# Grothendieck-Spektralsequenz

In der Mathematik, in der homologischen Algebra, ist die Grothendieck-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung des abgeleiteten Funktors der Komposition zweier Funktoren $G\circ F$ mithilfe der abgeleiteten Funktoren von $F$ und $G$.
Sie wurde konstruiert und 1957 veröffentlicht von Alexander Grothendieck in seiner heute meist als Tôhoku bezeichneten Arbeit Sur quelques points d’algèbre homologique im Tôhoku Mathematical Journal.
Viele Spektralsequenzen in der algebraischen Geometrie sind Anwendungen der Grothendieck-Spektralsequenz, wie beispielsweise die Leray-Spektralsequenz oder die Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz.

## Aussage

Seien $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ und $G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ jeweils genügend Injektive haben und $F$ injektive Objekte auf $G$-azyklische Objekte abbildet (d. h. R$^i$G=0{\textstyle {\rm {R}}^{i}G=0} für alle i≥1{\textstyle i\geq 1}), dann existiert für jedes Objekt $A$ in ${\mathcal {A}}$ eine Spektralsequenz
    $E_{2}^{p,q}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),$
wobei ${\rm {R}}^{i}$ jeweils die i-te rechte Ableitung des entsprechenden Funktors bezeichnet, und der Pfeil „$\Longrightarrow$“ Konvergenz von Spektralsequenzen meint.

### Fünfterm exakte Sequenz

Die Fünfterm exakte Sequenz lautet
    $0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).$

## Beispiel
### Leray-Spektralsequenz

Es sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann ist das direkte Bild $f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)$ ein linksexakter Funktor zwischen den Garben auf $X$ und den Garben auf $Y$. Wir nennen $\Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} ,\,{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)$ den globalen Schnittfunktor auf $X$, analog auf $Y$. Dann gilt $\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}$ nach Definition von $f_{*}$, und $f_{*}$ bildet injektive auf $\Gamma _{Y}$-azyklische Objekte ab. Also existiert für jede Garbe ${\mathcal {F}}$ auf $X$ eine Spektralsequenz mit
    $E_{2}^{p,q}=({\rm {R}}^{p}\Gamma _{Y}\circ {\rm {R}}^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\Longrightarrow R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}),$
genannt die Leray-Spektralsequenz.

## Beweisidee

Wähle eine F{\textstyle F}-azyklische Auflösung 0→A→A$^0$→A$^1$→...{\textstyle 0\to A\to A^{0}\to A^{1}\to ...} von $A$. Wir können eine injektive Auflösung für den Komplex $F(A^{\bullet })$ konstruieren:
    $0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to ...$.
Nun ist $E_{0}^{pq}=G(I^{p,q})$ ein Doppelkomplex, zu dem zwei Spektralsequenzen gebildet werden können:
    $^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))$,
was immer 0 ist für $q\neq 0$, da $F(A^{p})$ nach Voraussetzung $G$-azyklisch ist. Also ist
    $^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)$ und $^{\prime \prime }E_{2}=^{\prime \prime }E_{\infty }$.
Außerdem haben wir:
    $^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p}))$ (die letzte Gleichheit gilt, wie leicht nachgeprüft werden kann, da $I^{\bullet ,p}$ injektiv und $G$ linksexakt ist).
Da $H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots$ eine injektive Auflösung von $H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)$ ist, gilt:
    $^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).$
Da die beiden Spektralsequenzen den gleichen Grenzterm haben, ist die Aussage gezeigt.