# Quadratur des Rechtecks

Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische Aufgabe der Geometrie. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur Quadratur des Kreises, die unlösbar ist, ist die Quadratur des Rechtecks auf verschiedene Arten möglich.

## Ausgangslage

Ausgangspunkt für die folgenden beiden Konstruktionen sind zwei auf Euklid zurückgehende mathematische Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks, der Höhensatz und der Kathetensatz.
In einem rechtwinkligen Dreieck seien a und b die den rechten Winkel einschließenden Katheten und c die Hypotenuse. h sei die Höhe auf die Seite c, und p bzw. q seien die beiden Hypotenusenabschnitte. Dann gelten folgende Beziehungen:
$h^{2}=p\cdot q$ (Höhensatz von Euklid)
$a^{2}=c\cdot p$ und $b^{2}=c\cdot q$ (Kathetensatz von Euklid)

## Methode mit dem Höhensatz

Ganz egal, welche Proportionen das gegebene (hier grüne) Rechteck hat: Wir nehmen an, seine eine Seite wäre der Hypotenusenabschnitt p und seine andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkligen Dreiecks. Dann schwenken wir die (hier) kürzere Seite des Rechtecks um 90° und erhalten die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks. Über dieser Basis zeichnen wir einen Thaleskreis. Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite schneidet den Thaleskreis und liefert die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten p und q. Wenn man nun über dieser Höhe ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

## Methode mit dem Kathetensatz

Bei der zweiten Methode nimmt man an, die längere Seite des (hier grünen) Rechtecks würde sich über die gesamte Basis c eines rechtwinkligen Dreiecks erstrecken. Dann dreht man die kürzere Seite des Rechtecks um 90° nach innen, sie liefert den Hypotenusenabschnitt q und den Fußpunkt der Höhe h. Dann zeichnet man über der Basis c einen Thaleskreis. Der Schnittpunkt der Höhe mit der Kreislinie ergibt den dritten Dreieckspunkt, wodurch sich die Kathete b ergibt. Wenn man nun über b ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

## Methode mit dem Sekanten-Tangenten-Satz

Auch der Sekanten-Tangenten-Satz lässt sich für die Quadratur des Rechtecks verwenden: In einem gegebenen (hier grünen) Rechteck mit Länge p und Breite q, sei eine Länge p auch als Strecke PR gekennzeichnet. Sei die Strecke QR gleich der Breite q und innerhalb PR. Sei M$_1$ der Mittelpunkt der Strecke PQ. Sei k$_1$ der Kreis mit Durchmesser PQ, und k$_2$ der Kreis mit Durchmesser M$_1$R. Sei T ein Schnittpunkt dieser Kreise. Der Winkel M$_1$TR ist nach dem Satz von Thales ein rechter, daher ist RT eine Tangente an k$_1$. Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt nun (RT)$^2$ = p·q.

## Methode mit dem Sehnensatz sowie mit dem geometrischen Mittel

Zu den vier bekanntesten Lösungen zur Flächenumwandlung zählt auch die, die mit Hilfe des Sehnensatzes darstellbar ist. Für die Quadratur eines gegebenen (hier blauen) Rechtecks mit Länge p und Breite q, werden zuerst zwei Ecken einer langen Seite mit A bzw. B bezeichnet. Es folgt die Verlängerung der Strecke AB um die Breite q mit Hilfe des Viertelkreises, dabei ergibt sich die Strecke AC. Nach dem Einzeichnen der Mittelsenkrechten von AC wird auf der Mittelsenkrechten der frei wählbare Punkt M bestimmt. Nun zeichnet man einen Kreis um den Punkt M mit dem Radius |MA|; hiermit wird die Strecke AC zur ersten Sehne des Kreises. Es geht weiter, indem der Durchmesser des Kreises durch den Punkt B gezogen wird. Die damit entstandene Strecke EF ist die zweite Sehne des Kreises. Beide Sehnen kreuzen sich im Punkt B, der seinerseits die Sehne AC in p und q sowie die Sehne EF in b und c unterteilt. Schließlich wird eine Senkrechte auf die Strecke EB errichtet, die ab dem Punkt B bis auf die Kreislinie verläuft und den Schnittpunkt G erzeugt. Somit ergibt sich als Strecke BG die erste Seite a des gesuchten flächengleichen (hier grünen) Quadrates.
Wie beschrieben ist in der nebenstehenden Zeichnung die Sehne EF durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen. Auf Grund dessen besteht bezüglich Verdeutlichung und Begründung des Ergebnisses die Möglichkeit (wie dargestellt), zusätzlich zur Rechteckfläche b · c für die Umwandlung in die Quadratfläche a$^2$, auch das rechtwinklige Dreieck EFG mit der Höhe h = a und die Quadratfläche h$^2$ einzuzeichnen. Alles zusammen gesehen, ist der Zusammenhang des Sehnensatzes mit dem Höhensatz deutlich erkennbar.
Gemäß dem Sehnensatz gilt:
    ${\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {EB}}\cdot {\overline {BF}}$
bzw.
    $p\cdot q=b\cdot c,$
daraus folgt (wie im Höhensatz von Euklid)
    $a^{2}=p\cdot q,$
zieht man daraus die Quadratwurzel, ist die Seitenlänge a des Quadrates gleich dem geometrischen Mittel der Länge p + q.
    $a={\sqrt {p\cdot q}}$