# Pushout

Das Pushout (auch Kofaserprodukt, kokartesisches Quadrat, Fasersumme, amalgamierte Summe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion.

## Pushout von Moduln

Es seien $\alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}$ und $\alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}$ zwei Homomorphismen zwischen Moduln über einem Ring $R$. Setzt man $Q:=\{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):\,x\in X\}\subset X_{1}\oplus X_{2}$, so ist das Pushout von $\alpha _{1}$ und $\alpha _{2}$ definiert als
    $P:=(X_{1}\oplus X_{2})/Q$ mit den Homomorphismen
    $\varphi _{1}:X_{1}\rightarrow P,\,\varphi _{1}(x_{1}):=(x_{1},0)+Q$ und
    $\varphi _{2}:X_{2}\rightarrow P,\,\varphi _{2}(x_{2}):=(0,-x_{2})+Q$
Man kann zeigen, dass $\varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}$ und dass $P,\varphi _{1},\varphi _{2}$ die folgende universelle Eigenschaft hat:
Ist $Y$ irgendein $R$-Modul mit Homomorphismen $\psi _{1}:X_{1}\rightarrow Y$ und $\psi _{2}:X_{2}\rightarrow Y$, so dass $\psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}$, so gibt es genau einen Homomorphismus $\rho :P\rightarrow Y$ mit $\psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}$ und $\psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}$.

## Pushout in Kategorien

Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt.
Es seien $\alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}$ und $\alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}$ zwei Morphismen einer Kategorie. Ein Paar $(\varphi _{1},\varphi _{2})$ von Morphismen $\varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P$ dieser Kategorie heißt Pushout von $(\alpha _{1},\alpha _{2})$, falls gilt:
* $\varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}$
* Ist $(\psi _{1},\psi _{2})$ ein Paar von Morphismen $\psi _{i}:X_{i}\rightarrow Y$ mit $\psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}$, so gibt es genau einen Morphismus $\rho :P\rightarrow Y$ mit $\psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}$ und $\psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}$.
Manchmal nennt man nur das Objekt $P$ ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen $\varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P$ gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm
${\begin{array}{ccc}X&\xrightarrow {\alpha _{1}} &X_{1}\\\downarrow _{\alpha _{2}}&&\downarrow _{\varphi _{1}}\\X_{2}&\xrightarrow {\varphi _{2}} &P\end{array}}$
wird bisweilen als Pushout bezeichnet. Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise $P=X_{1}\sqcup _{X}X_{2}$.

## Beispiele

* Jedes Pullback in einer Kategorie ${\mathcal {K}}$ ist ein Pushout in der dualen Kategorie ${\mathcal {K}}^{op}$, denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
* In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zu
${\begin{array}{ccc}X&\xrightarrow {\alpha _{1}} &X_{1}\\\downarrow _{0}&&\\0&&\end{array}}$
    gleich dem Kokern von $\alpha _{1}$.
* Ist mit obigen Bezeichnungen $X$ das Nullobjekt einer additiven Kategorie, so ist das Pushout gleich der direkten Summe $X_{1}\oplus X_{2}$.
* Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der $R$-Moduln stets Pushouts gibt.
* In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt $X_{1}*X_{2}$ modulo dem von $\{\alpha _{1}(x)\alpha _{2}(x)^{-1}:\,x\in X\}$ erzeugten Normalteiler $N$ mit den natürlichen Abbildungen $\varphi _{i}:X_{i}\rightarrow X_{1}*X_{2}\rightarrow X_{1}*X_{2}/N$ Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert-van Kampen auf.
* In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt $X_{1}\otimes _{X}X_{2}$ versehen mit der Eins $1\otimes 1$ und der durch $(a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)$ bestimmten Multiplikation.
* In der Kategorie der Mengen ist das Pushout $(X_{1}\sqcup X_{2})/{\sim }$, wobei $\sim$ die von $\{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):x\in X\}$ erzeugte Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung $X:=X_{1}\sqcup X_{2}$ ist.
* Ähnlich lassen sich Pushouts von topologischen Räumen beschreiben. Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle.