# Kynea-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form $(2^{n}+1)^{2}-2$, oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form $2^{2n}+2^{n+1}-1$ mit $n\geq 1$. Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.

## Beispiele

* Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden:
       7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … (Folge A093069 in OEIS)
* Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden
    (die $2$ ist in der Liste wegen $n\geq 1$ nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form $(2^{n}+1)^{2}-2=(2^{0}+1)^{2}-2=4-2=2$):
       7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … (Folge A091514 in OEIS)
    Man nennt sie Kynea-Primzahlen.
* Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist $(2^{661478}+1)^{2}-2$ und hat $398250$ Stellen. Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.

## Eigenschaften

* Jede Kynea-Zahl der Form $(2^{n}+1)^{2}-2$ hat eine binäre Darstellung, welche $2n+1$ Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach $n-1$ Nullen in der Mitte hat und mit weiteren $n+1$ Einsern endet. Mit anderen Worten:
    $(2^{n}+1)^{2}-2=4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}$
       Beispiel:
          $287=(2^{4}+1)^{2}-2={\underline {1}}\cdot 2^{8}+{\underline {0}}\cdot 2^{7}+{\underline {0}}\cdot 2^{6}+{\underline {0}}\cdot 2^{5}+{\underline {1}}\cdot 2^{4}+{\underline {1}}\cdot 2^{3}+{\underline {1}}\cdot 2^{2}+{\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {1}}\cdot 2^{0}=100011111_{2}$
* Die Differenz zwischen der $n$-ten Kynea-Zahl und der $n$-ten Carol-Zahl $(2^{n}-1)^{2}-2$ beträgt $2^{n+2}$.
* Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von $7$.
       Beispiel:
          $16639=(2^{7}+1)^{2}-2$ ist die sechste Carol-Zahl nach $7$ und tatsächlich ist $16639=2377\cdot 7$ ein Vielfaches von $7$.
* Eine Kynea-Zahl $(2^{n}+1)^{2}-2$ mit $n=3k+1$ für $k>0$ kann keine Primzahl sein.
       (folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)
* Eine Kynea-Zahl $(2^{n}+1)^{2}-2$ ist die Summe einer $n$-ten Potenz von 4 und der $(n+1)$-ten Mersenne-Zahl.

## Verallgemeinerungen

Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form $(b^{n}+1)^{2}-2$ mit $n\geq 1$ und einer Basis $b\geq 2$.

### Eigenschaften

* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b$ kann nur dann eine Primzahl sein, wenn $b$ eine gerade Zahl ist.
       (Wenn $b$ eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz $b^{n}$ ungerade. Addiert man $1$ dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man $2$ ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis $b$ ist immer eine gerade Zahl.
* Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b^{n}$ ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis $b$.
* Die kleinsten $n\geq 1$, sodass $((2k)^{n}+1)^{2}-2$ prim ist (Basis $b=2k$), sind die folgenden (für $k=1,2,3,4,\ldots ,100$):
       1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, …
       Beispiel:
          Für $k=11$ kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl $n=3$ entnehmen.
          Tatsächlich ist $((2\cdot 11)^{3}+1)^{2}-2=113401199\in \mathbb {P}$ eine Primzahl.
Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis $b$ entnehmen kann:
| $b$ | Form | Potenzen $n\geq 1$, sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis $b$, also der Form $(b^{n}+1)^{2}-2$ prim sind | OEIS-Folge |
| $2$ | $(2^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, 852770, … | (Folge A091513 in OEIS) |
| $4$ | $(4^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, 426385, … | |
| $6$ | $(6^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, … | (Folge A100902 in OEIS) |
| $8$ | $(8^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, … | |
| $10$ | $(10^{n}-1)^{2}-2$ | 22, 351, 1061, … | (Folge A100904 in OEIS) |
| $12$ | $(12^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, … | |
| $14$ | $(14^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, … | (Folge A100906 in OEIS) |
| $16$ | $(16^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, … | |
| $18$ | $(18^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, 82516, … | |
| $20$ | $(20^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, 92990, … | |
| $22$ | $(22^{n}-1)^{2}-2$ | 3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, 42356, 52147, 82020, … | (Folge A100908 in OEIS) |
| $24$ | $(24^{n}-1)^{2}-2$ | 24, 321, 971, 984, … | |
| $26$ | $(26^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, … | |
| $28$ | $(28^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, 80543, … | |
| $30$ | $(30^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, … | |
| $32$ | $(32^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, 170554, … | |
| $34$ | $(34^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, … | |
| $36$ | $(36^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, … | |
| $38$ | $(38^{n}-1)^{2}-2$ | 6, 279, 3490, … | |
| $40$ | $(40^{n}-1)^{2}-2$ | 2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, … | |
| $42$ | $(42^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, … | |
| $44$ | $(44^{n}-1)^{2}-2$ | 3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, … | |
| $46$ | $(46^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 54, 2040, 3063, … | |
| $48$ | $(48^{n}-1)^{2}-2$ | 1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, … | |
| $50$ | $(50^{n}-1)^{2}-2$ | 4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, … |
Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist $(30^{157950}+1)^{2}-2$ und hat $466623$ Stellen. Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.

## Weitere Verallgemeinerungen

Eine positive ganze Zahl der Form $(2^{n}+1)^{3}-2$ nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).
Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, sind die folgenden:
    3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … (Folge A0100900 in OEIS)