# Tijs-Wert

Der Tijs-Wert (auch $\tau$-Wert genannt) ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Das Prinzip dieses Konzeptes ist eine Verhandlungssituation, bei der zunächst eine Obergrenze (Obervektor) sowie eine Untergrenze (Untervektor) bestimmt werden.

## Obervektor

Der Vektor der Grenzbeiträge jedes Spielers zur großen Koalition bildet den Obervektor. Unter der großen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition. Für jeden Spieler $i\in N$, diese seien nummeriert von ${1}$ bis $n$, wird die Differenz zwischen dem Wert der großen Koalition $v(N)$ und dem Wert der großen Koalition abzüglich des Spielers $v(N\setminus \{i\})$ berechnet. Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers $i$ beschreibt die obere Grenze für die Auszahlung an eben jenen Spieler. Somit wird dem Spieler keine höhere Auszahlung gewährt, als sein Wertbeitrag zur großen Koalition.
In einem Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist der Obervektor (auch Utopia-Vektor genannt) $b=(b_{1},b_{2},...,b_{n})^{\mathrm {T} }$ beschrieben durch:
    $\forall \ \ i\in N:b_{i}=v(N)-v(N\setminus \{i\}).$
Die Koordinate $b_{i}$ beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers $i$ bzgl. der großen Koalition $N$.

## Untervektor

Sollte sich ein Spieler $i\in N$ nicht an der großen Koalition $N$ beteiligen wollen, so kann er Teil einer sogenannten Außenseiterkoalition $S$ werden. Dann steht ihm der Wert der Außenseiterkoalition $v(S)$ zu. Allerdings muss Spieler $i$ den anderen Spielern einen Anreiz bieten, um ebenfalls an der Außenseiterkoalition $S$ teilzunehmen. Dazu wird jedem anderen Spieler $\displaystyle {j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }$, der Wert geboten, den sie als Teil der großen Koalition $b_{j}$ realisieren könnten. Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze (auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt) des Spielers $i$. Rein rational wird jene Koalition angestrebt, in der diese Differenz am größten ist.
In einem Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist der Untervektor $a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^{\mathrm {T} }$ gegeben mit:
    $\forall \ \ i\in N:\ a_{i}=\displaystyle {\max \limits _{S\subseteq N:i\in S}~\left\lbrace v(S)-\sum _{j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }b_{j}\right\rbrace }.$

## Quasi-Balanciertheit

An eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt. Zum einen müssen die Koordinaten $b_{i}$ mindestens so groß sein wie $a_{i}$ (für alle Spieler). Zum anderen soll der Wert der großen Koalition nicht-kleiner bzw. nicht-größer als die Summe aller $a_{i}$ bzw. $b_{i}$ sein. Dies beschreibt die Quasi-Balanciertheit eines Spieles.
Ein Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist quasi-balanciert, sofern für alle $i\in N$:
    $a_{i}\leq b_{i}$ sowie $\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}\leq v(N)\leq \sum _{i\in N}b_{i}}$ erfüllt ist.

## Definition Tijs-Wert

Für quasi-balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert, welche zwischen dem Obervektor $b$ und Untervektor $a$ liegt. Diese Imputation wird Tijs-Wert genannt.
Der $\tau$-Wert eines quasi-balancierten Spieles ist definiert durch:
    $\tau ~(v)=a+\lambda (b-a)$, wobei:
    $\lambda =0$, wenn $a=b$, ansonsten:
    $\lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}.$
Insgesamt erhält Spieler $i$ die $i$-Koordinate des $\tau$-Wert als Lösung zugeteilt.

## Beispiel

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels :
| ${\displaystyle S}$ | ${\displaystyle \emptyset }$ | ${\displaystyle \{A\}}$ | ${\displaystyle \{B\}}$ | ${\displaystyle \{C\}}$ | ${\displaystyle \{A,B\}}$ | ${\displaystyle \{A,C\}}$ | ${\displaystyle \{B,C\}}$ | ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ |
| ${\displaystyle v(S)}$ | ${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle 200}$ | ${\displaystyle 200}$ | ${\displaystyle 200}$ | ${\displaystyle 700}$ | ${\displaystyle 500}$ | ${\displaystyle 500}$ | ${\displaystyle 1200}$ |
Der Obervektor $b$ ist bestimmt mit:
    $b~={\begin{pmatrix}b_{\scriptscriptstyle A}\\b_{\scriptscriptstyle B}\\b_{\scriptscriptstyle C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace B,C\rbrace )\\v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace A,C\rbrace )\\v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace A,B\rbrace )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1200-500\\1200-500\\1200-700\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}700\\700\\500\end{pmatrix}}$.
Der Untervektor $a$ ist berechnet mit:
    $a={\begin{pmatrix}a_{A}\\a_{B}\\a_{C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(v(\lbrace A\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle B}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace B\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace C\rbrace );~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle B}))\end{pmatrix}}$
    $a={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~500-700;~500-700;~1200-(700+700))\end{pmatrix}}$
    $a={\begin{pmatrix}&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&-200&;~&-200&;~&-200&&)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}$
Weiter ist der Faktor $\lambda$ zu berechnen mit:
    $\lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}={\dfrac {1.200-600}{1.900-600}}={\dfrac {6}{13}}$.
Insgesamt folgt daher:
    $\tau ~=a+\lambda (b-a)={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}+{\dfrac {6}{13}}{\begin{pmatrix}500\\500\\300\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {5600}{13}}\\{\dfrac {5600}{13}}\\{\dfrac {4400}{13}}\end{pmatrix}}$.