# Äquivalenz (Testtheorie)

Die Äquivalenz (Gleichwertigkeit) von Messungen ist die Grundlage für eine präzise Schätzung der Reliabilität. Äquivalenz ist ein Begriff aus der Testtheorie.
Die Klassische Testtheorie geht davon aus, dass der beobachtete Wert einer Messung aus dem tatsächlichen wahren Wert und einem Fehler besteht. Die Fehler mehrerer Messungen sind dabei voneinander unabhängig und unsystematisch. Reliabilitätsschätzungen gehen davon aus, dass die Qualität der Messungen immer gleich ist (bzw. unter vergleichbaren Bedingungen durchgeführt wurden). Diese Annahme ist jedoch nicht immer gültig.
Die Qualität von wiederholten Messungen kann zum Beispiel durch Ermüdungs- oder Trainingseffekte beeinflusst werden. Dies bedeutet, dass nicht immer von den gleichen Test- und Fehlerwerten ausgegangen werden kann. Von der Gleichwertigkeit (Äquivalenz) der Messung hängt somit ab, welche Formel zur Schätzung der Reliabilität herangezogen werden kann.

## Arten der Äquivalenz von Messungen
### Streng parallel

Zwei Messungen sind streng parallel, wenn sie die gleichen wahren Werte und die gleiche Fehlervarianz aufweisen:
    ${\begin{aligned}T\prime &=T\\\sigma _{E}^{2}\prime &=\sigma _{E}^{2}\end{aligned}}$
Dabei gilt:
    ${\begin{aligned}T\prime &={\text{Wahrer Wert in Test A}}\\T&={\text{Wahrer Wert in Test B}}\\\sigma _{E}^{2}\prime &={\text{Fehlervarianz in Test A}}\\\sigma _{E}^{2}&={\text{Fehlervarianz in Test B}}\end{aligned}}$
Dies bedeutet, dass eine Person in Test A und B denselben wahren Wert erzielt und die Messfehler beider Tests gleich sind. Somit gilt, dass beide Tests die gleiche Eigenschaft mit der gleichen Skala und für alle Personen gleich gut messen.

### Im Wesentlichen parallel

Zwei Messungen sind im Wesentlichen parallel, wenn sie die gleichen wahren Werte um eine Konstante verschoben und die gleiche Fehlervarianz aufweisen:
    ${\begin{aligned}T\prime &=T+\gamma \\\sigma _{E}^{2}\prime &=\sigma _{E}^{2}\end{aligned}}$
Dabei gilt:
    ${\begin{aligned}\gamma &={\text{Additive Konstante}}\end{aligned}}$
Dies bedeutet, dass der wahre Wert einer Person lediglich um eine Konstante verschoben ist.
Nur im Falle einer streng parallelen oder im Wesentlichen parallelen Messung entspricht die Korrelation zwischen beiden Tests einer Schätzung der Reliabilität. Dazu kann die Spearman-Brown-Formel eingesetzt werden, oder bei einer kleinen Stichprobengröße die Formel von Kristof.

### Tau-äquivalent

Beide Messungen weisen zwar die gleichen wahren Werte auf, jedoch unterscheiden sich die Fehlervarianzen:
    ${\begin{aligned}T\prime &=T\\\sigma _{E}^{2}\prime &\neq \sigma _{E}^{2}\end{aligned}}$
Somit muss sich die Reliabilität zwischen den einzelnen Messungen unterscheiden, da die Reliabilität das Verhältnis zwischen dem wahren Messwert und dem beobachteten Messwert (nach der Klassischen Testtheorie die Summe aus dem wahren Wert und dem Messfehler) angibt.

### Essentiell/Im Wesentlichen tau-äquivalent

Im Gegensatz zur tau-äquivalenten Messung ist der wahre Wert um eine additive Konstante verschoben:
    ${\begin{aligned}T\prime &=T+\gamma \\\sigma _{E}^{2}\prime &\neq \sigma _{E}^{2}\end{aligned}}$
Zur Berechnung der Reliabilität bei tau-Äquivalenz kann die Formel von Guttman herangezogen werden. Sind beide Testteile unterschiedlich groß, wird die Formel nach Feldt verwendet.

### Kongenerisch

Kongenerische Messungen sind um eine additive Konstante verschoben und haben eine um eine multiplikative Konstante unterschiedliche Maßeinheit:
    ${\begin{aligned}T\prime &=\beta \cdot T+\gamma \\\sigma _{E}^{2}\prime &\neq \sigma _{E}^{2}\end{aligned}}$
Dabei gilt:
    ${\begin{aligned}\beta &={\text{Multiplikative Konstante}}\end{aligned}}$
Beide Messungen bilden immer noch die gleiche Messgröße ab. Mittelwert, Fehlervarianz und Maßeinheit sind verschieden, die wahren Werte korrelieren aber perfekt miteinander.