# Lagrange-Identität (Randwertprobleme)

Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.

## Definition

Die Lagrange-Identität für die Funktionen $\phi$, $\psi$ aus der Differentiationsklasse $\phi ,\psi \in C^{2}((a,b),\mathbb {R} )$ und den Koeffizientenfunktionen $w,q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )$, $p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )$ und $p,q>0$ ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator
    ${\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)$
für den gilt:
    ${\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggp(\phi \psi '-\psi \phi '){\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggpW(\phi ,\psi ){\bigg )}\end{aligned}}$
wobei $W(\phi ,\psi )$ die Wronski-Determinante der Funktionen $\phi ,\psi$ bedeutet.

## Herleitung

Sei ${\mathcal {L}}$ ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:
    $\phi {\mathcal {L}}\psi =\phi {\frac {-1}{w}}{\bigg{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\psi {\bigg )},$
und
    $\psi {\mathcal {L}}\phi =\psi {\frac {-1}{w}}{\bigg{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\phi {\bigg )}.$
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:
    $\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi =\phi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\psi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right).$
Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term ${\tfrac {-1}{w}}$ bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen $\textstyle \phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}$ und $\textstyle \psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}$. Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
    ${\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-{\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggp\left(\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggpW(\phi ,\psi ){\bigg )}.\\\end{aligned}}$