# Pythagoreische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine pythagoreische Primzahl (vom englischen pythagorean prime) eine Primzahl $p\in \mathbb {N}$ der Form $p=4n+1$ mit $n\in \mathbb {N}$ (nicht zu verwechseln mit Pythagoraszahl). Ist eine Primzahl keine pythagoreische Primzahl, so heißt sie nicht-pythagoreische Primzahl.

## Beispiele

* Die kleinsten pythagoreischen Primzahlen sind die folgenden:
    5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397, 401, 409, 421, 433, 449, 457, 461, 509, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 617, … (Folge A002144 in OEIS)

## Eigenschaften

* Jede pythagoreische Primzahl kann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden.
       Beweis:
          Der Beweis folgt direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten. Gelegentlich nennt man diesen Satz auch Girard’s Theorem.
       Beispiel:
          $41=4^{2}+5^{2}$, $101=1^{2}+10^{2}$, …
* Die Umkehrung der obigen Eigenschaft gilt ebenfalls:
    Ist die Summe von zwei Quadraten eine ungerade Primzahl, so ist sie eine pythagoreische Primzahl.
       Beweis:
          Der Beweis folgt ebenfalls direkt aus Fermatschem Satz über die Summe von zwei Quadraten:
          Für das Quadrat einer geraden Zahl $n:=2k$ mit $n,k\in \mathbb {Z}$ gilt: $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}\equiv 0{\pmod {4}}$.
          Für das Quadrat einer ungeraden Zahl $m:=2k+1$ mit $m,k\in \mathbb {Z}$ gilt: $m^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1{\pmod {4}}$.
          Für ungerade Primzahlen $p\in \mathbb {P}$ gilt: $p\equiv 1{\pmod {4}}$ (für pythagoreische Primzahlen) oder $p\equiv 3{\pmod {4}}$ (für nicht-pythagoreische Primzahlen).
          Die Summe von zwei Quadratzahlen ist aus obigen Gründen immer $\equiv 0{\pmod {4}}$, $\equiv 1{\pmod {4}}$ oder $\equiv 2{\pmod {4}}$, aber niemals $\equiv 3{\pmod {4}}$. Ist sie also eine ungerade Primzahl, so bleibt nur $\equiv 1{\pmod {4}}$ übrig und das sind genau die pythagoreischen Primzahlen. $\Box$
* Für jede pythagoreische Primzahl $p\in \mathbb {P}$ gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge ${\sqrt {p}}$, welches ganzzahlige Kathetenlängen hat.
       Beweis:
          Siehe Satz des Pythagoras
* Ist die Primzahl $p\in \mathbb {P}$ die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist $p$ eine pythagoreische Primzahl und größter Teil eines pythagoreischen Tripels.
* Es gibt unendlich viele pythagoreische Primzahlen.
       Beweis:
          Siehe Dirichletscher Primzahlsatz

## Das Primrennen zwischen 4n+1 und 4n+3

Sei $x\in \mathbb {N}$. Dann gilt:
    Die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen (der Form $4n+1$) bis $x$ ist annähernd gleich wie die Anzahl der nicht-pythagoreischen Primzahlen (der Form $4n+3$) bis $x$. Im Speziellen ist die Anzahl der pythagoreischen Primzahlen bis $x$ oft etwas kleiner. Dieses Phänomen nennt man auf Englisch Chebyshev’s bias und stammt vom Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow.

### Beispiele

* Bis $x=600000$ gibt es nur zwei Zahlen, unter denen mehr pythagoreische Primzahlen (der Form $4n+1$) als nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen (der Form $4n+3$) existieren, nämlich $26861$ und $26862$. Zwischen $26863$ und $26878$ sind es gleich viele und ab $26879$ gibt es wieder mehr nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen.
* Die folgende Liste zeigt an, wann ein „Führungswechsel“ im „Rennen“ pythagoreische Primzahlen gegen nicht-pythagoreische (ungerade) Primzahlen stattfindet (auf Englisch Where prime race 4n-1 vs. 4n+1 changes leader):
    3, 26861, 26879, 616841, 617039, 617269, 617471, 617521, 617587, 617689, 617723, 622813, 623387, 623401, 623851, 623933, 624031, 624097, 624191, 624241, 624259, 626929, 626963, 627353, 627391, 627449, 627511, 627733, 627919, 628013, 628427, 628937, 629371, … (Folge A007350 in OEIS)

## Zusammenhang mit Gaußschen Primzahlen

Die Norm einer Gaußschen Zahl der Form $x+\mathrm {i} \cdot y$ ist $\|x+\mathrm {i} \cdot y\|=x^{2}+y^{2}$. Es gilt:
* Eine pythagoreische Primzahl (inklusive der Primzahl $p=2$) kann immer als Norm einer Gaußschen ganzen Zahl dargestellt werden. Ungerade nicht-pythagoreische Primzahlen können das nicht.
* Eine pythagoreische Primzahl ist keine Primzahl in der Menge der Gaußschen Primzahlen. Der Realteil $x$ und der Imaginärteil $y$ ihrer Primfaktoren in dieser Faktorisierung sind die Kathetenlängen des rechtwinkligen Dreiecks mit gegebener Hypotenusenlänge $p$.
       Beweis:
          Es kann jede pythagoreische Primzahl $p=x^{2}+y^{2}$ zerlegt werden in $p=x^{2}+y^{2}=(x+\mathrm {i} \cdot y)\cdot (x-\mathrm {i} \cdot y)$.
* Vergleiche dazu auch die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis.

## Quadratische Reste

* Seien $p,q\in \mathbb {P}$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei mindestens eine der beiden eine pythagoreische Primzahl sein soll. Dann gilt:
       $p$ ist quadratischer Rest modulo $q$ genau dann, wenn $q$ quadratischer Rest modulo $p$ ist.
    Mit anderen Worten:
    Seien $p,q\in \mathbb {P}$ mit $p>2,q>2,p\not =q$ und $p\equiv 1{\pmod {4}}$. Dann gilt mit dem Legendre-Symbol:
       $\left({\frac {p}{q}}\right)=1\Longleftrightarrow \left({\frac {q}{p}}\right)=1$
    Beispiel:
       Sei $p=37\equiv 1{\pmod {4}}$ und $q=47\equiv 3{\pmod {4}}$. Dann ist $15^{2}=225\equiv 37{\pmod {47}}$ und somit ist $37$ quadratischer Rest modulo $47$. Umgekehrt ist $11^{2}=121\equiv 84\equiv 47\equiv 10{\pmod {37}}$ und somit ist $47$ quadratischer Rest modulo $37$.
* Seien $p,q\in \mathbb {P}$ zwei verschiedene ungerade Primzahlen, wobei beide nicht-pythagoreische Primzahlen sein sollen. Dann gilt:
       $p$ ist quadratischer Rest modulo $q$ genau dann, wenn $q$ kein quadratischer Rest modulo $p$ ist.
    Mit anderen Worten:
    Seien $p,q\in \mathbb {P}$ mit $p>2,q>2,p\not =q$ und $p,q\equiv 3{\pmod {4}}$. Dann gilt:
       $\left({\frac {p}{q}}\right)=1\Longleftrightarrow \left({\frac {q}{p}}\right)=-1$
    Beispiel:
       Sei $p=47\equiv 3{\pmod {4}}$ und $q=43\equiv 3{\pmod {4}}$. Dann ist $41^{2}=1681\equiv 47\equiv 4{\pmod {43}}$ und somit ist $47$ quadratischer Rest modulo $43$. Umgekehrt gibt es aber kein $x$ mit $x^{2}\equiv 43{\pmod {47}}$ und somit ist $43$ kein quadratischer Rest modulo $47$.