# Normaler Zustand

Normale Zustände werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um gewisse stetige, lineare Funktionale auf einer Von-Neumann-Algebra.

## Definitionen

Es sei $A$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$. Ein Zustand ist ein lineares Funktional $f:A\rightarrow \mathbb {C}$ mit $f(1)=1$ und $f(a^{*}a)\geq 0$ für alle $a\in A$. Man kann zeigen, dass Zustände automatisch stetig sind mit $\|f\|=1$, das gilt sogar für jede C*-Algebra. Für Von-Neumann-Algebren stehen weitere Operatortopologien zur Verfügung und es ist daher nur natürlich, Stetigkeitseigenschaften bzgl. dieser Topologien zu studieren.
Ferner sind Von-Neumann-Algebren gegenüber der Supremumsbildung nach oben gerichteter Familien selbstadjungierter Elemente abgeschlossen. Dabei ist die Ordnung $a\leq b$ für $a,b\in A$ durch die Bedingung $\langle a\xi ,\xi \rangle \leq \langle b\xi ,\xi \rangle$ für alle $\xi \in H$ definiert. Man wird Zustände betrachten wollen, die Suprema erhalten. Wir definieren daher:
Ein Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein monoton wachsendes Netz in $A$ mit Supremum $a\in A$, so gilt $\textstyle \sup _{i\in I}f(a_{i})=f(a)$.
Ein Spezialfall eines monotonen Netzes entsteht durch eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen, das heißt von Elementen $e_{i}\in A$ mit $e_{i}^{*}=e_{i}=e_{i}^{2}$ und $e_{i}e_{j}=0$ für alle $i\not =j$. Dann ist die Familie aller endlichen Summen von Elementen dieser Familie ein aufsteigendes Netz von Orthogonalprojektionen, dessen Supremum man die Summe $\textstyle \sum _{i\in I}e_{i}$ nennt.
Ein Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ heißt vollständig additiv, wenn folgendes gilt: Ist $(e_{i})_{i\in I}$ eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen in $A$, so ist $\textstyle f(\sum _{i\in I}e_{i})=\sum _{i\in I}f(e_{i})$.

## Charakterisierung normaler Zustände

Definitionsgemäß ist die vollständige Additivität schwächer als die Normalität, da bei ersterer nur die Supremumsbildung ganz bestimmter Netze gefordert wird. Da Orthogonalprojektionen die Norm 1 haben, handelt es sich zudem um eine Bedingung, die auf die Einheitskugel $A_{1}$ von $A$ beschränkt ist. Es gilt:
Für einen Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:
* $f$ ist normal.
* $f$ ist vollständig additiv.
* Es gibt einen positiven Spurklasseoperator $s$ mit $f(a)=\mathrm {Sp} (sa)$ für alle $a\in A$
* $f$ ist bzgl. der ultraschwachen Topologie stetig.
* $f$ ist bzgl. der ultrastarken Topologie stetig.
* $f|_{A_{1}}$ ist bzgl. der schwachen Operatortopologie stetig.
* $f|_{A_{1}}$ ist bzgl. der starken Operatortopologie stetig.
Dabei bedeutet $f|_{A_{1}}$ die Einschränkung von $f$ auf die Einheitskugel $A_{1}$. Die ersten beiden Bedingungen beziehen sich nur auf die Ordnungsstruktur der Von-Neumann-Algebra und diese lässt sich sogar rein algebraisch definieren, denn $a\leq b$ ist äquivalent zu $b-a=c^{*}c$ für ein $c\in A$. Obiger Satz zeigt, dass diese Bedingungen zu rein topologischen Bedingungen äquivalent sind.

## Prädual

Die Stetigkeitsbedingungen in obiger Liste äquivalenter Bedingungen kann man auch an beliebige lineare Funktionale $A\rightarrow \mathbb {C}$ stellen; man spricht dann von normalen Funktionalen. Die normalen Funktionale bilden einen Unterraum des Dualraums $A^{\#}$ von $A$. Dieser ist normabgeschlossen und wird von den normalen Zuständen erzeugt; er wird mit $A_{\#}$ bezeichnet.
Jedes Element $a\in A$ der Von-Neumann-Algebra definiert mittels $\varphi _{a}(f):=f(a)$ ein stetiges lineares Funktional $\varphi _{a}$ auf $A_{\#}$ und man kann zeigen, dass $\varphi :A\rightarrow (A_{\#})^{\#},\,a\mapsto \varphi _{a}$ ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist $A$ der Dualraum von $A_{\#}$; letzteren nennt man daher den Prädualraum von $A$.
Diese Überlegungen zeigen, dass jede Von-Neumann-Algebra als Dualraum eines Banachraums auftritt. Nach einem Satz von S. Sakai charakterisiert dies die Von-Neumann-Algebren und den C*-Algebren.

## Darstellungen

Bekanntlich definiert jeder Zustand $f$ auf einer C*-Algebra $A$ mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi _{f}:A\rightarrow L(H_{f})$ in die Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum $H_{f}$. Ist $A$ eine Von-Neumann-Algebra und $f$ ein normaler Zustand, so ist $\pi _{f}$ ultraschwach stetig und das Bild $\pi _{f}(A)$ ist eine Von-Neumann-Algebra.