# Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum $X$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in $X$ eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

## Definitionen

Es seien $X$ ein Banachraum, $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ein messbarer Raum und $\mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow X$ ein vektorielles Maß. Man sagt, $\mu$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:
* $\mu$ ist von beschränkter Variation.
* Ist $\lambda \colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R}$ ein endliches, positives Maß mit $\mu \ll \lambda$, so gibt es eine bzgl. $\lambda$ Bochner-integrierbare Funktion $f\colon \Omega \rightarrow X$ mit $\mu (A)=\int _{A}f\mathrm {d} \lambda$ für alle $A\in {\mathcal {A}}$.
Die Schreibweise $\mu \ll \lambda$ bedeutet wie üblich, dass $\mu$ absolut stetig bzgl. $\lambda$ ist, das heißt, dass für alle $A\in {\mathcal {A}}$ aus $\lambda (A)=0$ bereits $\mu (A)=0$ folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.
Schließlich definiert man, ein Banachraum $X$ habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in $X$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.

## Beispiele

* Der Banachraum $\mathbb {R}$ hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Das ist genau die Aussage des Satzes von Radon-Nikodym.
* Jeder reflexive Raum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Damit haben die Folgenräume $\ell ^{p}$ und die L$^p$-Räume für $1<p<\infty$ sowie alle Hilberträume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
* Satz von Dunford-Pettis: Jeder separable Dualraum hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Beispiele hierfür sind $\ell ^{1}$ oder der Raum ${\mathcal {N}}(\ell ^{2})$ der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$. Allgemeiner hat jeder Dualraum, der Unterraum eines schwach kompakt erzeugten Banachraums ist, die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
* Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so hat $\ell ^{1}(I)$ die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
* Hat der Banachraum eine äquivalente sehr glatte Norm, so hat dessen Dualraum die Radon-Nikodym-Eigenschaft. Insbesondere haben lokal schwach gleichmäßig konvexe Dualräume die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
* Der Raum der Nullfolgen $c_{0}$, der Raum der beschränkten Folgen $\ell ^{\infty }$ und die Funktionenräume $C([0,1])$, $L^{1}([0,1])$, $L^{\infty }([0,1])$ haben nicht die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

## Eigenschaften

* Abgeschlossene Unterräume von Räumen mit Radon-Nikodym-Eigenschaft haben wieder die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
* Die Radon-Nikodym-Eigenschaft vererbt sich nicht auf Quotientenräume. Der Raum $c_{0}$ ist Quotient von $\ell ^{1}$, denn jeder separable Banachraum ist Quotient von $\ell ^{1}$, und dieser hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, jener aber nicht.
* Der Satz von Davis-Huff-Maynard-Phelps ist eine geometrische Charakterisierung der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Ein Banachraum $X$ hat genau dann die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn es zu jeder beschränkten Menge $B\subset X$ und zu jedem $\varepsilon >0$ ein $x\in B$ gibt, das nicht in der abgeschlossenen konvexen Hülle von $B\setminus K_{\varepsilon }(x)$ liegt. Dabei bezeichnet $K_{\varepsilon }(x)$ die $\varepsilon$-Kugel um $x$.
* Der Satz von Lewis-Stegall charakterisiert Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft mittels Operatoren: Ein Banachraum $X$ hat genau die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn für jeden Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )$ mit positivem, endlichen Maß $\lambda$ jeder stetige, lineare Operator $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X$ über $\ell ^{1}$ faktorisiert. Letzteres bedeutet, dass es zu jedem stetigen, linearen Operator $T\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow X$ stetige, lineare Operatoren $R\colon L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\lambda )\rightarrow \ell ^{1}$ und $S\colon \ell ^{1}\rightarrow X$ gibt mit $T=S\circ R$.
* Ein Resultat von Srishti Dhar Chatterji lautet, dass die Existenz der meisten Konvergenzarten für Banach-wertige Martingale $M_{n}$ (d. h. $M_{\infty }$ existiert unter entsprechenden Voraussetzungen) äquivalent zur Radon-Nikodym-Eigenschaft des darunterliegenden Raumes ist.

## Die Krein-Milman-Eigenschaft

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte, dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.
Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft. Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem, sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum $X$ äquivalent:
* $X'$ (der Dualraum von $X$) hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft.
* $X'$ hat die Krein-Milman-Eigenschaft.
* Ist $Y\subset X$ ein separabler Unterraum von $X$, so ist $Y'$ separabel.