# Klassifizierender Raum von SO(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSO} (n)$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ ist der Basisraum des universellen $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündels $\operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$. Das bedeutet, dass $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in $\operatorname {BSO} (n)$ stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.

## Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:
    $\operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).$
Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:
    ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))$
überträgt sich die $\operatorname {SO} (n+k)$-Wirkung auf $\operatorname {BSO} (n)$.

## Kleinster klassifizierender Raum

* Es ist $\operatorname {SO} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe und daher $\operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}$ der triviale topologische Raum.
* Es ist $\operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)$ und daher $\operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$ der unendliche komplexe projektive Raum.

## Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Für einen topologischen Raum $X$ sei $\operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)$ die Menge der $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist $X$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:
    $[X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)$
bijektiv.

## Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSO} (n)$ mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} _{2}$ wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:
    $H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].$
Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik $\operatorname {char} =2$.
Der Kohomologiering von $\operatorname {BSO} (n)$ mit Koeffizienten im Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:
    $H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),$
    $H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$
Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik $\operatorname {char} \neq 2$.

## Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:
    $\operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n)$
    $\operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n)$
bezeichnet. $\operatorname {BSO}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\operatorname {SO}$.