# Klassifizierender Raum von O(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BO} (n)$ der $n$-ten orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (n)$ klassifiziert $\operatorname {O} (n)$-Prinzipalbündel (auch $\operatorname {O} (n)$-Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein $\operatorname {O} (n)$-Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach $\operatorname {BO} (n)$ entspricht. $\operatorname {BO} (n)$ ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines $\operatorname {O} (n)$-Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt.

## Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch $\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:
    $\operatorname {BO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k}).$
Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:
    $\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {O} (n+k)/(\operatorname {O} (n)\times \operatorname {O} (k))$
überträgt sich die Gruppenstruktur auf $\operatorname {BO} (n)$.

## Grundlegender Zusammenhang

Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum $\operatorname {EO} (n)$ der $n$-ten orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (n)$ ist schwach zusammenziehbar und verfügt über eine Gruppenwirkung von $\operatorname {O} (n)$, wobei der Orbitraum $\operatorname {EO} (n)/\operatorname {O} (n)$ genau $\operatorname {BO} (n)$ ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle $\operatorname {O} (n)$-Prinzipalbündel $\operatorname {EO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (n),x\mapsto [x]$ mit Faser $\operatorname {O} (n)$, welches universelles $\operatorname {O} (n)$-Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes $\operatorname {O} (n)$-Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum $X$ lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung $X\rightarrow \operatorname {BO} (n)$ erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche $\operatorname {O} (n)$-Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:
    $\operatorname {Bund} _{\operatorname {O} (n)}(X):=\left\{\operatorname {O} (n){\text{-Prinzipalbündel über }}X\right\}/\sim _{\mathrm {iso} }\cong [X,\operatorname {BO} (n)].$

## Kleinster klassifizierender Raum

Es ist $\operatorname {O} (1)=\mathbb {Z} _{2}$, wobei $\operatorname {BO} (1)=\mathbb {R} P^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}$ der unendliche reelle projektive Raum ist und $\operatorname {EO} (1)=S^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}$ die $\infty$-Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen $\mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1}$ beziehungsweise $S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}$. Erstaunlicherweise ist die $\infty$-Sphäre $S^{\infty }$ wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar und sogar zusammenziehbar, obwohl keine der Sphären $S^{n}$ (schwach) zusammenziehbar ist.

## Kohomologie

Für den Kohomologiering von $\operatorname {BO} (n)$ gilt:
    $H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].$

## Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)$ auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:
    $\operatorname {O} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$
    $\operatorname {BO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BO} (n)$
bezeichnet. $\operatorname {BO}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\operatorname {O}$.