# Selbstadjungiertes Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra selbstadjungiert, wenn sein Adjungiertes dasselbe Element ist.

## Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ selbstadjungiert, falls $a=a^{*}$ gilt.
Die Menge der selbstadjungierten Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{sa}$ bezeichnet.
Eine Teilmenge ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$, die unter der Involution * abgeschlossen ist, also ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}$ erfüllt, heißt selbstadjungiert.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.
Vor allem in der älteren Literatur zu *-Algebren bzw. C*-Algebren werden solche Elemente häufig auch hermitesch genannt. Auch in der neueren Literatur finden sich teilweise in Anlehnung daran die Schreibweisen ${\mathcal {A}}_{h}$, ${\mathcal {A}}_{H}$ oder $H({\mathcal {A}})$ für die Menge der selbstadjungierten Elemente.

## Beispiele

* Jedes positive Element einer C*-Algebra ist selbstadjungiert.
* Für jedes Element $a$ einer *-Algebra sind die Elemente $aa^{*}$ und $a^{*}a$ selbstadjungiert, da * ein involutiver Antiautomorphismus ist.
* Für jedes Element $a$ einer *-Algebra sind Real- und Imaginärteil Re⁡(a)=1/2 (a+a$^∗$){\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})} und Im⁡(a)=1/2i (a−a$^∗$){\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})} selbstadjungiert, wobei $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet.
* Sei $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$, dann definiert jede reellwertige Funktion $f$, die auf dem Spektrum von $a$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein selbstadjungiertes Element $f(a)$.

## Kriterien

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:
* Sei $a\in {\mathcal {A}}$, dann ist $a^{*}a$ selbstadjungiert, da $(a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a$ gilt. Analog rechnet man nach, dass auch $aa^{*}$ selbstadjungiert ist.
* Ist $a=a_{1}a_{2}$ das Produkt zweier selbstadjungierter Elemente $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$. Dann ist $a$ genau dann selbstadjungiert, wenn $a_{1}$ und $a_{2}$ kommutieren, da stets $(a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}$ gilt.
* Ist ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra, so ist ein normales Element $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ genau dann selbstadjungiert, wenn sein Spektrum reell ist, also $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$.

## Eigenschaften
### In *-Algebren

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:
* Jedes Element $a\in {\mathcal {A}}$ kann eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegt werden, das heißt es existieren eindeutig bestimmte Elemente $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$, sodass $a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}$ gilt. Dabei ist a$_1$=1/2 (a+a$^∗$){\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})} und a$_2$=1/2i (a−a$^∗$){\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}.
* Die Menge der selbstadjungierten Elemente ${\mathcal {A}}_{sa}$ ist ein reeller Untervektorraum von ${\mathcal {A}}$. Aus der vorherigen Eigenschaft ergibt sich, dass ${\mathcal {A}}$ die direkte Summe zweier reeller Untervektorräume ist, also ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}$.
* Sei $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ selbstadjungiert, dann ist $a$ normal.
* Die *-Algebra ${\mathcal {A}}$ heißt hermitesche *-Algebra, wenn jedes selbstadjungierte Element $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ ein reelles Spektrum $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$ hat.

### In C*-Algebren

Sei ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$. Dann gilt:
* Für das Spektrum gilt $\left\|a\right\|\in \sigma (a)$ oder $-\left\|a\right\|\in \sigma (a)$, da $\sigma (a)$ reell ist und für den Spektralradius $r(a)=\left\|a\right\|$ gilt, weil $a$ normal ist.
* Es existieren nach dem stetigen Funktionalkalkül eindeutig bestimmte positive Elemente $a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}$, sodass $a=a_{+}-a_{-}$ mit $a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0$. Es gilt $\left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)$. Man bezeichnet $a_{+}$ und $a_{-}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt $|a|=a_{+}+a_{-}$ für den für ein beliebiges Element definierten Betrag |a|=(a$^∗$a)$^{1/2}${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}.
* Es existiert für jedes $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ und ungerades $n\in \mathbb {N}$ ein eindeutig bestimmtes $b\in {\mathcal {A}}_{+}$, das $b^{n}=a$ erfüllt, das heißt eine $n$-te Wurzel, wie man mit dem stetigen Funktionalkalkül zeigen kann.