# Graßmann-Mannigfaltigkeit

Graßmann-Mannigfaltigkeiten (gelegentlich fälschlich auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten geschrieben) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.

## Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$. Dann bezeichnet
    $Gr(r,V)$
die Menge der $r$-dimensionalen Untervektorräume von $V$. Falls $V$ $n$-dimensional ist, bezeichnet man $Gr(r,V)$ auch mit
    $Gr(r,n)$.

### Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen Gruppe

Im Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ wirkt die orthogonale Gruppe
    $O(n)$
auf $Gr(r,n)$ durch
    $(A,W)\rightarrow A(W)$.
Die Wirkung ist transitiv, die Stabilisatoren sind konjugiert zu
    $O(r)\times O(n-r)$.
Man erhält also eine Bijektion zwischen $Gr(r,n)$ und dem homogenen Raum
    $O(n)/(O(r)\times O(n-r))$.
Im Fall $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ wirkt die unitäre Gruppe $U(n)$ transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit
    $U(n)/(U(r)\times U(n-r))$.

### Topologie

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der $r$-dimensionalen Unterräume im $\mathbb {R} ^{n}$) bezeichnet man $Gr(r,n)$ mit der durch die Identifikation mit
    $O(n)/(O(r)\times O(n-r))$
gegebenen Topologie.
Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit $Gr(r,n)$ bezeichnet man entsprechend
    $U(n)/(U(r)\times U(n-r))$.
Die kanonische Inklusion $\mathbb {K} ^{n}\subset \mathbb {K} ^{n+1}$ induziert eine Inklusion $Gr(r,n)\subset Gr(r,n+1)$. Man definiert
    $Gr(r,\infty ):=\lim _{n}Gr(r,n)$
als induktiven Limes der $Gr(r,n)$ mit der Limes-Topologie.

### Algebraische Varietät

Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

## Tautologisches Bündel

Sei $\mathbb {K} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbb {K} ^{n}$ der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere
    $\gamma ^{r}:=\left\{(W,x)\in Gr(r,\infty )\times \mathbb {K} ^{\infty }:x\in W\right\}\subset Gr(r,\infty )\times \mathbb {K} ^{\infty }$.
Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbündel
    $\gamma ^{r}\rightarrow Gr(r,\infty )$,
welches als tautologisches oder universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

## Klassifizierende Abbildung

Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel $E\rightarrow B$ gibt es eine stetige Abbildung
    $f\colon B\rightarrow Gr(r,\infty )$,
so dass $E$ das Pullback des tautologischen Bündels $\gamma ^{r}$ unter $f$ ist.
Im Fall des Tangentialbündels $TM$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass $M$ eine Untermannigfaltigkeit eines $\mathbb {R} ^{m}$ ist. Die Tangentialebene $T_{x}M$ in einem Punkt $x\in M$ ist dann von der Form
    $T_{x}M=x+W_{x}$
für einen Untervektorraum $W_{x}\subset \mathbb {R} ^{m}$. Die Zuordnung
    $x\rightarrow W_{x}$
definiert eine stetige Abbildung
    $f\colon M\rightarrow Gr(r,m)\subset Gr(r,\infty )$
und man kann zeigen, dass
    $f^{*}\gamma ^{r}=TM$
ist.

## Klassifizierender Raum für Prinzipalbündel

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit $Gr(r,\infty )$ ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen $O(r)$. Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe $\operatorname {GL} (r)$, denn weil die Inklusion $O(r)\rightarrow \operatorname {GL} (r)$ eine Homotopieäquivalenz ist, lässt sich jedes $\operatorname {GL} (r)$-Bündel auf die Strukturgruppe $O(r)$ reduzieren. Es gilt also:
    $Gr(r,\infty )\simeq \operatorname {BGL} (r,\mathbb {K} )\simeq \operatorname {BO} (r,\mathbb {K} )$.
Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit $V(r,\infty )$ nach $G(r,\infty )$, welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle $O(r)$-Bündel. (Das tautologische Bündel $\gamma ^{r}$ ergibt sich aus dem universellen $O(r)$-Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von $O(r)$ auf dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{r}$.)
Der Kolimes der Folge von Inklusionen
    $Gr(1,2)\subset Gr(2,4)\subset \ldots \subset Gr(n,2n)\subset \ldots$
wird als $\operatorname {BGL} (\mathbb {K} )$ oder $\operatorname {BO} (\mathbb {K} )$ bezeichnet. Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen
    $\mathrm {BO} :=\operatorname {BO} (\mathbb {R} ),\;\mathrm {BU} :=\operatorname {BO} (\mathbb {C} )$.
Mittels Bott-Periodizität kann man die Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen.

## Schubert-Kalkül

Das Cup-Produkt im Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeiten kann mittels Schubert-Kalkül bestimmt werden.