# Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

## Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten $X$ und $Z$ aus ${\mathcal {A}}$ sei ${\mathcal {E}}$ die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form
    $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.$
Auf ${\mathcal {E}}$ wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ und $0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0$ sind äquivalent, wenn es einen Morphismus $g\colon Y\to Y'$ gibt, so dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}$
kommutiert. Dabei ist $\operatorname {id}$ der identische Morphismus.
Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus $g$ gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse ${\mathcal {E}}$ modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit $\mathrm {Ext} (Z,X)$ bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.

## Funktorialität

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass $\mathrm {Ext}$ zu einem zweistelligen Funktor wird.
Zu $g\colon X\to X'$ und der Sequenz $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ kann man den Push-out bilden:
    ${\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\\0&\to &X'&\to &Y'\end{matrix}}$
Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
    ${\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X'&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}$
Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in $\mathrm {Ext} (Z,X')$.
Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ auf die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0$ ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z,X')$.
Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu $g\colon Z'\to Z$ und der Sequenz $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ kann man folgenden Pull-back bilden:
    ${\begin{matrix}&&&&Y'&\to &Z'&\to &0\\&&&&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}.$
Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:
    ${\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y'&\to &Z'&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}$
Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in $\mathrm {Ext} (Z',X)$.
Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ auf die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0$ ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z',X)$.

## Ext als Ableitung des Hom-Funktors

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.
Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor $\mathrm {Hom} (-,X)$ und definiert
    $\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X):=R_{n}\mathrm {Hom} (-,X)(Z)$,
das heißt man bildet die $n$-te Rechtsableitung von $\mathrm {Hom} (-,X)$ und wendet den so entstandenen Funktor auf $Z$ an.
Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei $n\geq 1$ und
    ${\begin{array}{ccccc}\ldots \rightarrow &P_{n}&\rightarrow &P_{n-1}&\rightarrow \ldots \rightarrow Z\rightarrow 0\\&\lambda _{n}\downarrow &\nearrow \kappa _{n}\\&K_{n}\end{array}}$
eine projektive Auflösung von $Z$ mit einem Epimorphismus $\lambda _{n}:P_{n}\rightarrow K_{n}$ und einem Monomorphismus $\kappa _{n}:K_{n}\rightarrow P_{n-1}$, so dass $(P_{n}\rightarrow P_{n-1})=\kappa _{n}\circ \lambda _{n}$. Weiter sei $\kappa _{n}^{*}=\mathrm {Hom} (\kappa _{n},X)$ der induzierte Homomorphismus
    $\kappa _{n}^{*}:\mathrm {Hom} (P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm {Hom} (K_{n},X),\,f\mapsto f\circ \kappa _{n}$.
Dann ist
    $\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong \mathrm {coker} (\kappa _{n}^{*})=\mathrm {Hom} (K_{n},X)/\kappa _{n}^{*}(\mathrm {Hom} (P_{n-1},X))$.
Die Elemente aus $\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)$ sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus $\mathrm {Hom} (K_{n},X)$.
Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von $X$ und $Z$ auch vertauschen kann, man erhält
    $\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong R_{n}\mathrm {Hom} (Z,-)(X)$.

## Zusammenhang zwischen Ext und Ext$^1$

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte $\mathrm {Ext}$ und $\mathrm {Ext} ^{1}$ zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung $\mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)$.
Sei $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus $\mathrm {Ext} (Z,X)$ definiert. Weiter sei $0\rightarrow K\rightarrow P\rightarrow Z\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $P$. Mittels der Projektivität von $P$ kann man ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\\&\downarrow \psi &&\downarrow \varphi &&\Vert \\0\rightarrow &X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\end{array}}$
konstruieren. Dann ist $\psi \in \mathrm {Hom} (K,X)$ ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von $\mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)$ ein Element aus $\mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)$ definiert.
Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ in $\mathrm {Ext} (Z,X)$ auf die Äquivalenzklasse von $\psi$ in $\mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)$ ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung $\mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)$, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.
Daher kann man $\mathrm {Ext}$ mit $\mathrm {Ext} ^{1}$ identifizieren, das heißt $\mathrm {Ext}$ kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des $\mathrm {Hom}$-Funktors definiert werden.

## Lange exakte Sequenz

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz
    $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$
und ein weiteres Objekt (Modul) $A$ hat man eine exakte Sequenz
    $0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)$,
und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von $\mathrm {Ext} ^{n}$ auf $n=0$ ausdehnt, so hat man $\mathrm {Ext} ^{0}=\mathrm {Hom}$. Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz
    $0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)$
       $\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Y)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Z)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(A,X)\rightarrow \ldots$.
Analog erhält man eine lange exakte Sequenz
    $0\rightarrow \mathrm {Hom} (Z,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (Y,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (X,A)$
       $\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Y,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(X,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(Z,A)\rightarrow \ldots$.
In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.