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# Der Lumpenmann

Der Lumpenmann ist eine vom Fernsehen der DDR produzierte Komödie von Jochen Thomas aus dem Jahr 1982 mit Herbert Köfer in der Titelrolle.

## Handlung

Altwarenhändler Richard Müller ist ein bodenständiger älterer Herr, der sich selbst den Kosenamen „Lumpenmann“ gibt. Während er mit den einfachen Leuten seiner Wohngegend Umgang hat und dabei sehr glücklich ist, hat sein Sohn Peter eine höhere Laufbahn eingeschlagen. Peter studiert Medizin und heiratet demnächst in eine hoch angesehene Familie ein, wo der Vater Baudirektor ist. Seinem künftigen Schwiegereltern erzählt er, sein Vater Richard sei Leiter der „Abteilung zur Organisation und Beschaffung von Sekundärrohstoffe“, weil er vor ihnen nicht als der Sohn eines einfachen Altstoffhändlers dastehen will. Peter gibt sich alle Mühe, seine Lüge aufrechtzuerhalten, doch angesichts der bevorstehenden Verlobung muss er seinem Vater die Wahrheit sagen. Richard ist zunächst erbost, dass sich Peter seiner Herkunft wegen schämt, lässt sich dann aber doch überreden mitzuspielen. Allerdings hat Richard dabei einen ganz anderen Hintergedanken, denn bei der anstehenden Sanierung der Straße seines Wohngebietes, will die Baufirma der Einfachheit halber die noch vorhandenen alten Straßenbahnschienen einfach zuasphaltieren, anstatt sie vorher zu entfernen. Und das geht einem Rohstoffhändler gehörig gegen den Strich. Deshalb will er mit der übergeordneten Instanz sprechen und das ist Baudirektor Willi Kurski, den Richard nun privat aussucht.
Willi Kurski, Peters zukünftiger Schwiegervater, hatte sich bei einem Bekannten über den angeblichen Abteilungsleiter Müller erkundigt. Da es im Ministerium tatsächlich einen R. Müller bei der „Abteilung zur Organisation und Beschaffung von Sekundärrohstoffen“ gibt, geht Baudirektor Willi Kurski davon aus, dass es sich dabei nur um Peters Vater handeln kann. Als dieser nun so ganz überraschend vor der Tür steht, weiß Kurski nicht so recht, wie er mit einem Ministeriumsmitglied umgehen soll und ist deshalb offen für Richards Anliegen. Doch schon bald findet Kurski den Schwindel heraus und setzt zum Gegenschlag an. Er erscheint kurzerhand bei Richard in dessen Altstoff-Aufkaufstelle unter dem Vorwand Flaschen abzugeben. Obwohl Richard anfangs leugnet der Müller zu sein den Kurski als angeblichen Abteilungsleiter kennt zu sein, gibt er es am Ende aber zu und so klärt sich alles auf. Beide sind froh, dass sie zukünftig normal miteinander umgehen können und sich niemand mehr verstellen muss.

## Produktion

Der Film erlebte am 31. Januar 1982 im 1. Programm des Fernsehens der DDR seine Erstausstrahlung.

## Rezeption

Der Filmdienst bezeichnete den Film als ein „Heiter-besinnliches Fernsehspiel“.
# Der Läufer

Der Läufer bezeichnet verschiedene Werke:
Siehe auch:
# Granville

Granville steht für:
* Earl Granville, ein Adelstitel
* Granville Sharp (1735–1813), Gegner der Sklaverei und einer der Gründer der britischen abolitionistischen Bewegung
* Granville Brothers Aircraft, US-amerikanischer Flugzeughersteller
* Granville (Schiff), Schnellfähre im Verkehr zwischen Frankreich und den Kanalinseln
Granville ist der Familienname folgender Personen:
* Andrew Granville (* 1962), britischer Mathematiker
* Bonita Granville (1923–1988), US-amerikanische Schauspielerin und Filmproduzentin
* Christine Granville, Deckname der britisch-polnischen Agentin Krystyna Skarbek (1908–1952)
* Daniel Granville West, Baron Granville-West (1904–1984), britischer Politiker der Labour Party
* Danny Granville (* 1975), englischer Fußballspieler
* Edgar Granville, Baron Granville of Eye (1898–1998), britischer Politiker
* Edward Montagu-Granville-Stuart-Wortley, 1. Earl of Wharncliffe (1827–1899), britischer Adliger und Politiker
* Evelyn Boyd Granville (1924–2023), US-amerikanische Mathematikerin und Informatikerin
* Fred LeRoy Granville (1896–1932), Kameramann
* Harley Granville-Barker (1877–1946), britischer Dramatiker, Theaterregisseur, Theaterleiter und Schauspieler
* Joseph Mortimer Granville (1833–1900), britischer Arzt und Erfinder des elektrischen Vibrators
* Laura Granville (* 1981), US-amerikanische Tennisspielerin
* Mary Granville, Geburtsname von Mary Delany (1700–1788), englische Künstlerin
* Roy Granville (1910–1986), US-amerikanischer Tontechniker und Spezialeffektkünstler
* Timothy Granville-Chapman (* 1947), britischer General
Granville ist der Name folgender geografischer Objekte
in Australien:
* Granville (New South Wales), westlicher Vorort von Sydney
* Granville (Queensland), Vorort von Maryborough
* Granville (Western Australia), Ort in Western Australia
* Granville Harbour, Ort an der Westküste von Tasmanien
in Frankreich:
in Kanada:
in den Vereinigten Staaten:
* Granville (Arizona), gemeindefreies Gebiet im Greenlee County, Arizona
* Granville (Illinois), Dorf (Village) im Putnam County, Illinois
* Granville (Indiana), gemeindefreies Gebiet im Delaware County, Indiana
* Granville (Iowa), Stadt (City) im Sioux County, Iowa
* Granville (Massachusetts), Stadt (Town) im Hampden County, Massachusetts
* Granville (Missouri), gemeindefreies Gebiet im Monroe County, Missouri
* Granville (Town, New York)
* Granville (Village, New York) innerhalb des Towns
* Granville (North Dakota), Stadt (City) im McHenry County, North Dakota
* Granville (Ohio), Dorf (Village) im Licking County, Ohio
* Granville (Pennsylvania), census-designated place im Mifflin County, Pennsylvania
* Granville (Tennessee), gemeindefreies Gebiet im Jackson County, Tennessee
* Granville (Vermont), Stadt (Town) im Addison County, Vermont
* Granville (West Virginia), Stadt (Town) im Monongalia County, West Virginia
* Granville (Wisconsin), Ort im Milwaukee County, Wisconsin
* Granville County, South Carolina
Siehe auch:
* Grandville (Begriffsklärung)
* Granville Township
* Grenville
# Der Wassermann (Dvořák)

Der Wassermann (Vodník) op. 107 ist eine Sinfonische Dichtung des Komponisten Antonín Dvořák.

## Entstehung

Nach Dvořáks Rückkehr von der Dozententätigkeit an der US-amerikanischen National Conservatory of Music in seine Heimat schrieb der Komponist mehrere sinfonische Dichtungen, die – bis auf Heldenlied, für das Dvořák ein eigenes Programm entwickelte – auf Stoffen aus der Balladensammlung »Kytice« (Blumenstrauß) des tschechischen Dichters Karel Jaromír Erben beruhen.

## Zur Musik
### Besetzung

Piccoloflöte, zwei Flöten, zwei Oboen, Englischhorn, zwei Klarinetten, Bassklarinette, zwei Fagotte, vier Hörner, zwei Trompeten, drei Posaunen, zwei Tuben, Pauke, Große Trommel, Becken, Triangel, Gong, Glocken und Streicher.

### Inhalt

Ein Mädchen wird beim Kleiderwaschen am See vom Wassermann entführt und muss mit ihm unter Wasser leben. Sie wird von ihm schwanger und bringt ein Kind zur Welt. Als sie ihre Mutter besuchen will, muss sie das Kind als Pfand beim Wassermann zurücklassen. Nach Ablauf der Frist ohne einer Rückkehr des Mädchens tötet der Wassermann aus Wut das Kind und wirft dessen Leiche vor die Haustür der Mutter.
Das aus einem rhythmischen Ostinato bestehende Motiv des als Rondo gestalteten Stückes stellt den Wassermann dar und bildet zugleich die Grundlage für alle in Der Wassermann enthaltenen Themen. Dies verdeutlicht, dass das Schicksal des Mädchens und seiner Mutter dem Handeln des Wassermanns ausgeliefert ist. Die durch ihn ausgeführte Tötung des Kindes ist mit entsprechenden musikalischen Mitteln dargestellt, wird aber von einem versöhnlichen Schluss ausgeglichen.

## Wirkung

Der Wassermann fand seine Uraufführung durch Anton Bennewitz gemeinsam mit Die Mittagshexe (op. 108) und Das goldene Spinnrad (op. 109) am 3. Juni 1896 im Prager Konservatorium. Dieser privaten Veranstaltung folgten Aufführungen durch Henry Wood und Hans Richter in London.

## Belege

* Christoph Hahn, Siegmar Hohl (Hrsg.): Bertelsmann Konzertführer, Komponisten und ihre Werke. Bertelsmann, Gütersloh / München 1993, ISBN 3-570-10519-9.
* Klaus Stübler (Hrsg.): Harenberg Konzertführer, Meyers, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 2004, ISBN 978-3-411-76105-0.
# Dean MacCannell

Dean MacCannell (geboren 25. Mai 1940 in Olympia (Washington)) ist ein US-amerikanischer Soziologe.

## Leben

Dean MacCannell war ein Sohn des Earle H. MacCannell und der Helen Meskimen. Er hat zwei Geschwister. MacCannell wuchs in Seattle auf. Sein Vater war Soldat im Zweiten Weltkrieg und wurde danach Hochschullehrer und Demograf und seine Mutter wurde nach ihrer Ehescheidung ebenfalls Sozialwissenschaftlerin.
MacCannell studierte zunächst an der San Diego State University, dann Anthropologie an der University of California, Berkeley mit einem Bachelor-Abschluss im Jahr 1963. Er machte 1966 einen Master in Agrarsoziologie an der Cornell University und wurde dort 1968 mit einer empirischen Arbeit promoviert, sein Vorschlag, eine Dissertation über Tourismus zu schreiben, war von der Fakultät abgelehnt worden. Seine soziologische Untersuchung des Tourismus nahm er später vor, sie wurde mehrfach aufgelegt.
MacCannell arbeitete als Soziologe an der Temple University und ab 1980 am College of Agriculture der University of California, Davis.
Er heiratete 1965 die Literaturwissenschaftlerin Juliet Flower MacCannell, sie haben zwei Kinder. Gemeinsam publizierten sie Untersuchungen zur Semiotik.

## Schriften (Auswahl)

* The tourist : a new theory of the leisure class. New York : Schocken Books, 1976
* Dean MacCannell; Juliet Flower MacCannell: The Time of the Sign : A Semiotic Interpretation of Modern Culture. Indiana University Press, 1982
* Landscaping the Unconscious. MIT Press, 1991
* Empty Meeting Grounds: The Tourist Papers. New York: Routledge, 1992
* Democracy's Turn: On Homeless Noir. In: Joan Copjec (Hrsg.): Shades of Noir. London: Verso, 1993
* Dean MacCannell; Juliet Flower MacCannell: Violence, Power and Pleasure: A revisionist reading of Foucault from the victim perspective. In: Caroline Ramazanoğlu (Hrsg.): Up Against Foucault: Explorations of Some Tensions between Foucault and Feminism. London: Routledge, 1993
* Dean MacCannell; Juliet Flower MacCannell: Social Class in Postmodernity: Simulacrum or Return of the Real. In B. Turner; C. Rojek (Hrsg.): Forget Baudrillard. London: Routledge. 1993
* Tradition's Next Step, in: Scott Norris (Hrsg.): Discovered Country. Albuquerque: Stone Ladder Press, 1994
* The Ethics of Sightseeing. University of California Press, 2011
# Dean Lennox Kelly

Dean Lennox Kelly (* 30. November 1975 in Lytham St Annes, Lancashire, England) ist ein britischer Theater-, Film- und Fernsehschauspieler.

## Leben

Dean Lennox Kelly wuchs in Lytham St Annes auf. Seine Schauspielausbildung schloss er 1997 auf der Bristol Old Vic Theatre School ab. Danach trat er in einigen Film- und Fernsehproduktionen auf. Am bekanntesten ist Dean Lennox Kelly durch die Fernsehserie Shameless, in der er 9 Jahre den Charakter Kev Ball darstellte.
Dean Lennox Kellys Bruder Craig ist ebenfalls in der Schauspielbranche tätig. Gemeinsam waren Craig und Dean Lennox Kelly 2009 in dem Film Collision zu sehen. Neben seinen Auftritten in Film und Fernsehen, ist Dean Lennox Kelly immer wieder in einigen Theaterstücken zu sehen. 2011 spielte er beispielsweise „Frank Gibbons“ in dem Theaterstück This Happy Breed im Theatre Royal in Bath. Dean Lennox Kelly ist verheiratet mit der Schlagersängerin Eugenie Garrett. Sie haben einen gemeinsamen Sohn.

## Filmografie

* 1998: Peak Practice (Fernsehserie, 2 Episoden)
* 1998: Still Crazy
* 1999: City Central (Fernsehserie, 1 Episode)
* 1999: Maisie Raine (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2000: Grasgeflüster
* 2000: The Low Down
* 2001: H3
* 2001: The Bill (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2001: Mike Bassett: England Manager
* 2002: The American Embassy (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2002: Deathwatch
* 2002: Tipping the Velvet (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2003: Der mysteriöse Passagier (Impact, Fernsehfilm)
* 2004: The Worst Week of My Life (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2004–2013: Shameless (Fernsehserie, 29 Episoden)
* 2005: Das geheime Leben der Worte
* 2005: The Brief (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2005: Ashes
* 2005: ShakespeaRe-Told
* 2006: Comedy Lab (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2006: Sorted (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2007: Dead Clever: The Life and Crimes of Julie Bottomley (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2007: Doctor Who (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2007: Cranford (Fernsehserie, 3 Episoden)
* 2008: Das Leiden Christi (Fernsehserie, 3 Episoden)
* 2008: The Invisibles (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2009: Being Human (Fernsehserie, 2 Episoden)
* 2009: Frequently Asked Questions About Time Travel
* 2009: Robin Hood (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2009: Collision (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2010: Die geheimen Tagebücher der Anne Lister
* 2010: Married Single Other (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2011: George Gently – Der Unbestechliche (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2011: Moving On (Fernsehserie, 1 Episode)
* 2013: Frankie (Fernsehserie, 6 Episoden)
* 2013: On the Bridge (Kurzfilm)
* 2014: Fleming (Fernsehserie, 2 Episoden)
* 2015: Death in Paradise (Fernsehserie, 1 Folge)
* 2021–2023: Shadow and Bone – Legenden der Grisha (Fernsehserie, 9 Episoden)
* 2023: Shadow and Bone-Legenden der Grisha (Fernsehserie)
# Grenzgraben (Liesing)

Der Grenzgraben, auch Grenzbach, ist ein Bach im Wienerwald zwischen Niederösterreich und Wien. Er ist ein Zubringer der Reichen Liesing.

## Verlauf

Der Grenzgraben hat eine Länge von 1355 m bei einer Höhendifferenz von 40 m. Sein Einzugsgebiet ist 0,4 km² groß. Der Bach entspringt im Waldgebiet des Wienerwalds und verläuft entlang der Grenze zwischen der niederösterreichischen Gemeinde Breitenfurt bei Wien und dem Bezirksteil Kalksburg des 23. Wiener Gemeindebezirks Liesing. Dabei bildet er einen bis zu 10 m tiefen Tobel. Er unterquert die Breitenfurter Straße und mündet bei der Zangerlestraße linksseitig in die Reiche Liesing.
Beim Grenzgraben besteht keine Gefahr von Überflutungen. Im Fall eines Jahrhunderthochwassers sind weder Infrastruktur noch Wohnbevölkerung betroffen.

## Geschichte

Der Gerinnedurchlass für den Grenzgraben unter der Breitenfurter Straße wurde 1970 errichtet.

## Ökologie

Der Bach verläuft etwa 200 m vor seiner Mündung durch einen kleinen Fischteich, der auch als Laichgewässer für Erdkröten (Bufo bufo) dient. In einem Tümpel etwas weiter bachaufwärts laichen Feuersalamander (Salamandra salamandra). Entlang des Grenzgrabens wachsen Schwarz-Erlen-Eschen-Auwälder.
# Despaigne

Despaigne ist der Familienname folgender Personen:
* Arisnoide Despaigne (* 1986), kubanischer Boxer
* Oreidis Despaigne (* 1981), kubanischer Judoka
* Robelis Despaigne (* 1988), kubanischer Taekwondoin
* Yordanis Despaigne (* 1980), kubanischer Boxer
* Yosvany Despaigne (* 1976), kubanischer Judoka
# Der englische Patient (Begriffsklärung)

Der englische Patient oder The English Patient steht für:
* Der englische Patient, Roman des Schriftstellers Michael Ondaatje (1992)
* Der englische Patient (Film), amerikanisch-britischer Spielfilm des Regisseurs Anthony Minghella (1996)
* The English Patient (Soundtrack), Soundtrack-Album von Gabriel Yared (1996)
* Der englische Patient, Episode 8x17 der Sitcom Seinfeld, siehe Seinfeld/Episodenliste#Staffel 8
# Der ganz normale Wahnsinn

Der ganz normale Wahnsinn bezeichnet:
Fernsehen:
Film:
* Der ganz normale Wahnsinn (1992) (Inside Monkey Zetterland ), US-amerikanischer Spielfilm von Jefery Levy (1992)
* Der ganz normale Wahnsinn (1997) (A miniszter félrelép), ungarischer Spielfilm von András Kern und Róbert Koltai (1997)
* Der ganz normale Wahnsinn – Working Mum (I Don't Know How She Does It), US-amerikanischer Spielfilm von Douglas McGrath (2011)
Literatur
Musik:
* Der ganz normale Wahnsinn (Album), Musikalbum von Udo Jürgens (2011)
* Ganz normaler Wahnsinn, Musikalbum des Rappers F.R. (2011)
# Department of Alaska

Department of Alaska war nach dem Kauf Alaskas von Russland von 1867 bis 1884 die offizielle Bezeichnung für Alaska, den heutigen Bundesstaat der Vereinigten Staaten. Während dieser Zeit hatte Alaska keine eigene Regierung und befand sich unter der Rechtsprechung der US Army (bis 1877), des US-Finanzministeriums (1877–1879) und der US Navy (1879–1884). Aus dem Department wurde 1884 der District of Alaska, 1912 das Alaska-Territorium und 1959 schließlich der 49. Bundesstaat der USA.
Am 9. April 1867 wurde der Kaufvertrag vom Senat der Vereinigten Staaten ratifiziert und am 6. Oktober / 18. Oktober 1867 fand die Feier der offiziellen Übergabe statt. Im Beisein von Vertretern der russischen und US-amerikanischen Regierung, Alexis Pestchouroff und Lovell Harrison Rousseau, sowie Dmitri Petrovich Maksutov von der Russisch-Amerikanischen Kompagnie wurde in Sitka die russische Fahne eingeholt und die US-amerikanische gehisst. Der 18. Oktober ist in Alaska bis heute als Alaska Day ein gesetzlicher Feiertag.
Mit dem Kauf Alaskas wurde die Datumsgrenze nach Westen verschoben, um die zu Alaska gehörenden Aleuten in die gleiche Zeitzone zu integrieren. Außerdem wechselte Alaska vom Julianischen auf den Gregorianischen Kalender.
Große Gebiete Alaskas waren zum Zeitpunkt des Kaufs noch unerforscht. Die Western Union begann 1865 mit dem Bau einer Telegrafenleitung quer durch Alaska an die Beringstraße, wo sie mit einer russischen Leitung verbunden werden sollte. Im folgenden Jahr wurde die erste transatlantische Leitung gelegt und das Projekt wurde abgebrochen. Während der Bauarbeiten hatte das Team unter Robert Kennicott und nach dessen Tod 1866 unter William H. Dall die erste vollständige Karte des Yukon erstellt.
Die Alaska Commercial Company war in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts durch ihre Handelsposten wesentlich an der Erschließung des Binnenlands von Alaska beteiligt. Obwohl die Bundesregierung wenig finanzielle Mittel zur Erforschung Alaskas bereitstellte, trugen Armeeangehörige wie Frederick Schwatka, der den Yukon vom Lake Lindeman in Kanada bis nach Saint Michael nahe der Mündung ins Beringmeer befuhr, oder Henry Tureman Allen, der unter anderem den Copper, den Tanana und den Koyukuk River befuhr, zur Erkundung Alaskas bei.
Am 17. Mai 1884 wurde Alaska zum District und bekam, nachdem es als Department der Gerichtsbarkeit wechselnder US-Institutionen unterstanden hatte, eine eigene, von US-Präsident Chester A. Arthur eingesetzte, Regierung.
# Griechenland-Runensteine

Griechenland-Runensteine (schwedisch Greklandsstenarna) werden Runensteine genannt, auf denen Waräger erwähnt werden, die im Byzantinischen Reich waren. Die Inschriften stammen aus der Zeit bis ungefähr 1100.
Über 130 Runensteine werden nach markanten benutzten Worten in sieben Gruppen unterteilt: England- (30), Griechenland- (30), Hakon-Jarl-Runensteine (3), Ingvarsteine (26), Italien-Runensteine (4), Ostsee-Runensteine (Baltikum und Finnland betreffend – 14 Steine) und etwa 30 Waräger-Runensteine (Russland, Belarus, die Ukraine und angrenzende Gebiete betreffend), von denen es auch in Dänemark und Norwegen je ein Exemplar gibt.

## Historischer Hintergrund

988 zog Fürst Wladimir der Große von Kiew mit 6000 Warägern zu einem Kriegszug ins Byzantinische Reich. Viele von ihnen blieben als Leibgarde von Kaiser Basileios II. in Konstantinopel. 1044 zog König Harald III. von Norwegen erneut mit vielen Warägern dorthin. Einige von denen kehrten reich beladen wieder zurück.
Oft kehrten die Waräger nicht aus dem Byzantinischen Reich zurück. Die Mehrzahl der Inschriften erwähnt solche Personen. Nur eine kleine Anzahl von Steinen weist auf Personen, die wieder nach Skandinavien zurückkehrten. Nur ein einziger Stein wurde von einem Griechenland-Heimkehrer gestiftet (Runenblock von Ed).

## Bezeichnungen

Die altnordischen Bezeichnungen für das Byzantinische Reich und dessen Bewohner waren
* Grikkland Griechenland
* Grikk(j)ar Grieche
* Grikkfari Griechenlandfahrer
* Grikkhafnir

## Runensteine

Griechenland-Runensteine (Schweden Süd)
Oslo
Kopenhagen
Göteborg
Stockholm :
Anklickable Karte der Griechischen Runensteine in Südschweden mit modernenVerwaltungsgrenzen und ausgewählten Städten :
30 Runensteine sind bisher bekannt, ausschließlich in Schweden. Die Inschriften sind in altnordischer Sprache, in späten Futhark-Runen geschrieben.
Die Runensteine sind:
* G 216 Timans auf Gotland
* Ög 81 Runenstein von Högby
* Ög 94
* Sm 46
* Sö 82
* Sö 163
* Sö 165
* Sö 170
* Sö 345
* Sö Fv 1954;20
* U 73 Runensteine von Hansta
* U 104 Runenstein von Ed
* U 112 Runenblock von Ed
* U 136 Runenstein von Broby bro
* U 140 Runenstein von Broby bro gleichzeitig einer der Jarlabankesteine
* U 201 Runenstein von Angarn
* U 270
* U 358
* U 374 Runenstein von Örby
* U 431 Runenstein von Norrsunda
* U 446
* U 518 Runenstein von Västra Ledinge
* U 540 Runensteine an der Husby-Sjuhundra-Kirche
* U 792
* U 922
* U 956
* U 1016 von Fjuckby Ärentuna
* U 1087
* Vg 178
Die Buchstaben bezeichnen die Regionen in Schweden: Sö – Södermanland, U -Uppland usw.
# Gromov-hyperbolischer Raum

In der Mathematik ist ein Gromov-hyperbolischer Raum ein Raum mit „gleichmäßig dünnen Dreiecken“. Dieser Begriff axiomatisiert und verallgemeinert Räume negativer Krümmung und hat sich in vielen Bereichen der Mathematik als nützlich erwiesen.

## Definition

Ein geodätischer metrischer Raum heißt δ-hyperbolisch für ein δ≥0, wenn alle geodätischen Dreiecke δ-dünn sind, d. h. jede Kante des Dreiecks in der δ-Umgebung der Vereinigung der beiden anderen Kanten enthalten ist:
          $[x,y]\subseteq U_{\delta }([y,z]\cup [z,x]),$
          $[y,z]\subseteq U_{\delta }([z,x]\cup [x,y]),$
          $[z,x]\subseteq U_{\delta }([x,y]\cup [y,z]).$
Diese Bedingung ist zum Beispiel für geodätische Dreiecke in Bäumen mit $\delta =0$ oder in der hyperbolischen Ebene mit $\delta =ln({\sqrt {2}}+1)$ erfüllt, allgemeiner für geodätische Dreiecke in einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung.
Ein metrischer Raum heißt Gromov-hyperbolisch, wenn er δ-hyperbolisch für ein δ≥0 ist.
Äquivalent kann man Hyperbolizität mithilfe des Gromov-Produktes definieren. Ein metrischer Raum ist dann δ-hyperbolisch, wenn für alle p, x, y und z in X gilt
    $(x,z)_{p}\geq \min {\big \(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$
Die δ-Hyperbolizität bezüglich der ersten Definition ist äquivalent zur δ-Hyperbolizitat bezüglich der zweiten Definition mit einem möglicherweise anderen Wert der Konstante δ.

## Hyperbolische Gruppen

Eine hyperbolische Gruppe ist eine endlich erzeugte Gruppe, deren Cayley-Graph zu einem endlichen Erzeugendensystem δ-hyperbolisch für ein δ>0 ist. (Bis auf die Konstante δ ist diese Bedingung unabhängig von der Wahl des endlichen Erzeugendensystems.)

## Gromov-Rand

Der Gromov-Rand $\partial _{\infty }X$ eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes $X$ ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen $(x_{n})_{n\in N}\subset X$ bzgl. der Äquivalenzrelation
    $(x_{n})_{n\in N}\sim (y_{n})_{n\in N}\Longleftrightarrow \lim(x_{n},y_{n})_{o}=\infty$
für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt $o\in X$.
Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis bestehend aus den Mengen
    $U(\xi ,r):=\left\{\eta \in \partial _{\infty }X:\exists (x_{i}),(y_{j})\ s.d.\ \xi =\left[x_{i}\right],\eta =\left[y_{j}\right],\liminf _{i,j\to \infty }(x_{i},y_{j})_{o}\geq r\right\}$
mit $\xi \in \partial _{\infty }X,r\geq 0$.
Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion
    $(.,.)_{o}\colon \partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\to \left[0,\infty \right]$
fortsetzen.