# Wilson-Primzahl

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen $p$, für die gilt, dass $(p-1)!+1$ durch $p^{2}$ teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

## Definition

    Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz
Der Satz von Wilson besagt, dass $(p-1)!+1$ genau dann durch $p$ teilbar ist, wenn $p$ eine Primzahl ist. Für jede Primzahl $p$ gilt also:
    $p\mid (p-1)!+1$
Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
    $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$
oder
    $(p-1)!+1\equiv 0{\pmod {p}}$
Das ganzzahlige Ergebnis der Division
    ${\frac {(p-1)!+1}{p}}$
wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient $W(p)$ bezeichnet (Folge A007619 in OEIS).
Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl $p$, die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

### Beweis

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $n>2$
* $n$ ist $prim\Rightarrow (n-1)!\equiv -1\mod n$
$\forall a\in \mathbb {Z} _{n}^{*}$ hat $ax\equiv 1(\mod n)$ eine eindeutige Lösung $a^{-1}\mod n$
$a^{2}\equiv 1\Leftrightarrow (a-1)(a+1)=y\cdot n\Leftrightarrow (a\equiv 1\mod n$ oder $-1\mod n)$
$(n-1)!\equiv (n-1)\equiv -1\mod n$
* $(n-1)!\equiv -1\mod n$ $\Rightarrow n$ ist ${\text{prim}}$
Annahme: $n=a\cdot b,a,b>1$
$a{\text{ teilt }}(n-1)!$ mit $(n-1)!\equiv -1\mod n\Rightarrow a{\text{ teilt }}n-1$
Widerspruch: $a$ kann nicht gleichzeitig $n$ und $n-1$ teilen

### Beispiel

Die Zahl $p=13$ ist ein Teiler von $(p-1)!+1$:
    ${\frac {(13-1)!+1}{13}}={\frac {479.001.600+1}{13}}=36.846.277$
Also ist $p=13$ wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 $:$ 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.
Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl $p$ genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:
    $p^{2}\mid (p-1)!+1$
Beziehungsweise:
    $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p^{2}}}$
oder
    ${\frac {(p-1)!+1}{p}}=W(p)\equiv 0{\pmod {p}}$

## Vorkommen

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als $2\cdot 10^{13}$. Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa $\ln(\ln(y)/\ln(x))$ zwischen $x$ und $y$.

## Verallgemeinerungen
### Wilson-Primzahlen der Ordnung n

Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl $p\in \mathbb {N}$ genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle $1\leq n\leq p$ gilt:
    $(n-1)!\cdot (p-n)!\equiv (-1)^{n}{\pmod {p}}$
Es ist $p$ also eine Primzahl, wenn ${\frac {(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}{p}}$ ganzzahlig ist.
Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl $p$, für welche gilt:
    $p^{2}$ ist Teiler von $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}$ mit $n\geq 1$, $p\geq n$
Es ist $p$ also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn ${\frac {(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}}{p^{2}}}$ ganzzahlig ist.
Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
    $(n-1)!\cdot (p-n)!\equiv (-1)^{n}{\pmod {p^{2}}}$
oder
    $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$
Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl $n$ unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung $n$ gibt.

### Beispiel

Sei $p=17\in \mathbb {P}$ eine Primzahl und $n=7$. Die Quadratzahl $p^{2}=17^{2}=289$ ist ein Teiler von $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}=6!\cdot (p-7)!+1$:
    ${\frac {6!\cdot (17-7)!+1}{17^{2}}}={\frac {720\cdot 3628800+1}{289}}={\frac {2612736001}{289}}=9040609$
Also ist $p=17$ ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung $n=7$.
Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung $n$ entnehmen für $1\leq n\leq 30$:
| $n$ | $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}$ | Primzahl $p$, sodass $p^{2}$ Teiler von $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}$ ist | OEIS-Link |
| 1 | $(p-1)!+1$ | 5, 13, 563 … | (Folge A007540 in OEIS) |
| 2 | $(p-2)!-1$ | 2, 3, 11, 107, 4931 … | (Folge A079853 in OEIS) |
| 3 | $2!\cdot (p-3)!+1$ | 7 … | |
| 4 | $3!\cdot (p-4)!-1$ | 10429 … | |
| 5 | $4!\cdot (p-5)!+1$ | 5, 7, 47 … | |
| 6 | $5!\cdot (p-6)!-1$ | 11 … | |
| 7 | $6!\cdot (p-7)!+1$ | 17 … | |
| 8 | $7!\cdot (p-8)!-1$ | … | |
| 9 | $8!\cdot (p-9)!+1$ | 541 … | |
| 10 | $9!\cdot (p-10)!-1$ | 11, 1109 … | |
| 11 | $10!\cdot (p-11)!+1$ | 17, 2713 … | |
| 12 | $11!\cdot (p-12)!-1$ | … | |
| 13 | $12!\cdot (p-13)!+1$ | 13 … | |
| 14 | $13!\cdot (p-14)!-1$ | … | |
| 15 | $14!\cdot (p-15)!+1$ | 349 … | |
| $n$ | $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}$ | Primzahl $p$, sodass $p^{2}$ Teiler von $(n-1)!\cdot (p-n)!-(-1)^{n}$ ist | OEIS-Link |
| 16 | $15!\cdot (p-16)!-1$ | 31 … | |
| 17 | $16!\cdot (p-17)!+1$ | 61, 251, 479 … | (Folge A152413 in OEIS) |
| 18 | $17!\cdot (p-18)!-1$ | 13151527 … | |
| 19 | $18!\cdot (p-19)!+1$ | 71 … | |
| 20 | $19!\cdot (p-20)!-1$ | 59, 499 … | |
| 21 | $20!\cdot (p-21)!+1$ | 217369 … | |
| 22 | $21!\cdot (p-22)!-1$ | … | |
| 23 | $22!\cdot (p-23)!+1$ | … | |
| 24 | $23!\cdot (p-24)!-1$ | 47, 3163 … | |
| 25 | $24!\cdot (p-25)!+1$ | … | |
| 26 | $25!\cdot (p-26)!-1$ | 97579 … | |
| 27 | $26!\cdot (p-27)!+1$ | 53 … | |
| 28 | $27!\cdot (p-28)!-1$ | 347 … | |
| 29 | $28!\cdot (p-29)!+1$ | … | |
| 30 | $29!\cdot (p-30)!-1$ | 137, 1109, 5179 … | |
Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung $n$ lauten (bei aufsteigendem $n=1,2,3,\ldots$):
    5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … (Folge A128666 in OEIS)
Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung $n=8$ ist nicht bekannt, muss aber größer als $1{,}4\cdot 10^{7}$ sein.

### Fast-Wilson-Primzahlen

Eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$, welche die Kongruenz
    $(p-1)!\equiv -1+Bp{\pmod {p^{2}}}$ mit betragsmäßig kleinem $|B|$
erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).
Ist $B=0$, so erhält man $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p^{2}}}$ und erhält die Wilson-Primzahlen.
Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für $|B|\leq 100$ mit $10^{6}<p<4\cdot 10^{11}$:
| $p$ | $B$ |
| 1282279 | +20 |
| 1306817 | −30 |
| 1308491 | −55 |
| 1433813 | −32 |
| 1638347 | −45 |
| 1640147 | −88 |
| 1647931 | +14 |
| 1666403 | +99 |
| 1750901 | +34 |
| 1851953 | −50 |
| 2031053 | −18 |
| 2278343 | +21 |
| 2313083 | +15 |
| 2695933 | −73 |
| 3640753 | +69 |
| 3677071 | −32 |
| $p$ | $B$ |
| 3764437 | −99 |
| 3958621 | +75 |
| 5062469 | +39 |
| 5063803 | +40 |
| 6331519 | +91 |
| 6706067 | +45 |
| 7392257 | +40 |
| 8315831 | +3 |
| 8871167 | −85 |
| 9278443 | −75 |
| 9615329 | +27 |
| 9756727 | +23 |
| 10746881 | −7 |
| 11465149 | −62 |
| 11512541 | −26 |
| 11892977 | −7 |
| $p$ | $B$ |
| 12632117 | −27 |
| 12893203 | −53 |
| 14296621 | +2 |
| 16711069 | +95 |
| 16738091 | +58 |
| 17879887 | +63 |
| 19344553 | −93 |
| 19365641 | +75 |
| 20951477 | +25 |
| 20972977 | +58 |
| 21561013 | −90 |
| 23818681 | +23 |
| 27783521 | −51 |
| 27812887 | +21 |
| 29085907 | +9 |
| 29327513 | +13 |
| $p$ | $B$ |
| 30959321 | +24 |
| 33187157 | +60 |
| 33968041 | +12 |
| 39198017 | −7 |
| 45920923 | −63 |
| 51802061 | +4 |
| 53188379 | −54 |
| 56151923 | −1 |
| 57526411 | −66 |
| 64197799 | +13 |
| 72818227 | −27 |
| 87467099 | −2 |
| 91926437 | −32 |
| 92191909 | +94 |
| 93445061 | −30 |
| 93559087 | −3 |
| $p$ | $B$ |
| 94510219 | −69 |
| 101710369 | −70 |
| 111310567 | +22 |
| 117385529 | −43 |
| 176779259 | +56 |
| 212911781 | −92 |
| 216331463 | −36 |
| 253512533 | +25 |
| 282361201 | +24 |
| 327357841 | −62 |
| 411237857 | −84 |
| 479163953 | −50 |
| 757362197 | −28 |
| 824846833 | +60 |
| 866006431 | −81 |
| 1227886151 | −51 |
| $p$ | $B$ |
| 1527857939 | −19 |
| 1636804231 | +64 |
| 1686290297 | +18 |
| 1767839071 | +8 |
| 1913042311 | −65 |
| 1987272877 | +5 |
| 2100839597 | −34 |
| 2312420701 | −78 |
| 2476913683 | +94 |
| 3542985241 | −74 |
| 4036677373 | −5 |
| 4271431471 | +83 |
| 4296847931 | +41 |
| 5087988391 | +51 |
| 5127702389 | +50 |
| 7973760941 | +76 |
| $p$ | $B$ |
| 9965682053 | −18 |
| 10242692519 | −97 |
| 11355061259 | −45 |
| 11774118061 | −1 |
| 12896325149 | +86 |
| 13286279999 | +52 |
| 20042556601 | +27 |
| 21950810731 | +93 |
| 23607097193 | +97 |
| 24664241321 | +46 |
| 28737804211 | −58 |
| 35525054743 | +26 |
| 41659815553 | +55 |
| 42647052491 | +10 |
| 44034466379 | +39 |
| 60373446719 | −48 |
| $p$ | $B$ |
| 64643245189 | −21 |
| 66966581777 | +91 |
| 67133912011 | +9 |
| 80248324571 | +46 |
| 80908082573 | −20 |
| 100660783343 | +87 |
| 112825721339 | +70 |
| 231939720421 | +41 |
| 258818504023 | +4 |
| 260584487287 | −52 |
| 265784418461 | −78 |
| 298114694431 | +82 |

### Wilson-Zahlen

Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl $n$, für welche gilt:
    $W(n)\equiv 0{\pmod {n^{2}}}$, mit $W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ggT} (k,n)=1}}{k}+e$
Dabei ist $e=1$ genau dann, wenn $n$ eine Primitivwurzel hat, sonst ist $e=-1$.
Für jede natürliche Zahl $n$ ist $W(n)$ durch $n$ teilbar. Den Quotienten ${\frac {W(n)}{n}}$ nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient. Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:
    2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 (Folge A157249 in OEIS)
Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch $n$ teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:
    1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 (Folge A157250 in OEIS)
Wenn eine Wilson-Zahl $n$ prim ist, dann ist $n$ eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für $n<5\cdot 10^{8}$.