# Carnot-Wirkungsgrad

Der Carnot-Wirkungsgrad $\eta _{\text{c}}$ (griechischer Buchstabe "eta", kleines h), auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie. Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.

## Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen $T_{\text{h}}$ (heiß) und $T_{\text{k}}$ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:
    $\eta _{\text{c}}={\frac {T_{\text{h}}-T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}=1-{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}$
Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher $T_{\text{h}}$ und je tiefer $T_{\text{k}}$ ist. Da $T_{\text{h}}$ nach oben und $T_{\text{k}}$ nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

## Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:
    $\eta _{\text{c}}=1-{\frac {373{,}15}{1073{,}15}}=0{,}652=65{,}2\ \%$

## Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme $Q_{\text{h}}$ aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur $T_{\text{h}}$ und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit $W$ (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme $Q_{\text{k}}$ in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur $T_{\text{k}}$. Der Wirkungsgrad $\eta$ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:
    $\eta ={\frac {W}{Q_{\text{h}}}}$
Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie $S_{\text{h}}={\frac {Q_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}$ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie $S_{\text{k}}={\frac {Q_{\text{k}}}{T_{\text{k}}}}$ auf das kalte Reservoir übertragen.
Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:
    $S_{\text{k}}\geq S_{\text{h}}$.
Entsprechend gilt für die Wärme:
    $\Rightarrow Q_{\text{k}}\geq Q_{\text{h}}\,{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}$
Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist
       $Q_{\text{k}}=Q_{\text{h}}-W$,
so folgt für die Nutzarbeit:
    $\Rightarrow W\leq Q_{\text{h}}\left(1-{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}\right)$
und entsprechend für den Wirkungsgrad:
    $\eta \leq \eta _{\text{c}}$.
In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

## Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:
* Wärmepumpe: $W_{\text{el}}>\left(1-{\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}}}\right)\,Q_{\text{h}}$
* Kältemaschine: $W_{\text{el}}>\left({\frac {T_{\text{h}}}{T_{\text{k}}}}-1\right)\,Q_{\text{k}}$.
Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen $\epsilon$ beschrieben.
Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme $Q_{\text{h}}$ genutzt:
       $\epsilon _{\text{WP}}={\frac {Q_{\text{h}}}{W_{\text{el}}}}<\epsilon _{\text{WP,c}}$
mit
    $\epsilon _{\text{WP,c}}={\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{\text{h}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{k}}}}>1$.
Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme $Q_{\text{k}}$ die Nutzgröße:
       $\epsilon _{\text{KM}}={\frac {Q_{\text{k}}}{W_{\text{el}}}}<\epsilon _{\text{KM,c}}$
mit:
    $\epsilon _{\text{KM,c}}={\frac {1}{\eta _{\text{c}}}}-1={\frac {T_{\text{k}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{k}}}}$.