# Graßmann-Zahl

Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer $\mathbb {Z} _{2}$-gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität $P=0$) und nicht-kommutierenden (Parität $P=1$) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente $A,B$:
    $A\,B=(-)^{P_{A}\cdot P_{B}}B\,A$.

## Eigenschaften

Seien $\zeta ,\eta ,\theta$ Graßmann-Zahlen und $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ komplexe Zahlen. Dann gilt

### Definitorische Eigenschaften

* Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation: $\eta \theta =-\theta \eta$
* Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition: $\eta +\theta =\theta +\eta$
* Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl: $a\eta =\eta a$
* Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation $(\eta +\theta )+\zeta =\eta +(\theta +\zeta )$ $(\eta \theta )\zeta =\eta (\theta \zeta )$
* Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes: $a(\eta +\theta )=a\eta +a\theta$ $\eta (\theta +\zeta )=\eta \theta +\eta \zeta$ $\eta (a+b)=a\eta +b\eta$

### Folgerungen

* Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl: $\zeta (\eta +\theta )=-(\eta +\theta )\zeta$
* Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl: $(a\eta )\theta =-\theta (a\eta )$
* Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl: $(\zeta \eta )\theta =-\zeta \theta \eta =\theta (\zeta \eta )$
* Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null: $\theta ^{2}=\theta \theta =-\theta \theta =0$
* Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein: $f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta$ So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion $\exp(\theta )=1+\theta$.

## Integration und Differentiation

Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:
* Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei $f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta$. Dann ist: ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}=b+d\theta$ ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \theta }}=c-d\eta$
* Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
** $\int f(\theta )\mathrm {\,} d\theta \in \mathbb {C}$
** $\int (af(\theta )+bg(\theta )\,\mathrm} d\theta =a\int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta +b\int g(\theta )\,\mathrm {d} \theta$
* Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen: $\int \theta \,\mathrm {d} \theta =1$ $\int 1\,\mathrm {d} \theta =0$

## Anwendung

Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional
    ${\mathcal {Z}}[\eta ,{\bar {\eta }}]=\exp \left(-\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}x\left({\mathcal {L}}(\psi ,{\bar {\psi }})+\eta {\bar {\psi }}+\psi {\bar {\eta }}\right)\right)$
mit der Lagrangedichte für Fermionen ${\mathcal {L}}$, den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern $\psi ,{\bar {\psi }}$ und den Graßmann-Zahlen $\eta ,{\bar {\eta }}$. Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):
    $\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\,\psi (x){\bar {\psi }}(y){\mathcal {Z}}}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}={\frac {1}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}|_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}}\left({\frac {-\mathrm {i} \delta }{\delta {\bar {\eta }}(x)}}\right)\left({\frac {\mathrm {i} \delta }{\delta \eta (y)}}\right){\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}$

## Formale mathematische Definition

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ und
    $\Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V$
die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über $V$, wobei $\wedge$ das äußere Produkt und $\oplus$ die direkte Summe bezeichnet.
Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.
Das Symbol $\wedge$ wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.
Graßmann-Zahlen sind also von der Form
    $z=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},$
für streng wachsende $k$-Tupel $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})$ mit $1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k$, und komplexe antisymmetrische Tensoren $c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$ vom Rang $k$.
Der Spezialfall $n=1$ entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.
Für unendlich-dimensionale Vektorräume $V$ bricht die Reihe
    $\Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots$
nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form
    $z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},$
wobei dann $z_{B}$ als Körper und $z_{S}$ als Seele der Superzahl $z$ bezeichnet wird.