# Lie-Algebren-Kohomologie

In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur De-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

## Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}=\bigoplus _{k}\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}$ des dualen $\mathbb {R}$-Vektorraumes ${\mathfrak {g}}^{*}$ definieren wir für alle $k\in \mathbb {N}$ einen Operator
    $d^{k}:\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}^{*}$ wie folgt.
Sei
    $f\in \operatorname {Hom} (\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}},\mathbb {R} )\cong \Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}$,
dann definieren wir
    $d^{k}f\in \operatorname {Hom} (\Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}},\mathbb {R} )\cong \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}^{*}$
durch
    $d^{k}f(g_{1}\wedge \ldots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_{i},g_{j}\right]\wedge g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots {\hat {g_{j}}}\ldots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\leq i\leq k}\left(-1\right)^{i}f(g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots \wedge g_{k+1})$.
Der Komplex $(\Lambda {\mathfrak {g}}^{*},d^{\bullet })$ heißt Koszul-Komplex. Für alle $k\in \mathbb {N}$ gilt
    $d^{k}d^{k-1}=0$.
Die Lie-Algebren-Kohomologie von ${\mathfrak {g}}$ ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als
    $H^{k}({\mathfrak {g}}):=\ker(d^{k})/\operatorname {im} (d^{k-1})$.

## Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie

Für eine Lie-Gruppe $G$ mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der $G$-invarianten Differentialformen auf $G$:
    $(\Lambda {\mathfrak {g}}^{*},d^{\bullet })=(\Omega ^{G}(G),d)$,
die Lie-Algebren-Komologie von ${\mathfrak {g}}$ ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes $(\Omega ^{G}(G),d)$.
Élie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion
    $\Omega ^{G}(G)\subset \Omega ^{\bullet }(G)$
einen Isomorphismus der De-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen $G$ gilt also
    $H_{dR}^{\bullet }(G)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}})$.

## Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung $\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (V)$ die folgende Kohomologie-Konstruktion durchgeführt.
Für $k>0$ sei $C_{\pi }^{k}$ der Raum der $k$-linearen, alternierenden Abbildungen ${\mathfrak {g}}^{k}\rightarrow V$, für k=0 sei $C_{\pi }^{0}=V$. Ferner sei $\delta ^{k}:C_{\pi }^{k}\rightarrow C_{\pi }^{k+1}$ durch
    $(\delta ^{k}f)(g_{1}\wedge \ldots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_{i},g_{j}\right]\wedge g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots {\hat {g_{j}}}\ldots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\leq i\leq k+1}\left(-1\right)^{i}\pi (g_{i})f(g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots \wedge g_{k+1})$.
In der angegebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch $k+1$ dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt $\delta ^{k}\circ \delta ^{k+1}=0$, das heißt, es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus
    $Z_{\pi }^{k}=\mathrm {ker} (\delta ^{k})$
nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus
    $B_{\pi }^{k}=\mathrm {im} (\delta ^{k-1})$
heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen
    $H_{\pi }^{k}:=Z_{\pi }^{k}/B_{\pi }^{k}$
definiert, wobei im Falle $k=0$ der Korandoperator $\delta ^{-1}$ als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von ${\mathfrak {g}}$ mit Werten in $V$ bzgl. $\pi$.
Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch die Formel
    $(\rho (g)f)(h):=\pi (h)(f(g)),\quad g,h\in {\mathfrak {g}},f\in Z_{\pi }^{1}$
eine Darstellung $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (Z_{\pi }^{1})$ definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn $Z_{\pi }^{1}=B_{\pi }^{1}$ ist, das heißt, wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse:
1. Lemma von Whitehead: Ist ${\mathfrak {g}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist $\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (V)$ eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist $H_{\pi }^{1}=\{0\}$.
2. Lemma von Whitehead: Ist ${\mathfrak {g}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist $\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (V)$ eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist $H_{\pi }^{2}=\{0\}$.
Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf $Z_{\pi }^{1}$:
* Ist ${\mathfrak {g}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist $0\rightarrow U\rightarrow V\,{\xrightarrow {\varphi }}\,W\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen ${\mathfrak {g}}$-Moduln, so zerfällt diese, das heißt, es gibt einen ${\mathfrak {g}}$-Modul-Morphismus $\psi :W\rightarrow V$ mit $\varphi \circ \psi =\mathrm {id} _{W}$.
Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.
Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi.