# Photodiodenverstärker

Ein Photodiodenverstärker oder auch Fotodiodenverstärker ist ein elektronischer Verstärker, der den Photostrom einer Photodiode verstärkt.
Die einfachste Möglichkeit ist ein Bipolartransistor, dessen Basisstrom der Fotostrom ist. Die Kombination in einem Bauelement ist der Fototransistor, der jedoch nicht als Verstärker bezeichnet wird.
Für Messzwecke und hohe Linearitäts- und Empfindlichkeitsanforderungen werden aus Operationsverstärkern gebildete Transimpedanzverstärker (TIA von engl. Transimpedance Amplifier) eingesetzt, die eine zum Fotostrom proportionale elektrische Spannung abgeben.

## Einsatzgebiet und Bedeutung

Der Photodiodenverstärker stellt das Standardverfahren dar, wenn es darum geht, Lichtintensitäten mithilfe von Photodioden messtechnisch zu erfassen. Die Schaltung ist in der Praxis relativ einfach zu realisieren, da man neben einer Stromversorgung und einem Operationsverstärker lediglich eine Photodiode und eine Rückkopplungsimpedanz benötigt. Der nutzbare optische Spektralbereich hängt allein von der verwendeten Photodiode ab. Es gibt spezialisierte Photodioden für den sichtbaren (VIS), den ultravioletten (UV) und den infraroten (IR) Bereich. Der übertragene elektronische Frequenzbereich hängt sowohl von der Photodiode als auch vom Operationsverstärker und der Rückkopplungsimpedanz ab.
Der Photodiodenverstärker weist einen weiten, linearen Dynamikbereich auf. Bei einem festen Rückkopplungswiderstand beträgt der Dynamikbereich etwa 10$^3$ bis 10$^4$, je nach Rauscheigenschaften von Photodiode und Operationsverstärker. Typische Werte für den Rückkopplungswiderstand liegen bei 100 Ω bis 1 GΩ. Durch Wechsel des Rückkopplungswiderstands kann damit ein sehr großer Intensitätsbereich abgedeckt werden. Es ist jedoch zu beachten, dass die Bandbreite mit zunehmendem Rückkopplungswiderstand verringert wird. Darüber hinaus muss berücksichtigt werden, dass die Dimensionierung der optimalen Rückkopplungskapazität vom Rückkopplungswiderstand abhängt.
Mit Photodioden, ausgenommen Avalanche-Photodioden, werden in der Regel nicht ganz die hohen Lichtsensitivitäten von Photomultipliern erreicht. Aufwand und Kosten für die benötigte Elektronik sind bei der Photodiode jedoch erheblich geringer.

## Elektrisches Verhalten
### Definition von relevanten Größen in üblichen Einheiten

Die im Folgenden definierten Parameter gelten für alle Gleichungen in diesem Artikel. Ergänzend sind die zugehörigen SI-Einheiten bzw. abgeleiteten SI-Einheiten angegeben.
* $V(\omega )={\frac {U_{A}}{I_{Ph}}}$ : Verstärkung bzw. Transimpedanz in V/A des Photodiodenverstärkers (ist im Allgemeinen komplexwertig)
* $I_{Ph}$ : Photostrom in A
* $U_{A}$ : Ausgangsspannung in V
* $\omega =2\pi f$ : Kreisfrequenz in 1/s
* $f$ : Schwingungsfrequenz in Hz
* $j$ : Imaginäre Einheit
* $R_{f}$ : Rückkopplungswiderstand bzw. Feedback-Widerstand in Ω
* $C_{f}$ : Rückkopplungskapazität bzw. Feedback-Kapazität in F
* $A_{0}$ : Maximale Leerlaufspannungsverstärkung bzw. Open-loop-Spannungsverstärkung (bei $\omega =0$) des Operationsverstärkers (OPV)
* $f_{T}=\omega _{T}/(2\pi )$ : Transitfrequenz in Hz des Operationsverstärkers (bei dieser Frequenz ist die Leerlaufspannungsverstärkung gleich 1)
* $f_{g}=\omega _{g}/(2\pi )$ : Grenzfrequenz (−3 dB) in Hz des Photodiodenverstärkers
* $C_{Ph}$ : Parallelkapazität der Photodiode in F
* $R_{Ph}$ : Parallelwiderstand der Photodiode in Ω
Alle im Folgenden dargestellten Gleichungen sind grundsätzlich auch für beliebige andere Stromquellen als Photodioden anwendbar, wenn diese durch eine parallel geschaltete Impedanz charakterisierbar sind.

### Gleichstromverhalten

Im Gleichstromfall beträgt die Verstärkung (Transimpedanz):
    $V(\omega =0)={\frac {U_{A}}{I_{Ph}}}=-R_{f}$
Hier wird die Verstärkung also allein vom Rückkopplungswiderstand bestimmt. Wegen der Rückkopplung auf den negativen Eingang ist das Vorzeichen der Ausgangsspannung invertiert. Um eine positive Ausgangsspannung zu erhalten, kann man die Photodiode auch umdrehen. Der Photostrom, welcher stets in der Dioden-Sperrrichtung fließt, ist dann auch im Schaltbild entsprechend andersherum einzuzeichnen.

### Übertragungsverhalten bei Annahme eines idealen OPVs

Wenn ein idealer OPV ($A_{0}=\infty$ und $f_{T}=\infty$) angenommen wird, beträgt die Verstärkung (Transimpedanz):
    $V(\omega )={\frac {U_{A}(\omega )}{I_{Ph}(\omega )}}={\frac {-R_{f}}{1+j\omega R_{f}C_{f}}}$
Da auf der rechten Seite der Gleichung die imaginäre Einheit $j$ auftaucht, ist die Transimpedanz komplexwertig, was bedeutet, dass der Photodiodenverstärker eine Phasenverschiebung verursachen kann. Beim idealen OPV weist der Verstärker ein einfaches Tiefpassverhalten 1. Ordnung auf. Dabei entstehen keine Amplitudenüberhöhungen. Dieses Verhalten kann durch eine hinreichend (siehe unten) große Rückkopplungskapazität $C_{f}$ erzwungen werden, wobei jedoch die Grenzfrequenz, d. h. die Bandbreite, verringert wird. Die Grenzfrequenz (−3 dB) beträgt hier:
    $f_{g}={\frac {1}{2\pi R_{f}C_{f}}}$

### Übertragungsverhalten bei Annahme eines realen (kompensierten) OPVs

Im Allgemeinen müssen die realen Eigenschaften des Operationsverstärkers berücksichtigt werden, um insbesondere bei höheren Frequenzen das Übertragungsverhalten des Photodiodenverstärkers angemessen analytisch beschreiben zu können. Die Verstärkung (Transimpedanz) beträgt in guter Näherung:
    $V(\omega )={\frac {U_{A}(\omega )}{I_{Ph}(\omega )}}={\frac {-R_{f}}{1-{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{T}}}R_{f}(C_{f}+C_{Ph})+j\omega \left({\frac {1}{\omega _{T}}}+R_{f}\left({\frac {1}{R_{Ph}\omega _{T}}}+C_{f}+{\frac {C_{Ph}}{A_{0}}}\right)\right)}}$
Bei der Herleitung dieser Gleichung wurde angenommen, dass der OPV kompensiert ist, d. h., ein Tiefpassverhalten 1. Ordnung aufweist. Der OPV ist dann durch zwei Parameter ($A_{0}$ und $f_{T}$) beschreibbar. Terme, die $1/A_{0}$ oder $1/R_{Ph}$ enthalten, können ggf. vernachlässigt werden, weil diese beiden Werte in der Regel sehr klein sind. Da im Nenner $\omega ^{2}$ auftaucht, weist der Photodiodenverstärker ein Tiefpassverhalten 2. Ordnung auf. Entsprechend kann (in Abhängigkeit von den Bauteileeigenschaften) eine Amplitudenüberhöhung (siehe unten) in der Nähe der Grenzfrequenz auftreten.
Um die weiteren Gleichungen übersichtlich zu halten, werden folgende Abkürzungen eingeführt:
    $a={\frac {1}{\omega _{T}}}+R_{f}\left({\frac {1}{R_{Ph}\omega _{T}}}+C_{f}+{\frac {C_{Ph}}{A_{0}}}\right)$
    $b={\frac {R_{f}}{\omega _{T}}}(C_{f}+C_{Ph})$
Die Grenzfrequenz (−3 dB) ergibt sich dann zu:
    $f_{g}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{2b^{2}}}\left(2b-a^{2}\right)+{\sqrt {{\frac {1}{4b^{4}}}\left(2b-a^{2}\right)^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}}}$
Der Amplitudengang lässt sich mit folgender Gleichung berechnen:
    $|V(\omega )|={\frac {|U_{A}(\omega )|}{|I_{Ph}(\omega )|}}={\frac {R_{f}}{\sqrt {\left(1-\omega ^{2}b\right)^{2}+(\omega a)^{2}}}}$
Aus dem Amplitudengang kann abgeleitet werden, bei welcher Frequenz ggf. eine Amplitudenüberhöhung (Gain-Peak) auftritt:
    $f_{GP}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\omega _{T}}{R_{f}(C_{f}+C_{Ph})}}}$
Der Phasengang wird durch folgende Gleichung beschrieben:
    $\phi (\omega )=-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {\omega a}{1-\omega ^{2}b}}\right)-180^{\circ }\cdot \sigma \left(\omega -\omega _{GP}\right)+180^{\circ }$
Die Polstelle im Argument der Arcustangens-Funktion wird durch den Phasensprung um −180° bei $\omega _{GP}=2\pi f_{GP}$ kompensiert. Die Invertierung des Eingangssignals findet durch die frequenzunabhängige Addition von 180° Berücksichtigung.
Die Sprungantwort des Photodiodenverstärkers kann mit Hilfe der Laplace-Transformation berechnet werden. Dabei ist folgende Fallunterscheidung durchzuführen:
Fall A)
    $\ \ \ {k_{3}}^{2}={k_{2}}^{2}-{k_{1}}^{2}>0\ \ \ {\mbox{mit}}\ \ \ k_{1}={\frac {a}{2b}}\ ,\ \ \ k_{2}={\frac {1}{\sqrt {b}}}\ \ \$
Es ergeben sich Überschwinger bei der Sprungantwort:
    $U_{A}(t)=-I_{Ph}R_{f}\left[1-e^{-k_{1}t}\left\{{\frac {k_{1}}{k_{3}}}\sin(k_{3}t)+\cos(k_{3}t)\right\}\right]$
Fall B)
    $\ \ \ {k_{3}}^{2}={k_{1}}^{2}-{k_{2}}^{2}>0\ \ \ {\mbox{mit}}\ \ \ k_{1}={\frac {a}{2b}}\ ,\ \ \ k_{2}={\frac {1}{\sqrt {b}}}\ \ \$
Es ergeben sich keine Überschwinger bei der Sprungantwort:
    $U_{A}(t)=-I_{Ph}R_{f}\left[1-e^{-k_{1}t}\left\{{\frac {k_{1}}{k_{3}}}\sinh(k_{3}t)+\cosh(k_{3}t)\right\}\right]$
Gelegentlich schaltet man in Sperrrichtung eine Vorspannung in Reihe zur Photodiode, um eine steilere Sprungantwort zu erhalten. Dieser Effekt basiert darauf, dass die effektive Parallelkapazität der Photodiode sinkt, wenn man eine Vorspannung verwendet. Die aufgeführten Gleichungen für das Übertragungsverhalten bleiben dabei jedoch gültig.

### Dimensionierung der Rückkopplungskapazität zur Vermeidung von Amplitudenüberhöhungen

Um Überhöhungen im Amplitudengang (Gain-Peak) und damit auch zeitliches Überschwingen zu vermeiden, ohne die Bandbreite des Photodiodenverstärkers unnötig einzuschränken, sollte die Rückkopplungskapazität folgendermaßen gewählt werden:
    $C_{f}={\sqrt {\frac {4\,C_{Ph}}{R_{f}\,\omega _{T}}}}$
Diese Gleichung gilt unter Annahme eines kompensierten OPVs und stellt eine kritische Dämpfung (entspricht einem Tiefpassverhalten 1. Ordnung) her. Bei Verwendung von unkompensierten OPVs muss $C_{f}$ ggf. etwas größer gewählt werden, um Amplitudenüberhöhungen zu vermeiden. An dieser Gleichung wird deutlich, dass das frequenzabhängige und zeitliche Übertragungsverhalten des Photodiodenverstärkers maßgeblich von der Parallelkapazität $C_{Ph}$ der Photodiode und von der Transitfrequenz $f_{T}$ des OPVs abhängt. Der Einfluss dieser beiden Größen darf daher insbesondere dann nicht vernachlässigt werden, wenn die Photodiode großflächig (d. h. großes $C_{Ph}$) ist und/oder die Transitfrequenz des OPVs klein ist.

## Quellen

* ↑ Übertragungsverhalten analoger Schaltungen, P. Hoppe, Vieweg & Teubner Verlag 1994, Kapitel 20, ISBN 978-3-322-94030-8 (E-Book) und ISBN 978-3-519-06169-4 (Softcover).