# Deformationsinvarianten

Die Deformationsinvarianten $I_{1},I_{2},I_{3}$ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ ausdrücken:
    ${\begin{array}{lclcl}I_{1}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} ^{-1})\,\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}\,\lambda _{2}^{2}+\lambda _{1}^{2}\,\lambda _{3}^{2}+\lambda _{2}^{2}\,\lambda _{3}^{2}\\I_{3}&=&\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}\,\lambda _{2}^{2}\,\lambda _{3}^{2}\end{array}}$
mit
* $\mathbf {b}$ der Deformationstensor
* $\mathrm {Spur} (\mathbf {b} )$ der Spur des Deformationstensors,
* $\det(\mathbf {b} )$ der Determinante des Deformationstensors,
* $\mathbf {b} ^{-1}$ der Inversen des Deformationstensors und
* $\lambda _{1,2,3}^{2}=\eta _{1,2,3}$ der Eigenwerte des Deformationstensors.
Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor $\mathbf {b} :=\mathbf {F\cdot F^{\top }}$ und den rechten Cauchy-Green Tensor $\mathbf {C} :=\mathbf {F^{\top }\cdot F}$, denn beide Tensoren haben wegen
    $\mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\eta {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {F^{\top }\cdot b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F^{\top }\cdot F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {C\cdot (F^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\eta (\mathbf {F^{\top }} \cdot {\vec {v}})$
dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß
    $\mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {v\cdot R} .$
aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften R$^T$ · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen
    $\mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot R\cdot R^{\top }\cdot v^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\lambda \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda ^{2}{\vec {v}}$
die Hauptstreckungen λ$_{1,2,3}$ als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:
    $\mathbf {R^{\top }\cdot v} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot v\cdot R\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot R\cdot U\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {U\cdot (R^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R^{\top }} \cdot {\vec {v}}).$
Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.
Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses $J:=\operatorname {det} (\mathbf {F} )$ dar:
    $I_{3}(\mathbf {b} )=I_{3}(\mathbf {C} )=J^{2}=I_{3}^{2}(\mathbf {v} )=I_{3}^{2}(\mathbf {U} ).$
Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten ($J=1$) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.