# Magnettreibscheibe

Als Magnettreibscheibe (MTS) wird eine Treibscheibe bezeichnet, bei der durch Integration von Permanentmagneten in die Rillenkonstruktion die Treibfähigkeit vergrößert wird.

## Aufbau

Magnettreibscheiben, wie in Abbildung 1 gezeigt, bestehen aus $2n\left(n\in \mathbb {N} \right)$ Polscheiben, die durch $2n-1\left(n\in \mathbb {N} \right)$ Distanzscheiben getrennt sind, und Permanentmagneten, die zwischen den Polscheiben am Umfang der Treibscheibe verteilt eingesetzt werden. Durch diese Anordnung entsteht ein magnetischer Kreis, der über das Drahtseil in der Rille der MTS geschlossen wird. Darüber hinaus definieren die beiden Polscheiben die Form der Treibscheibenrille. Im Ergebnis entsteht eine magnetische Kraftwirkung, die durch die resultierende zusätzliche Pressung, die Kraftübertragung zwischen Drahtseil und Rille erhöht. Damit liegt eine erhöhte, lastabhängige Treibfähigkeit vor. Die Treibfähigkeit ist wie bei der klassischen Treibscheibe (kTS) mit dem Verhältnis der beiden Seilkräfte definiert.(vgl.) Durch Kombination mehrerer Einzelmodule axial hintereinander ist die Realisierung einer mehrrilligen Treibscheibe, wie sie z. B. im Treibscheibenaufzug mit Gegengewicht Anwendung findet, möglich. Die Magnettreibscheibe gestattet in Verbindung mit einer seilschonenden Rundrille eine höhere Lebensdauer der Drahtseile bei gleichzeitig gesteigerter Treibfähigkeit. Mit einer höheren Treibfähigkeit lassen sich in einem Aufzugsystem mit Gegenmasse die Masse des Gegengewichtes und der Kabine reduzieren. Dies wiederum ermöglicht die Reduzierung der Drahtseilanzahl sowie die Verringerung des zum Beschleunigen notwendigen Antriebsmomentes. Weitere Anwendungen sind beispielsweise Elektrozüge, Rangier- und Havariewinden und Kranhubwerke.

## Funktionsweise

Das Funktionsprinzip der Magnettreibscheibe beruht auf einem magnetischen Kreis, der über das Drahtseil geschlossen wird. Demzufolge müssen die Polscheiben eine gute magnetische Leitfähigkeit aufweisen, was durch den Einsatz von ferromagnetischen Stoffen erfüllt wird. Die Distanzscheibe hingegen muss als schlechter magnetischer Leiter bzw. guter Widerstand ausgeführt werden. Hierfür eignen sich paramagnetische oder diamagnetische Stoffe.

## Treibfähigkeit

Die entscheidende Eigenschaft für eine Treibscheibe ist die Treibfähigkeit. Die Treibfähigkeit ist die Erhöhung der übertragbaren Umfangskraft $F_{1}/F_{2}$ in Abhängigkeit vom Reibwert $\mu$ (aus Werkstoffkombination und Rillenform) und Umschlingungswinkel $\alpha =\alpha _{2}-\alpha _{1}$ (vgl. Abb. 2a). Bei der Magnettreibscheibe kommen darüber hinaus die magnetische Kraftwirkung, modelliert in der Streckenlast $q_{\text{m}}$, der Treibscheibenradius $r_{\text{TS}}$ und die Vorspannkraft $F_{2}$ hinzu.

### Herleitung der erhöhten Treibfähigkeit

Im Folgenden werden analog zur Herleitung der Eytelwein’schen Gleichung die Verhältnisse an der Magnettreibscheibe dargestellt. Mit der Annahme, dass die Seilkraft $F_{1}$ größer als die Kraft $F_{2}$ ist, ergibt sich die modellhafte Darstellung nach Abbildung 2 a). Die Treibscheibe ist in ihrem Mittelpunkt gelagert und das Seil läuft auf dem Umfang. Dabei wird die Magnetkraft als Streckenlast $q_{\text{m}}$ angenommen. Für das Kräftegleichgewicht in x- und y-Richtung ergeben sich mit dem infinitesimalen Freischnitt aus Abbildung 2 b), den Winkeln der Seilauflagepunkte $\alpha _{1}$ sowie $\alpha _{2}$, der tangentialen $F_{\text{t}}$ und normalen Kraft $F_{\text{n}}$ sowie den jeweiligen differenziellen Größen:
    ${\begin{aligned}\sum ^{\rightarrow }F_{x}=0:\quad &\left(F+dF\right)\cos {\frac {d\alpha }{2}}-F\cos {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{t}}=0\\&dF\cos {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{t}}=0\\\sum ^{\rightarrow }F_{y}=0:\quad &\left(F+dF\right)\sin {\frac {d\alpha }{2}}+F\sin {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{n}}+q_{\text{m}}Rd\alpha =0\\&\left(2F+dF\right)\sin {\frac {d\alpha }{2}}-dF_{\text{n}}+q_{\text{m}}Rd\alpha =0.\end{aligned}}$
Beide Gleichgewichtsbedingungen sind über das Amontons’sche Gesetze, das als Coulomb’sches Gesetz bekannt ist,
    $dF_{\text{t}}=\mu dF_{\text{n}}$
mit dem Reibungskoeffizient $\mu$ verbunden und ergeben eingesetzt:
    $dF\cos {\frac {d\alpha }{2}}-\mu (2F+dF)\sin {\frac {d\alpha }{2}}+\mu q_{\text{m}}Rd\alpha =0.$
Unter der Annahme kleiner Winkel und Vernachlässigung von Differenzialen höherer Ordnung lässt sich diese zusammenfassen:
    ${\begin{aligned}dF-\mu Fd\alpha -\mu q_{\text{m}}r_{\text{TS}}d\alpha &=0.\end{aligned}}$
Durch Trennung der Veränderlichen und anschließendes Integrieren entsteht:
    ${\begin{aligned}\int \limits _{F_{\text{2}}}^{F_{\text{1}}}{\frac {dF}{F+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}}}&=\mu \int \limits _{\alpha _{\text{1}}}^{\alpha _{\text{2}}}d\alpha \\ln\left|{\frac {F_{1}+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}}{F_{\text{2}}+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}}}\right|&=\mu (\alpha _{\text{2}}-\alpha _{\text{1}})=\mu \alpha \\F_{\text{1}}&=F_{\text{2}}\cdot e^{\mu \alpha }+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1).\end{aligned}}$
Die Bedingung, dass kein Rutschen auftritt, lautet für die MTS:
    ${\begin{aligned}F_{\text{2}}\cdot e^{-\mu \alpha }+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{-\mu \alpha }-1)&\leq F_{\text{1}}\leq F_{\text{2}}\cdot e^{\mu \alpha }+q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1).\end{aligned}}$
Zu erkennen ist, dass der Kraftverstärkungs- bzw. Verringerungsterm um den Faktor $q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1)$ größer bzw. $q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{-\mu \alpha }-1)$ kleiner ist als bei der kTS und damit ein größeres Verhältnis der beiden Kräfte ohne Rutschen befördert werden kann. Für die Treibfähigkeit (mit $F_{\text{1}}\geq F_{\text{2}}$) ergibt sich, dass diese wie oben beschrieben von der Kraft $F_{\text{2}}$ selbst abhängt:
    ${\begin{aligned}{\frac {F_{\text{1}}}{F_{\text{2}}}}&=e^{\mu \alpha }+{\frac {q_{\text{m}}r_{\text{TS}}(e^{\mu \alpha }-1)}{F_{\text{2}}}}.\end{aligned}}$
Insgesamt ist die Treibfähigkeit der Magnettreibscheibe für ansonsten gleiche Parameter und ein $q_{\text{m}}>0$ größer als die der konventionellen Treibscheibe.

## Beispiel

Für das Beispiel wird ein Aufzug in 2:1-Aufhängung mit $2000\,{\text{kg}}$ Nutzmasse wie in Abbildung 3 gezeigt herangezogen (vgl.). Zur Dimensionierung sind die Seilkräfte $F_{1}$ und $F_{2}$ relevant.
    ${\begin{aligned}F_{\text{1}}&=\left(\underbrace {m_{\text{K}}} _{P+Q}+2m_{\text{sp}}(h-s_{\text{K}})\right)\left({\frac {g}{2}}+{\frac {{\ddot {s}}_{\text{K}}}{2}}\right)\\F_{\text{2}}&=(\underbrace {m_{\text{G}}} _{P+Q_{\text{max}}/2}+2m_{\text{sp}}s_{\text{K}})\left({\frac {g}{2}}-{\frac {{\ddot {s}}_{\text{K}}}{2}}\right)\end{aligned}}$
Darüber hinaus werden die in der folgenden Tabelle dargestellten Größen angesetzt:
| Größe | Wert und Einheit |
| Erdbeschleunigung: | $g=9{,}81\,{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ |
| Kabinenbeschleunigung bzw. -Verzögerung: | ${\ddot {s}}_{\text{K}}=1\,{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ bzw. ${\ddot {s}}_{\text{K}}=-1\,{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ |
| Aufzugförderhöhe: | $h=30\,{\text{m}}$ |
| Aufhängungsart: | $2:1$ |
| Nutzmasse: | $Q_{\text{max}}=2000\,{\text{kg}}$ |
| Treibscheibenumschlingungswinkel: | $\alpha =\pi$ |
| Treibscheibenradius: | $r_{\text{TS}}=0{,}265\,{\text{m}}$ |
| Erforderliche Sicherheit gegen Seilbruch: | $12$ |
| Drahtseilduchmesser: | $13\,{\text{mm}}$ |
| Mindestbruchkraft des Drahtseiles: | $111{,}6\,{\text{kN}}$ |
| Spezifische Drahtseilmasse: | $m_{\text{sp}}=0{,}723\,{\frac {\text{kg}}{\text{m}}}$ |
In den Systemen mit klassischer Treibscheibe und Magnettreibscheibe unterscheiden sich der Reibwert der Rille und die bei der MTS hinzugekommene magnetische Streckenlast. Für die kTS wird ein Wert von $\mu =0{,}18$ und für die MTS ein seilschonenderer Wert von $\mu =0{,}15$ angesetzt. Der Wert für die magnetische Steckenlast beträgt entsprechend $q_{\text{m}}=13\,{\frac {\text{kN}}{\text{m}}}=13{\frac {\text{N}}{\text{mm}}}.$
| Größe | klassische Treibscheibe | Magnettreibscheibe |
| Reibwert (der Rille) | $\mu =0{,}18$ | $\mu =0{,}15$ |
| Magnetische Streckenlast | $q_{\text{m}}=0\,{\frac {\text{kN}}{\text{m}}}$ | $q_{\text{m}}=13\,{\frac {\text{kN}}{\text{m}}}$ |

### Ergebnis

Das Ergebnis lässt sich mit Abbildung 4 darstellen. Es ist das Seilkraftverhältnis $F_{1}/F_{2}$ (Treibfähigkeit) über der Kraft $F_{2}$ pro Seil dargestellt. Die Sicherheit gegen die Mindestbruchkraft (Sicherheitsgrenze der Tragseile) ist von den real auftretenden Lasten, repräsentiert durch den jeweiligen Arbeitsbereich $F_{1}(Q;s_{\text{K}};{\ddot {s}}_{\text{K}})/F_{2}(s_{\text{K}};{\ddot {s}}_{\text{K}})$, einzuhalten. In der Abbildung bedeutet dies, dass die Arbeitsbereiche sich innerhalb der blauen Begrenzung befinden müssen. Darüber hinaus müssen diese für eine korrekte Dimensionierung innerhalb des jeweiligen Treibfähigkeitsbereiches liegen. In der Abbildung wird auch deutlich, das der Treibfähigkeitsbereich der Magnettreibscheibe von der Kraft $F_{2}$ abhängt, im Gegensatz zur kTS wo dieser konstant ist. Im Treibfähigkeitsbereich $F_{1}/F_{2}\leq 1$ ist $F_{2}$ die kleinere der beiden Seilkräfte und die oben dargestellte untere Treibfähigkeitsgrenze kommt zum Tragen.
Es ergeben sich, wie in der nachfolgend dargestellten Tabelle gezeigt, Masseeinsparungen von $2290\,{\text{kg}}$ in Kabine und Gegengewicht. Darüber hinaus kann die Anzahl der Tragseile von 4 auf 3 reduziert werden.
| Größe | klassische Treibscheibe | Magnettreibscheibe | Differenz |
| Kabinenmasse | $2820\,{\text{kg}}$ | $530\,{\text{kg}}$ | $-2290\,{\text{kg}}$ |
| Gegengewichtsmasse | $3830\,{\text{kg}}$ | $1540\,{\text{kg}}$ | $-2290\,{\text{kg}}$ |
| Seilanzahl | $4$ | $3$ | $-1$ |
Zusammengefasst ermöglicht der Einsatz der Magnettreibscheibe einen deutlich geringeren Materialeinsatz in Kabine und Gegengewicht. Einen Ansatz dies zu realisieren lieferten Gude und Hufenbach bzw. Thumm. Zusätzlich kann im Beispiel ein Drahtseil eingespart werden, womit sich der Arbeitsaufwand bei einem Seilwechsel reduziert. Auch kann durch die seilschonendere Rillengestaltung der Magnettreibscheibe das Wechselintervall der Seile vergrößert werden. Es sind darausfolgend Vorteile bei der Herstellung sowie im Betrieb einer Aufzuganlage mit Magnettreibscheibe festzustellen.