# Zyklische Permutation

Eine zyklische Permutation, kurz Zyklus (von griechisch κύκλος ‚Kreis‘), ist in der Kombinatorik und der Gruppentheorie eine Permutation, die bestimmte Elemente einer Menge im Kreis vertauscht und die übrigen festhält. Das erste Element des Zyklus wird dabei auf das zweite abgebildet, das zweite Element auf das dritte, und so weiter bis hin zum letzten Element, das wieder auf das erste abgebildet wird.
Zyklische Permutationen weisen eine Reihe besonderer Eigenschaften auf. So ist die Verkettung zweier zyklischer Permutationen kommutativ, wenn diese disjunkte Träger besitzen. Die inverse Permutation einer zyklischen Permutation ist immer ebenfalls zyklisch. Weiter ergeben beliebige Potenzen einer zyklischen Permutation, deren Länge eine Primzahl ist, wieder zyklische Permutationen. Die zyklischen Permutationen fester Länge bilden zudem Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe aller Permutationen.
Jede zyklische Permutation kann in einzelne Transpositionen (Vertauschung von genau zwei Elementen) zerlegt werden und weist daher genau dann ein gerades Vorzeichen auf, wenn ihre Länge ungerade ist. Jede Permutation kann wiederum als Verkettung paarweise disjunkter Zyklen geschrieben werden, was in der Zyklenschreibweise von Permutationen genutzt wird. Die Ordnung einer Permutation entspricht dann dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Längen dieser Zyklen. Zyklische Permutationen mit großer Zyklenlänge spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Pseudozufallszahlengeneratoren.

## Definition

Ist $S_{n}$ die symmetrische Gruppe aller Permutationen der Menge $\{1,\dotsc ,n\}$, dann heißt eine Permutation $\pi =(\pi (1),\pi (2),\dotsc ,\pi (n))\in S_{n}$ zyklisch mit der Länge $k$ oder $k$-Zyklus, wenn sie eine Liste von $k\leq n$ paarweise verschiedenen Zahlen $i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{k}\in \{1,\dotsc ,n\}$ im Kreis vertauscht, das heißt
    $i_{1}\mapsto i_{2}\mapsto \dotsb \mapsto i_{k}\mapsto i_{1}$,
und alle anderen Zahlen festhält. Es muss also gelten
    $\pi (i_{1})=i_{2},~\pi (i_{2})=i_{3},\;\dotsc ,~\pi (i_{k-1})=i_{k}$ und $\pi (i_{k})=i_{1}$
sowie
    $\pi (j)=j$ für $j\not \in \{i_{1},\dotsc ,i_{k}\}$.
Die Menge $\{i_{1},\dotsc ,i_{k}\}$ heißt der Träger oder die Bahn von $\pi$. Allgemeiner können auch Permutationen beliebiger endlicher Mengen, beispielsweise Alphabete, betrachtet werden, zur Analyse der mathematischen Eigenschaften kann man sich jedoch auf die ersten $n$ natürlichen Zahlen beschränken.

## Notation

Neben der obigen Funktionsnotation, bei der die Abbildung $\pi$ vollständig angegeben wird, kann eine zyklische Permutation auch dadurch notiert werden, dass lediglich die Zahlen, die zyklisch vertauscht werden, als Indizes mittels
    $\pi _{i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{k}}$
angegeben werden. Häufig wird eine zyklische Permutation auch in Zyklenschreibweise notiert, indem diese Zahlen ohne Trennzeichen in Klammern gesetzt werden:
    $(i_{1}~i_{2}~\dotso ~i_{k})$
In beiden Schreibweisen wird davon ausgegangen, dass die Gesamtzahl $n$ der Zahlen bekannt ist. Die Index- und Zyklenschreibweisen sind allerdings nicht eindeutig, denn die Startzahl kann innerhalb des Zyklus beliebig gewählt werden. Jeder $k$-Zyklus kann so auf $k$ verschiedene Weisen
    $\pi _{i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{k}}=\pi _{i_{2},\dotsc ,i_{k},i_{1}}=\dotsb =\pi _{i_{k},i_{1},\dotsc ,i_{k-1}}$
oder
    $(i_{1}~i_{2}~\dotso ~i_{k})=(i_{2}~\dotso ~i_{k}~i_{1})=\dotsb =(i_{k}~i_{1}~\dotso ~i_{k-1})$
beschrieben werden. Oft gesetzte Konvention ist aber, für $i_{1}$ die kleinste oder die größte Zahl des Zyklus zu wählen.

## Beispiele

Zyklische Permutationen in S$_4$ :
| Länge | Zyklische Permutationen | Anzahl |
| 1 | id | 1 |
| 2 | (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) | 6 |
| 3 | (1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4), (1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3) | 8 |
| 4 | (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2) | 6 |
Eine einfache zyklische Permutation der Länge drei ist
    $\pi _{123}=\pi _{231}=\pi _{312}=(1~2~3)=(2~3~1)=(3~1~2)={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}\in S_{3}$.
Hierbei wird die Zahl $1$ auf die Zahl $2$, die Zahl $2$ auf die Zahl $3$ und die Zahl $3$ wieder auf die Zahl $1$ abgebildet. Die Permutation
    $\pi _{24}=\pi _{42}=(2~4)=(4~2)={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}\in S_{4}$
ist eine zyklische Permutation der Länge zwei, bei der die Zahlen $2$ und $4$ vertauscht werden und die Zahlen $1$ und $3$ festgehalten werden. Jede zyklische Permutation der Länge eins
    $\pi _{1}=\pi _{2}=\dotsb =\pi _{n}=(1)=(2)=\dotsb =(n)={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\1&2&\cdots &n\end{pmatrix}}\in S_{n}$
entspricht gerade der identischen Permutation $\operatorname {id}$, die alle Zahlen unverändert lässt. In der symmetrischen Gruppe $S_{4}$ finden sich die in der nebenstehenden Tabelle aufgeführten zyklischen Permutationen. Von den $24$ Permutationen in $S_{4}$ sind demnach nur drei Permutationen nichtzyklisch, nämlich diejenigen, die jeweils zwei Paare von Zahlen vertauschen.

## Spezialfälle

Bei zyklischen Permutationen werden folgende Spezialfälle betrachtet:

### Vertauschung oder Transposition

    Eine zyklische Permutation, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht, also
       $\pi _{i,j}=(i~j)$ für $i,j\in \{1,\dotsc ,n\},i\neq j$.

### Nachbarvertauschung oder Nachbartransposition

    Eine zyklische Permutation, die zwei aufeinander folgende Elemente miteinander vertauscht, also
       $\pi _{i,i+1}=(i~i+1)$ für $i\in \{1,\dotsc ,n-1\}$.

### Zyklischer Rechtsshift

    Eine zyklische Permutation, die alle Elemente der Reihe nach aufsteigend im Kreis vertauscht, also
       $\pi _{1,2,\dotsc ,n}=(1~2~\dotso ~n)$.

### Zyklischer Linksshift

    Eine zyklische Permutation, die alle Elemente der Reihe nach absteigend im Kreis vertauscht, also
       $\pi _{n,n-1,\dotsc ,1}=(n~n-1~\dotso ~1)$.

## Eigenschaften
### Anzahl

Anzahl der k-Zyklen in S$_n$ :
| $_{n}\!\diagdown \!\!^{k}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Summe |
| 1 | 1 | | | | | | 1 |
| 2 | 1 | 1 | | | | | 2 |
| 3 | 1 | 3 | 2 | | | | 6 |
| 4 | 1 | 6 | 8 | 6 | | | 21 |
| 5 | 1 | 10 | 20 | 30 | 24 | | 85 |
| 6 | 1 | 15 | 40 | 90 | 144 | 120 | 410 |
In der Menge der $n!$ verschiedenen Permutationen der Zahlen $\{1,\dotsc ,n\}$ gibt es genau $(n-1)!$ viele $n$-Zyklen. Jeder Permutation in Tupelschreibweise $(i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{n})$ entspricht nämlich ein $n$-Zyklus $(i_{1}~i_{2}~\dotso ~i_{n})$, der wiederum auf $n$ verschiedene Weisen geschrieben werden kann. Bezeichnet nun allgemein $Z_{n,k}$ die Menge der $k$-Zyklen in $S_{n}$, dann gilt für $k=2,\dotsc ,n$
    $|Z_{n,k}|={\binom {n}{k}}(k-1)!$ (Folge A111492 in OEIS),
denn es gibt ${\tbinom {n}{k}}$ Möglichkeiten, $k$ von $n$ Zahlen auszuwählen. Für die Gesamtmenge $Z_{n}$ aller zyklischen Permutationen in $S_{n}$ inklusive der identischen Permutation gilt damit:
    $|Z_{n}|=1+\sum _{k=2}^{n}{\binom {n}{k}}(k-1)!$ (Folge A121726 in OEIS)

### Kommutativität

Im Allgemeinen ist die Hintereinanderausführung zweier zyklischer Permutationen nicht kommutativ. Besitzen allerdings zwei zyklische Permutationen $\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}}\in Z_{n,k}$ und $\pi _{j_{1},\dotsc ,j_{l}}\in Z_{n,l}$ disjunkte Träger, gilt also
    $\{i_{1},\dotsc ,i_{k}\}\cap \{j_{1},\dotsc ,j_{l}\}=\emptyset$,
dann lässt sich ihre Reihenfolge bei der Hintereinanderausführung vertauschen, das heißt, es gilt
    $\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}}\circ \pi _{j_{1},\dotsc ,j_{l}}=\pi _{j_{1},\dotsc ,j_{l}}\circ \pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}}$.
Zyklische Permutationen mit disjunkten Trägern werden auch disjunkte Zyklen genannt.

### Abgeschlossenheit und Inverse

Die Hintereinanderausführung zweier zyklischer Permutationen ist nicht notwendigerweise wieder zyklisch, wie das Beispiel
    $\pi _{1234}\circ \pi _{1234}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix}}=\pi _{13}\circ \pi _{24}$
zeigt. Daher bildet die Menge der zyklischen Permutationen $Z_{n}$ für $n\geq 4$ keine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{n}$. Allerdings ist die inverse Permutation einer zyklischen Permutation $\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}}$ stets ebenfalls eine zyklische Permutation, nämlich diejenige, die die Zahlen $i_{1},\dotsc ,i_{k}$ in umgekehrter Reihenfolge zyklisch vertauscht, also
    $(\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}})^{-1}=\pi _{i_{k},\dotsc ,i_{1}}$.
Die inverse Permutation einer Transposition ist damit wieder die gleiche Transposition.

### Potenzen

Wird eine zyklische Permutation zweimal hintereinander angewandt, so verschieben sich alle Indizes zyklisch um $2$, das heißt $i_{1}$ wird auf $i_{3}$ abgebildet, $i_{2}$ auf $i_{4}$ und so weiter bis hin zu $i_{k-1}$ auf $i_{1}$ und $i_{k}$ auf $i_{2}$. Allgemein verschieben sich durch die $m$-malige Anwendung einer zyklischen Permutation alle Indizes zyklisch um $m$. Die $m$-te Potenz einer zyklischen Permutation der Länge $k$ ist genau dann selbst wieder zyklisch, wenn $m$ und $k$ teilerfremd sind. Speziell ergibt die $k$-malige Anwendung einer zyklischen Permutation $\pi \in Z_{n,k}$ die identische Permutation, also
    $\pi ^{k}=\operatorname {id}$,
und die $(k+1)$-malige Anwendung ergibt wieder die Ausgangspermutation, also
    $\pi ^{k+1}=\pi$.
Daher bildet die Menge
    $\{\pi ,\pi ^{2},\dotsc ,\pi ^{k-1},\pi ^{k}\}$
mit der Hintereinanderausführung eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_{n}$, wobei $\pi ^{k-j}$ das inverse Element zu $\pi ^{j}$ ist. Diese Untergruppe ist isomorph zur zyklischen Gruppe $C_{k}$ und besteht genau dann ausschließlich aus zyklischen Permutationen, wenn $k$ eine Primzahl ist.

### Konjugation

Für eine zyklische Permutation
    $\pi =(i_{1}~i_{2}~\dotso ~i_{k})\in Z_{n,k}$
berechnet sich die Konjugation mit einer beliebigen Permutation $\sigma \in S_{n}$ zu
    $\sigma \circ \pi \circ \sigma ^{-1}=\left(\sigma (i_{1})~\sigma (i_{2})~\dotso ~\sigma (i_{k})\right)$,
sie ergibt also wiederum einen $k$-Zyklus. Die Menge $Z_{n,k}$ bildet dabei für jedes $k\in \{1,\dotsc ,n\}$ eine Konjugationsklasse der Gruppe $S_{n}$. Allgemein sind zwei Permutationen $\pi ,\sigma \in S_{n}$ genau dann zueinander konjugiert, wenn ihr Zyklentyp übereinstimmt.

## Zerlegungen
### Zerlegung von Zyklen in Teilzyklen

Jede zyklische Permutation der Länge $k>2$ lässt sich an einer beliebigen Stelle $l\in \{2,\dotsc ,k-1\}$ mittels
    $\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}}=\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{l}}\circ \pi _{i_{l},\dotsc ,i_{k}}$
in zwei Teilzyklen zerlegen. Wendet man diese Zerlegung wiederholt mit $l=2,3,\dotsc ,k-1$ an, ergibt sich, dass jede zyklische Permutation der Länge $k$ mittels
    $\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}}=\pi _{i_{1},i_{2}}\circ \dotsb \circ \pi _{i_{k-1},i_{k}}$
als Verkettung von $k-1$ Transpositionen geschrieben werden kann. Für das Vorzeichen einer zyklischen Permutation der Länge $k$ gilt damit
    $\operatorname {sgn} (\pi _{i_{1},\dotsc ,i_{k}})=\operatorname {sgn} (\pi _{i_{1},i_{2}})\dotsm \operatorname {sgn} (\pi _{i_{k-1},i_{k}})=(-1)^{k-1}$,
da Transpositionen immer ein ungerades Vorzeichen haben. Eine zyklische Permutation ist also genau dann gerade, wenn ihre Länge ungerade ist.

#### Beispiel

Die zyklische Permutation $\pi _{1423}\in S_{4}$ der Länge vier lässt sich durch
    $\pi _{1423}=\pi _{14}\circ \pi _{42}\circ \pi _{23}$
in drei Transpositionen zerlegen und ist demnach ungerade.

### Zerlegung von Permutationen in Zyklen

Jede Permutation $\pi \in S_{n}$ lässt sich eindeutig (bis auf Vertauschung der Faktoren) als Verkettung von $m\leq n$ paarweise disjunkten Zyklen darstellen. Das heißt, es gilt
    $\pi =\pi _{I_{1}}\circ \dotsb \circ \pi _{I_{m}}$
mit paarweise disjunkten Trägern $I_{j}=\{i_{j,1},\dotsc ,i_{j,n_{j}}\}$ für $j=1,\dotsc ,m$, wobei $n_{1}+\dotsb +n_{m}=n$ ist. Die Stirling-Zahlen erster Art $s_{n,m}$ geben dabei an, wie viele Permutationen in $S_{n}$ als Verkettung von genau $m$ zyklischen Permutationen geschrieben werden können. Die Ordnung einer Permutation entspricht der Ordnung der zugehörigen zyklischen Gruppe und ist damit das kleinste gemeinsame Vielfache der Längen $n_{1},\dotsc ,n_{m}$ dieser Zyklen. Weiter ergibt sich das Vorzeichen einer Permutation aus der Zahl der Zyklen gerader Länge.

#### Beispiel

Die Permutation
    $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&6&4&1&5&2\end{pmatrix}}\in S_{6}$
zerfällt in die drei disjunkten Zyklen
    $\pi =\pi _{134}\circ \pi _{26}\circ \pi _{5}$
und hat damit die Ordnung $\operatorname {kgV} (3,2,1)=6$. Da nur einer der drei Zyklen eine gerade Länge hat, ist die Permutation ungerade.

## Anwendungen

Zyklische Permutationen mit großer Zyklenlänge spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Pseudozufallszahlengeneratoren. Die maximale Periode eines solchen Zufallszahlengenerators entspricht der Anzahl der möglichen Zustände des Generators. Bei einfachen rekursiven Generatoren der Form
    $x_{i+1}=f(x_{i})$
mit $f\colon \{0,\dotsc ,m-1\}\to \{0,\dotsc ,m-1\}$ ist die Zahl der möglichen Zustände gerade $m$. Die Periode eines solchen Generators ist genau dann maximal, wenn die Funktion $f$ eine zyklische Permutation der Länge $m$ der Menge $\{0,\dotsc ,m-1\}$ darstellt. Im Fall von linearen Kongruenzgeneratoren der Art
    $x_{i+1}=(ax_{i}+b){\bmod {m}}$
liefert der Satz von Knuth hinreichende und notwendige Bedingungen an die Parameter $a,b$ und $m$ für die Maximalität der Periodenlänge.