# Selberg-Klasse

Die Selberg-Klasse ist ein mathematischer Begriff aus der Zahlentheorie. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte diese Klasse von Funktionen im Jahr 1989 ein. Sie enthält die für die Zahlentheorie fundamentale Riemannsche Zeta-Funktion und zahlreiche, aber sorgfältig ausgewählte, verwandte Funktionen, sogenannte L-Funktionen. Diese Verwandtschaft kommt folgendermaßen zustande: die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben:
* Absolute Konvergenz
* Analytische Fortsetzbarkeit
* Funktionalgleichung
* Ramanujan-Bedingung
* Euler-Produkt
Damit enthält die Selberg-Klasse, neben der Riemannschen Zeta-Funktion, auch zum Beispiel die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren, die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern und die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren. Bei Artinschen L-Funktionen hängt die Frage der Mitgliedschaft in der Selberg-Klasse von der Artin-Vermutung ab. Diese konnte bislang nur für einen Teil der Artinschen L-Funktionen bewiesen werden.
Mit der Selberg-Klasse verbindet sich die Hoffnung, die Eigenschaften und Struktur von Funktionen aufklären zu können, die Mathematiker weithin als geeignete Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion betrachten. Dadurch soll nicht zuletzt ein Weg zum Beweis der Riemannschen Vermutung geebnet werden. Man nimmt sogar an, dass alle Funktionen in der Selberg-Klasse die sogenannte Große Riemannsche Vermutung erfüllen: keine Nullstelle, deren Realteil den Wert 1/2 übersteigt. Könnte man die Selbergsche Orthonormalitätsvermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse beweisen, so würde daraus die Richtigkeit der Artin-Vermutung folgen. Bislang weder bewiesen noch widerlegt, sind Fortschritte bei der Erforschung dieser Vermutungen für die Zahlentheorie und die gesamte Mathematik von höchster Bedeutung.

## Definition

Im Folgenden sind $\textstyle a_{n}$ komplexe Zahlen und $\textstyle n$ durchläuft die natürlichen Zahlen. Der Buchstabe $\textstyle s$ bezeichnet eine komplexe Variable, $\textstyle \operatorname {Re} (s)$ steht für den Realteil von $\textstyle s$, $\textstyle |s|$ für ihren Absolutbetrag und $\textstyle {\overline {s}}$ für die zu $\textstyle s$ konjugiert komplexe Zahl. $\textstyle \Gamma$ bezeichnet die Gamma-Funktion.
Die Selberg-Klasse ${\mathcal {S}}$ ist definiert als die Menge aller Dirichlet-Reihen
    $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$
welche die folgenden fünf Eigenschaften erfüllen, auch „Axiome“ oder „Annahmen“ genannt:
1. Absolute Konvergenz
$\textstyle F(s)$ konvergiert absolut für $\textstyle \operatorname {Re} (s)>1$.
2. Analytische Fortsetzbarkeit
$\textstyle F(s)$ lässt sich fortsetzen zu einer meromorphen Funktion der komplexen Zahlenebene, und zwar so, dass für eine ganze Zahl $\textstyle m\geq 0$ gilt:
    $\textstyle (s-1)^{m}F(s)$
ist eine ganze Funktion endlicher Ordnung. Insbesondere besitzen Funktionen in der Selberg-Klasse höchstens in $\textstyle s=1$ eine Polstelle.
3. Funktionalgleichung
$\textstyle F(s)$ erfüllt eine Funktionalgleichung vom Typ
    $\Lambda (s)=\omega \,{\overline {\Lambda (1-{\overline {s}})}}$.
Hierin ist $\textstyle \omega \in \mathbb {C}$ mit $\textstyle |\omega |=1$ und wird Wurzelzahl genannt.
$\textstyle \Lambda (s)$ ist definiert durch
    $\Lambda (s)=\gamma (s)F(s)$
mit einem sogenannten Gamma-Faktor
    $\gamma (s)=Q^{s}\prod _{j=1}^{k}\Gamma (\lambda _{j}s+\mu _{j})$.
Dabei ist $\textstyle k\geq 0$ eine natürliche Zahl, $\textstyle Q>0$ und $\textstyle \lambda _{j}>0$ sind reelle Zahlen, und $\textstyle \mu _{j}$ komplexe Zahlen mit $\textstyle \operatorname {Re} (\mu _{j})\geq 0$.
Wie üblich erhält das leere Produkt den Wert 1, d. h. $\textstyle \gamma (s)=Q^{s}$ im Fall $\textstyle k=0$.
4. Ramanujan-Bedingung
$\textstyle F(s)$ erfüllt $\textstyle a_{1}=1$ und $\textstyle a_{n}=O(n^{\varepsilon })$ für beliebiges, fest gewähltes $\textstyle \varepsilon >0$.
5. Euler-Produkt Für $\textstyle \operatorname {Re} (s)>1$ ist
    $\log F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}$,
wobei $\textstyle b_{n}=0$, außer wenn $\textstyle n$ eine Primzahlpotenz ist, also $\textstyle n=p^{r}$ mit einer Primzahl $\textstyle p$ und einer natürlichen Zahl $\textstyle r\geq 1$.
Hierbei muss außerdem gelten:
    $b_{n}=O(n^{\theta })$
mit einem $\textstyle \theta <{\frac {1}{2}}$.

## Beispiele

Die Selberg-Klasse $\textstyle {\mathcal {S}}$ enthält unter anderem die folgenden, für die Zahlentheorie wichtigen Funktionen:
* Die Riemannsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta (s)$. Das ist gewissermaßen der Ausgangs- und Mittelpunkt der Selberg-Klasse.
* Die Dirichletschen L-Funktionen $\textstyle L(s,\chi )$ zu primitiven Dirichlet-Charakteren $\textstyle \chi$. Die L-Funktionen zu nicht-primitiven Charakteren $\textstyle \chi$ liegen nicht in $\textstyle {\mathcal {S}}$, da sie keine Funktionalgleichung der geforderten Form erfüllen.
* Die Dedekindschen L-Funktionen $\textstyle \zeta (s,K)$ zu algebraischen Zahlkörpern $\textstyle K$.
* Die Heckeschen L-Funktionen $\textstyle L(s,K,\chi )$ zu primitiven Größencharakteren $\textstyle \chi \operatorname {mod} {\mathfrak {f}}$ mit einem Ideal $\textstyle {\mathfrak {f}}$ des Ringes der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers $\textstyle K$.
* Die L-Funktionen $\textstyle L(s,f)$ zu holomorphen Neuformen $\textstyle f$ bzgl. einer Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$. Um zur Selberg-Klasse zu gehören, müssen solche L-Funktionen gegebenenfalls geeignet normalisiert werden.
* Die Rankin-Selberg-Faltung $\textstyle L(s,f\times {\overline {g}})=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}n^{-s}$ zweier beliebiger, normalisierter, holomorpher Neuformen $\textstyle f$ und $\textstyle g$. Dabei sind $\textstyle a_{n}$ und $\textstyle b_{n}$ die Fourier-Koeffizienten der Modulformen $\textstyle f$ und $\textstyle g$.
* Ist $\textstyle L(s)\in {\mathcal {S}}$ ganz, also polstellenfrei, so enthält $\textstyle {\mathcal {S}}$ auch die verschobenen L-Funktionen $\textstyle L(s+i\delta )$ für jedes reelle $\textstyle \delta$. Da die Riemannsche Zeta-Funktion einen Pol in $\textstyle s=1$ besitzt, gehören die Funktionen $\textstyle \zeta (s+i\delta )$, $\textstyle \delta \in \mathbb {R}$, $\textstyle \delta \neq 0$, nicht zur Selberg-Klasse: die geforderte, analytische Fortsetzbarkeit erlaubt Polstellen höchstens in $\textstyle s=1$.
* Sofern sie die Artin-Vermutung erfüllen: Artinschen L-Funktionen $\textstyle L(s,K/k,\rho )$ zu nicht-trivialen, irreduziblen Darstellungen $\textstyle \rho :\,G(K/k)\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ der Galoisgruppe $\textstyle G(K/k)$ normaler Zahlkörpererweiterungen $\textstyle K/k$ in die allgemeine lineare Gruppe $\textstyle \operatorname {GL} (V)$ eines endlich-dimensionalen Vektorraums $\textstyle V$.

## Weitere Begriffe und Eigenschaften

Die Selberg-Klasse $\textstyle {\mathcal {S}}$ ist multiplikativ abgeschlossen, somit ein multiplikatives Monoid, mit der konstanten Funktion $\textstyle F=1$ als neutralem Element in $\textstyle {\mathcal {S}}$. Aus $\textstyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {S}}$ folgt also stets $\textstyle F_{1}\cdot F_{2}\in {\mathcal {S}}$.
Eine Funktion $\textstyle F\in {\mathcal {S}}$ heißt primitiv, wenn für alle $\textstyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {S}}$ mit $\textstyle F=F_{1}\cdot F_{2}$ gilt: $\textstyle F=F_{1}$ oder $\textstyle F=F_{2}$. Jede Funktion in der Selberg-Klasse besitzt eine Faktorisierung in primitive Funktionen der Selberg-Klasse. Ob diese Faktorisierung stets eindeutig ist (natürlich nur bis auf die Reihenfolge der Faktoren), konnte noch nicht für alle Funktionen in der Selberg-Klasse bewiesen werden. Die Nullstellen einer Funktion $\textstyle F\in {\mathcal {S}}$ unterteilt man in triviale und nicht-triviale Nullstellen. Die trivialen befinden sich definitionsgemäß an den Polstellen der Faktoren $\textstyle \Gamma (\lambda _{j}s+\mu _{j})$, die in der Funktionalgleichung von $\textstyle F$ erscheinen. Alle übrigen Nullstellen werden nicht-trivial genannt. Die trivialen Nullstellen besitzen stets einen Realteil $\textstyle \operatorname {Re} (s)\leq 0$.

## Selberg-Vermutungen

Atle Selberg selbst hat die folgenden Vermutungen für die nach ihm benannte Funktionen-Klasse aufgestellt:
* Vermutung 1:
    Für alle (nicht notwendig primitiven) $\textstyle F\in {\mathcal {S}}$ existiert ein $\textstyle n_{F}\in \mathbb {Z}$ mit
       $\sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)$
* Vermutung 2:
    Für alle primitiven $\textstyle F\in {\mathcal {S}}$ ist $\textstyle n_{F}=1$, also
       $\sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=\log \log x+O(1)$
* Vermutung 3:
    Für verschiedene, primitive $\textstyle F,F^{\prime }\in {\mathcal {S}}$ gilt:
       $\sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}{\overline {a_{p}^{\prime }}}}{p}}=O(1).$Formulierte 1859 die nach ihm benannte Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta (s)$: Bernhard Riemann (1826–1866)
* Vermutung 4:
    Besitzt $\textstyle F\in {\mathcal {S}}$ die Faktorisierung
       $F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}$
    in primitive Funktionen $\textstyle F_{i}\in {\mathcal {S}}$, ist darüber hinaus $\textstyle \chi$ ein primitiver Dirichlet-Charakter, und liegt die Funktion $\textstyle F^{\chi }$ definiert durch
       $F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}$
    ebenfalls in $\textstyle {\mathcal {S}}$, dann sind auch die entsprechend gebildeten Funktionen $\textstyle F_{i}^{\chi }$ primitiv, liefern also die primitive Faktorisierung
       $F^{\chi }=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\chi }.$
* Vermutung 5:
    Die nicht-trivialen Nullstellen aller Funktionen $\textstyle F\in {\mathcal {S}}$ liegen auf der kritischen Geraden $\textstyle \operatorname {Re} (s)={\frac {1}{2}}$.
Vermutung 5 ist die Große Riemannsche Vermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse. Zusammengenommen werden die Vermutungen 2 und 3 als Selbergsche Orthonormalitätsvermutung bezeichnet (engl. Selberg Orthonormality Conjecture, SOC). Deren Richtigkeit hätte weitreichende Konsequenzen für die Funktionen in der Selberg-Klasse und die Zahlentheorie insgesamt: Zum Beispiel wäre dann die Faktorisierung in primitive Funktionen immer eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren). Aus der Orthonormalitätsvermutung folgt auch die Dedekindsche Vermutung: für jeden algebraischen Zahlkörper $\textstyle K$ teilt die Riemannsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta (s)$ die Dedekindsche Zeta-Funktion $\textstyle \zeta _{K}(s)$. Außerdem impliziert die Orthonormalitätsvermutung die Artin-Vermutung: jede Artinsche L-Funktion $\textstyle L(s,K/k,\rho )$ zu einer nicht-trivialen, irreduziblen Darstellung $\textstyle \rho$ der Galoisgruppe $\textstyle G(K/k)$ einer normalen Zahlkörpererweiterung $\textstyle K/k$ besitzt eine analytische Fortsetzung auf die ganze, komplexe Zahlenebene.