# S3 (Gruppe)

Die symmetrische Gruppe $S_{3}$ bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte Gruppe mit 6 Elementen. Sie lässt sich beschreiben als Gruppe der sechs Permutationen einer dreielementigen Menge. Alternative Bezeichnungen sind ${\mathfrak {S}}_{3}$ und $\mathop {\mathrm {Sym} } \nolimits _{3}$. Sie ist isomorph mit der Dïedergruppe $D_{3}$ , der Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

## Einführung

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten:
* die identische Abbildung $e$,
* die Drehung $d$ um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
* die Drehung $d^{2}$ um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
* die drei Spiegelungen $s_{1},s_{2}$ und $s_{3}$ an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit $\cdot$ oder $\circ$) nebeneinander und meint damit, dass
    zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende
Kongruenzabbildung auszuführen ist. Die Schreibweise $d^{2}$ macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.
Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe $S_{3}=\left\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}$ aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man
| $\cdot$ | $e$ | $d$ | $d^{2}$ | $s_{1}$ | $s_{2}$ | $s_{3}$ |
| $e$ | $e$ | $d$ | $d^{2}$ | $s_{1}$ | $s_{2}$ | $s_{3}$ |
| $d$ | $d$ | $d^{2}$ | $e$ | $s_{3}$ | $s_{1}$ | $s_{2}$ |
| $d^{2}$ | $d^{2}$ | $e$ | $d$ | $s_{2}$ | $s_{3}$ | $s_{1}$ |
| $s_{1}$ | $s_{1}$ | $s_{2}$ | $s_{3}$ | $e$ | $d$ | $d^{2}$ |
| $s_{2}$ | $s_{2}$ | $s_{3}$ | $s_{1}$ | $d^{2}$ | $e$ | $d$ |
| $s_{3}$ | $s_{3}$ | $s_{1}$ | $s_{2}$ | $d$ | $d^{2}$ | $e$ |
Will man das Produkt $ba$ für zwei Elemente $a,b$ aus $S_{3}$ ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel zuerst die mit $a$ gekennzeichnete Spalte, dann die mit $b$ gekennzeichnete Zeile auf; am Schnittpunkt dieser Spalte und Zeile steht das Produkt.
Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges $n$-Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe $S_{3}$ auch mit $D_{3}$ bezeichnet.

## Elemente der S$_3$ als Permutationen

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der $S_{3}$ kann daher als Permutation der Menge $\{1,2,3\}$ aufgefasst werden. Im Folgenden ist zuerst die Zweizeilenform angegeben, dahinter die Zyklenschreibweise der Elemente sowie deren Ordnungen:
${\begin{array}{rcccll}e&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&=&(1)&\qquad \mathrm {ord} \left(e\right)=1\\\\d&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&=&(1~2~3)&\qquad \mathrm {ord} \left(d\right)=3\\\\d^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&=&(1~3~2)&\qquad \mathrm {ord} \left(d^{2}\right)=3\\\\s_{1}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&=&(2~3)&\qquad \mathrm {ord} \left(s_{1}\right)=2\\\\s_{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}&=&(1~3)&\qquad \mathrm {ord} \left(s_{2}\right)=2\\\\s_{3}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}&=&(1~2)&\qquad \mathrm {ord} \left(s_{3}\right)=2\end{array}}$

## Eigenschaften
### Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe $S_{3}$ ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann (sie ist nicht symmetrisch zur Hauptdiagonale); beispielsweise gilt $s_{2}s_{1}=d^{2}\neq d=s_{1}s_{2}$. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu $S_{3}$ oder hat mehr Elemente.

### Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $S_{3}$ selbst sind:
* $A_{3}:=\left\{e,d,d^{2}\right\}\cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$. Diese Untergruppe (die Gruppe der Drehungen) ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
* $\{e,s_{1}\}\cong \{e,s_{2}\}\cong \{e,s_{3}\}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. Diese Untergruppen (die Gruppen der Spiegelungen) sind keine Normalteiler; beispielsweise ist $d\{e,s_{1}\}d^{-1}\,=\,d\{e,s_{1}\}d^{2}\,=\,\{e,s_{2}\}$.
* Das Zentrum von $S_{3}$ ist trivial (besteht nur aus $\{e\}$). Somit kommutiert ein von $e$ verschiedenes Element nur mit Potenzen seiner selbst.

### Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen $\mid$ getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:
$S_{3}=\langle d,s\mid d^{3},s^{2},dsds\rangle$

### Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die $S_{3}$ drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von $d$ und $s_{1}$ anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.
* Die triviale Darstellung: $S_{3}\rightarrow \mathbb {C} :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto 1$
* Die Signum-Abbildung: $S_{3}\rightarrow \mathbb {C} :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto -1$
* Die zweidimensionale Darstellung: $S_{3}\rightarrow M_{2}(\mathbb {C} ):\,\,d\mapsto {\begin{bmatrix}e^{2\pi i/3}&0\\0&e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}},s_{1}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$.
Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man $s_{1}$ durch $s_{2}$ ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:
| $S_{3}$ | $1$ | $3$ | $2$ |
| | $1$ | $(1,2)$ | $(1,2,3)$ |
| $\chi _{1}$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $\chi _{2}$ | $1$ | $-1$ | $1$ |
| $\chi _{3}$ | $2$ | $0$ | $-1$ |

## Weitere Beispiele
### Allgemeine lineare Gruppe über ℤ/2

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper $\mathbb {Z} /2=\mathbb {F} _{2}=\{0,1\}$, $GL(2,\mathbb {F} _{2})=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}\right\}$ ist isomorph zu $S_{3}$.

### Transformationengruppe

Die gebrochen linearen Funktionen $s_{1},s_{2}$ mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper $K$ und den Zuordnungen
| $s_{1}:$ | $X\mapsto 1-X$ |
| $s_{2}:$ | $X\mapsto X^{-1}$ |
erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe $G$, die isomorph zur $S_{3}$ ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:
| $d:=s_{1}\circ s_{2}:$ | $X\mapsto {\tfrac {X-1}{X}}$ |
| $s_{3}:=d\circ s_{1}=s_{2}\circ d:$ | $X\mapsto {\tfrac {X}{X-1}}$ |
| $d^{2}:=d\circ d=s_{2}\circ s_{1}:$ | $X\mapsto {\tfrac {1}{1-X}}$ |
| $d^{3}:=d\circ d^{2}=e:$ | $X\mapsto X$ |
Die Verknüpfungstafel ist wie oben. Die 6 Gruppenmitglieder $s\in G$ unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen $x\in K\!\setminus \!\{0,1\}$
    $s_{K}:x\mapsto s_{K}(x):=s(x)$
auch in den Wertetabellen, wenn $K$ wenigstens 5 Elemente hat.

### Automorphismengruppe

Die $S_{3}$ ist isomorph zur Automorphismengruppe der Kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der Kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.