# Hilbert-Schmidt-Operator

In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.

## Motivation und Definition

Seien $(e_{i})_{i}$ und $(f_{i})_{i}$ zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum $H$. $A$ sei ein stetiger linearer Operator auf $H$ und $A^{*}$ sein adjungierter Operator. Dann gilt
    $\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}\,=\,\sum _{i,k}|\langle Ae_{i},f_{k}\rangle |^{2}\,=\,\sum _{i,k}|\langle e_{i},A^{*}f_{k}\rangle |^{2}\,=\,\sum _{k}\|A^{*}f_{k}\|^{2}$.
Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen, $(e_{i})_{i}\,=\,(f_{i})_{i}$, verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man $A$ durch $A^{*}$ ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort $A$ durch $A^{*}$ bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet $A^{**}=A$, so erkennt man, dass die Größe $\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}$ unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt $A$ ein Hilbert-Schmidt-Operator und
    $\|A\|_{2}:=\left(\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$
ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt $\|A\|_{2}$ findet man auch die Schreibweise $\|A\|_{HS}$.
Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf $H$, ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und dem Adjungieren abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit $HS(H)$ bezeichnet.
Ein Operator $A\colon H_{1}\rightarrow H_{2}$ zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn $\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}$ für eine Orthonormalbasis $(e_{i})_{i}$ von $H_{1}$ endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit $\|A\|_{HS}$.

## Unendliche Matrizen

Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf $H$ als unendliche Matrix $(a_{i,j})_{i,j}$ mit $a_{i,j}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ auffassen. $A$ ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn $Ae_{i}$ wird auf $\textstyle \sum _{j}\langle Ae_{i},e_{j}\rangle e_{j}$ abgebildet. Es gilt $\textstyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|^{2}\,=\,\|A\|_{2}^{2}$. Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt $\textstyle \|AB\|_{2}\leq \|A\|_{2}\|B\|_{2}$. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.

## Integraloperatoren

Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich $T\in L(L^{2}([0,1]),L^{2}([0,1]))$ ein beschränkter Operator von $L^{2}([0,1])$ nach $L^{2}([0,1])$, dann kann gezeigt werden, dass $T$ genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern $k\in L^{2}([0,1]\times [0,1])$ gibt mit
    $T(x)(s)=\int _{0}^{1}k(s,t)x(t)\mathrm {d} t$
fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von $T$ und die $L^{2}$-Norm von $k$ überein, es gilt also
    $\|T\|_{HS}=\left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|k(s,t)|^{2}\mathrm {d} s\mathrm {d} t\right)^{\frac {1}{2}}=\|k\|_{L^{2}}.$
Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.

## HS(H) als Hilbertraum

Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind $A$ und $B$ zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch $\langle A,B\rangle :=Sp(B^{*}A)$ ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert. $HS(H)$ wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist $\|A\|_{2}={\sqrt {\langle A,A\rangle }}$, d. h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dieses Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen.

## HS(H) als Banachalgebra

Die Operatoren-Algebra $HS(H)$ ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung $\|AB\|_{2}\leq \|A\|_{2}\|B\|_{2}$ gleichzeitig eine Banachalgebra. $HS(H)$ ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra $B(H)$ aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt $\|BAC\|_{2}\leq \|B\|\cdot \|A\|_{2}\cdot \|C\|$ für alle $A\in HS(H)$, $B,C\in B(H)$. Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist $HS(H)$ auch ein zweiseitiges Ideal in der C$^*$-Algebra $K(H)$ der kompakten Operatoren auf $H$, $HS(H)$ liegt dabei dicht in $K(H)$ bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse $N(H)$ ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in $HS(H)$ enthalten. Man hat daher die Inklusionen
$N(H)\subset HS(H)\subset K(H)\subset B(H)$.
Außer $\{0\}$ und sich selbst enthält $HS(H)$ keine weiteren $\|\cdot \|_{2}$-abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H$^*$-Algebren.