# Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten

Die Idee der Geometrisierung als Begriff der Mathematik wurde 1980 von William Thurston als ein Programm zur Klassifizierung geschlossener dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten vorgestellt. Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in Grundbausteine auf jedem dieser Bausteine eine charakteristische geometrische Struktur zu finden. Die von Thurston aufgestellte und inzwischen bestätigte Vermutung, dass dies immer möglich ist, stellt eine Verallgemeinerung der Poincaré-Vermutung dar. Der Beweis wurde von Grigori Perelman mit seinen Arbeiten zum Ricci-Fluss 2002 erbracht.

## Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten

Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit (oder kurz 3-Mannigfaltigkeit) ist ein topologischer Raum, der sich lokal durch dreidimensionale „Karten“ beschreiben lässt, also auf kleinen Bereichen so aussieht wie der gewöhnliche dreidimensionale euklidische Raum. Eine ganze 3-Mannigfaltigkeit lässt sich dagegen im Allgemeinen nicht als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes vorstellen. Dies wird durch Betrachtung von zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten anschaulich: Eine zweidimensionale Sphäre (also z. B. die Erdoberfläche) lässt sich lokal durch zweidimensionale Karten beschreiben (jeder gewöhnliche Atlas ist eine solche Ansammlung von Karten). Dennoch kann man die ganze 2-Sphäre nicht auf einmal in einer zweidimensionalen euklidischen Ebene darstellen. Analog zum zweidimensionalen Beispiel legen die Kartenwechsel (jetzt zwischen den dreidimensionalen Karten) die Struktur der 3-Mannigfaltigkeit fest.
Hier zeigt sich eine besondere Eigenschaft von 3-Mannigfaltigkeiten: Während es in noch höheren Dimensionen darauf ankommt, was für Kartenwechsel man zulässt (sollen sie nur stetig sein, oder differenzierbar, unendlich oft differenzierbar etc.), spielt diese Unterscheidung bis zur Dimension 3 keine Rolle. Mathematisch präzisiert heißt dies, dass es auf jeder topologischen 3-Mannigfaltigkeit genau eine differenzierbare Struktur gibt. Dies hat zur Folge, dass sich bei der Untersuchung von 3-Mannigfaltigkeiten topologische Methoden und differentialgeometrische Methoden kombinieren lassen. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich hiermit beschäftigt, nennt man daher auch dreidimensionale Geometrie und Topologie.
Ziel der dreidimensionalen Geometrie und Topologie ist es, alle möglichen geschlossenen (d. h. kompakten und randlosen) 3-Mannigfaltigkeiten zu verstehen und zu klassifizieren. Dies ist ein sehr schwieriges Problem, da es – im Gegensatz etwa zu 2-Mannigfaltigkeiten – eine unüberschaubare Vielzahl geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten gibt.
Das von William Thurston vorgeschlagene Programm zur Geometrisierung führt zu einer solchen Klassifikation, indem es (nach einer geeigneten Zerlegung der 3-Mannigfaltigkeit) jedem Teilstück eine bestimmte Geometrie zuordnet, die wiederum die topologische Struktur dieses Teilstücks charakterisiert.

## Zerlegung in Komponenten

Eine 3-Mannigfaltigkeit in Komponenten zu „zerlegen“ bedeutet, sie zunächst entlang einer eingebetteten zweidimensionalen Sphäre in zwei Komponenten aufzuschneiden. In die dabei entstehenden Ränder (zwei Sphären) klebt man nun jeweils einen dreidimensionalen Ball ein, sodass die resultierenden Komponenten wieder ohne Rand sind.
Durch diese Zerlegung entlang von 2-Sphären kann man erreichen, dass die resultierenden Komponenten irreduzibel sind. Das bedeutet, dass jede eingebettete 2-Sphäre auf einer Seite einen 3-Ball berandet und eine weitere Zerlegung daher nur die Abspaltung einer zusätzlichen $S^{3}$ zur Folge hätte. Man kann zeigen, dass die Zerlegung in irreduzible Komponenten eindeutig ist bis auf Reihenfolge und zusätzliche $S^{3}$-en.
Ist eine so erhaltene irreduzible Komponente von der Gestalt $S^{2}\times S^{1}$ oder hat sie eine endliche Fundamentalgruppe, so wird diese Komponente nicht weiter zerlegt. Alle anderen Komponenten lassen sich entlang bestimmter Tori nun noch weiter zerlegen, bis man eine wiederum eindeutige Zerlegung erhält, deren Komponenten alle entweder atoroidal oder Seifert-gefasert sind. Diese Zerlegung nennt man Jaco-Shalen-Johannson-Zerlegung oder kurz JSJ-Zerlegung.
Auf diese Weise erhält man Bausteine, aus denen man alle 3-Mannigfaltigkeiten wieder durch den umgekehrten Prozess zur Zerlegung („verbundene Summe“ und Verkleben von Randtori) zusammensetzen kann. Zur Klassifikation der 3-Mannigfaltigkeiten reicht es daher aus, die Bausteine der JSJ-Zerlegung zu verstehen, also irreduzible Mannigfaltigkeiten mit endlicher Fundamentalgruppe sowie Seifert-gefaserte und atoroidale Mannigfaltigkeiten.

## Modellgeometrien

Thurston versteht unter einer Modellgeometrie anschaulich gesprochen einen abstrakten Raum, der für einen Bewohner überall gleich aussieht, und außerdem in seiner topologischen Gestalt so einfach wie möglich sein soll. Präzise ist dies eine vollständige, einfach zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit $X$ mit transitiver Isometriegruppe ${\mathcal {G}}=\mathrm {Isom} (X)$. Da die Geometrie geschlossener Mannigfaltigkeiten beschrieben werden soll, wird zudem gefordert, dass es mindestens eine kompakte Mannigfaltigkeit mit dieser Geometrie gibt, d. h., dass eine Untergruppe $H\subset {\mathcal {G}}$ existiert, sodass $X/H$ kompakt ist.

### Zweidimensionale Modelle

Beispiele für eine solche Modellgeometrie sind in Dimension zwei die euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ (mit dem 2-Torus als kompaktem Quotienten) oder die zweidimensionale Sphäre $S^{2}$, also die Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel, die bereits selbst kompakt ist. Weniger bekannt ist die hyperbolische Ebene $\mathbb {H} ^{2}$, die eine dritte Modellgeometrie darstellt. Alle Flächen vom Geschlecht $\geq 2$ lassen sich als kompakte Quotienten der hyperbolischen Ebene darstellen.
Wenn nun der Raum überall gleich aussehen soll, muss er auch an jedem Punkt gleich gekrümmt sein. In Dimension zwei gibt es aber nur eine Krümmungsgröße, nämlich die Skalarkrümmung (oder Gaußsche Krümmung). Daraus folgt, dass die Modellgeometrien durch ihre konstante Skalarkrümmung (bis auf Skalierung 0, 1, oder −1) bereits festgelegt sind und es außer den drei genannten keine weiteren zweidimensionalen Modellgeometrien gibt.

### Dreidimensionale Modelle

In Dimension drei gibt es die entsprechenden Modelle mit konstanter Krümmung ebenfalls, hier sind dies
* der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{3}$,
* die dreidimensionale Sphäre $S^{3}$ (Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel) und
* der hyperbolische Raum $\mathbb {H} ^{3}$.

#### Produktgeometrien

Darüber hinaus gibt es jedoch noch weitere dreidimensionale Modellgeometrien. Dies liegt daran, dass die Skalarkrümmung nicht mehr alleine die lokale Gestalt des Raumes vorgibt und die Krümmung in einem Punkt von der betrachteten Ebene durch diesen Punkt abhängt. Veranschaulichen lässt sich dies an einem weiteren dreidimensionalen Modell, nämlich
* dem Produkt von 2-Sphäre und Gerade, $S^{2}\times \mathbb {R}$.
Dieser Raum lässt sich nicht im dreidimensionalen euklidischen Raum darstellen, jedoch kann man ihn sich wie folgt vorstellen: Der dreidimensionale Raum lässt sich wie eine Zwiebel durch ineinander geschachtelte 2-Sphären mit wachsendem Durchmesser auffassen. Stellt man sich nun vor, dass der Durchmesser der geschachtelten Sphären nicht wächst, sondern konstant 1 bleibt, wenn man von innen nach außen geht, so erhält man den gewünschten Raum. Alternativ kann man sich 2-Sphären entlang einer Gerade aufgereiht vorstellen, die sich aber nicht durchschneiden.
Befindet man sich in einem Punkt in diesem Raum, so kann man sich entweder auf einer (Querschnitts-)Sphäre bewegen oder senkrecht dazu entlang der Geradenrichtung. In einer Ebene tangential an eine Sphäre beträgt die Krümmung 1, enthält die Ebene jedoch die Geradenrichtung, so ist die Krümmung 0.
Mit der gleichen Konstruktion kann man aus der hyperbolischen Ebene das Produkt mit einer Geraden bilden:
* $\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R}$
Hier liegt die Krümmung zwischen −1 und 0, je nach Richtung der betrachteten Ebene.
Eine Metrik wie in den beiden Produktgeometrien bezeichnet man als homogen, aber nicht isotrop: Zwar sind alle Punkte „gleich“, aber in einem festen Punkt gibt es Ebenen, die sich von anderen Ebenen durch diesen Punkt unterscheiden. Mathematisch bedeutet dies, dass die Isometriegruppe transitiv auf den Punkten, aber nicht transitiv auf den orthonormalen Rahmen (Tripeln von orthonormalen Tangentialvektoren in einem Punkt) ist.

#### Geometrien mit Lie-Gruppenstruktur

Schließlich gibt es noch drei weitere Modellgeometrien, die die Struktur einer Lie-Gruppe tragen. Dies sind
* die Geometrie von ${\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )$, der universellen Überlagerung der speziellen linearen Gruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$,
* die Nil-Geometrie und
* die Sol-Geometrie.
Alle drei lassen sich als Metrik auf Matrizengruppen beschreiben. Während $\mathrm {SL} _{2}\mathbb {R}$ die Gruppe der invertierbaren 2×2-Matrizen mit Determinante 1 ist, ist die Nil-Geometrie auf der nilpotenten Gruppe der oberen 3×3-Dreiecksmatrizen mit Diagonale 1 (auch Heisenberg-Gruppe genannt) und die Sol-Geometrie auf der auflösbaren (englisch solvable) Gruppe aller oberen 2×2-Dreiecksmatrizen definiert. Als Lie-Gruppen tragen diese Gruppen jeweils eine Metrik, die invariant unter der Linksoperation ist und damit homogen.
Weil die Gruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ nicht wie gefordert einfach zusammenhängend ist, geht man zu ihrer universellen Überlagerung über. Da dies für lokale Eigenschaften keinen Unterschied macht, wird manchmal auch von $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ als Modellgeometrie gesprochen.
Die Metrik auf ${\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )$ lässt sich auch folgendermaßen beschreiben: $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ist die Gruppe der reellen Möbiustransformationen und damit der Isometrien der hyperbolischen Ebene $\mathbb {H} ^{2}$. Da eine Isometrie von $\mathbb {H} ^{2}$ eineindeutig durch das Bild eines ausgewählten Einheitstangentialvektors bestimmt ist, gilt $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )\cong UT\mathbb {H} ^{2}$. $UT\mathbb {H} ^{2}$, der Raum der Tangentialvektoren der Länge 1, trägt nun eine von $\mathbb {H} ^{2}$ induzierte Metrik. Die so konstruierte Metrik auf $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ induziert schließlich eine Metrik auf der universellen Überlagerung ${\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )$. Diese Betrachtung liefert Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten mit ${\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )$-Geometrie, nämlich Einheitstangentialbündel geschlossener hyperbolischer Flächen (Flächen vom Geschlecht mindestens 2).

#### Klassifikation

Der Beweis, dass die hier beschriebenen Modelle alle Möglichkeiten dreidimensionaler Modellgeometrien sind, benutzt den Stabilisator der Isometriegruppe. Das ist die Gruppe all derjenigen Isometrien eines Modells, die einen bestimmten Punkt festhalten. Im Fall des euklidischen Raumes besteht er beispielsweise aus der gesamten orthogonalen Gruppe O(3) und ist daher dreidimensional, während im Fall der Produktgeometrien die $\mathbb {R}$-Richtung von einer Isometrie erhalten werden muss und somit der Stabilisator nur aus der eindimensionalen Untergruppe SO(2) besteht. Die Größe des Stabilisators ist ein Maß für die Symmetrie des Modells.
Eine weitere Unterscheidung kann gemacht werden, indem man eine Faserung findet, die invariant unter der Isometriegruppe ist und deren Blätter vom Stabilisator auf sich selbst abgebildet werden. Im Fall der Produktgeometrien ist eine solche Faserung einfach durch die Querschnitte $S^{2}\times \{p\}$ bzw. $\mathbb {H} ^{2}\times \{p\}$ gegeben. In jedem Fall muss eine solche Faser wieder eine zweidimensionale Modellgeometrie sein, sodass sich folgende Übersicht ergibt:
| Modellgeometrie | Stabilisator | Struktur | (Schnitt-)Krümmung |
| Euklidischer Raum $\mathbb {R} ^{3}$ | dreidimensional | isotrop | 0 (flach) |
| 3-Sphäre $S^{3}$ | dreidimensional | isotrop | 1 (positiv) |
| hyperbolischer Raum $\mathbb {H} ^{3}$ | dreidimensional | isotrop | −1 (negativ) |
| $S^{2}\times \mathbb {R}$ | eindimensional | fasert über $S^{2}$ | in der Faser: 1, orthogonal: 0 |
| $\mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R}$ | eindimensional | fasert über $\mathbb {H} ^{2}$ | in der Faser: −1, orthogonal dazu: 0 |
| Nilgeometrie | eindimensional | fasert über $\mathbb {R} ^{2}$ | in der Faser: 0, orthogonal dazu: 1 |
| ${\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )$ | eindimensional | fasert über $\mathbb {H} ^{2}$ | in der Faser: −1, orthogonal dazu: 1 |
| Solgeometrie | nulldimensional | fasert über $\mathbb {R}$ | orthogonal zur Faser: 0 |

## Thurstons Geometrisierungsvermutung

Lässt sich auf einer aus der oben beschriebenen Zerlegung resultierenden Mannigfaltigkeit eine Metrik wählen, die lokal einer der acht Modellgeometrien entspricht, so nennt man diese Mannigfaltigkeit geometrisierbar. Beispielsweise lässt sich ein Torus aus flachen, euklidischen Karten zusammensetzen und ist also geometrisierbar.
Thurston hat sich intensiv mit dem Studium von 3-Mannigfaltigkeiten beschäftigt und dabei festgestellt, dass eine große Klasse von ihnen in diesem Sinne geometrisierbar ist.
Unter anderen hat er dies für Haken-Mannigfaltigkeiten nachgewiesen und dafür 1982 die Fields-Medaille erhalten. Basierend auf diesen Forschungen hat er die Vermutung aufgestellt, dass sich alle geschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten geometrisieren lassen. Dies wird als Thurstons Geometrisierungsvermutung bezeichnet.

### Bedeutung der Geometrisierungsvermutung

Lässt eine 3-Mannigfaltigkeit eine der acht Modellgeometrien zu, so liefert dies Rückschlüsse auf ihre Topologie: Ist die Modellgeometrie nicht hyperbolisch oder sphärisch, so folgt, dass die Mannigfaltigkeit eine Seifert-Faserung besitzt. Da die Topologie von Seifert-Mannigfaltigkeiten bekannt ist, gelten diese als gut verstanden. Da ihre Fundamentalgruppe z. B. stets eine Untergruppe isomorph zur Fundamentalgruppe des 2-Torus, $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, besitzt, lässt sich die Geometrisierungsvermutung auch so formulieren:
    Jede irreduzible geschlossene 3-Mannigfaltigkeit erfüllt genau eine der folgenden Bedingungen:
   * Sie trägt eine sphärische Metrik.
   * Sie trägt eine hyperbolische Metrik.
   * Ihre Fundamentalgruppe besitzt eine Untergruppe isomorph zu $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.
Für sphärische und hyperbolische Mannigfaltigkeiten gibt es wesentlich mehr Möglichkeiten und diese sind auch nicht vollständig klassifiziert. Dennoch sind viele ihrer Eigenschaften bekannt und die Klassifizierung stellt ein rein gruppentheoretisches Problem dar (nämlich alle freien diskreten Untergruppen der Isometriegruppen von $S^{3}$ bzw. $\mathbb {H} ^{3}$, also von $\mathrm {SO} (3,\mathbb {R} )$ bzw. $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ zu bestimmen).
Aus der Umformulierung der Geometrisierungsvermutung folgt die Elliptisierungsvermutung oder Sphärische Raumformen-Vermutung
    Jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe besitzt eine sphärische Metrik und ist daher ein Quotient der 3-Sphäre, $S^{3}/\Gamma$.
sowie die Hyperbolisierungsvermutung
    Jede geschlossene irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit unendlicher Fundamentalgruppe ist entweder hyperbolisch oder ihre Fundamentalgruppe enthält eine Untergruppe isomorph zu $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.
Ein weiterer Spezialfall der Geometrisierungsvermutung ist die bekannte Poincaré-Vermutung:
    Jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit mit trivialer Fundamentalgruppe ist homöomorph zur 3-Sphäre $S^{3}$.

### Stand der Vermutung

Für zweidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten ist die Geometrisierung bereits lange bekannt. Aus der Klassifikation der Flächen folgt zusammen mit der Gauß-Bonnet-Formel, dass die 2-Sphäre $S^{2}$ als einzige Fläche eine sphärische Geometrie besitzt, der 2-Torus $T^{2}$ eine euklidische Geometrie und alle Flächen höheren Geschlechts hyperbolisch sind.
Richard S. Hamilton hat in den 1980er Jahren als einer der ersten versucht, mit Hilfe des Ricci-Flusses die Geometrisierung zu beweisen. Es gelang ihm für Mannigfaltigkeiten positiver Ricci-Krümmung sowie für solche Mannigfaltigkeiten, auf denen der Ricci-Fluss nicht singulär wird.
Grigori Perelman hat mit seinen Arbeiten von 2002 und 2003 den entscheidenden Schritt im Beweis der Geometrisierung geliefert, indem er Methoden fand, die den Fluss auch beim Auftreten von Singularitäten kontrollieren. Perelmans Arbeiten sind zwar noch nicht in einer referierten Zeitschrift erschienen, dennoch haben sich viele Mathematiker intensiv mit ihnen auseinandergesetzt, ohne wesentliche Fehler oder Lücken zu finden. Hierfür sollte Perelman 2006 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet werden, diese lehnte er aber ab.

## Literatur und Weblinks

Allgemeiner Überblick über die Geometrisierungsvermutung und den Ricci-Fluss
* Bernhard Leeb: Geometrisierung 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten und Ricci-Fluss: Zu Perelmans Beweis der Vermutungen von Poincaré und Thurston. (Memento vom 19. April 2008 im Internet Archive). (PDF; 437 kB). In: DMV-Mitteilungen, 14 (4), 2006, S. 213–221.
* John W. Morgan: Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds. (PDF; 293 kB). In: Bulletin of the AMS, 42 (1), 2005, S. 57–78.
Topologische Grundlagen und JSJ-Zerlegung
* Allen Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology. (PDF; 385 kB). 2000 (englisch).
Modellgeometrien und Thurstons Programm
* Peter Scott: The Geometries of 3-Manifolds. (PDF; 7,8 MB). In: Bull. London Math. Soc., 15, 1983, S. 401–487.
* William Thurston: Three-Dimensional Geometry and Topology. Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5.
* William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds. (PDF). 1980 (englisch); Ausarbeitung eines von Thurston 1978/79 in Princeton gehaltenen Seminars.
Perelmans Beweis mit Hilfe des Ricci-Flusses
* Michael T. Anderson: Geometrization of 3-Manifolds via the Ricci Flow. (PDF; 146 kB). In: Notices of the AMS, 2004 (englisch). Überblick über Perelmans Beweis und den Ricci-Fluss.
* Grisha Perelman: The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. Preprint 2002 (englisch).
* Grisha Perelman: Ricci flow with surgery on three-manifolds. Preprint 2003 (englisch).
* Bruce Kleiner, John Lott: Notes on Perelman’s papers. Detaillierte Ausarbeitung von Perelmans Beweis (englisch).
* Laurent Bessières, Gérard Besson, Michel Boileau, Sylvain Maillot, Joan Porti: Geometrisation of 3-Manifolds. European Mathematical Society (EMS), 2010, ISBN 978-3-03719-082-1.