# Abzinsung und Aufzinsung

Die Abzinsung (auch Diskontierung, engl. discounting; oft auch Abdiskontierung genannt) ist eine Rechenoperation aus der Finanzmathematik. Berechnet wird hierbei der Wert einer zukünftigen Zahlung. Häufig wird mittels Diskontierung der gegenwärtige Wert (Barwert) einer zukünftigen Zahlung ermittelt.
Entsprechend ist die Aufzinsung (auch Askontierung) die umgekehrte Rechenoperation. Bei ihr wird der Wert, den eine Zahlung zu einem späteren Zeitpunkt hat, ermittelt.
Auf Grund der Existenz von (positiven) Zinsen hat derselbe Geldbetrag einen umso höheren Wert, je früher man ihn erhält, siehe Zeitwert des Geldes. Dieser Zusammenhang wird durch die Rechenoperationen der Abzinsung und Aufzinsung wiedergegeben.
Der Wert $V$, den eine zum Zeitpunkt $t_{2}$ fließende Zahlung der Höhe $C$ zum Zeitpunkt $t_{1}$ hat, berechnet sich als Produkt von $C$ und dem Diskontierungsfaktor $DF$ oder Abzinsfaktor $AF$, der eine Funktion der Zeitpunkte $t_{1}$ und $t_{2}$ sowie des maßgeblichen Zinssatzes $i$ ist.
    $V=C\cdot DF(i,t_{1},t_{2})$
Da es sich um eine Abzinsung handelt, liegt der Zeitpunkt $t_{1}$ vor dem Zeitpunkt $t_{2}$ ($t_{1}<t_{2}$).
Der Aufzinsungsfaktor $AF$ ist einfach der Kehrwert des Diskontierungsfaktors für den gleichen Zeitraum. Er dient z. B. zur Ermittlung eines Endwertes.
Positive Zinssätze vorausgesetzt, ist der Diskontierungsfaktor $DF$ immer kleiner als $1$ und größer als $0$. Entsprechend ist der Aufzinsungsfaktor immer größer als $1$. Die genaue Form des Aufzinsungs- und des Diskontierungsfaktors hängt von der gewählten Zinskonvention ab.
Bei den Zinsen kann es sich sowohl um tatsächliche Zinsen (Marktzinsen) als auch um fiktive, etwa kalkulatorische oder Alternativzinsen handeln (wie zum Beispiel bei der Unternehmensbewertung).

## Bestimmung des Diskontierungsfaktors und des Aufzinsfaktors

Im Folgenden wird die Form des Diskontierungsfaktors $DF$ zunächst für eine Abzinsung auf die Gegenwart (d. h. $t_{1}=0$) angegeben. Der Diskontierungsfaktor hängt dann nur noch vom Zeitpunkt der künftigen Zahlung $t_{2}$, dieser kann dann einfach ohne Index als $t_{2}=t$ geschrieben werden, und dem verwendeten Zinssatz $i$ ab. Der Aufzinsfaktor $AF$ gilt analog für die Aufzinsung einer gegenwärtigen Zahlung auf einen späteren Zeitpunkt $t_{2}=t$.

### Lineare Verzinsung

Die lineare Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume angewendet, die kleiner als ein Jahr sind. Die Faktoren $DF$ und $AF$ berechnen sich zu
    $DF={\frac {1}{1+{\frac {n}{m}}i}},~AF={1+{\frac {n}{m}}i}$
wobei $n$ die Anzahl der Zinstage bis $t_{2}$ und $m$ die Anzahl der Zinstage pro Jahr nach der gewählten Zinsberechnungsmethode sind.
Beispiel
* Beträgt der Zinssatz 5 % und $t$ liegt 3 Monate in der Zukunft, dann beträgt der Diskontierungsfaktor bei Verwendung der Zinsberechnungsmethode 30/360 (d. h. 30 Zinstage pro Monat und 360 Zinstage pro Jahr, sogenannte deutsche Methode)
* $DF={\frac {1}{(1+{\frac {3\cdot 30}{360}}\cdot 0{,}05)}}={\frac {1}{1{,}0125}}=0{,}98765$.
* Das heißt, dass eine Zahlung von 100 EUR, die man in 3 Monaten erhält, abgezinst einen gegenwärtigen Wert von 98,77 EUR hat.

### Exponentielle Verzinsung

Die exponentielle Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume verwendet, die länger als ein Jahr sind. Sie berücksichtigt implizit Zinseszinseffekte. Liegt der Zinssatz bei $i$ und erfolgt die Zahlung in $t$ Jahren, so ist der Diskontierungsfaktor
    $DF={\frac {1}{(1+i)^{t}}},~AF={(1+i)^{t}}$.
Beispiel
* Beträgt der Zinssatz wiederum 5 % und '$t$ liegt 4 Jahre in der Zukunft, dann betragen die Faktoren
* $DF={\frac {1}{(1+0{,}05)^{4}}}=0{,}82270$.

### Stetige Verzinsung

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der exponentiellen Verzinsung und wird häufig bei theoretischen finanzmathematischen Fragestellungen verwendet. Sie berücksichtigt Zinseszinseffekte. Der Diskontierungsfaktor für eine Zahlung in $t$ Jahren lautet hier
    $DF=e^{-i\cdot t},\,AF=e^{i\cdot t}$.
$e$ ist hierbei die Eulersche Zahl
Beispiel
* Bei Verwendung derselben Parameter wie bei dem Beispiel zur exponentiellen Verzinsung beträgt der Diskontierungsfaktor
* $DF=e^{-0{,}05\cdot 4}=2{,}71828^{-0{,}2}=0{,}81873$,
* liegt also nahe bei dem für die exponentielle Verzinsung

### Abzinsung auf einen zukünftigen Zeitpunkt

Liegt der Zeitpunkt, auf den abgezinst werden soll, in der Zukunft, erfolgt die Berechnung analog. Der zu verwendende Zinssatz ist dann ein Zinssatz für einen Zeitraum, der in der Zukunft startet und entspricht damit einem Forward-Zins. Wird ein Zinssatz von $i$ angenommen, der Zeitpunkt der Zahlung $t_{2}$ liegt in 9 Monaten und es soll auf einen Zeitpunkt $t_{1}$ in 3 Monaten abgezinst werden, so lautet der Diskontfaktor
    $DF={\frac {1}{1+{\frac {(9-3)\cdot 30}{360}}i}}$,
wenn eine lineare Verzinsung und wiederum die deutsche Zinsmethode angenommen wird. Es wird über (9 − 3) Monate = 6 Monate abgezinst, weil der Zeitpunkt, auf den abgezinst wird, 6 Monate vor dem Zeitpunkt der Zahlung liegt.