# Prädiktionsmatrix

In der Statistik ist die Prädiktionsmatrix (englisch prediction matrix) eine symmetrische und idempotente Matrix und damit eine Projektionsmatrix. Die Prädiktionsmatrix wird gelegentlich Hut-Matrix oder Dach-Matrix genannt, da sie $y$ auf ${\hat {y}}$ abbildet. Dementsprechend wird sie entweder mit $\mathbf {P}$ oder $\mathbf {H}$ notiert. Der Begriff „Prädiktionsmatrix“ bzw. „Vorhersagematrix“ wurde von Hoaglin & Welsh (1978) sowie Chatterjee & Hadi (1986) geprägt und rührt daher, dass wenn man die Matrix auf die $y$-Werte anwendet sie die vorhergesagten Werte (${\hat {y}}$-Werte) generiert. Eine weitere in der Statistik wichtige Matrix ist die Residualmatrix, die durch die Prädiktionsmatrix definiert wird und ebenfalls eine Projektionsmatrix ist.

## Definition

Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell $\mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}$, mit ${\boldsymbol {\beta }}$ dem $p\times 1$ Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der $n\times p$ Versuchsplanmatrix $\mathbf {X}$, dem $n\times 1$ Vektor der abhängigen Variablen $\mathbf {y}$ und dem $n\times 1$ Vektor der Störgrößen ${\boldsymbol {\varepsilon }}$. Dann ist die Prädiktionsmatrix definiert durch
    $\mathbf {P} \equiv \mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\quad$ mit $\quad \mathbf {P} \in \mathbb {R} ^{n\times n}$.
Die Matrix $\mathbf {X} ^{+}=\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }$ wird auch Moore-Penrose-Inverse von $\mathbf {X}$ genannt.
Die mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geschätzte Regressions(hyper)ebene ist dann gegeben durch die Stichproben-Regressionsfunktion ${\hat {\mathbf {y} }}={\widehat {\operatorname {E} (\mathbf {y} )}}=\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}$, wobei ${\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y}$ der Kleinste-Quadrate-Schätzvektor ist. Die Prädiktionsmatrix $\mathbf {P}$ ist die Matrix der Orthogonalprojektion auf den Spaltenraum von $\mathbf {X}$ und hat maximal den Rang $p$ ($p=k+1$ ist die Anzahl der Parameter des Regressionsmodells). Falls $\mathbf {X}$ eine $(n\times p)$ Matrix mit $\operatorname {Rang} (\mathbf {X} )=p$ ist, dann ist $\operatorname {Rang} (\mathbf {P} )=p$. Da $\mathbf {P}$ eine Projektionsmatrix ist, gilt $\operatorname {Rang} (\mathbf {P} )=\operatorname {Spur} (\mathbf {P} )=p$. Die Idempotenz- und die Symmetrieeigenschaft ($\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\mathbf {P}$ und $\mathbf {P} ^{\top }=\mathbf {P}$) implizieren, dass $\mathbf {P}$ ein orthogonaler Projektor auf den Spaltenraum $S(\mathbf {X} )=S(\mathbf {P} )$ ist. Die Projektionsrichtung ergibt sich aus der Matrix $(\mathbf {I} -\mathbf {P} )$, deren Spalten senkrecht auf $S(\mathbf {X} )$ stehen. Die Matrix $\mathbf {P}$ wird Prädiktionsmatrix genannt, da sich die Vorhersagewerte ${\hat {\mathbf {y} }}$ durch die linksseitige Multiplikation des Vektors $\mathbf {y}$ mit dieser Matrix ergeben. Dies kann durch Einsetzen des KQ-Parameterschätzers wie folgt gezeigt werden:
    ${\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\underbrace {\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }} _{=\mathbf {P} }\mathbf {y} =\mathbf {P} \mathbf {y}$.
Die Vorhersagewerte von $y$ (die ${\hat {y}}$-Werte) können also als eine Funktion der beobachteten $y$-Werte verstanden werden. Zahlreiche statistische Resultate lassen sich auch mit der Prädiktionsmatrix darstellen. Beispielsweise lässt sich der Residualvektor mittels der Prädiktionsmatrix darstellen als: ${\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}=\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {y} -\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=(\mathbf {I} -\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top })\mathbf {y} =(\mathbf {I} -\mathbf {P} )\mathbf {y}$. Die (nichttriviale) Kovarianzmatrix des Residualvektors lautet $\operatorname {Cov} ({\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}})=\sigma ^{2}(\mathbf {I} -\mathbf {P} )$ und spielt für die Analyse von Hebelwerten eine Rolle.

## Eigenschaften
### Idempotenz

Die Prädiktionsmatrix ist idempotent. Dies kann so interpretiert werden, dass „zweimaliges Anwenden der Regression zum gleichen Ergebnis führt“. Die Idempotenzeigenschaft der Prädiktionsmatrix kann wie folgt gezeigt werden:
    $\mathbf {P} ^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {I} \mathbf {X} ^{\top }=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }=\mathbf {P}$,
wobei $\mathbf {I}$ die Einheitsmatrix ist.

### Symmetrie

Die Prädiktionsmatrix ist symmetrisch. Die Symmetrieeigenschaft der Prädiktionsmatrix kann wie folgt gezeigt werden
    $\mathbf {P} ^{\top }=\left(\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\right)^{\top }=\left(\left(\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\right)\left(\mathbf {X} ^{\top }\right)\right)^{\top }=\ \left(\mathbf {X} ^{\top }\right)^{\top }\left(\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\right)^{\top }=\ \mathbf {X} \left(\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\right)^{\top }\mathbf {X} ^{\top }=\ \mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }=\mathbf {P}$

## Hebelwerte

Die Diagonalelemente $p_{ii}$ der Prädiktionsmatrix $\mathbf {P}$ können als Hebelwerte interpretiert werden und spielen in der Regressionsdiagnostik eine große Rolle. Sie sind gegeben durch
    $p_{ii}=\mathbf {x} _{i}^{\top }\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {x} _{i}$.
Diese Hebelwerte werden bei der Berechnung des Cook-Abstands verwendet und können genutzt werden, um einflussreiche Beobachtungen zu identifizieren. Es gilt ${\frac {1}{n}}\leq p_{ii}\leq {\frac {1}{r}}$, wobei $r$ die Anzahl der Zeilen in der Versuchsplanmatrix $\mathbf {X}$ darstellt, die unterschiedlich sind. Wenn alle Zeilen unterschiedlich sind, dann gilt ${\frac {1}{n}}\leq p_{ii}\leq 1$.