# Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

## Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.
Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.

## Erste Ungleichung

Im Folgenden seien $E_{i}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$. Es bezeichne $\mathbb {P} (E_{i})$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{i}$ und $\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}$ die Vereinigungsmenge der Ereignisse $E_{1},\dots ,E_{n}$. Bekannterweise gilt:
    $\mathbb {P} \left(E_{1}\bigcup E_{2}\right)=\mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)-\mathbb {P} \left(E_{1}\bigcap E_{2}\right)\leq \mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)$
Allgemeiner gilt:
    $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)$.
Es gilt auch allgemeiner:
    $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(E_{i}\right)$
Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

### Beweis

Setzt man
    $A_{i}=E_{i}\setminus \left(\bigcup _{j=1}^{i-1}E_{j}\right),$
dann sind die $A_{i}$ paarweise disjunkt und es gilt
    $\bigcup _{i}A_{i}=\bigcup _{i}E_{i}.$
Damit folgt
    $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (E_{i}).$
Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen $A_{i}\subseteq E_{i}$ und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

## Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder $E_{i}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$. Ferner bezeichne ${\overline {E_{i}}}=\Omega \setminus E_{i}$ das Komplement von $E_{i}$. Dann folgt:
    $\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{n}E_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left({\overline {E_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)-(n-1)$

## Dritte Ungleichung

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):
    $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}{E_{i}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)-\sum _{i,j=1,\ldots ,n \atop \;{\text{mit}}\;i<j}\mathbb {P} \left({E_{i}\cap E_{j}}\right)$

## Beispiele

* Es ist $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne $E_{1}=\{2,4,6\}$ das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und $E_{2}=\{5,6\}$ das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt $\mathbb {P} (E_{1})={\frac {1}{2}}$ und $\mathbb {P} (E_{2})={\frac {1}{3}}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also $E=\{2,4,5,6\}$,
    $\mathbb {P} \left(E_{1}\cup E_{2}\right)\leq \mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}}.$
* Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also $E_{3}=\{6\}$:
    $\mathbb {P} \left(E_{1}\cap E_{2}\right)\geq 1-\mathbb {P} \left({\overline {E_{1}}}\right)-\mathbb {P} \left({\overline {E_{2}}}\right)=1-\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {1}{6}}$
    Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.
    Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also $E=\{2,4\}$,
    $\mathbb {P} \left(E_{1}\cap {\overline {E_{2}}}\right)\geq 1-\mathbb {P} \left({\overline {E_{1}}}\right)-\mathbb {P} \left(E_{2}\right)=1-\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(1-{\frac {2}{3}}\right)={\frac {1}{6}}.$