# Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt einen Überblick über die bekanntesten univariaten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable verteilen. Dabei unterscheidet man zwischen diskreten Verteilungen, die auf einer endlichen oder abzählbaren Menge definiert sind, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die meist auf Intervallen definiert sind.
Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zähldichte beschreiben. Diese gibt für jeden der maximal abzählbar vielen Werte $x$ einer Zufallsvariablen $X$ die Wahrscheinlichkeit an, dass man genau diesen Wert erhält.
Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben, da diese stets die Wahrscheinlichkeit $0$ besitzen. Es ist jedoch oft möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $X$ einen Wert in einem Intervall $[a,b]$ annimmt, als Integral über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) $f(x)$ darzustellen:
       $P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
Bei den in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen ist eine solche Darstellung über eine Dichtefunktion möglich.

## Diskrete Verteilungen

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden diskreten Verteilungen zusammen:
* Diskrete Gleichverteilung
* Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)
* Binomialverteilung
* Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)
* Geometrische Verteilung
* Hypergeometrische Verteilung
* Poisson-Verteilung
* Logarithmische Verteilung
Es bezeichne $\lceil .\rceil$ die Aufrundungsfunktion, $\lfloor .\rfloor$ die Abrundungsfunktion und $X$ jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable.

### Diskrete Gleichverteilung

| Wertebereich der Parameter: | $n\in \mathbb {N}$, $k_{i}\in \mathbb {R} \;(i=1,\dots ,n)$ |
| Träger: | $\{k_{i}:i=1,\dots ,n\}$ |
| Zähldichte: | $f(k_{i})={\frac {1}{n}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})={\frac {|\{i:k_{i}\leq x\}|}{n}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})={\frac {|\{i:k_{i}<x\}|}{n}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}$ |
| Varianz: | ${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{2}\right)$ |

### Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $p\in [0,1]$ |
| Träger: | $\{0,1\}$ |
| Zähldichte: | $f(k)={\begin{cases}p&{\text{für }}k=1\\1-p&{\text{für }}k=0\end{cases}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})={\begin{cases}0&{\text{für }}x<0\\1-p&{\text{für }}0\leq x<1\\1&{\text{für }}x\geq 1\end{cases}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\1-p&{\text{für }}0<x\leq 1\\1&{\text{für }}x>1\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | $p$ |
| Varianz: | $p(1-p)$ |

### Binomialverteilung

| Wertebereich der Parameter: | $n\in \mathbb {N} ^{+}$, $p\in [0,1]$ |
| Träger: | $\{0,1,\dots ,n\}$ |
| Zähldichte: | $f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}$ |
| Erwartungswert: | $np$ |
| Varianz: | $np(1-p)$ |

### Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $r\in \mathbb {N} ^{+}$, $p\in0,1]}$ |
| Träger: | $\{x\in \mathbb {N} \colon x\geq r\}$ |
| Zähldichte: | $P(\{X=k\})={{k-1} \choose {r-1}}p^{r}(1-p)^{k-r}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=\sum _{i=r}^{\lfloor x\rfloor }{i-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{i-r}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=\sum _{i=r}^{\lceil x-1\rceil }{i-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{i-r}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {r}{p}}$ |
| Varianz: | ${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$ |

### Geometrische Verteilung
#### Variante A

| Wertebereich der Parameter: | $p\in0,1$ |
| Träger: | $\mathbb {N} ^{+}$ |
| Zähldichte: | $f(k)=p(1-p)^{k-1}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=1-(1-p)^{\lceil x-1\rceil }$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {1}{p}}$ |
| Varianz: | ${\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}$ |

#### Variante B

| Wertebereich der Parameter: | $p\in0,1$ |
| Träger: | $\mathbb {N} _{0}$ |
| Zähldichte: | $f(k)=p(1-p)^{k}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=1-(1-p)^{\lfloor x+1\rfloor }$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=1-(1-p)^{\lceil x\rceil }$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {1}{p}}-1$ |
| Varianz: | ${\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}$ |

### Hypergeometrische Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $N\in \mathbb {N} ^{+}$, $M\in \mathbb {N} ^{+}$ mit $M\leq N$, $n\in \mathbb {N} ^{+}$ mit $n\leq N$ |
| Träger: | $\{\max(0,n+M-N),\dotsc ,\min(n,M)\}$ |
| Zähldichte: | $f(k)={\frac {\displaystyle {M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle {N \choose n}}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=\sum _{i=\max(0,n-N)}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{M+N \choose n}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=\sum _{i=\max(0,n-N)}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{M+N \choose n}}$ |
| Erwartungswert: | $n{\frac {M}{N}}$ |
| Varianz: | $n{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right){\frac {N-n}{N-1}}$ |

### Poisson-Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {N} _{0}$ |
| Zähldichte: | $f(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda }$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\;\mathrm {e} ^{-\lambda }$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\;\mathrm {e} ^{-\lambda }$ |
| Erwartungswert: | $\lambda$ |
| Varianz: | $\lambda$ |

### Logarithmische Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $p\in (0,1)$ |
| Träger: | $\mathbb {N} ^{+}$ |
| Zähldichte: | $f(k)={\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {p^{i}}{i}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {p^{i}}{i}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {p}{-(1-p)\ln(1-p)}}$ |
| Varianz: | ${\frac {p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}$ |

## Stetige Verteilungen

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden stetigen Verteilungen zusammen:
* Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)
* Dreiecksverteilung (Simpson-Verteilung)
* Normalverteilung (Gauß-Verteilung)
* Logarithmische Normalverteilung
* Exponentialverteilung
* Chi-Quadrat-Verteilung
* Studentsche t-Verteilung
* F-Verteilung (Fisher-Verteilung)
* Gammaverteilung
* Beta-Verteilung
* Logistische Verteilung
* Weibull-Verteilung
* Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)
* Pareto-Verteilung
Dabei bezeichnen $\Gamma (r)$ die Gammafunktion, $B(p,q)$ die Betafunktion und $X$ jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable mit Dichte $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$.

### Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a<b$ |
| Träger: | $[a,b]$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{für }}a<x\leq b\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{für }}a<x\leq b\\1&{\text{für }}x>b\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {a+b}{2}}$ |
| Varianz: | ${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ |

### Dreiecksverteilung

| Wertebereich der Parameter: | $a,b,c\in \mathbb {R}$ mit $a\leq c\leq b$ und $a<b$ |
| Träger: | $[a,b]$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {c-a}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | $\operatorname {E} (X)={\frac {a+b+c}{3}}.$ |
| Varianz: | $\operatorname {Var} (X)={\frac {(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}}{36}}.$ |

### Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $\mu \in \mathbb {R}$ und $\sigma \in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t$ |
| Erwartungswert: | $\mu$ |
| Varianz: | $\sigma ^{2}$ |

### Logarithmische Normalverteilung (Log-Normalverteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $\mu \in \mathbb {R}$ und $\sigma \in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R} _{0}^{+}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {1}{x}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {ln} \,x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\{\frac {1}{\sigma \cdot {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \int _{0}^{x}\,{\frac {1}{t}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\operatorname {ln} \,t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t&{\text{für }}x>0\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | $\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)$ |
| Varianz: | $\exp(2\mu +\sigma ^{2})\cdot (\exp(\sigma ^{2})-1)$ |

### Exponentialverteilung

| Wertebereich der Parameter: | $\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R} _{0}^{+}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)=\alpha \cdot \mathrm {e} ^{-\alpha x}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\1-\mathrm {e} ^{-\alpha x}&{\text{für }}x>0\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {1}{\alpha }}$ |
| Varianz: | ${\frac {1}{\alpha ^{2}}}$ |

### Chi-Quadrat-Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $n\in \mathbb {N} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R} _{0}^{+}$ |
| Dichtefunktion: | $f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}\displaystyle 0&{\text{für }}x\leq 0\\1-{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}&{\text{für }}x>0\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | $n$ |
| Varianz: | $2n$ |

### Studentsche t-Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $k\in \mathbb {N} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})\,{\sqrt {k\,\pi \,}}}}\,\cdot \,\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})\,{\sqrt {k\,\pi \,}}}}\,\cdot \,\int _{-\infty }^{x}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}\mathrm {d} t$ |
| Erwartungswert: | $0$ |
| Varianz: | ${\frac {k}{k-2}}$ |

### F-Verteilung (Fisher-Verteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $m\in \mathbb {N} ^{+}$ und $n\in \mathbb {N} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R} _{0}^{+}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})\,\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{({\frac {m}{2}}-1)}\left(1+{\frac {m}{n}}x\right)^{(-{\frac {m+n}{2}})}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}0\\\quad {\text{für }}x\leq 0\\{\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})\,\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{x}\,t^{({\frac {m}{2}}-1)}\left(1+{\frac {m}{n}}t\right)^{(-{\frac {m+n}{2}})}\mathrm {d} t\\\quad {\text{für }}x>0\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {n}{n-2}}$ (nur definiert für $n>2$) |
| Varianz: | ${\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}$ (nur definiert für $n>4$) |

### Gammaverteilung

| Wertebereich der Parameter: | $p\in \mathbb {R} ^{+}$ und $b\in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R} _{0}^{+}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={b^{p} \over \Gamma (p)}x^{p-1}\mathrm {e} ^{-bx}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\{b^{p} \over \Gamma (p)}\,\cdot \,\int _{0}^{x}\,t^{p-1}\mathrm {e} ^{-bt}\mathrm {d} t&{\text{für }}x>0\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {p}{b}}$ |
| Varianz: | ${\frac {p}{b^{2}}}$ |

### Beta-Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $p\in \mathbb {R} ^{+}$ und $q\in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $[0,1]$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {1}{B(p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x<0\\{{1} \over {B(p,q)}}\int _{0}^{x}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\mathrm {d} u&{\text{für }}0\leq x\leq 1\\1&{\text{für }}x>1\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | ${\frac {p}{p+q}}$ |
| Varianz: | ${\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}$ |

### Logistische Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $\alpha \in \mathbb {R}$ und $\beta \in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}}{\beta \left(1+\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}\right)^{2}}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}}}$ |
| Erwartungswert: | $\alpha$ |
| Varianz: | ${\frac {\beta ^{2}\pi ^{2}}{3}}$ |

### Weibull-Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$ und $\beta \in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $\mathbb {R} _{0}^{+}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)=\alpha \beta x^{\beta -1}\mathrm {e} ^{-\alpha x^{\beta }}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\alpha x^{\beta }}&{\text{für }}x>0\\0&{\text{für }}x\leq 0\end{cases}}$ |
| Erwartungswert: | $\alpha ^{-1/\beta }\cdot \Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)$ |
| Varianz: | $\alpha ^{-2/\beta }\cdot \left(\Gamma \left({\frac {2}{\beta }}+1\right)-\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)^{2}\right)$ |

### Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)

| Wertebereich der Parameter: | $s\in \mathbb {R} ^{+}$ und $t\in \mathbb {R}$ |
| Träger: | $\mathbb {R}$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)$ |
| Erwartungswert: | nicht definiert |
| Varianz: | nicht definiert |

### Pareto-Verteilung

| Wertebereich der Parameter: | $x_{\min }\in \mathbb {R} ^{+}$ und $k\in \mathbb {R} ^{+}$ |
| Träger: | $[x_{\min },\infty )$ |
| Dichtefunktion: | $f(x)={\frac {k}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k+1}$ |
| Verteilungsfunktion: | $F(x)=1-\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k}$ |
| Erwartungswert: | ${\begin{cases}\displaystyle x_{\min }{\frac {k}{k-1}}&{\text{für }}k>1\\\infty &{\text{für }}k\leq 1\end{cases}}$ |
| Varianz: | ${\begin{cases}\displaystyle x_{\min }^{2}{\frac {k}{(k-2)(k-1)^{2}}}&{\text{für }}k>2\\\infty &{\text{für }}k\leq 2\end{cases}}$ |