# Bonferroni-Korrektur

Die Bonferroni-Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einzeltests bei multiplen Testen, um der Alphafehler-Kumulierung entgegenzuwirken und für die Durchschnittshypothese ein vorgegebenes Signifikanzniveau einzuhalten. Die Adjustierung vermindert die Signifikanzniveaus der Einzeltests und damit tendenziell die Anzahl der Ablehnungen richtiger Nullhypothesen (falsch-positiver Befunde in biometrischer Terminologie), so dass die verbleibenden Ablehnungen von Nullhypothesen mit einer höheren statistischen Signifikanz verbunden sind. Die Bonferroni-Methode (nach Carlo Emilio Bonferroni) umfasst neben der Bonferroni-Korrektur ein ähnliches Vorgehen zur Anpassung der Konfidenzniveaus bei der Konstruktion simultaner Konfidenzintervalle für einen mehrdimensionalen Parametervektor.

## Adjustierte Signifikanzniveaus

Zu $k\geq 2$ statistischen Tests mit den Nullhypothesen $H_{1},\dots ,H_{k}$ kann die Durchschnittshypothese $H_{0}=\cap _{j=1}^{k}H_{j}$ gebildet werden. Die Hypothesen $H_{1},\dots ,H_{k}$ heißen in diesem Zusammenhang Elementarhypothesen und $H_{0}$ heißt Globalhypothese. Ein Test für die Nullhypothese $H_{0}$ kann auf den Tests für die einzelnen Elementarhypothesen aufgebaut werden, da die Nullhypothese $H_{0}$ genau dann falsch ist, wenn mindestens eine der Elementarhypothesen falsch ist. Eine mögliche Testprozedur besteht also darin, $H_{0}$ genau dann abzulehnen, wenn mindestens eine der Hypothesen $H_{1},\dots ,H_{k}$ abgelehnt wird. Ein vorgegebenes globales Signifikanzniveau $\alpha _{\text{global}}\in (0,1)$ für den Test von $H_{0}$ kann im Allgemeinen nicht eingehalten werden, wenn dieses als Signifikanzniveau für jeden der Einzeltests verwendet wird, da es dann zur so genannten Alphafehler-Kumulierung kommen kann.
Um das gewünschte globale Signifikanzniveau $\alpha _{\text{global}}\in (0,1)$ für den Test der Globalhypothese $H_{0}$ einzuhalten, besteht die Bonferroni-Korrektur darin, für die einzelnen Tests das lokale Signifikanzniveau
    $\alpha _{\text{lokal}}={\frac {\alpha _{\text{global}}}{k}}$
vorzugeben. Die so angepassten Signifikanzniveaus
    $\alpha _{j}=\alpha _{\text{lokal}}\quad {\text{für }}j=1,\dots ,k$
für die Einzeltests werden auch adjustierte Signifikanzniveaus genannt. Die Verwendung der adjustierten Signifikanzniveaus führt dazu, das für den Test der Globalhypothese das Signifikanzniveau $\alpha _{\text{global}}$ gültig ist.

## Adjustierte p-Werte

Bei einer klassischen Testdurchführung erfolgt die Ablehnung einer Nullhypothese, falls eine Teststatistik im Ablehnbereich (kritischen Bereich) liegt, der vom vorgegebenen Signifikanzniveau abhängt. Bei einer $p$-Wert-basierten Testdurchführung, die typisch für die Anwendung statistischer Software ist, wird ein berechneter $p$-Wert mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau verglichen und die Nullhypothese wird abgelehnt, falls der $p$-Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau ist.
Bei einer $p$-Wert-basierten Testdurchführung wird die Bonferroni-Korrektur durchgeführt, indem die $p$-Werte der Einzeltests mit den adjustierten Signifikanzniveaus verglichen werden, dabei wird die $j$-te Nullhypothese abgelehnt, falls $p_{j}<\alpha _{\text{lokal}}$ gilt.
Alternativ können adjustierte $p$-Werte
    $p_{j}^{*}=p_{j}\cdot k,\quad j=1,\dots ,k$
für die Einzeltests gebildet werden, die um den Faktor $k$ größer sind als die ursprünglichen $p$-Werte, und diese mit dem globalen Signifikanzniveau verglichen werden. Die $j$-te Nullhypothese wird abgelehnt, falls $p_{j}^{*}<\alpha _{\text{global}}$ gilt.
Beide Vorgehensweisen führen zu denselben Testentscheidungen, da die beiden Regeln $p_{j}<\alpha _{\text{lokal}}$ und $p_{j}^{*}<\alpha _{\text{global}}$ äquivalent sind.

## Beispiel

Gegeben seien die p-Werte $p_{1}=0{,}01,p_{2}=0{,}04,p_{3}=0{,}1$ dreier Hypothesentests, die eine Hypothesenfamilie bilden. Unter Vernachlässigung der multiplen Testung und alleiniger Betrachtung lokaler Signifikanzniveaus $\alpha _{\text{lokal}}=0{,}05$ erfolgt die Ablehnung der Nullhypothesen 1 und 2, da $p_{1}<\alpha _{\text{lokal}}$ und $p_{2}<\alpha _{\text{lokal}}$, während die dritte Hypothese nicht abgelehnt wird, da $p_{3}>\alpha _{\text{lokal}}$. Berücksichtigt man jedoch die Bonferroni-Korrektur (mit $\alpha _{\text{global}}=0{,}05\implies \alpha _{\text{lokal}}=\alpha _{\text{global}}/3\approx 0{,}0166$), so erfolgt nur noch die Ablehnung der Nullhypothese 1, da $p_{1}<\alpha _{\text{lokal}}$ und $p_{2}>\alpha _{\text{lokal}},p_{3}>\alpha _{\text{lokal}}$.

## Theoretischer Hintergrund

Die Globalhypothese $H_{0}$ wird genau dann abgelehnt, wenn mindestens eine Elementarhypothesen abgelehnt wird. Das Ereignis $\{H_{0}{\text{ wird abgelehnt}}\}$ kann als Vereinigung der Ereignisse $\{H_{j}{\text{ wird abgelehnt}}\}$ für $j=1,\dots ,k$ dargestellt werden. Mit der ersten Bonferroni-Ungleichung, die auch Boolesche Ungleichung heißt, ergibt sich die Ungleichung
    $P(H_{0}{\text{ wird abgelehnt}})=P\left(\bigcup _{j=1}^{k}\{H_{j}{\text{ wird abgelehnt}}\}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})\;.$
Betrachtet man den Fall, dass $H_{0}$ richtig ist, und damit auch die Hypothesen $H_{1},\dots ,H_{k}$ richtig sind, und beschränkt für diesen Fall die Wahrscheinlichkeiten $P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})$, die dann Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art sind, jeweils durch das lokale Signifikanzniveau $\alpha _{\text{lokal}}=\alpha _{\text{global}}/k$ nach oben, so ist $P(H_{0}{\text{ wird abgelehnt}})$ durch
    $\sum _{j=1}^{k}P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})\leq \sum _{j=1}^{k}\alpha _{\text{lokal}}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\alpha _{\text{global}}}{k}}=\alpha _{\text{global}}$
nach oben beschränkt.
Die Bonferroni-Korrektur kann sehr konservativ sein. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den $\alpha$-Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung). Im Vergleich zur allgemein anwendbaren Bonferroni-Methode ergibt sich, allerdings nur unter einschränkenden Voraussetzungen, mit der Šidák-Korrektur ein verbessertes Verfahren.