# Irrationale Rotationsalgebra

Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.

## Konstruktion

Im Folgenden sei $\theta$ eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den $\mathbb {C}$-Hilbertraum $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ mittels $t\mapsto e^{2\pi it}$ mit dem Einheitskreis $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren $U$ und $V$:
    $Uf\,:=\,zf$, wobei $z(t)=e^{2\pi it}$
und
    $Vf(t)\,:=\,f(t-\theta )\,.$
$U$ ist ein Multiplikationsoperator und $V$ rotiert eine Funktion um den Winkel $\theta$.
Die von $U$ und $V$ erzeugte C*-Algebra $C^{*}(U,V)\subset B(L^{2}(\mathbb {T} ))$ heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel $\theta$ und wird mit $A_{\theta }$ bezeichnet.

## Eigenschaften

* Leicht bestätigt man $UV=e^{2\pi i\theta }VU$, in der Tat ist
    $UVf(t)=U(Vf)(t)=z(t)Vf(t)$
    $=z(t)f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }z(t-\theta )f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }(zf)(t-\theta )$
    $=e^{2\pi i\theta }(Uf)(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }VUf(t)$.
* Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist $A$ eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren ${\tilde {U}}$ und ${\tilde {V}}$ erzeugt wird, die die Relation ${\tilde {U}}{\tilde {V}}=e^{2\pi i\theta }{\tilde {V}}{\tilde {U}}$ erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus $A_{\theta }\rightarrow A$ mit $U\mapsto {\tilde {U}}$ und $V\mapsto {\tilde {V}}$.
* $A_{\theta }$ ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer $\{0\}$ und sich selbst.
* Es gibt eine eindeutige Spur $\tau :A_{\theta }\rightarrow \mathbb {C}$, das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional $\tau :A_{\theta }\rightarrow \mathbb {C}$ mit $\tau (a^{*}a)\geq 0$ für alle $a\in A_{\theta }$, $\tau (ab)=\tau (ba)$ für alle $a,b\in A_{\theta }$ und $\tau (I)=1$, wobei $I$ das Einselement in $A_{\theta }$ sei.
* Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in $A_{\theta }$.
* Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

## Alternative Konstruktion

Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum $\ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ mit der Orthonormalbasis $(e_{n})_{n_{\in }\mathbb {Z} }$ vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren $U,V\in B(\ell ^{2})$ durch:
$Ue_{n}\,=\,e_{n+1}$ (zweiseitiger Shift),
$Ve_{n}\,=\,e^{-2\pi in\theta }e_{n}$ (unendliche Diagonalmatrix).
Dann bestätigt man leicht $UVe_{n}=e^{-2\pi in\theta }e_{n+1}=e^{2\pi i\theta }VUe_{n}$, woraus $UV=e^{2\pi i\theta }VU$ folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus $A_{\theta }\cong C^{*}(U,V)\subset B(\ell ^{2})$.

## K-Theorie

Nach einem Satz von Marc Rieffel gibt es zu jedem $\alpha \in (\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1]$ eine Projektion $P\in A_{\theta }$ mit $\tau (P)=\alpha$, wobei $\tau$ die eindeutige Spur auf $A_{\theta }$ sei.
Da $(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} ,(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap \mathbb {R} ^{+},(\mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z} )\cap [0,1])$ eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra ${\mathcal {A}}_{\theta }$, die diese Gruppe als K$_0$-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra $A_{\theta }$, die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit ${\mathcal {A}}_{\theta }$ in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung $A_{\theta }\rightarrow {\mathcal {A}}_{\theta }$ konstruieren. Daraus folgt zunächst $K_{0}(A_{\theta })\cong \mathbb {Z} +\theta \mathbb {Z}$ und dann:
* Zwei irrationale Rotationsalgebren $A_{\theta }$ und $A_{\eta }$ sind genau dann isomorph, wenn $\eta =\pm \theta \,\mathrm {mod} \,\mathbb {Z}$ ist.

## Kreuzprodukt

Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist $\alpha \in \mathrm {Aut} (C(\mathbb {T} ))$ durch $(\alpha (f))(t)\,:=\,f(t-\theta )$ definiert und ist $\sigma :\mathbb {Z} \rightarrow \mathrm {Aut} (C(\mathbb {T} )),\,n\mapsto \alpha ^{n}$, so ist $(C(\mathbb {T} ),\mathbb {Z} ,\sigma )$ ein C*-dynamisches System und es ist $A_{\theta }\cong C(\mathbb {T} )\ltimes _{\sigma }\mathbb {Z}$.