# Bandabstandsreferenz

Als Bandabstandsreferenz (englisch bandgap voltage reference) bezeichnet man eine Referenzspannungsquelle, deren Ausgangsspannung aus der wegen der Bandlücke auftretenden Flussspannung einer Halbleiter-Diode gewonnen wird. Halbleiterdioden haben je nach Material eine andere Flussspannung. Üblicherweise wird jedoch Silizium verwendet. Da die Flussspannung temperaturabhängig ist, muss der Temperaturbeiwert kompensiert werden, wenn eine temperaturunabhängige Referenzspannung erzielt werden soll.
Die typische Klemmenspannung einer Spannungsreferenz-Grundschaltung ist bei Silizium etwa 1,2 V und liegt damit Nahe bei dem theoretischen Wert der Bandlücke von 1,17 eV bei einer Temperatur von 0 K. Mittels Bandabstandsreferenzen bereitgestellte Referenzspannungsquellen haben in der Elektronik eine große Verbreitung. Angewendet werden sie beispielsweise in integrierten Spannungsreglern (Linearregler, Schaltregler), und vielen Analog-Digital-Wandlern.
Die Entwicklung der ersten Bandabstandsreferenz aus dem Jahr 1971 geht auf Arbeiten von Robert Widlar bei National Semiconductor zurück. Es folgte 1974 die von Paul Brokaw bei Analog Devices entwickelte und nach ihm benannte Brokaw-Bandabstandsreferenz, deren Schaltung die Grundlage vieler Schaltungsvarianten von Bandabstandsreferenzen ist. Einen Überblick über die verschiedenen Schaltungsvarianten liefert Robert Allen Pease in seinem Artikel englisch The Design of Band-Gap Reference Circuits: Trials and Tribulations.

## Funktion

Zur Realisierung einer Bandabstandsreferenz gibt es unterschiedliche Ansätze. Nachfolgend wird ein an die Brokaw-Bandabstandsreferenz angelehnter Ansatz schrittweise analysiert.

### Arbeitspunktregelung

Das Bild unten zeigt eine Bandabstandsreferenz, reduziert auf den Regelkreis zur Stabilisierung von $I_{\mathrm {C1/C2} }$. Die Rückkopplung ist so angelegt, dass $U_{\mathrm {R1} }$ und $U_{\mathrm {R2} }$ gleiche Werte annehmen. Von entscheidender Bedeutung ist, dass T1 einen höheren Sperrsättigungsstrom $I_{\mathrm {S} }$ aufweist, was konstruktiv durch Parallelschalten mehrerer identischer Transistoren erreicht wird.
    $R_{1}=R_{2}$
    $U_{\mathrm {R1} }=R_{1}\cdot I_{\mathrm {C1} }$
    $U_{\mathrm {R2} }=R_{2}\cdot I_{\mathrm {C2} }$
    $I_{\mathrm {C} }=I_{\mathrm {S} }\cdot e^{\frac {U_{\mathrm {BE} }}{U_{\mathrm {T} }}}\cdot \left(1+{\frac {U_{\mathrm {CE} }}{U_{A}}}\right)$ ; (Großsignalgleichung des Bipolartransistors)
    $I_{\mathrm {C} }\approx I_{\mathrm {S} }\cdot e^{\frac {U_{\mathrm {BE} }}{U_{\mathrm {T} }}}$
    $I_{\mathrm {S1} }=n\cdot I_{\mathrm {S2} }$
    $I_{\mathrm {C1} }=n\cdot I_{\mathrm {S2} }\cdot e^{\frac {U_{\mathrm {BE1} }}{U_{\mathrm {T} }}}$
    $I_{\mathrm {C2} }=I_{\mathrm {S2} }\cdot e^{\frac {U_{\mathrm {BE2} }}{U_{\mathrm {T} }}}$
* U$_T$: Temperaturspannung
Durch den höheren Sperrsättigungsstrom weist T1 einen höheren Verstärkungsfaktor gegenüber $U_{\mathrm {BE1} }$ auf. Der Widerstand $R_{3}$ führt jedoch mit zunehmendem Emitterstrom $I_{\mathrm {E} }$ zu einer Gegenkopplung und sorgt für einen flachen Kennlinienverlauf. Irgendwann holt T2, dessen Basisanschluss mit T1 parallel liegt, in der Übertragungskennlinie auf. Die Ausgangsspannung $U_{\mathrm {ref} }$ des Differenzverstärkers stabilisiert sich an dem Punkt, an dem sich beide Kennlinien schneiden. Dort leiten beide Transistoren den gleichen Strom.
    $U_{\mathrm {Basis} }=\Delta U_{\mathrm {BE} }+U_{\mathrm {BE1} }=U_{\mathrm {BE2} }$
    $I_{\mathrm {C} }\approx I_{\mathrm {E} }$
    $I_{\mathrm {C1} }=I_{\mathrm {C2} }$
Der Arbeitspunkt berechnet sich wie folgt:
    $\Delta U_{\mathrm {BE} }+U_{\mathrm {BE1} }=U_{\mathrm {BE2} }\ \Leftrightarrow \ \Delta U_{\mathrm {BE} }=U_{\mathrm {BE2} }-U_{\mathrm {BE1} }$
    $U_{\mathrm {BE} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C} }}{I_{\mathrm {S} }}}\ \Leftrightarrow \ I_{\mathrm {C} }=I_{\mathrm {S} }\cdot e^{\frac {U_{\mathrm {BE} }}{U_{\mathrm {T} }}}$
    $U_{\mathrm {BE1} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C1} }}{n\cdot I_{\mathrm {S2} }}}\ \ ;\ \ U_{\mathrm {BE2} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C2} }}{I_{\mathrm {S2} }}}$
    $\Delta U_{\mathrm {BE} }=U_{\mathrm {BE2} }-U_{\mathrm {BE1} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C2} }}{I_{\mathrm {S2} }}}-U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C1} }}{n\cdot I_{\mathrm {S2} }}}$
    $\ln a-\ln b=\ln {\frac {a}{b}}\ ;\ I_{\mathrm {C1} }=I_{\mathrm {C2} }$
Zusammengefasst und gekürzt resultiert die Formel:
    $\Delta U_{\mathrm {BE} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {n}\ ;\ U_{\mathrm {T} }={\frac {k_{\mathrm {B} }\cdot T}{e_{0}}}$
* $k_{\mathrm {B} }$: Boltzmann-Konstante
* $e_{0}$: Elementarladung
In die Gleichung für den Strom $I_{\mathrm {C1} }$ eingesetzt ergibt das:
    $I_{\mathrm {C2} }=I_{\mathrm {C1} }={\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R3}}={\frac {U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {n}}{R3}}$
Daraus lässt sich schließlich die Ausgangsspannung mit der folgenden Gleichung ermitteln.
    $U_{\mathrm {Ref} }=U_{\mathrm {Basis} }=U_{\mathrm {BE2} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C2} }}{I_{\mathrm {S2} }}}$

### Temperaturkoeffizient

Die Bedingung
    $\Delta U_{\mathrm {BE} }+U_{\mathrm {BE1} }=U_{\mathrm {BE2} }$
gilt für alle Temperaturwerte und führt direkt zur Bedingung
    ${\frac {\mathrm {d} \Delta U_{\mathrm {BE} }}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {BE1} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {BE2} }}{\mathrm {d} T}}$.
Damit gilt für die Spannung $U_{\mathrm {Basis} }$:
    ${\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {BE2} }}{\mathrm {d} T}}$
In guter Näherung gilt dabei die Temperaturdrift von $U_{\mathrm {BE} }$ bei konstantem Kollektorstrom $I_{\mathrm {C} }$
    ${\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {BE} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{\mathrm {BE} }-(4+M)\cdot U_{\mathrm {T} }-U_{\mathrm {G} }}{T}}$
* $M$: Herstellungsparameter, Wertebereich −1,0 bis −1,5
* $U_{\mathrm {G} }$: Bandabstandsspannung von Silizium (U$_G$(300 K) = 1,12 V)

### Temperaturkompensation

Wie gezeigt, weist die Ausgangsspannung $U_{\mathrm {ref} }$ (= $U_{\mathrm {BE} }$) noch eine deutliche Temperaturabhängigkeit auf, die in der Praxis etwa −1,7 mV/K beträgt. Des Weiteren besitzen $I_{\mathrm {C1} }$ und damit auch $I_{\mathrm {C2} }$ einen positiven Temperaturkoeffizienten. Die Erweiterung der verbesserten Schaltung (siehe unten) besteht aus dem Widerstand $R_{4}$, über den die Ströme $I_{\mathrm {C1} }$ und $I_{\mathrm {C2} }$ geleitet werden und macht sich deren Temperaturkoeffizienten zunutze.
Die Temperaturabhängigkeit für $I_{\mathrm {C1/C2} }$ zeigt diese Formel aus dem Abschnitt Arbeitspunktregelung:
    $I_{\mathrm {C2} }=I_{\mathrm {C1} }={\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R_{3}}}={\frac {U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {n}}{R_{3}}}\ ;\ U_{\mathrm {T} }={\frac {k_{\mathrm {B} }\cdot T}{e_{0}}}$
Die weitere Rechnung zeigt, wie diese Abhängigkeit genutzt werden kann, um $U_{\mathrm {Temp} }$ mit einem definierten Temperaturbeiwert auszustatten, der die Drift der Basis-Emitter-Spannung kompensiert.
Ermittlung des Temperaturkoeffizienten von $U_{\mathrm {Temp} }$:
    $U_{\mathrm {Temp} }=R_{4}\cdot \left(I_{\mathrm {C1} }+I_{\mathrm {C2} }\right)$
    $I_{\mathrm {C1} }={\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R_{3}}}\ \ ;\ \ I_{\mathrm {C1} }+I_{\mathrm {C2} }=2\cdot I_{\mathrm {C1} }$
    $U_{\mathrm {Temp} }=R_{4}\cdot 2\cdot I_{\mathrm {C1} }=R_{4}\cdot {\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R_{3}}}\cdot 2=2\cdot U_{\mathrm {T} }\ln n\cdot {\frac {R_{4}}{R_{3}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Temp} }}{\mathrm {d} T}}=2\cdot {\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {T} }}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {R_{4}}{R_{3}}}\cdot \ln {n}=2\cdot {\frac {U_{\mathrm {T} }}{T}}\cdot {\frac {R_{4}}{R_{3}}}\cdot \ln {n}$
Kompensationsbedingung:
    ${\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Temp} }}{\mathrm {d} T}}=-{\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{\mathrm {T} }}{T}}\cdot 2\cdot {\frac {R_{4}}{R_{3}}}\cdot \ln {n}$
    $m={\frac {R_{4}}{R_{3}}}=-{\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {T}{U_{\mathrm {T} }}}\cdot {\frac {1}{2\cdot \ln n}}$
Zahlenbeispiel: n = 10
    $m={\frac {R_{4}}{R_{3}}}=-1\cdot \left(-1{,}7\,\mathrm {\frac {mV}{K}} \right)\cdot {\frac {300\,\mathrm {K} }{25{,}9\,\mathrm {mV} }}\cdot {\frac {1}{2\cdot \ln 10}}\approx 4{,}28$

### Ausgangsspannung

Die Ausgangsspannung $U_{\mathrm {ref} }$ erhöht sich durch das Einfügen der Temperaturkompensation und liegt im Bereich der Bandabstandsspannung $U_{\mathrm {G} }$ des verwendeten Halbleiters. Beim anvisierten Wert von U$_G$(0 K) = 1,205 V handelt es sich um die extrapolierte Bandabstandsspannung bei 0 K ausgehend von der Bezugstemperatur T. Tatsächlich weist die Bandabstandsspannung von Halbleitern bei tiefen Temperaturen kein lineares Verhalten auf, weswegen die echte Bandlücke 1,17 V beträgt. In einem Zahlenbeispiel soll die resultierende Ausgangsspannung ermittelt werden.
    $U_{\mathrm {ref} }=U_{\mathrm {BE2} }+U_{\mathrm {Temp} }$
Parameter:
    I$_{S0}$ = 1 · 10 $^{−15}$; n = 10; I$_{S1}$ = n · I$_{S0}$; I$_{S2}$ = I$_{S0}$; R$_3$ = 100 Ω; M = 1,5; T = 300 K
Im ersten Schritt muss der Arbeitspunkt und somit $I_{\mathrm {C1/C2} }$ bestimmt werden.
    $I_{\mathrm {C2} }=I_{\mathrm {C1} }={\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R3}}={\frac {U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {n}}{R_{3}}}={\frac {25{,}9\,\mathrm {mV} \cdot \ln {10}}{100}}=0{,}596\,\mathrm {mA}$
    $U_{\mathrm {Basis} }=U_{\mathrm {BE2} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C2} }}{I_{\mathrm {S2} }}}=25{,}9\,\mathrm {mV} \cdot \ln {\frac {0{,}596\,\mathrm {mA} }{1\cdot 10^{-15}}}=702\,\mathrm {mV}$
Aus $U_{\mathrm {Basis} }$, $I_{\mathrm {C1/C2} }$ und den Parametern kann nun R4 der für die Temperaturkompensation und die Spannung U$_{Temp}$ errechnet werden.
    ${\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {BE} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{\mathrm {BE} }-(4+M)\cdot U_{\mathrm {T} }-U_{\mathrm {G} }+U_{\mathrm {T} }}{T}}={\frac {702\,\mathrm {mV} -(4-1{,}5)\cdot 25{,}9\,\mathrm {mV} -1120\,\mathrm {mV} }{300\,\mathrm {K} }}=-1{,}61\,\mathrm {\frac {mV}{K}}$
    $m={\frac {R_{4}}{R_{3}}}=-{\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {T}{U_{\mathrm {T} }}}\cdot {\frac {1}{2\cdot \ln n}}=-1\cdot \left(-1{,}61\,\mathrm {\frac {mV}{K}} \right)\cdot {\frac {300\,\mathrm {K} }{25{,}9\,\mathrm {mV} }}\cdot {\frac {1}{2\cdot \ln 10}}\approx 4{,}05$
    $R_{4}=m\cdot R_{3}=4{,}05\cdot 100\,\Omega =405\,\Omega$
    $U_{\mathrm {Temp} }=2\cdot I_{\mathrm {C1} }\cdot R_{4}=2\cdot 0{,}596\,\mathrm {mA} \cdot 405\,\Omega =483\,\mathrm {mV}$
    $U_{\mathrm {ref} }=U_{\mathrm {Basis} }+U_{\mathrm {Temp} }=0{,}702\,\mathrm {V} +0{,}483\,\mathrm {V} =1{,}18\,\mathrm {V}$
Resultate:
    R$_4$ = 478 Ω; U$_{Basis}$ = 0,702 V; U$_{Temp}$ = 0,483 V; U$_{ref}$ = 1,18 V
Die im Zahlenspiel ermittelte Ausgangsspannung $U_{\mathrm {ref} }$ liegt mit 1,18 V nur einige Prozent unter dem erwarteten Wert von 1,205 V.

## Diskreter Aufbau

In der Praxis kommen nur integrierte Schaltungen zum Einsatz, doch für Laborversuche und zum Elektronikbasteln bietet ein diskreter Aufbau Anreize. Dem steht ein grundlegendes Problem gegenüber, denn Transistor-Arrays zum Erreichen des erforderlichen Verhältnisses des Sättigungssperrstroms sind schwer erhältlich. Ausweg bietet die Reduzierung des Widerstandes von $R_{2}$. Dadurch fließt im Arbeitspunkt durch T2 ein Vielfaches des Stroms durch T1, was einen ähnlichen Effekt hat wie der vielfache Sättigungssperrstrom und die daraus folgende Spannungsstromverstärkung. Ratsam ist die Verwendung eines Doppeltransistors, um die Herstellungsstreuung möglichst gering zu halten und eine gute thermische Kopplung zu erreichen.
Die wichtigsten Formeln dazu zusammengefasst:
    $R2={\frac {1}{n}}\cdot R1\ ;\ I_{\mathrm {C2} }=n\cdot I_{\mathrm {C1} }$
    $\Delta U_{\mathrm {BE} }=U_{\mathrm {BE2} }-U_{\mathrm {BE1} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C2} }}{I_{\mathrm {S} }}}-U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {\frac {I_{\mathrm {C1} }}{I_{\mathrm {S} }}}=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {n}$
    $I_{\mathrm {C1} }={\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R3}}$
    $U_{\mathrm {Temp} }=R_{4}\cdot I_{\mathrm {C1} }\cdot \left(1+n\right)=R_{4}\cdot {\frac {\Delta U_{\mathrm {BE} }}{R_{3}}}\cdot \left(1+n\right)={\frac {R_{4}}{R_{3}}}\cdot U_{\mathrm {T} }\cdot \ln {n}\cdot \left(1+n\right)$
    $-{\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Temp} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {R4}{R3}}\cdot {\frac {U_{\mathrm {T} }}{T}}\cdot (1+n)\cdot \ln n$
    $m={\frac {R4}{R3}}=-{\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}\cdot {\frac {T}{U_{\mathrm {T} }}}\cdot {\frac {1}{(1+n)\cdot \ln n}}$
    ${\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {BE} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U_{\mathrm {Basis} }}{\mathrm {d} T}}={\frac {U_{\mathrm {BE} }-(4+M)\cdot U_{\mathrm {T} }-U_{\mathrm {G} }}{T}}$

## Temperatursensor

Als PTAT (proportional to absolute temperature) wird eine Größe bezeichnet, die proportional zur absoluten Temperatur $T$ ist. Eine solche Eigenschaft weist ΔU$_{BE}$ und in Folge U$_{Temp}$ in der Brokaw-Zelle auf.
    $\Delta U_{\mathrm {BE} }=U_{\mathrm {T} }\cdot \ln n=T\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }}{e_{0}}}\cdot \ln n$
    $U_{\mathrm {Temp} }=U_{\mathrm {T} }\cdot 2\cdot {\frac {R_{4}}{R_{3}}}\cdot \ln n=T\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }}{e_{0}}}\cdot 2\cdot {\frac {R_{4}}{R_{3}}}\cdot \ln n$
Dieses Merkmal lässt sich zur Temperaturmessung nutzen und spiegelt direkt die Temperatur des Chip-Materials wider.

## Verschiedenes

Der Begriff curvature correction bezeichnet Maßnahmen zur Kompensation der verbliebenen Temperaturabhängigkeit der Bandabstandsreferenz.
Die für eine Bandabstandsreferenz erforderlichen Bipolartransistoren stehen in CMOS-Technologie nur über das aufwändige BiCMOS zur Verfügung. Deswegen macht man sich den vom Latch-Up-Effekt gefürchteten „parasitären“ pnp-Transistoren zunutze.
Eine Ende der 1990er entwickelte Bandabstandsreferenz basiert auf JFETs. Diese sind unter geschützten Markennamen wie XFET bekannt. Bandabstandsreferenzen dieser Art verfügen über teils bessere Eigenschaften als mit Bipolartransistoren realisierte Schaltungen und können auch bei niedrigeren Versorgungsspannungen eingesetzt werden.