# Cartan-Matrix

Eine Cartan-Matrix, benannt nach Élie Cartan, ist eine Matrix, die in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren zur Klassifikation dieser Algebren verwendet wird.

## Cartan-Matrix einer Lie-Algebra

Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden. Es sei $L$ eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$. $H$ sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für $x\in L$ sei
    $\mathrm {ad} \,x:L\rightarrow L,\quad y\mapsto [x,y]$
die sogenannte Adjunktion mit $x$. In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch $\langle x,y\rangle :=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))$ eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf $H$ ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums $\alpha \in H^{*}$ ist von der Form
    $\alpha _{x}:H\rightarrow \mathbb {C} ,\,y\mapsto \langle x,y\rangle$
für ein eindeutig bestimmtes $x\in H$. Mittels des Vektorraumisomorphismus $\iota :H\rightarrow H^{*},x\mapsto \alpha _{x}$ überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf $H^{*}$, das heißt man setzt $\langle \alpha ,\beta \rangle :=\langle \iota ^{-1}(\alpha ),\iota ^{-1}(\beta )\rangle$.
Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge $\Phi \subset H^{*}\setminus \{0\}$ linearer Funktionale $\alpha :H\rightarrow \mathbb {C}$ gibt, so dass
    $L=H\oplus \sum _{\alpha \in \Phi }L_{\alpha }$
wobei
    $L_{\alpha }:=\{x\in L|\,\forall h\in H:\,\exists n\in \mathbb {N} :\,(\mathrm {ad} \,h-\alpha (h)\mathrm {id} _{H})^{n}x=0\}$
und $L_{\alpha }$ nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge $\Phi$ der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge $\Phi _{0}\subset \Phi$ auswählen, so dass jedes $\alpha \in \Phi$ eindeutige Linearkombination der Elemente aus $\Phi _{0}$ ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind. $\Phi _{0}=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}\}$ heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra $H$.
Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten $A_{i,j}:=2{\frac {\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{i},\alpha _{i}\rangle }},\quad i,j=1,\ldots l$.
Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}$ beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln $\Phi _{0}\subset \Phi$.

## Beispiele

* $(2)$ ist die einzige $1\times 1$-Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.
* ${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$ ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.
Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

## Eigenschaften

Sei $A=(A_{i,j})_{i,j}$ eine Cartan-Matrix. Dann gilt:
* $A_{i,i}=2$ für alle $i$.
* $A_{i,j}\in \{0,-1,-2,-3\}$ für alle $i\not =j$
* Wenn $A_{i,j}\in \{-2,-3\}$ so ist $A_{j,i}=-1$
* $A_{i,j}=0$ genau dann, wenn $A_{j,i}=0$
* $A$ ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.
* Es gibt eine Diagonalmatrix $D$ und eine symmetrische Matrix $B$ mit $A=DB$.

## Zerlegbarkeit der Cartan-Matrizen

Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra $L$ äquivalent zu einer Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}$
mit Untermatrizen $A_{1}$ und $A_{2}$, so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass $A_{1}$ und $A_{2}$ ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Dieser Zerlegung entspricht eine direkte Summenzerlegung
    $L=L_{1}\oplus L_{2}$
in Ideale $L_{1}$ und $L_{2}$, dabei ist $A_{i}$ Cartan-Matrix von $L_{i}$. Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

## Bedeutung

Die Zuordnung
    Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren $\mapsto$ Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen
ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.
* Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.
* Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

## Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen

Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung folgt der üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.
    $A_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 1$
    $B_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-2&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 2$
    $C_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-2\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 3$
    $D_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&&\\&&&&&-1&2&-1&&\\&&&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&&&-1&2&\\&&&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 4$
    $E_{6}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&\\-1&2&-1&&&\\&-1&2&-1&-1&\\&&-1&2&&\\&&-1&&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}$
    $E_{7}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix}}$
    $E_{8}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}$
    $F_{4}={\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&-2&2&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}}$
    $G_{2}={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}$

## Existenzsatz

In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen $A=(A_{i,j})_{i,j}$ tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern $\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen
    $[h_{i},h_{j}]$
    $[h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}$
    $[h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}$
    $[e_{i},f_{i}]-h_{i}$
    $[e_{i},f_{j}]$ für $i\not =j$
    $[e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]]$ mit $i\not =j$ und $1-A_{i,j}$ Vorkommen von $e_{i}$
    $[f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]]$ mit $i\not =j$ und $1-A_{i,j}$ Vorkommen von $f_{i}$.
Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension. Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

## Beziehung zu Dynkin-Diagrammen

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix $A=(A_{i,j})_{i,j}$ mit unterem Index $n$ konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit $n$ Knoten $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ und verbindet je zwei verschiedene Knoten $x_{i}$ und $x_{j}$ durch $A_{i,j}A_{j,i}$ Kanten. Sind $x_{i}$ und $x_{j}$ durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu $x_{j}$ zeigt, wenn $|A_{j,i}|>|A_{i,j}|$. Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ angegeben.