# Lévy-C-Kurve

Die Lévy-C-Kurve ist, in der Mathematik, eine selbstähnliche fraktale Kurve, die erstmals 1906 von Ernesto Cesàro und 1910 von Georg Faber beschrieben und deren Differenzierbarkeitseigenschaften analysiert wurden, die jedoch heute den Namen des französischen Mathematikers Paul Lévy trägt. Lévy war der Erste, der die Selbstähnlichkeitseigenschaften der Kurve beschrieb und eine geometrische Konstruktion von ihr erstellen konnte, die sie als repräsentative Kurve innerhalb derselben Klasse wie die Koch-Kurve zeigte. Die Lévy-C-Kurve ist ein Sonderfall einer Periodenverdopplungskurve, bzw. einer De-Rham-Kurve.

## Aufbau des L-Systems

Falls man ein Lindenmayer-System (L-System) verwendet, beginnt die Konstruktion der Lévy-C-Kurve mit einer geraden Linie. Mit dieser Linie als Hypotenuse wird ein gleichschenkliges Dreieck mit Winkeln von 45 °, 90 ° und 45 ° erstellt. Die ursprüngliche Linie wird dann durch diese anderen zwei Seiten des Dreiecks ersetzt.
Im zweiten Schritt bilden die zwei neuen Linien jeweils die Basis für ein weiteres rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck und werden durch die beiden anderen Seiten ihres jeweiligen Dreiecks ersetzt. Also erscheint die Kurve nach zwei Schritten als drei Seiten eines Rechtecks mit der gleichen Länge wie die ursprüngliche Linie, aber nur halb so breit.
In jedem nachfolgenden Schritt wird jedes gerade Liniensegment in der Kurve durch die anderen zwei Seiten eines darauf aufgesetzten rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks ersetzt. Nach n Schritten besteht die Kurve aus $2^{n}$ Liniensegmenten, von denen jedes um den Faktor $2^{\frac {n}{2}}$ kleiner ist als die ursprüngliche Linie.
Das L-System der Kurve kann wie folgt beschrieben werden:

### Variable(n)

    F

### Start

    F

### Regel(n)

    $F\mapsto +F--F+$
Die einzelnen Elemente des L-Systems kann man wie folgt definieren:

### F

    vorwärts ziehen
    45 ° im Uhrzeigersinn drehen
    45 ° gegen den Uhrzeigersinn drehen
Die Lévy-C-Kurve ist die Fraktalkurve die die Grenze dieses „unendlichen“ Prozesses ist. Der Name ist eine Anspielung auf die Ähnlichkeit der Kurve mit einer sehr verzierten Version des Buchstaben „C“. Die Kurve ähnelt ebenfalls den feineren Details eines Pythagoras-Baums.
Die Hausdorff-Dimension der C-Kurve gleicht 2 (sie beinhaltet offene Mengen), während der Rand eine Dimension von etwa 1,9340 hat.

### Variationen

Die Standard C-Kurve wird aus 45 ° gleichschenkligen Dreiecken erstellt.
Variationen der C-Kurve können durch die Verwendung gleichschenkliger Dreiecke mit anderen Winkeln als 45 ° konstruiert werden. Solange der Winkel weniger als 60 ° beträgt, sind die in jedem Schritt eingeführten neuen Linien jeweils kürzer als die Linien, die sie ersetzen, sodass der Erstellungsprozess zu einer Grenzkurve tendiert. Winkel von weniger als 45 ° erzeugen einen Fraktal, der weniger fest „geringelt“ ist.

## IFS Konstruktion

Wenn man ein iteriertes Funktionensystem (IFS, oder das Chaosspiel, bzw. die IFS-methode) verwendet, dann ist die Konstruktion der C-Kurve etwas einfacher. Eine Menge bestehend aus zwei „Regeln“ wird dazu benötigt, nämlich: Zwei Punkte auf einer Ebene mit einem Skalierfaktor von ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Die erste Regel ist eine Drehung von 45 ° und die zweite −45 °. Diese Menge wird einen Punkt [x, y] iterieren, indem per Zufall eine der zwei Regeln ausgewählt wird und die Parameter, die mit der Regel verbunden sind, um den Punkt zu skalieren oder zu drehen mittels einer 2D-Transformationsfunktion.
In Formeln ausgedrückt:
    $f_{1}(z)={\frac {(1-i)z}{2}}$
    $f_{2}(z)=1+{\frac {(1+i)(z-1)}{2}}$
von der ursprünglichen Menge an Punkten $S_{0}=\{0,1\}$.