# Birkhoff-Integral

Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen $\textstyle \sigma$-endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem $\textstyle \sigma$-endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

## Definition

Es seien $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\textstyle \sigma$-endlicher Maßraum und $\textstyle (B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum und $\textstyle f\colon \Omega \to B$ eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:
* Für eine Menge $\textstyle \emptyset \neq M\subseteq B$ wird der Durchmesser definiert durch $\textstyle \mathrm {diam} (M):=\sup _{x,y\in M}\|x-y\|$.
* Für eine Menge $\textstyle \emptyset \neq M\subseteq B$ bezeichnet $\textstyle \mathrm {konv} (M)$ die konvexe Hülle von $\textstyle M$.
* Eine Teilmenge $\textstyle \Gamma$ der $\textstyle \sigma$-Algebra $\textstyle {\mathcal {A}}$ heißt abzählbare $\textstyle \mu$-Partition von $\textstyle \Omega$, wenn
** $\textstyle \Gamma$ eine abzählbare Partition von $\textstyle \Omega$ ist und
** jede Menge in $\textstyle \Gamma$ endliches Maß hat, also gilt $\textstyle \forall M\in \Gamma :\mu (M)<\infty$.
Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:
    $\textstyle f$ heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren $\textstyle \mu$-Partition $\textstyle \Gamma$ von $\textstyle \Omega$, wenn gilt: $\textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}$ ist unbedingt konvergent.
Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der $\textstyle \mu$-Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser $\textstyle \mu$-Partition gesammelt:
    $\sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M):={\bigg \\sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}\,{\Big |}\,\forall \,M\in \Gamma :b_{M}\in f(M){\bigg \}}$.
Man nennt $\textstyle f$ (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge $\textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von abzählbaren $\textstyle \mu$-Partitionen gibt mit $\textstyle \forall \,i\in \mathbb {N} :f$ ist unbedingt summierbar unter $\textstyle \Gamma _{i}$ und zudem noch gilt
    $\displaystyle \lim _{i\to \infty }\mathrm {diam} {\bigg{\overline {\mathrm {konv} {\Big\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}{\bigg )}=0$.
Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element $\textstyle b$ im Durchschnitt
    $\bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {{\rm {konv}}{\Big\sum _{M\in \Gamma _{i}}\mu (M)f(M){\Big )}}}$.
Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge $\textstyle (\Gamma _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man
    $\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=b$.

## Vergleich mit anderen Integralbegriffen

* Jede auf einem $\textstyle \sigma$-endlichen Maßraum definierte Bochner-integrierbare Funktion ist auch Birkhoff-integrierbar und die entsprechenden Integralwerte stimmen dann überein. Es gibt jedoch Birkhoff-integrierbare Funktionen, die nicht Bochner-integrierbar sind.
* Wird die Definition des Riemann-Integrals direkt mittels Riemann-Summen auf banachraumwertige Funktionen verallgemeinert, so ist im Allgemeinen nicht mehr jede Riemann-integrierbare Funktion auch Bochner-integrierbar, aber dafür Birkhoff-integrierbar.
* Ein Beispiel für eine nicht Bochner-integrierbare aber Birkhoff-integrierbare (sogar Riemann-integrierbare) Funktion ist:
       Sei $\textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{i\in [0,1]}\in \mathbb {R} ^{[0,1]}\;{\Big |}\;\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}<\infty \right\}\,$ versehen mit der Norm $\textstyle \|(x_{i})_{i\in [0,1]}\|:={\sqrt {\left(\sum _{i\in [0,1]}x_{i}^{2}\right)}}$, siehe allgemeiner $\textstyle \ell ^{p}$-Raum und $\textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);\,x\mapsto \chi _{\{x\}}$, wobei das Bild von $\textstyle x$ unter $\textstyle f$ gerade die Charakteristische Funktion von $\textstyle x$ ist.
       $\textstyle f$ ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre $\textstyle f$ auch $\textstyle \mu$-messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass $\textstyle f$ nicht $\textstyle \mu$-messbar ist, denn $\textstyle f\left([0,1]\right)$ ist nicht $\textstyle \mu$-fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von $\textstyle f$ ist $\textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;\,x\mapsto 0$.
* Jede Birkhoff-integrierbare Funktion ist Pettis-integrierbar.

## Eigenschaften

* Das Birkhoff-Integral ist linear. Für zwei Birkhoff-integrierbare Funktionen $\textstyle f,g\colon \Omega \to B$ und $\alpha ,\beta \in \mathbb {K}$ ist auch $\alpha f+\beta g$ Birkhoff-integrierbar und es gilt:
       $\int _{\Omega }\alpha f+\beta g\,{\rm {d}}\mu =\alpha \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu +\beta \int _{\Omega }g\,{\rm {d}}\mu$.
* Für die Birkhoff-Integrierbarkeit von $\textstyle f\colon \Omega \to B$ gibt es eine relativ neue äquivalente Charakterisierung, siehe M. Potyrala:
       $f$ ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit $\textstyle x=\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu$ wenn gilt
       $\forall \,\varepsilon >0\,\exists \,$ eine abzählbare $\textstyle \mu$-Partition $\textstyle \Gamma :f$ ist unbedingt summierbar unter $\textstyle \Gamma$ und $\textstyle \;\;\sup {\Big \\,\|y-x\|\,{\Big |}\,y\in \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)f(M)\,{\Big \}}<\varepsilon$.
* Es sei $\textstyle D$ ein weiterer Banachraum, $f\colon \Omega \to B$ Birkhoff-integrierbar und $\textstyle T\in L(B,D)$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist die Verkettung $\textstyle T\circ f\colon \Omega \to D$ eine Birkhoff-integrierbare Funktion und es gilt:
       $T\left(\int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f\mathrm {d} \mu$.