# Cartan-Unteralgebra

In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.

## Definition

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn
* $\underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb ,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}} _{n}]\dotsb ]]]=0$ für ein $n\in \mathbb {N}$ und
* $\forall Y\not \in {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\not \in {\mathfrak {a}}$
gilt.

## Beispiele

Eine Cartan-Unteralgebra von
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\}$
ist die Algebra der Diagonalmatrizen
    ${\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}$.
Jede Cartan-Unteralgebra ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ ist zu ${\mathfrak {a}}_{0}$ konjugiert.
Dagegen hat ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich
    ${\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$
und
    ${\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)$.

## Existenz und Eindeutigkeit

Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.
Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik $0$ gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.
Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen $\exp(\mathrm {ad} (X))$ erzeugt wird (für $X$ in der Lie-Algebra und $\mathrm {ad} (X)$ nilpotent).

## Eigenschaften

Wenn ${\mathfrak {g}}$ eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung $\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ auf ${\mathfrak {a}}$ ist simultan diagonalisierbar mit ${\mathfrak {a}}$ als Eigenraum zum Gewicht $0$. Das heißt, es gibt eine Zerlegung
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$
mit
    $\mathrm {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a}},Y\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }$
und
    ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a}}$.
Im Beispiel
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Spur} (A)=0\right\},$
    ${\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=0\right\}$
ist, wenn $e_{ij}$ die Elementarmatrix mit Eintrag $1$ an der Stelle $(i,j)$ und Einträgen $0$ sonst bezeichnet
    ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$
mit $\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }$ für
    $\alpha (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}$.