# Lemma von Yoneda

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.
Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

## Motivation

Es sei $\mathbf {Set}$ die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei ${\mathcal {C}}$ eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten $X,Y\in {\mathcal {C}}$ die Morphismen zwischen $X$ und $Y$ eine Menge und somit ein Objekt in $\mathbf {Set}$ bilden. Für jedes Objekt $X$ der Kategorie ${\mathcal {C}}$ hat man den partiellen Hom-Funktor $H^{X}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set}$, der für Objekte $Y\in {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}})$ und Morphismen $(f\colon Y\rightarrow Z)\in {\mbox{Mor}}({\mathcal {C}})$ wie folgt definiert ist:
* $H^{X}(Y):={\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,Y)$, wobei ${\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,Y)$ eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für ${\mbox{Mor}}_{\mathcal {C}}(X,Y)$ ist.
* $H^{X}(f)\colon H^{X}(Y)\rightarrow H^{X}(Z),\,g\mapsto f\circ g$.
Sei nun $T$ ein weiterer Funktor von ${\mathcal {C}}$ nach $\mathbf {Set}$. Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren $H^{X}$ und $T$ bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

## Aussage

Sind $T\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mbox{Set}}$ ein Funktor und $X$ ein Objekt aus ${\mathcal {C}}$, so ist $\eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})$ eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen $\eta \colon H^{X}\rightarrow T$ in die Menge $T(X)$.
Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation $\eta \colon H^{X}\rightarrow T$ definitionsgemäß jedem Objekt $Y$ aus ${\mathcal {C}}$ einen Morphismus $\eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y)$ zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus $\eta _{X}\colon H^{X}(X)\rightarrow T(X)$ in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich $\eta _{X}({\mbox{id}}_{X})$ wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus $T(X)$. Daher ist die Abbildung ${\mathcal {Y}}\colon \eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})$ wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.
Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist $\eta \colon H^{X}\rightarrow T$ eine natürliche Transformation, $Y$ ein Objekt aus ${\mathcal {C}}$ und $f\in H^{X}(Y)$, das heißt $f$ ist ein ${\mathcal {C}}$-Morphismus $X\rightarrow Y$, so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:
${\begin{array}{ccc}H^{X}(X)={\mbox{Hom}}(X,X)&{\stackrel {\eta _{X}}{\longrightarrow }}&T(X)\\\downarrow _{H^{X}(f)}&&\downarrow _{T(f)}\\H^{X}(Y)={\mbox{Hom}}(X,Y)&{\stackrel {\eta _{Y}}{\longrightarrow }}&T(Y)\end{array}}$
Daraus ergibt sich $\eta _{Y}(f)=\eta _{Y}(f\circ {\mbox{id}}_{X})=(\eta _{Y}\circ H^{X}(f))({\mbox{id}}_{X})=(T(f)\circ \eta _{X})({\mbox{id}}_{X})=T(f)(\eta _{X}({\mbox{id}}_{X}))$.
Daher ist $\eta _{Y}$ durch $T$ und $\eta _{X}({\mbox{id}}_{X})$ bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich $w\in T(X)$, so definiere man für jedes Objekt $Y$ aus ${\mathcal {C}}$ die Abbildung $\eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y)$ durch $\eta _{Y}(f)\,:=\,T(f)(w)$. Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation $\eta$ von $H^{X}$ nach $T$ definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf $w$ abgebildet wird.

## Bemerkungen

* Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren $H^{X}$ und $T$ eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen $H^{X}$ und $T$ steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich $T(X)$, und ist daher selbst eine.
* Abbildungen der oben vorgestellten Art $\eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y),\eta _{Y}(f)\,:=\,T(f)(w)$ führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
* Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor ${\mbox{Ab}}\rightarrow {\mbox{Set}}$ hinterzuschalten.

## Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.
Ist ${\mathcal {C}}$ eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne $[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]$ die Kategorie der Funktoren $H^{X}$ mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren $H^{X}$ und $H^{Y}$ nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit ${\mathcal {C}}^{op}$ die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor $H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]$ durch folgende Daten:
* $H^{*}(X):=H^{X}$, die Funktoren $H^{X}$ sind die Objekte in $[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]$.
* Für einen Morphismus $f\colon X\rightarrow Y$ sei $H^{*}(f)\colon H^{X}\rightarrow H^{Y}$ definiert durch $H^{*}(f)_{Z}\colon H^{X}(Z)\rightarrow H^{Y}(Z),\,g\mapsto g\circ f$, wobei $Z\in {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}})$. Dann ist $H^{*}(f)$ eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in $[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]$.
Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor $H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]$ definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst $f$ „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun
* Yoneda-Einbettung: Der Funktor $H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]$ ist eine volltreue Einbettung.
Vertauscht man die Rollen von ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {C}}^{op}$, so erhält man eine volltreue Einbettung ${\mathcal {C}}\rightarrow [{\mathcal {C}}^{op},{\mbox{Set}}]$.
Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen
    $H_{X,Y}^{*}\colon {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)\rightarrow {\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y),\,f\mapsto H^{*}(f)$
bijektiv sind. Für $\eta \in {\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y)$, das heißt für eine natürliche Transformation $\eta \colon H^{X}\rightarrow H^{Y}$, ist ${\mathcal {Y}}(\eta )\in H^{Y}(X)={\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(Y,X)={\mbox{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)$, das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung
    ${\mathcal {Y}}_{X,Y}:{\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y)\rightarrow {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y),\eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})$.
Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle $f\in {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)$ folgendes gilt: ${\mathcal {Y}}_{X,Y}H_{X,Y}^{*}(f)={\mathcal {Y}}_{X,Y}(H^{*}(f))=H^{*}(f)_{X}({\mbox{id}}_{X})={\mbox{id}}_{X}\circ f=f$,
ist $H_{X,Y}^{*}={\mathcal {Y}}_{X,Y}^{-1}$ und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist $H^{*}$ volltreu.
Um einzusehen, dass $H^{*}$ sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind $X$ und $Y$ zwei verschiedene Objekte aus ${\mbox{Ob}}({\mathcal {C}}^{op})$, so gilt ${\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,X)\cap {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(Y,X)=\emptyset$, weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt $H^{X}\not =H^{Y}$, das heißt $H^{*}(X)\not =H^{*}(Y)$. Daher ist $H^{*}$ auch eine Einbettung.