# Debye-Relaxation

Die Debye-Relaxation (nach Peter Debye) beschreibt zeitliche Umpolariastionsprozesse der elektrischen Polarisation eines Materials mit Hilfe von Dämpfungsgliedern erster Ordnung. Es handelt sich also um den Spezialfall der überkritisch gedämpften dielektrischen Resonanz.

## Mathematische Beschreibung
### Dielektrischer Schwingkreis

Aus dem Zusammenhang zwischen der elektrischen Flussdichte $D$ und der elektrischen Feldstärke $E_{m}$ im Material definiert sich bei $\omega =0$ die statische Dielektrizitätskonstante des Materials $\varepsilon _{s}$. Bei $\omega =\infty$ wird die Dieletrizität mit $\varepsilon _{\infty }$ bezeichnet. Es gilt:
    $D(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{s}E_{m}(t)$,
    $\tau {\dot {D}}(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }\tau {\dot {E}}_{m}(t)$,
    ${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {D}}(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {E}}_{m}(t)$
$\omega _{0}$ ist die Resonanzfrequenz, $\tau$ ist die Relaxationszeit. Addition aller drei Gleichungen ergibt:
    ${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {D}}(t)+\tau {\dot {D}}(t)+D(t)=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\ddot {E}}_{m}(t)+\varepsilon _{0}\varepsilon _{\infty }\tau {\dot {E}}_{m}(t)+\varepsilon _{0}\varepsilon _{s}E_{m}(t)$
Die Fouriertransformierte der Gleichung ist folglich:
    $\left(-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \tau +1\right)D(j\omega )=\varepsilon _{0}\left(-\varepsilon _{\infty }{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \varepsilon _{\infty }\tau +\varepsilon _{s}\right)E_{m}(j\omega )$
Es gilt also für die komplexe frequenzabhängige elektrische Permittivität ${\underline {\varepsilon }}_{r}$:
    ${\underline {\varepsilon }}_{r}=\varepsilon _{r}'-j\varepsilon _{r}''={\frac {D(j\omega )}{\varepsilon _{0}E_{m}(j\omega )}}={\frac {-\varepsilon _{\infty }{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \varepsilon _{\infty }\tau +\varepsilon _{s}}{-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \tau +1}}={\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}+j\omega \tau +1}}+\varepsilon _{\infty }$
Die Aufteilung in Realteil $\varepsilon _{r}'$ und Imaginärteil $\varepsilon _{r}''$ ergibt nun:
    $\varepsilon _{r}'={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)}{\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)^{2}+\left(\omega \tau \right)^{2}}}+\varepsilon _{\infty }$,
    $\varepsilon _{r}''={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)\omega \tau }{\left(1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)^{2}+\left(\omega \tau \right)^{2}}}$

### Grenzfall für Debye-Relaxation

Wenn die Relaxationszeiten $\tau \gg \omega _{0}^{-1}$ viel größer gegenüber der inversen Resonanzfrequenz unterliegt das Material einer Debye-Relaxation. Die zeitlichen Ableitungen zweiter Ordnung können demnach vernachlässigt werden und es gilt:
    $\varepsilon _{r}'={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)}{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}+\varepsilon _{\infty }$
    $\varepsilon _{r}''={\frac {\left(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }\right)\omega \tau }{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}$
Den Plot von $\varepsilon _{r}'$ gegen $\varepsilon _{r}''$ nennt man Cole-Cole-Diagramm, der direkte Zusammenhang zwischen $\varepsilon _{r}'$ und $\varepsilon _{r}''$ wird Kramers-Kronig-Relation bezeichnet und es wird der Verlustfaktor definiert zu:
    $\tan \left(\delta \right)={\frac {\varepsilon _{r}''}{\varepsilon _{r}'}}$
Für den über die Frequenz maximierten Verlustfaktor gilt:
    $\tan \left(\delta \right)_{\mathrm {max} }={\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{2{\sqrt {\varepsilon _{s}\varepsilon _{\infty }}}}}$