# Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

## Konstruktion

Es seien ${\mathcal {A}}\subset L(H)$ und ${\mathcal {B}}\subset L(K)$ zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen $H$ und $K$. Zwei Operatoren $A\in {\mathcal {A}}$ und $B\in {\mathcal {B}}$ definieren einen stetigen linearen Operator $A\otimes B$ auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes K$, und es gilt sogar $\|A\otimes B\|=\|A\|\cdot \|B\|$ (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form $A\otimes B$ mit $A\in {\mathcal {A}}$ und $B\in {\mathcal {B}}$ in $L(H\otimes K)$ erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ und wird mit ${\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}$ bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.

## Der Kommutantensatz

Sind ${\mathcal {A}}\subset L(H)$ und ${\mathcal {B}}\subset L(K)$ zwei Von-Neumann-Algebren, $A\in {\mathcal {A}}$ und $B\in {\mathcal {B}}$ sowie $A^{'}$ und $B^{'}$ aus den Kommutanten ${\mathcal {A}}^{'}\subset L(H)$ bzw. ${\mathcal {B}}^{'}\subset L(K)$, so ist klar, dass $A\otimes B$ und $A^{'}\otimes B^{'}$ in $L(H\otimes K)$ vertauschen, denn $(A\otimes B)(A^{'}\otimes B^{'})=AA^{'}\otimes BB^{'}=A^{'}A\otimes B^{'}B=(A^{'}\otimes B^{'})(A\otimes B)$. Daraus ergibt sich sofort ${\mathcal {A}}^{'}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}^{'}\subset ({\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}})^{'}$. Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt:
* Sind ${\mathcal {A}}\subset L(H)$ und ${\mathcal {B}}\subset L(K)$ zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt ${\mathcal {A}}^{'}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}^{'}=({\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}})^{'}$.
Eine einfache Konsequenz ist $L(H){\overline {\otimes }}L(K)=L(H\otimes K)$, was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.
Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.

## Typ des Tensorprodukts

Haben die Von-Neumann-Algebren ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden:
| ${\overline {\otimes }}$ | $I_{n},\,n$ endlich | $I_{n},\,n$ unendlich | $\quad \,II_{1}\quad$ | $\quad II_{\infty }\quad$ | $\quad III\quad$ |
| $I_{m},\,m$ endlich | $I_{mn}\,$ | $I_{mn}\,$ | $II_{1}\,$ | $II_{\infty }$ | $III\,$ |
| $I_{m},\,m$ unendlich | $I_{mn}\,$ | $I_{mn}\,$ | $II_{\infty }$ | $II_{\infty }$ | $III\,$ |
| $II_{1}$ | $\quad \,II_{1}\quad$ | $II_{\infty }$ | $II_{1}\,$ | $II_{\infty }$ | $III\,$ |
| $II_{\infty }$ | $\quad II_{\infty }\quad$ | $II_{\infty }$ | $II_{\infty }$ | $II_{\infty }$ | $III\,$ |
| $III\,$ | $III\,$ | $III\,$ | $III\,$ | $III\,$ | $III\,$ |
Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen $I_{n},II_{1},II_{\infty }$ bzw. $III\,$. Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes ${\mathcal {A}}{\overline {\otimes }}{\mathcal {B}}$ herangezogen werden.