# Holomorpher Funktionalkalkül

Der holomorphe Funktionalkalkül ist eine grundlegende Methode aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Grob gesprochen werden bei diesem Funktionalkalkül Elemente einer $\mathbb {C}$-Banachalgebra in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums des Elementes definiert sind, eingesetzt, wodurch das Einsetzen in Polynome verallgemeinert wird.

## Konstruktion

Es sei $A$ eine $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement $e$. Ist $a\in A$, so ist das Spektrum $\sigma (a)$ nicht-leer (siehe Satz von Gelfand-Mazur). Sei weiter $f:U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine in einer offenen Umgebung $U$ von $\sigma (a)$ definierte holomorphe Funktion. Zwar lässt sich $a$ nicht direkt in $f$ einsetzen, aber die cauchysche Integralformel liefert eine Darstellung der Funktionswerte von $f$, bei der eine solche Einsetzung dennoch durchgeführt werden kann.
Es gibt einen Zyklus $\Gamma =\gamma _{1}+\ldots +\gamma _{n}$ einfach geschlossener Wege, die ganz in $U$ verlaufen und das Spektrum einschließen. Die cauchysche Integralformel lautet $\textstyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta$ für Punkte $z$ innerhalb von $\Gamma$, und darin kann man tatsächlich das Banachalgebren-Element einsetzen. Man kann zeigen, dass das Integral
    ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(\zeta )(\zeta e-a)^{-1}d\zeta$
im Sinne der Normtopologie konvergiert. Da $\Gamma \cap \sigma (a)=\emptyset$, ist der Ausdruck $(\zeta e-a)^{-1}$ im Integranden definiert und $\zeta \mapsto f(\zeta )(\zeta e-a)^{-1}$ ist eine stetige Funktion $\Gamma \to A$. Weiter kann man zeigen, dass dieser Wert nicht von der speziellen Wahl von $\Gamma$ abhängt. Daher bezeichnet man den Wert dieses Integrals in suggestiver Schreibweise mit $f(a)$.
Für ein Kompaktum $K$ sei ${\mathcal {H}}(K)$ die Menge der in einer Umgebung von $K$ definierten holomorphen Funktionen. Sind $f$ und $g$ zwei solche Funktionen, so kann man $f\,+\,g$ und $f\cdot g$ auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche von $f$ und $g$ erklären. Damit wird ${\mathcal {H}}(K)$ zu einer ${\mathbb {C} }$-Algebra. Mit obigen Definitionen erhalten wir damit eine Abbildung $\Phi _{a}:{\mathcal {H}}(\sigma (a))\rightarrow A,\,\,f\mapsto f(a)$. Diese Abbildung heißt der holomorphe Funktionalkalkül von a.
Die Forderung, dass $A$ ein Einselement hat, ist keine wesentliche Einschränkung, denn man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und den Funktionalkalkül in der vergrößerten Banachalgebra anwenden.

## Eigenschaften

Der holomorphe Funktionalkalkül $\Phi _{a}$ zu einem Element $a\in A$ hat folgende Eigenschaften.
* $\Phi _{a}:{\mathcal {H}}(\sigma (a))\rightarrow A$ ist ein Homomorphismus, d. h. es gelten die Formeln $(f+g)(a)\,=\,f(a)+g(a)$, $(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$.
* Hat $f\in {\mathcal {H}}(\sigma (a))$ in einer Umgebung des Spektrums eine Potenzreihendarstellung $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}z^{n}$, so gilt $f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}a^{n}$ als absolut konvergente Reihe in $A$.
* Ist $f\in {\mathcal {H}}(\sigma (a))$ und $g\in {\mathcal {H}}(\sigma (f(a)))$, so gilt $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.
* Es gilt der spektrale Abbildungssatz: $\sigma (f(a))\,=\,f(\sigma (a))$ für alle $f\in {\mathcal {H}}(\sigma (a))$.
Man kann sich also vorstellen, die Banachalgebren-Elemente tatsächlich in holomorphe Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

## Anwendung

Als eine typische Anwendung des holomorphen Funktionalkalküls beweisen wir folgenden Satz:
Für eine $\mathbb {C}$-Banachalgebra $A$ mit Einselement $e$ sind äquivalent:
* $A$ besitzt Projektionen $p$ mit $0\not =p\not =e$.
* $A$ besitzt Elemente mit unzusammenhängendem Spektrum.
Da $\sigma (p)=\{0,1\}$ für eine Projektion $p$ mit $0\not =p\not =e$ offensichtlich unzusammenhängend ist, muss nur gezeigt werden, dass es eine von 0 und $e$ verschiedene Projektion gibt, wenn ein $a\in A$ unzusammenhängendes Spektrum hat. Da $\sigma (a)$ unzusammenhängend ist, gibt es offene Mengen $U$ und $V$ in $\mathbb {C}$, so dass $U\cap \sigma (a)\not =\emptyset$, $V\cap \sigma (a)\not =\emptyset$, $\sigma (a)\subset U\cup V$ und $U\cap V=\emptyset$. Die Funktion $f$, die auf $U$ gleich 1 und auf $V$ gleich 0 ist, ist als lokal konstante Funktion holomorph, also ein Element aus ${\mathcal {H}}(\sigma (a))$. Dann gilt nach dem spektralen Abbildungssatz $\sigma (f(a))=f(\sigma (a))=\{0,1\}$ und daher $0\not =f(a)\not =e$. Da $f=f\cdot f$ folgt $f(a)=(f\cdot f)(a)=f(a)\cdot f(a)$. Daher ist $f(a)$ eine Projektion der gesuchten Art.
Diese Aussage kann zum schilowschen Idempotentensatz verschärft werden, was den tiefer liegenden holomorphen Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher erfordert.