integrationskonstante
    $y(x)=xu(x)=xe^{-2x}.$
Abschließend kann mit der Wronski-Determinante die lineare Unabhängigkeit der beiden Lösungen nachgewiesen werden
    $W(u,y)(x)={\begin{vmatrix}u&xu\\u'&u+xu'\end{vmatrix}}=u(u+xu')-xuu'=u^{2}=e^{-4x}\neq 0.$

## Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Sei $u(x)$ Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0\ .$
Dann ist
    $y(x):=c(x)u(x)$
Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung
    $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$
genau dann, wenn
    $z(x):=c'(x)$
der Gleichung
    $u(x)z'(x)+{\bigp(x)u(x)+2u'(x){\big )}z(x)=f(x)$
genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.

### Beweis

Sei die inhomogene lineare Differentialgleichung
    $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$
gegeben, deren Lösung $u(x)$ für die homogene Differentialgleichung bekannt ist. Dann ergibt sich die Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung unter Verwendung des Ansatzes der Variation der Konstanten durch
    $y(x)=c(x)u(x)$,
wobei $c(x)$ eine beliebige Funktion ist. Somit ist
    $y'(x)=c'(x)u(x)+c(x)u'(x)$
und
    $y''(x)=c''(x)u(x)+2c'(x)u'(x)+c(x)u''(x)$.
Daraus folgt
    ${\bigc''(x)u(x)+2c'(x)u'(x)+c(x)u''(x){\big )}+p(x){\bigc'(x)u(x)+c(x)u'(x){\big )}+q(x)c(x)u(x)=f(x)$
und durch umsortieren nach den Ableitungen von $c(x)$
    $u(x)c''(x)+{\bigp(x)u(x)+2u'(x){\big )}c'(x)+{\bigu''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x){\big )}c(x)=f(x)$.
Da $u(x)$ eine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist, also $u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0$, lässt sich die inhomogene Differentialgleichung um diesen Term reduzieren und es gilt
    $u(x)c''(x)+{\bigp(x)u(x)+2u'(x){\big )}c'(x)=f(x)$.
Damit ist eine Reduktion der Ordnung der inhomogenen Differentialgleichung erreicht. Dies wird ersichtlich wenn $z(x)=c'(x)$ eingeführt wird, so dass gilt
    $u(x)z'(x)+{\bigp(x)u(x)+2u'(x){\big )}z(x)=f(x)$.
Division durch $u(x)\neq 0$ liefert
    $z'(x)+{\Biggp(x)+{\frac {2u'(x)}{u(x)}}{\Bigg )}z(x)={\frac {f(x)}{u(x)}}$.
Die weitere Berechnung erfordert den integrierenden Faktor
    $\mu (x)=e^{\int _{a}^{x}({\frac {2u'(t)}{u(t)}}+p(t))\mathrm {d} t}=e^{\int _{a}^{x}(\log u^{2}(t)+p(t))\mathrm {d} t}=e^{\int _{a}^{x}({\frac {\mathrm {d} \log u^{2}(t)}{\mathrm {d} t}}+p(t))\mathrm {d} t}=e^{\int _{a}^{x}\mathrm {d} \log u^{2}(t)}e^{\int _{a}^{x}p(t))\mathrm {d} t}=u^{2}(x)e^{\int _{a}^{x}p(t)\mathrm {d} t}$,
wobei $\mathrm {d} \log u^{2}(t)$ ein totales Differential darstellt und die untere Integrationsgrenze $a$ geeignet zu wählen ist. Nach der Multiplikation mit dem integrierenden Faktor, nimmt die inhomogene Differentialgleichung folgende Gestalt an
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(z(x)u^{2}(x)e^{\int _{a}^{x}p(t)\mathrm {d} t})=u(x)f(x)e^{\int _{a}^{x}p(t)\mathrm {d} t}$.
Nach Integration dieser Gleichung folgt $z(x)$ und damit eine Lösung für $c'(x)$. Eine weitere Integration von $c'(x)$ ergibt, unter Auslassung der Integrationskonstanten, die gesuchte Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung
    $y(x)=c(x)u(x)$.

### Beispiel

Betrachtet wird die homogene Differentialgleichung mit nicht-konstanten Koeffizienten
    $v''(x)-2xv'(x)-2v(x)=0$.
Eine Lösung dieser homogenen Differentialgleichung ist $u(x)=e^{x^{2}}$. Der Ansatz der Variation der Konstanten $y(x)=c(x)e^{x^{2}}$ liefert nun
    ${\big(2+4x^{2})e^{x^{2}}c(x)+2xe^{x^{2}}c'(x)+e^{x^{2}}c''(x){\big )}-2x{\big2xe^{x^{2}}c(x)+e^{x^{2}}c'(x){\big )}-2e^{x^{2}}c(x)=0$
und nach umsortieren nach Ableitungen von $c(x)$
    $e^{x^{2}}{\bigc''(x)+2xc'(x){\big )}=0$.
Da $e^{x^{2}}\neq 0$ und $z(x)=c'(x)$ ist, kann die homogene Differentialgleichung umgeformt werden zu
    ${\frac {z'(x)}{z(x)}}+2x=0$
und damit
    ${\frac {\mathrm {d} \log z(x)}{\mathrm {d} x}}=-2x$
oder
    $z(x)=e^{-x^{2}}$.
Daher ist die zweite Lösung der homogenen Differentialgleichung gegeben durch $c(x)=\int _{0}^{x}z(t)\mathrm {d} t$, also
    $c(x)=\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (x)$.
Hierbei bedeutet $\operatorname {erf} (x)$ die Gaußsche Fehlerfunktion.