# Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

## Definition

Sind zwei Halbordnungen $(G,\leq _{G})$ und $(H,\leq _{H})$ gegeben, so heißt eine Abbildung
    $\psi \colon G\rightarrow H$
ein Ordnungsisomorphismus, wenn $\psi$ eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung $\psi ^{-1}$ ebenfalls eine isotone Abbildung ist.
Existiert zwischen $G$ und $H$ ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit $G\cong H$ ausdrücken und $G$ und $H$ werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

## Beispiele

* Die identische Abbildung $\operatorname {id} _{G}\colon G\rightarrow G,a\mapsto a$ einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
* Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
* Sei $g$ eine Funktion, die von $\mathbb {N}$ in die Menge aller Quadratzahlen $Q$ abbildet: $Q=\left\{n^{2}\mid n\in \mathbb {N} \right\}\subset \mathbb {N}$ Die Funktion lautet neu: $g\colon \mathbb {N} \rightarrow Q,x\mapsto x^{2}$ Von dieser neuen Funktion $g$ existiert auch eine Umkehrfunktion: $g^{-1}\colon Q\rightarrow \mathbb {N} ,x\mapsto {\sqrt {x}}$ Somit ist $g$ bijektiv. Weil $g$ bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen $(\mathbb {N} ,\leq )$ und $(Q,\leq )$ total sind, so ist $g$ auch ein Ordnungsisomorphismus.
* Die identische Abbildung $\operatorname {id} _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x$ ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen $(\mathbb {R} ,\leq )$ und $(\mathbb {R} ,\geq )$.
* Die Funktion des additiv inversen Elementes $f\colon M\rightarrow M,x\mapsto -x$ ist eine Involution und damit auch eine Bijektion. $f$ ist eine antitone Abbildung von $(M,\leq )$ in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von $(M,\leq )$ nach $(M,\geq )$. Des Weiteren ist $f$ gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da $f$ bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen $M=\mathbb {Z}$, die rationalen Zahlen $M=\mathbb {Q}$ und für die reellen Zahlen $M=\mathbb {R}$ zu.
* Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln $(a_{1},\cdots ,a_{n})\leq ^{n}(b_{1},\cdots ,b_{n}):\Longleftrightarrow \forall i\in [1,n]\cap \mathbb {N} :a_{i}\leq b_{i}$ bildet für $n\geq 2$ eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion $\Psi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,y)\mapsto (2x,2y)$ ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet $\Psi ^{-1}\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2},(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{2}},{\frac {y}{2}}\right)$. Auf $(\mathbb {R} ^{2},\leq ^{2})$ ist außerdem sowohl $\Psi$ als auch $\Psi ^{-1}$ isoton, was $\Psi$ und $\Psi ^{-1}$ als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind $\mathbb {R} ^{2}$, – auszeichnet.

## Komposition

Sei $f\colon U\rightarrow V$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen $(U,\leq _{U})$ und $(V,\leq _{V})$ und sei $g\colon V\rightarrow W$ ein Ordnungsisomorphismus zwischen $(V,\leq _{V})$ und $(W,\leq _{W})$, so ist auch $f\circ g\colon U\rightarrow W$ ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen $(U,\leq _{U})$ und $(W,\leq _{W})$. Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von $f$ gleich der Zielmenge von $f$ ist.

## Eigenschaften

* Es gilt wegen der Bijektivität, dass
    $\forall a\in G:a=\psi ^{-1}\left(\psi (a)\right)$
    gilt und ebenso:
    $\forall a\in H:a=\psi \left(\psi ^{-1}(a)\right)$
* Sind $(G,\leq _{G})$ und $(H,\leq _{G})$ Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion $\gamma \colon G\rightarrow H$, so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw. $\gamma ^{-1}$ ist auch isoton.
* Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:
    $\left(M,\leq _{M}\right)\cong \left(\left\{1,\dots ,\left|M\right|\right\},\leq \right)$.