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# Satz von König (Mengenlehre)

Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen.

## Aussage

Für eine Familie $\langle \kappa _{i}\mid i\in I\rangle$ von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit $\kappa _{i}$,
    $\sum _{i\in I}\kappa _{i}=\vert \bigcup _{i\in I}M_{i}\vert ,$
und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,
    $\prod _{i\in I}\kappa _{i}=|\prod _{i\in I}M_{i}|=\vert \{f\colon I\to \textstyle \bigcup _{i\in I}M_{i}\mid \forall i\in I\ f(i)\in M_{i}\}\vert .$
Hierbei sind die $M_{i}$ paarweise disjunkte Mengen mit $\vert M_{i}\vert =\kappa _{i}$, zum Beispiel $M_{i}=\kappa _{i}\times \{i\}$. Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.
Der Satz von König besagt nun:
Für zwei Kardinalzahlfolgen $\langle \kappa _{i}\mid i\in I\rangle$ und $\langle \lambda _{i}\mid i\in I\rangle$ mit $\kappa _{i}<\lambda _{i}$ für alle $i\in I$ gilt:
    $\sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\lambda _{i}$.

## Beweis

Seien $\langle X_{i}\mid i\in I\rangle$, $\langle Y_{i}\mid i\in I\rangle$ zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit $\vert X_{i}\vert =\kappa _{i}<\lambda _{i}=\vert Y_{i}\vert$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass $X_{i}\subsetneq Y_{i}$. Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung
    $\Phi \colon \bigcup _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}=\{f\colon I\to \textstyle \bigcup _{i\in I}Y_{i}\mid \forall i\in I\ f(i)\in Y_{i}\}$
Für jedes $i\in I$ sei $\alpha _{i}$ ein Element aus $Y_{i}\setminus X_{i}$. Sei $\textstyle x\in \bigcup _{i\in I}X_{i}$. Dann gibt es ein eindeutiges $j\in I$ mit $x\in X_{j}$. Sei $\textstyle f:=\Phi (x)\in \prod _{i\in I}Y_{i}$ die Funktion mit
    $f(i)={\begin{cases}x,&i=j\\\alpha _{i},&i\neq j\end{cases}}$.
Dann ist $\Phi$ injektiv.
Sei nun eine beliebige solche Abbildung $\Phi$ gegeben. Für $i\in I$ definiere $f(i)$ als ein Element aus $Y_{i}\setminus \{\Phi (x)(i)\vert x\in X_{i}\}$. Dann ist $f$ an der Stelle $i$ verschieden von allen Bildern von $\Phi$ aus $X_{i}$. Da dies für alle $i\in I$ gilt, ist $\Phi$ nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

## Folgerungen

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten ($\kappa$ und $\lambda$ seien Kardinalzahlen):
* Bezeichnet $\operatorname {cf} (\kappa )$ die Konfinalität von $\kappa$, so gilt für $\kappa$ unendlich $\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}>\kappa$.
* für $\kappa >1$ und $\lambda$ unendlich $\operatorname {cf} (\kappa ^{\lambda })>\lambda$.
# Schlacht am Coleshill

Schlacht am Coleshill steht für folgende Gefechte in Wales:
* Schlacht am Coleshill (1150), eine Schlacht von Truppen des Königreichs Gwynedd gegen Truppen des Königreichs Powys und des Earl of Chester
* Gefecht am Coleshill, ein Gefecht zwischen englischen und walisischen Truppen während des Feldzugs von Heinrich II. gegen Wales 1157
# Schimansky

Schimansky ist der Familienname folgender Personen:
* Gerd Schimansky (1912–2010), deutscher Philologe und Pädagoge
* Hanns Schimansky (* 1949), deutscher Zeichner und Druckgrafiker
* Herbert Schimansky (* 1934), von 1982 bis 1999 Richter am Bundesgerichtshof
Sonstiges:
Siehe auch:
* Schimanski
* Schymanski
* Szymański
* Schymainski
# Schlacht um Casas Grandes

Die Schlacht von Casas Grandes wurde am 6. März 1911 zwischen der mexikanischen Bundesarmee unter Präsident Porfirio Díaz und den Rebellen unter General Francisco I. Madero ausgetragen. Die Rebellentruppen griffen die Stadt Casas Grandes im Bundesstaat Chihuahua an, wurden jedoch von der Bundesgarnison zurückgeschlagen.

## Schlacht

Madero führte beim Angriff auf Casas Grandes um 5:00 Uhr morgens eine Rebellenarmee von etwa 800 Soldaten an. Mehrere von Maderos Männern waren amerikanische Staatsbürger aus den Grenzstaaten. Die Garnison umfasste etwas mehr als 500 Infanteristen unter dem Kommando von Oberst Agustín A. Valdez vom 18. Bataillon Mexikos. Um 7:15 Uhr verstärkte eine weitere Kolonne der mexikanischen Regierung mit 562 Mann die bereits im Kampf befindlichen 500 Soldaten. Zwei von ihnen mitgeführte Granatwerfer kamen schnell zum Einsatz.
Die Schlacht dauerte noch mehrere Stunden, während die Unionstruppen und die Rebellen die jeweiligen Angriffe der Gegner abwehrten. Um 17 Uhr befahl General Madero den Rückzug seiner Truppen.
Die mexikanische Garnison verlor in der Schlacht 13 Mann und weitere 23 wurden verwundet. Die Verstärkungskolonne verlor 24 Mann und 37 wurden verletzt, darunter auch ihr Kommandant, Oberst Samuel G. Cuellar. Auch General Madero wurde verwundet. Die Rebellen verloren 58 Soldaten und erlitten eine unbekannte Zahl Verwundeter und 41 Gefangene. Von den Opfern unter den Rebellen waren 15 Amerikaner, 17 wurden gefangen genommen.

## Nachwirkungen

Zusätzlich zu den Männern verloren die Rebellen etwa 150 Pferde, 153 Maultiere und 101 Schusswaffen. Madero machte seine Späher für seine Niederlage bei Casas Grandes verantwortlich, die unfähig gewesen seien, die Verstärkung der Bundestruppen zu erkennen. Alle Späher wurden anschließend auf Befehl von General Madero gehängt.
# Franz Benedikt Hermann

Franz Benedikt Hermann ist der Name folgender Personen:
* Franz Benedikt Hermann (Maler) (1664–1735), deutscher Maler
* Franz Benedikt Hermann (Geologe) (1755–1815), österreichischer Geologe und Mineraloge
# Franz Benedict Suchan

Franz Benedict Suchan (* 1. September 1806 in Grocholub; † 20. Februar 1871 in Czarnowanz) war ein deutscher Priester und Politiker.

## Leben

Suchan studierte Katholische Theologie in Breslau und wurde zum Priester geweiht. Er war bis 1849 zunächst Kaplan in Wartha und Schweidnitz. Danach arbeitete er als Pfarradministrator in Himmelwitz und dann von 1849 bis 1852 als Administrator und von 1852 bis 1871 als Pfarrer in Czarnowanz.
Vom 20. Mai 1848 bis zum 29. Juli 1848 vertrat er den Wahlkreis 32. Provinz Schlesien (Groß-Strehlitz) in der Frankfurter Nationalversammlung. Sein Nachfolger im Parlament war Johann Mandrella. Vom 13. April 1849 bis zum 17. Mai 1849 war er als Nachfolger Mandrellas erneut Abgeordneter. Er blieb fraktionslos und stimmte mit dem Rechten Zentrum.
# François Grin

François Grin (* 14. September 1959) ist ein Schweizer Wirtschaftswissenschaftler. Eines seiner Forschungsgebiete ist die Ökonomie der sprachlichen Kommunikation.

## Leben

Grin hat an der Universität von Genf Wirtschaftswissenschaften studiert und dort 1989 summa cum laude promoviert. Anschließend hat er an der Universität Montreal und der Universität von Washington in Seattle unterrichtet, wurde Assistenzprofessor (maître-assistant) an der Universität von Genf und stellvertretender Direktor des Europäischen Minderheitenzentrums in Flensburg. Seit 2001 ist er Gastprofessor der Universität der italienischen Schweiz, seit 2003 außerdem Professor der Universität von Genf.
In seinen Forschungsarbeiten hat er sich unter anderem mit der sprachlichen Situation in der amtlich viersprachigen Schweiz sowie in der Europäischen Union beschäftigt und deren wirtschaftliche Konsequenzen untersucht. In einem ausführlichen Bericht (L'enseignement des langues comme politique publique, Die Sprachausbildung als eine öffentliche Politik – im französischsprachigen Raum kurz rapport Grin benannt) stellt er eine Theorie auf, nach der durch die Einführung der Kunstsprache Esperanto 25 Milliarden Euro jährlich gespart werden könnten. Einer seiner Vorschläge ist die Einführung einer Sprachsteuer, die wirtschaftliche Nachteile von Ländern mit unterprivilegierten Sprachen kompensieren soll.
Grin hat sich auch eingehend mit der Situation der kalmückischen Sprache in der Sowjetunion bzw. in Russland beschäftigt.
# Franz von Stiten

Franz von Stiten (* in Wismar; † 24. August 1590 in Bergedorf) war Ratsherr der Hansestadt Lübeck.

## Leben

Franz von Stiten war mit der Lübecker ratssäßigen Familie von Stiten nicht verwandt. Er studierte an der Universität Rostock. Stiten wurde 1564 in den Rat der Stadt Lübeck gewählt. 1571 vertrat er den Rat der Stadt Lübeck bei der Übernahme einer Taufpatenschaft für eines der Kinder von Herzog Julius von Braunschweig und Lüneburg. 1576 nahm er in Mölln an einem Konvent der Geistlichen Ministerien der Städte Hamburg, Lübeck und Lüneburg teil (Ministerium Tripolitanum). Von 1584 bis 1590 war er als Amtmann Leiter der Verwaltung des Beiderstädtischen Amtes Bergedorf. Seine zweite Frau Margrethe stiftete 1586 der Kirche St. Petri und Pauli in Bergedorf die Kanzel.
Franz von Stiten heiratete in erster Ehe Dorothea Lunte, Tochter und Erbin des von Jürgen Wullenweber ins Amt gebrachten Bürgermeisters Gottschalck Lunte, und danach Margarethe, eine Tochter des Bürgermeisters Ambrosius Meyer. Erstere brachte ihm die Lübschen Güter Trenthorst und Wulmenau in die Ehe. Franz von Stiten wohnte in der Schildstraße 10. Er hatte einen "Stuhl" in der Darsow-Kapelle der Aegidienkirche, in der er auch beigesetzt wurde.
# Scharniergelenk

Das Scharniergelenk (lateinisch Ginglymus oder Articulatio ginglymus, von altgriechisch γίγγλυμος ginglymos, deutsch ‚Türangel‘) bezeichnet in der Anatomie eine Formvariante eines echten Gelenkes. Es besteht aus einem walzenförmigen Gelenkkopf, der zangenförmig in einer rinnenartigen Gelenkpfanne ruht, die dem Segment eines Hohlzylinders entspricht. Es wird meist zusätzlich von straffen Seitenbändern stabilisiert und kann zusätzlich knöcherne Führungskämme bzw. -rinnen im hyalinen Gelenkknorpel aufweisen.
Infolge der durch knöcherne Bildungen stark eingeschränkten Beweglichkeit besitzt das Scharniergelenk nur eine Bewegungsachse bzw. einen Freiheitsgrad und ermöglicht einfache Beuge- (Flexion) und Streckbewegungen (Extension).
Typische Beispiele sind:
* Articulatio humeroulnaris: Gelenk zwischen Oberarmknochen (Humerus) und Elle (Ulna), ein Teil des Ellbogengelenkes, Articulatio cubiti
* Articulationes interphalangeae manus: Fingergelenke: Mittel- und Endgelenke
* Articulatio talocruralis: oberes Sprunggelenk
# Franz Kranebitter

Franz Kranebitter ist der Name folgender Personen:
* Franz Kranebitter (Politiker, 1906) (1906–1977), österreichischer Bergbauer, Zeitungsgründer und Politiker (ÖVP)
* Franz Kranebitter (Politiker, 1927), österreichischer Politiker (ÖVP), Tiroler Landtagsabgeordneter und Landesrat
Siehe auch:
# Franziska Lang (Archäologin)

Franziska Lang (* 1959 in Saarbrücken) ist eine deutsche Klassische Archäologin.
Franziska Lang wurde 1991 an der Freien Universität Berlin mit einer Dissertation zum Thema Archaische Siedlungen in Griechenland promoviert. Danach war sie Assistentin am Winckelmann-Institut der Humboldt-Universität in Berlin. Sie lehrt seit 2005 in Nachfolge Heiner Knells Klassische Archäologie an der Technischen Universität Darmstadt. Seit 2023 fungiert sie als Vizepräsidentin für Akademische Karrieren an der TU Darmstadt.
Lang beschäftigt sich mit der Siedlungsarchäologie in Griechenland und nahm unter anderem als Teil der Projektleitung am Plaghia-Halbinsel-Survey teil (die beiden anderen Leiter waren Ernst-Ludwig Schwandner für das Deutsche Archäologische Institut und Peter Funke für das Seminar für Alte Geschichte der Universität Münster).

## Schriften

* Archaische Siedlungen in Griechenland. Struktur und Entwicklung. Akademie-Verlag, Berlin 1996 ISBN 3-05-002873-4 (Dissertation).
* Klassische Archäologie. Eine Einführung in Methode, Theorie und Praxis (= UTB, Band 1991). Francke, Tübingen – Basel 2002 (auch als UTB) ISBN 3-7720-2257-X; ISBN 3-8252-1991-7.
* Herausgeberin mit Helge Svenshon und Marion Boos: Werkraum Antike. Beiträge zur Archäologie und antiken Baugeschichte. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 2012, ISBN 978-3-534-25607-5 (Druck), ISBN 978-3-534-73361-3 (online).
* Herausgeberin: Interdisziplinäre Forschungen in Akarnanien = Diepistēmonikes ereunes stēn Akarnania (= Akarnanien-Forschungen, Band 1). Habelt-Verlag, Bonn 2013, ISBN 978-3-7749-3877-9.
* Herausgeberin mit Lazaros Kolonas, Gregor Döhner, Kathrin Fuchs: Stratos und Stratiké. Aspekte der Keramikforschung. Material – Methoden – Konzepte = Stratos – Stratikē. Prosengiseis stēn meletē keramikēs. Ylē – methodoi – ennoies (= Akarnanien-Forschungen, Band 4). Habelt-Verlag, Bonn 2020, ISBN 978-3-7749-4232-5.
# Schlacht von Dandanqan

Die Schlacht von Dandanqan (DMG Dandānqān) fand am 23. Mai 1040 zwischen Seldschuken und Ghaznawiden statt. Sie endete mit einem Sieg für die Seldschuken und beendete die Herrschaft der Ghaznawiden über Chorasan.

## Vorbereitungen

Als der Seldschukensultan Toghril Beg und sein Bruder Tschaghri Beg damit begannen, eine starke Armee aufzubauen, wurde sie zu einer ernsten Bedrohung für die Ghaznawiden. Nachdem seldschukische Plünderer Grenzstädte der Ghaznawiden in Brand gesteckt hatten, entschied sich Sultan Masud I. von Ghazna (der Sohn Mahmuds von Ghazna), die Seldschuken zum Verlassen seines Gebietes zu zwingen.

## Die Schlacht

Während Masuds Armee nach Sarachs marschierte, ermüdeten die seldschukischen Plünderer mit Hit-and-run-Angriffen die ghaznawidischen Verbände. Seldschukische Plünderer schädigten auch die Nachschublinien der Ghaznawiden und schnitten sie von nahe liegenden Wasserquellen ab. Die Disziplin und Moral der ghaznawidischen Armee nahm ernsthaft ab. Endlich griffen am 23. Mai 1040 20.000 seldschukische Soldaten 50.000 ghaznawidische Soldaten bei Dandanqan zwischen Merw und Sarachs an.

## Folgen

Die dreitägige Schlacht endete mit einem Sieg der Seldschuken und Masud floh mit nur 100 Reitern vom Schlachtfeld. Der Sieg markierte den Aufstieg der Seldschuken zu einer größeren Macht und den Abstieg der Ghaznawiden. Die Seldschuken besetzten die chorasanischen Städte und etablierten ein Reich, das später als Großseldschukisches Reich bekannt wurde.

## Quellen

* Schlacht von Dandanqan. In: Ehsan Yarshater (Hrsg.): Encyclopædia Iranica. (englisch, iranicaonline.org – mit Literaturangaben).
# Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:
Ist $p\geq 5$ eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl
    $H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}$
einen durch $p^{2}$ teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).

## Beispiele, andere Formulierungen, Folgerungen

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:
* $p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},$ der Zähler $49=1\cdot 7^{2}$ ist durch $7^{2}$ teilbar.
* $p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},$ der Zähler $86021=509\cdot 13^{2}$ ist durch $13^{2}$ teilbar.
Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von
    $1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}$
durch $p$ teilbar ist.
Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz
    ${\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},$
die auch in der Form
    ${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}$
geschrieben werden kann.

## Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* Der Zähler von
       $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}$
    ist durch $p^{3}$ teilbar.
* Der Zähler von
       $1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}$
    ist durch $p^{2}$ teilbar.
* Es gilt die Kongruenz
       ${\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.$
* Es gilt die Kongruenz
       ${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.$
* Der Zähler der Bernoulli-Zahl $B_{p-3}$ ist durch $p$ teilbar.
Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964) und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993). Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10$^9$ sein. Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa $\log(\log(x))$ unterhalb $x$ (McIntosh 1995).

### Verwandter Begriff

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe
    $1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}$
für eine Primzahl $p\geq 3$, so ist der Zähler genau dann durch $p$ teilbar, wenn die stärkere Form
    $2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}$
des Satzes von Euler-Fermat gilt. Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

## Geschichte

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz
    ${\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}$
für jede Primzahl $p$ und jede natürliche Zahl $n.$
Charles Babbage bewies 1819 die Kongruenz
    ${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$
für jede Primzahl $p>2.$
Joseph Wolstenholme bewies 1862 die Kongruenz
    ${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$
für jede Primzahl $p>3.$
# Satz von de Bruijn-Erdős (Inzidenzgeometrie)

Der Satz von de Bruijn-Erdős in der Inzidenzgeometrie gibt eine untere Schranke für die Anzahl der Geraden, die durch n Punkte in der projektiven Ebene bestimmt werden. Der Satz wurde 1948 von Nicolaas Govert de Bruijn und Paul Erdős bewiesen.
Über das Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie liefert er auch eine untere Schranke für die Anzahl der Schnittpunkte durch eine Menge von n Geraden.
Sei P eine Konfiguration von n Punkten in der projektiven Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen (nicht alle kollinear sind). Sei t die Anzahl der Geraden, die durch die Punkte aus P bestimmt werden, dann ist nach dem Satz von Erdös und De Bruijn
* $t\geq n$
* Falls $t=n$ haben je zwei Geraden genau einen Punkt aus P gemeinsam. P ist dann die projektive Ebene oder ist ein „near pencil“ (Geradenbüschel, das heißt n-1 Punkte liegen auf einer Geraden und einer außerhalb). Ein „near pencil“ wird im Fall der Formulierung des Satzes für lineare Räume auch entarteter linearer Raum genannt (die projektive Ebene und „near pencils“ bilden zusammen die verallgemeinerte projektive Ebene)
Der Beweis lässt sich allgemeiner für lineare Räume definieren, von denen projektive Ebenen Beispiele sind. In der allgemeineren Formulierung formulierten und bewiesen auch De Bruijn und Erdös den Satz:
Gegeben sei eine endliche Menge P von $n\geq 3$ Elementen und $A_{i}$ ($i=1,\cdots ,m$) echte Teilmengen von P, so dass jedes Paar von Elementen aus P in genau einem $A_{i}$ enthalten ist, dann gilt $m\geq n$.
Der Beweis von De Bruijn und Erdős ist kombinatorisch, es gibt aber auch, wie Erdös und De Bruijn bemerkten und in ihrer Arbeit ausführten, einen geometrischen Beweis (für den Fall der projektiven oder euklidischen Ebene), der den Satz von Sylvester-Gallai benutzt und per vollständiger Induktion über die Anzahl der Punkte fortschreitet. Manchmal wird der Satz von De Bruijn und Erdös auch zusätzlich nach Haim Hanani benannt.
Einen weiteren sehr kurzen kombinatorischen Beweis gab John Horton Conway, der auch manchmal Theodore Motzkin zugeschrieben wird, und es gibt auch einen kurzen Beweis über Lineare Algebra und Inzidenzmatrizen.
Es gibt noch einen weiteren nach Erdös und De Bruijn benannten Satz aus der Graphentheorie (Satz von de Bruijn-Erdős (Graphentheorie)).

## Geometrischer Beweis

Der Satz gilt offensichtlich für drei Punkte. Der Beweis schreitet durch Induktion fort. Angenommen der Satz gilt für n-1 Punkte. Man betrachte eine Menge P von n Punkten, die nicht alle kollinear sind. Dann gibt es nach dem Satz von Sylvester-Gallai eine Gerade mit genau zwei Punkten a,b aus P. Entfernt man Punkt a können zwei Fälle auftreten:
* die übrigen Punkte von P sind kollinear, dann hat P die Konfiguration eines near pencil mit n Geraden.
* die übrigen (n-1) Punkte sind nicht kollinear. Nach Induktionsvoraussetzung bestimmen sie mindestens (n-1) Geraden. Da die Gerade durch a und b nicht darunter ist, werden mindestens n Geraden durch P bestimmt.
# Satz von Young (Mengenlehre)

Der Satz von Young, benannt nach William Henry Young, ist eine Aussage aus der deskriptiven Mengenlehre und der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, die die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktionen beschreibt.
Mit Hilfe des Satzes von Young und des Satzes von Baire lässt sich beispielsweise zeigen, dass es keine Funktion geben kann, die an allen irrationalen Stellen unstetig und an allen rationalen Stellen stetig ist.

## Formulierung des Satzes

Die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ist eine F$_σ$-Menge, also eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen, die Menge der Stetigkeitsstellen dagegen eine G$_δ$-Menge, also ein abzählbarer Durchschnitt offener Mengen.
Man kann auch beweisen, dass es für jede $F_{\sigma }$-Menge ${\mathcal {A}}$ eine Funktion gibt, so dass ${\mathcal {A}}$ die Menge ihrer Unstetigkeitstellen ist.

## Beispiel

Die Thomaesche Funktion
    $r(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&x\in \mathbb {Q} ,\ q=\min\{n:n\in \mathbb {N} ,\ nx\in \mathbb {Z} \}\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,\end{cases}}$
die jeder rationalen Zahl den Stammbruch mit demselben Nenner zuordnet und irrationale Zahlen auf 0 abbildet, ist an allen rationalen Stellen unstetig und an allen irrationalen Stellen stetig. Die Menge der rationalen Punkte $\mathbb {Q}$ ist als eine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen (nämlich einpunktigen) Mengen eine $F_{\sigma }$-Menge:
    $\mathbb {Q} =\bigcup _{x\in \mathbb {Q} }\left\{x\right\}$

## Beweis

Siehe: Beweis des Satzes von Young im Beweisarchiv
# Frauen, die nicht lieben dürfen

Frauen, die nicht lieben dürfen steht für:
* Frauen, die nicht lieben dürfen (1925), deutscher Stummfilm
* Frauen, die nicht lieben dürfen (1963) (OT: The Caretakers), US-amerikanischer Spielfilm
# Scheiner

Scheiner steht für:
Personen:
* Annette Scheiner (* 1948), deutsche Fernsehmoderatorin
* Artuš Scheiner (1863–1938), tschechischer Illustrator, Zeichner und Maler
* Christoph Scheiner (1573–1650), deutscher Jesuitenpater und Astronom
* Ethan Scheiner (* 1968), US-amerikanischer Politikwissenschaftler
* Franz Scheiner (1847–1917), deutscher Großverleger für Ansichtskarten
* Friedrich Scheiner (1923–1985), österreichischer Beamter
* Irwin Scheiner (1931–2021), US-amerikanischer Historiker und Japanologe
* Jakob Scheiner (1820–1911), deutscher Maler, siehe auch: Jakob und Wilhelm Scheiner
* Jens Scheiner (* 1976), deutscher Islamwissenschaftler
* Josef Scheiner (Theologe) (auch Joseph Scheiner; 1798–1867), böhmischer Theologe und Hochschullehrer
* Josef Scheiner (Politiker) (Josef Eugen Scheiner; 1861–1932), tschechischer Jurist, Politiker und Turnfunktionär
* Julius Scheiner (1858–1913), deutscher Astrophysiker (jüngerer Sohn von Jakob)
* Philipp Scheiner (* 1988), deutscher Journalist und Entertainer
* Wilhelm Scheiner (1852–1922), deutscher Maler (älterer Sohn von Jakob), siehe auch: Jakob und Wilhelm Scheiner
Siehe auch:
* Scheinerblende (Scharfstell-Hilfe für optische Geräte)
* Scheiner-Grad (Bestimmung der Lichtempfindlichkeit einer Fotoemulsion)
* Scheiner-Methode (Ausrichtung einer Fernrohrmontierung auf den Himmelspol)
* Scheinert
* Shiner