# Substitutionsmethode

Mittels der Substitutionsmethode für Rekurrenzen lässt sich eine untere Schranke bzw. obere Schranke des (Rechen-)Aufwandes einer Rekursion bestimmen.

## Beschreiben der Methode

Gegeben sei eine Rekursion T(n) der Form T(n) = a⋅T(n/b) + f(n). Um eine obere Schranke zu ermitteln, schätzt man diese zuerst mittels Ο-Kalkül ab. Unter Abschätzen versteht man „geschicktes Raten“. Anschließend wird die Vermutung mit Hilfe von Substitution bewiesen bzw. widerlegt. Analog ist das Vorgehen zur Bestimmung der unteren Schranke.
* Vermutung$^{(1)}$: T(n) ≤ c⋅g(n), mit c > 0 bzw. T(n) ∈ Ο(g(n)) (nach Definition des Ο-Kalküls)
* Annahme$^{(2)}$: T$_{sub}$(n/b) ≤ c⋅g(n/b)
* Substitution durch Einsetzen der Annahme in die Rekurrenz: T(n) ≤ a⋅T$_{sub}$(n/b) + f(n) bzw. T(n) ≤ a⋅(c⋅g(n/b)) + f(n)
* Genaues$^{(3)}$ Umformens zu: T(n) ≤ c⋅g(n) → Falls dies nicht möglich ist, so war entweder die Vermutung oder die Annahme$^{(2)}$ falsch.
* Beweis von T(n) ≤ c⋅g(n) durch Induktion ⇒ T(n) ∈ Ο(g(n))
| $^{(1)}$ | Die Vermutung ist die nach oben abgeschätzte Schranke, so dass gilt: T(n) ≤ c⋅g(n) ∈Ο(g(n)) |
| $^{(2)}$ | Falls sich bei 4. T(n) nicht entsprechend genau$^{(3)}$ umformen lässt, so darf man von der Annahme T$_{sub}$(n/b) ≤ c⋅g(n/b) einen Term t(n) niedrigerer Ordnung subtrahieren. Die neue Annahme ist dann: T$_{sub}$(n/b) ≤ c⋅g(n/b) – t(n) |
| $^{(3)}$ | Hiermit ist gemeint, dass z. B. T(n) ≤ (c+1)⋅g(n) nicht die genaue Form der Vermutung ist. Korrekt wäre beispielsweise T(n) ≤ c⋅g(n) oder auch T(n) ≤ (c-1)⋅g(n). |

## Beispiel

* Beispiel (1): $T(n)=2T\left(\left\lfloor {\frac {n}{4}}\right\rfloor \right)+8T\left(\left\lfloor {\frac {n}{16}}\right\rfloor \right)+n$
    1. Vermutung: $T(n)\in O(n\ln(n))\Longrightarrow T(n)\leq c\cdot n\ln(n)$
    2. Annahme: $T_{sub1}\left({\frac {n}{4}}\right)\leq c\cdot \left({\frac {n}{4}}\right)\ln \left({\frac {n}{4}}\right)$ und $T_{sub2}\left({\frac {n}{16}}\right)\leq c\cdot \left({\frac {n}{16}}\right)\ln \left({\frac {n}{16}}\right)$
    3. Substitution: $T(n)\leq 2\cdot T_{sub1}\left({\frac {n}{4}}\right)+8T_{sub2}\left({\frac {n}{16}}\right)+n$
    4. Umformen:
       $=2\left(c\cdot \left({\frac {n}{4}}\right)\ln \left({\frac {n}{4}}\right)\right)+8\left(c\cdot \left({\frac {n}{16}}\right)\ln \left({\frac {n}{16}}\right)\right)+n$
       $=c\cdot {\frac {n}{2}}\left(\ln(n)-\ln(4)\right)+c\cdot {\frac {n}{2}}\left(\ln(n)-\ln(16)\right)+n$
       $=c\cdot {\frac {n}{2}}\left(2\ln(n)-\ln(4)-\ln(16)\right)+n$
       $=c\cdot n\ln(n)-c\cdot {\frac {n}{2}}\left(\ln(4)+\ln(16)\right)+n$
       $\leq c\cdot n\ln(n)$ mit $c\geq {\frac {2}{\ln(4)+\ln(16)}}={\frac {2}{\ln(64)}}$
    5. Induktion:
       I.A.: $n=2:\quad T(2)=2\leq c\cdot 2\ln(2)=$ mit $c\geq \ln ^{-1}(2)\approx 1{,}443$
       I.V.: $T(n)\leq c\cdot n\ln(n)$ für $n\geq n_{0}$
       I.S.: n → n + 1: Da man für ein n$_0$ gezeigt hat, dass T(n) ≤ c⋅n⋅ln(n) korrekt ist, stimmt die Vermutung. (Es zeigt sich, dass eine Konstante c ≥ 1,443 ausreicht.)
    Damit folgt für T(n): $T(n)\in O(n\ln(n))$
* Beispiel (2): $T(n)=8T\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{3}\ln(n)$
    Siehe zu demselben Beispiel auch die Aufwandsabschätzung mit dem Θ-Kalkül im Artikel zum Mastertheorem.
    1. Vermutung: $T(n)\in O\left(n^{3}\ln ^{2}(n)\right)\Longrightarrow T(n)\leq c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)$
    2. Annahme: $T_{sub}\left({\frac {n}{2}}\right)=c\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\ln ^{2}\left({\frac {n}{2}}\right)-t(n)$ mit $t(n)=b\cdot \ln ^{2}(2)\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}$ und $b>0$
    3. Substitution: $T(n)\leq 8T_{sub}\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{3}\ln(n)$
    4. Umformen:
       $=8\left(c\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\ln ^{2}\left({\frac {n}{2}}\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\right)+n^{3}\ln(n)$
       $=c\cdot n^{3}\ln ^{2}\left({\frac {n}{2}}\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)$
       $=c\cdot n^{3}\left(\ln(n)-\ln(2)\right)\cdot \left(\ln(n)-\ln(2)\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)$
       $=c\cdot n^{3}\left(\ln ^{2}(n)-2\ln(2)\ln(n)+\ln ^{2}(2)\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)$
       $=c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)-c\cdot n^{3}2\ln(2)\ln(n)+c\cdot n^{3}\ln ^{2}(2)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)$
       $=c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)-c\cdot n^{3}2\ln(2)\ln(n)+n^{3}\ln(n)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+c\cdot n^{3}\ln ^{2}(2)$
       $=c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)+{\begin{matrix}\underbrace {n^{3}\ln(n)\cdot (1-c\cdot 2\ln(2))} \\^{\rm {c\geq {\frac {1}{2\ln(2)}}}}\\[-4.5ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {n^{3}\ln ^{2}(2)\cdot (c-b)} \\^{\rm {\ b\geq c}}\\[-4.5ex]\end{matrix}}$
       $\leq c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)$ mit $\ b\geq c\geq 2\ln ^{-1}(2)$
    5. Induktion:
       I.A.: $n=2:\quad T(2)\approx 5{,}5\leq c\cdot 2^{3}\ln ^{2}(2)$ mit $c\geq 1$
       I.V.: $T(n)\leq c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)$ für $n\geq n_{0}$
       I.S.: n → n + 1: Da man für ein n$_0$ gezeigt hat, dass T(n) ≤ c⋅n$^3$ln$^2$(n) korrekt ist und c eine beliebig große Konstante sein darf, stimmt die Vermutung. (Eine Konstante c ≥ 4 ist hinreichend groß für alle n.)
    Damit folgt für T(n): $T(n)\in O(n^{3}\ln ^{2}(n))$