# Cauchy-Relationen

Die Cauchy-Relationen beschreiben Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensors eines Materials.

## Beschreibung

Die Cauchy-Relationen geben häufig näherungsweise vorhandene Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensor wieder:
    $c_{iijk}=c_{ijik}$
mit $i\neq j,k$. Dabei ist der Elastizitätstensor $c_{ijkl}$ ist folgendermaßen über ein verallgemeinertes Hookesches Gesetz definiert, das Spannungen (Spannungstensor $\sigma _{ij}$) mit Verformungen (Verzerrungstensor $\varepsilon _{ij}$) verknüpft:
    $\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$
mit $i,j,k,l=1,2,3$. Allgemein ist der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe mit 81 Komponenten. Durch die Cauchy-Relationen kann die Anzahl zu bestimmenden Komponenten reduziert werden. Nach der (Kristall-)Gittertheorie haben die Cauchy-Relationen Gültigkeit, wenn folgende Voraussetzungen mehr oder weniger (siehe Einschränkungen) erfüllt sind:
* es wirken reine Zentralkräfte zwischen den Bausteinen,
* die einzelnen Bausteine sitzen innerhalb des Kristallgitters in einem Symmetriezentrum,
* es sind keine Anharmonizitäten vorhanden, d. h., bei der Bildung des Gitterpotentials nach den Bewegungen/Verschiebungen der Bausteine verschwinden Glieder höherer Ordnung (größer 2. Ordnung),
* die thermische Energie der Substanzen ist vernachlässigbar und
* fehlende Initialspannungen.

## Einschränkungen

Eine strenge Gültigkeit der Cauchy-Relationen ist nicht zu erwarten, da insbesondere Punkt 4. nicht exakt erfüllt werden kann. Sogar bei tiefen Temperaturen werden die Cauchy-Relationen von keiner Substanz erfüllt.
Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen $g_{mn}$ sind ein Tensor 2. Stufe mit neun Komponenten und lassen sich als
    $c_{iijk}-c_{ijik}=g_{mn}(-1)^{m\cdot n(m-n)/2}$
mit $m\neq i,j$ sowie $n\neq i,k$ und $m,n,i,j,k=1,2,3$ beschreiben. Die Transformation des Tensors liefert beim Wechsel des kartesischen Bezugssystems mit den Grundvektoren $e_{p}$ direkt den Beweis dafür. So ist
    $g'_{mn}=\sum _{p,q}a_{mp}a_{nq}g_{pq}$
mit $g'_{mn}$ als Komponenten dieses Tensors in einem neuen Bezugssystem mit den Grundvektoren $e'_{m}$, die sich aus den Grundvektoren $e_{p}$ anhand von
    $e'_{m}=\sum _{p}a_{mp}e_{p}$
ergeben. Daraus folgen physikalisch wichtige Invarianzeigenschaften aus den Abweichungen der Cauchy-Relationen. Die Komponenten $g_{mm}$ mit $m=1,2,3$ verhalten sich z. B. invariant gegenüber einer Drehung des kartesischen Bezugssystems um die Achse $e_{m}$. $g_{mm}$ ist daher eine charakteristische Größe der Ebene, die senkrecht auf $e_{m}$ steht. Folglich finden die Bindungsmerkmale der atomaren Bausteine einer homogenen und quasihomogenen Substanz Ausdruck in der skalaren Invariante $G=g_{11}+g_{22}+g_{33}$.
Beispielsweise werden kristalline Materialien mit kubischer Symmetrie und isotrope Substanzen (wie Glas) nur durch eine unabhängige Komponente $g$ beschrieben. Bei Substanzen mit vorherrschender Ionen-, Metall-, Van-der-Waals- und Wasserstoffbrückenbindungen ist der Querkontraktionskoeffizient $c_{iijj}$ größer als der entsprechende Scherwiderstand $c_{ijij}$ und somit $g_{mm}>0$. Oft besitzen diese Substanzen Strukturen mit maximaler Packungsdichte der atomaren Bausteine. Gerichtete Bindungsanteile sprich kovalente Bindungen oder eine beträchtliche richtungsabhängige Überlappung der Elektronenwolken in Substanzen zeigen $g_{mm}<0$. Beispiele hierfür sind Gerüstsilikate, Magnesiumoxid, Beryllium, Aluminiumoxid (Korund), Gläser reich an Siliciumdioxid (je größer der Siliciumdioxid-Gehalt, desto kleiner $g$) und Lithiumfluorid. Kovalente Bindungen tragen zu höheren Scherwiderständen und zu niedrigen Querkontraktionskoeffizienten bei. Strukturell und chemisch verwandte Kristallarten und isotype Stoffreihen zeigen folgende Merkmale:
* Durch die Substitution von Hauptgruppenelementen durch Nebengruppenelemente oder durch Bausteine mit geringerer Symmetrie innerhalb von Strukturen einer Substanz nimmt $g_{mm}$ zu. Dies wird verursacht durch steigende Querkontraktionskoeffizienten und sinkende Scherwiderstände.
* Ist die Polarisierbarkeit der substituierten Bausteine größer, so nimmt $g_{mm}$ leicht zu.
* Da für Substanzen mit simpler Struktur $\mathrm {d} \log(g_{mm})/\mathrm {d} T$ oftmals positiv ist, erhöht sich mit zunehmender Temperatur die Abweichung der Cauchy-Relationen. Stoffe mit asymmetrischen Bausteinen folgen nicht diesem Verhalten.
Festzuhalten ist noch die Tatsache, dass auch nur feine Unterschiede in der Struktur einiger Stoffe sich auf die $g$-Werte niederschlagen. Diese Werte dienen somit als Indikator für Strukturdifferenzen.