# Lucas-Carmichael-Zahl

Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt. Sie ist nach den beiden Mathematikern Édouard Lucas und Robert Daniel Carmichael benannt.

## Definition

Eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:
* $n$ ist eine ungerade Zahl
* $n$ ist quadratfrei
* $n$ besitzt mindestens 3 Primteiler
* Für jeden Primteiler $p$ der Zahl $n$ gilt:
       $p+1$ teilt $n+1$
Würde die Zahl $n$ nicht ungerade und quadratfrei sein müssen, dann wären Kubikzahlen von Primzahlen wie zum Beispiel $2^{3}=8$ oder $3^{3}=27$ triviale Lucas-Carmichael-Zahlen, weil für jede Kubikzahl $n=p^{3}$ mit den drei Teilern $p$ wäre $p+1$ immer ein Teiler von $n+1=p^{3}+1=(p+1)\cdot (p^{2}-p+1)$.

## Beispiel

399 = 3 · 7 · 19 und
    (3+1) = 4 teilt 400 = (399+1)
    (7+1) = 8 teilt 400 = (399+1)
    (19+1) = 20 teilt 400 = (399+1)
Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.

## Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen

Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (Folge A006972 in OEIS):
| n | Primteiler |
| 399 | = 3 · 7 · 19 |
| 935 | = 5 · 11 · 17 |
| 2015 | = 5 · 13 · 31 |
| 2915 | = 5 · 11 · 53 |
| 4991 | = 7 · 23 · 31 |
| 5719 | = 7 · 19 · 43 |
| 7055 | = 5 · 17 · 83 |
| 8855 | = 5 · 7 · 11 · 23 |
| 12719 | = 7 · 23 · 79 |
| 18095 | = 5 · 7 · 11 · 47 |
| n | Primteiler |
| 20705 | = 5 · 41 · 101 |
| 20999 | = 11 · 23 · 83 |
| 22847 | = 11 · 31 · 67 |
| 29315 | = 5 · 11 · 13 · 41 |
| 31535 | = 5 · 7 · 17 · 53 |
| 46079 | = 11 · 59 · 71 |
| 51359 | = 7 · 11 · 23 · 29 |
| 60059 | = 19 · 29 · 109 |
| 63503 | = 11 · 23 · 251 |
| 67199 | = 11 · 41 · 149 |
| n | Primteiler |
| 73535 | = 5 · 7 · 11 · 191 |
| 76751 | = 23 · 47 · 71 |
| 80189 | = 17 · 53 · 89 |
| 81719 | = 11 · 17 · 19 · 23 |
| 88559 | = 19 · 59 · 79 |
| 90287 | = 17 · 47 · 113 |
| 104663 | = 13 · 83 · 97 |
| 117215 | = 5 · 7 · 17 · 197 |
| 120581 | = 17 · 41 · 173 |
| 147455 | = 5 · 7 · 11 · 383 |
| n | Primteiler |
| 152279 | = 29 · 59 · 89 |
| 155819 | = 19 · 59 · 139 |
| 162687 | = 3 · 7 · 61 · 127 |
| 191807 | = 7 · 11 · 47 · 53 |
| 194327 | = 7 · 17 · 23 · 71 |
| 196559 | = 11 · 107 · 167 |
| 214199 | = 23 · 67· 139 |
| 218735 | = 5 · 11 · 41 · 97 |
| 230159 | = 47 · 59 · 83 |
| 265895 | = 5 · 7 · 71 · 107 |
| n | Primteiler |
| 357599 | = 11 · 19 · 29 · 59 |
| 388079 | = 23 · 47 · 359 |
| 390335 | = 5 · 11 · 47 · 151 |
| 482143 | = 31 · 103 · 151 |
| 588455 | = 5 · 7 · 17 · 23 · 43 |
| 653939 | = 11 · 13 · 17 · 269 |
| 663679 | = 31 · 79 · 271 |
| 676799 | = 19 · 179 · 199 |
| 709019 | = 17 · 179 · 233 |
| 741311 | = 53 · 71 · 197 |
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit vier Primfaktoren ist 8.855 = 5 · 7 · 11 · 23.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588.455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sechs Primfaktoren ist 139.501.439 = 7 · 11 · 17 · 19 · 71 · 79.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sieben Primfaktoren ist 3.512.071.871 = 7 · 11 · 17 · 23 · 31 · 53 · 71.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit acht Primfaktoren ist 199.195.047.359 = 7 · 11 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 · 239.

## Eigenschaften

* Aufgrund der Identität $n+1=-{\frac {n}{p}}+1+(p+1){\frac {n}{p}}$ gilt für jeden Primteiler $p$ einer natürlichen Zahl $n$:
       $n+1\equiv -{\frac {n}{p}}+1\ mod\ p+1$.
    Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl $n$ genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: $p+1$ teilt ${\frac {n}{p}}-1$.
* Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen.
* Lucas-Carmichael-Zahlen sind keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen.
* Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.