# Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von besonderem Interesse in der multivariaten Statistik ist. Dort hat man häufig mit Integralen über der orthogonalen Gruppe oder der Stiefel-Mannigfaltigkeit bezüglich eines invarianten Maßes zu tun. Zum Beispiel erscheint die Verteilung bei der Untersuchung der Funktionaldeterminante bei Transformationen mit orthogonalen respektive semiorthogonalen Matrizen. Die Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist das normalisierte Haar-Maß auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit.
Eine Zufallsmatrix, welche gleichverteilt über der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist, ist invariant unter der zweiseitigen Wirkung des Produktes der orthogonalen Gruppen $O(p)\times O(n)$, das heißt $X\sim V_{1}XV_{2}$ für $V_{1}\in O(p),V_{2}\in O(n)$.

## Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit
### Einführung

Sei $V_{p,n}:=V_{n}(\mathbb {R} ^{p})$ die Stiefel-Mannigfaltigkeit, das heißt der Raum aller orthonormalen $n$-Rahmen in $\mathbb {R} ^{p}$ für $n\leq p$. Wir können diese Mannigfaltigkeit auch als den Matrizenraum
    $V_{p,n}=\{X\in \mathbb {R} ^{p\times n}\colon X'X=I_{n},\;n\leq p\}$
darstellen. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Quotientenraum der orthogonalen Gruppen
    $V_{p,n}\cong O(p)/O(p-n),$
wir können beide miteinander identifizieren und im Fall $p=n$ erhalten wir gerade die orthogonale Gruppe. Die Stiefel-Mannigfaltigkeit übernimmt die linke Gruppenwirkung
    $X\to VX,\quad V\in O(p).$
$O(p-n)$ ist eine kompakte abgeschlossene Lie-Untergruppe von $O(p)$. Nach dem Satz von Haar existiert ein Haar-Maß auf $O(p)$, welches wiederum ein invariantes Maß auf dem Quotientenraum $O(p)/O(p-n)$ induziert.

### Herleitung des Haar-Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Sei $X\in O(p)$, dann differenzieren wir $X'X=I_{p}$ und erhalten
    $dX'X+X'dX=0.$
Seien $x_{1},\dots ,x_{p}$ die Spalten von $X=(x_{1},\dots ,x_{p})$. Das äußere Produkt der superdiagonalen Elemente liefert eine Differentialform
    $(X'dX):=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}x'_{i}dx_{j}=\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq p}(x_{1i}dx_{1j}+\cdots +x_{pi}dx_{pj}),$
welche den Grad ${\tfrac {1}{2}}p(p-1)$ hat und somit maximal ist. Diese Differentialform ist invariant unter der linken und der rechten Gruppenwirkung der orthogonalen Gruppe. Integration der Differentialform liefert das entsprechende Haar-Maß der orthogonalen Gruppe.
Sei nun $X\in V_{p,n}$ ein Element der Stiefel-Mannigfaltigkeit und von der Form $X=(x_{1},\dots ,x_{n})$. Dann wählen wir eine Matrix $X^{\perp }=(x_{n+1},\dots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p\times (p-n)}$, so dass $[X\colon X^{\perp }]=(x_{1},\dots ,x_{p})\in O(p)$. Die induzierte Differentialform des invarianten Maßes auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ist vom maximalen Grad ${\tfrac {1}{2}}n(2p-n-1)$ und gegeben durch
    $(X'dX):=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}.$
Die Differentialform hängt nicht von einer spezifischen Form von $X^{\perp }$ ab und ist wieder invariant unter linker und rechter Gruppenwirkung.

### Integration des Haar-Maßes

Man kann nun zeigen, dass für das Integral des invarianten Maßes über der Stiefel-Mannigfaltigkeit folgende Rekursion
    $\int _{V_{p,n}}(X'dX)=A_{p}\int _{V_{p-1,n-1}}(X'dX)_{-1},\qquad A_{p}:={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}p)}}$
gilt. Die Notation $(X'dX)_{-1}$ steht hier einfach für das invariante Maß auf $V_{p-1,n-1}$.
Aus der Rekursion folgt
    $v(p,n):=\int _{V_{p,n}}(X'dX)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}},$
wobei $\Gamma _{n}$ die multivariate Gammafunktion ist.

### Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Die Gleichverteilung ist das eindeutige Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß
    $[dX]={\frac {1}{v(p,n)}}(X'dX),$
wobei
    $(X'dX)=\bigwedge \limits _{j=1}^{p-n}\bigwedge \limits _{1=i}^{n}x'_{n+j}dx_{i}\bigwedge \limits _{1\leq i<j\leq n}x'_{j}dx_{i}$
ist und die Normalisierungskonstante
    $v(p,n)={\frac {2^{n}\pi ^{pn/2}}{\Gamma _{n}({\tfrac {1}{2}}p)}}$.