# Kubischer Zahlkörper

In der algebraischen Zahlentheorie versteht man unter einem kubischen Zahlkörper $K$ einen algebraischen Zahlkörper, also eine Erweiterung des Körpers $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen, vom Grad $\lbrack K:\mathbb {Q} \rbrack =3$. Kubische Zahlkörper sind nach den quadratischen Zahlkörpern $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ und den Kreisteilungskörpern $\mathbb {Q} (\exp(2\pi {\sqrt {-1}}/n))$ die einfachsten Zahlkörper. Sie sind aber im Gegensatz zu den letzteren nicht notwendigerweise selbst-konjugiert (normal, Galoissch), sondern können auch als Familien $(K,K^{\prime },K^{\prime \prime })$ von je drei konjugierten Körpern auftreten. Nur die zyklischen kubischen Zahlkörper $K$ sind selbst-konjugiert und besitzen eine Galoisgruppe $\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )=\langle \sigma \mid \sigma ^{3}=1\rangle$ mit einem einzigen erzeugenden Automorphismus $\sigma$ der Ordnung $3$. Alle anderen kubischen Körper $K$ können durch Komposition mit einem geeigneten quadratischen Körper $k$ (nämlich $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {d_{K}}})$) zu ihrer normalen Hülle $N=K\cdot k$ erweitert werden. Dieser Normalkörper $N$ eines nicht-zyklischen (und daher auch nicht-Galoisschen) kubischen Zahlkörpers $K$ ist eine Erweiterung vom Absolutgrad $\lbrack N:\mathbb {Q} \rbrack =6$ mit der symmetrischen Gruppe der Ordnung $6$ als Galoisgruppe $G=\mathrm {Gal} (N/\mathbb {Q} )=\langle \sigma ,\tau \mid \sigma ^{3}=1,\ \tau ^{2}=1,\ \sigma \tau =\tau \sigma ^{-1}\rangle$. Der Verband der sechs Teilkörper von $N$ entspricht nach dem Hauptsatz der Galoistheorie bijektiv (umkehrbar eindeutig, ein-eindeutig) dem Verband der sechs Untergruppen von $G$. Dabei sind die drei Normalkörper $N=\mathrm {Fix} (1)$, $k=\mathrm {Fix} (\langle \sigma \rangle )$, $\mathbb {Q} =\mathrm {Fix} (G)$ durch die Galois-Korrespondenz den drei selbst-konjugierten Untergruppen $1$, $\langle \sigma \rangle$, $\langle \sigma ,\tau \rangle$ zugeordnet, während die drei konjugierten kubischen Körper $K=\mathrm {Fix} (\langle \tau \rangle )$, $K^{\prime }=K^{\sigma }=\mathrm {Fix} (\langle \sigma \tau \rangle )$, $K^{\prime \prime }=K^{\sigma ^{2}}=\mathrm {Fix} (\langle \sigma ^{2}\tau \rangle )$ mit den drei konjugierten Untergruppen $\langle \tau \rangle$, $\langle \tau \sigma ^{2}\rangle =\sigma ^{-1}\langle \tau \rangle \sigma$, $\langle \tau \sigma \rangle =\sigma ^{-2}\langle \tau \rangle \sigma ^{2}$ korrespondieren.

## Unterschiede zu quadratischen Zahlkörpern

Während jeder quadratische Körper $k$ durch eine Radikal-Erweiterung $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ mit einem quadratfreien Radikanden $d\in \mathbb {Z} \setminus \lbrace 0,1\rbrace$ dargestellt werden kann (dazu beachte man, dass, auch wenn $k=\mathbb {Q} (\theta )$ durch eine Nullstelle $m(\theta )=0$ eines nicht-reinen quadratischen Polynoms $m(X)=m_{\theta }(X)=X^{2}-sX+n\in \mathbb {Z} \lbrack X\rbrack$ erzeugt ist, das primitive Element $\theta$ aufgrund der quadratischen Lösungsformel als $\theta ={\frac {1}{2}}(s+{\sqrt {d_{m}}})$ und sein Konjugiertes als $\theta ^{\prime }={\frac {1}{2}}(s-{\sqrt {d_{m}}})$ dargestellt werden kann mit der Diskriminante $d_{m}=s^{2}-4n$ von $m(X)$, also $\theta ,\theta ^{\prime }\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d_{m}}})$ aber umgekehrt auch mit dem Satz von Vieta $s=\theta +\theta ^{\prime }$, $n=\theta \theta ^{\prime }$, $\theta ^{\prime }={\frac {\theta \theta ^{\prime }}{\theta }}={\frac {n}{\theta }}\in \mathbb {Q} (\theta )$ und daher ${\sqrt {d_{m}}}=\theta -\theta ^{\prime }\in \mathbb {Q} (\theta )$), ist dies nur für reine kubische Zahlkörper $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{d}})$ mit einem kubenfreien Radikanden $d=ab^{2}>1$ möglich, wobei $a$ und $b$ quadratfreie teilerfremde natürliche Zahlen sind. Ist zusätzlich $a>b\geq 1$, so spricht man von einem normalisierten Radikanden $d$. Im Gegensatz zu einem quadratischen Zahlkörper $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$, der durch seine Diskriminante, $d_{k}=4d$ für $d\equiv 2,3\,(\mathrm {mod} \,4)$ beziehungsweise $d_{k}=d$ für $d\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$, bis auf Isomorphie eindeutig gekennzeichnet ist, kann es mehrere nicht-isomorphe kubische Körper $K_{1},\ldots ,K_{m}$ mit übereinstimmender Diskriminante $d_{K_{1}}=\ldots =d_{K_{m}}$ geben. Diese bilden dann ein Multiplett $(K_{1},\ldots ,K_{m})$ mit Vielfachheit (Multiplizität) $m$, das zum Beispiel nach streng aufsteigenden Regulatoren $R_{1}<R_{2}<\ldots <R_{m}$ angeordnet werden kann.

## Erzeugende Polynome

Ein kubischer Zahlkörper $K$ kann durch Adjunktion einer Nullstelle $\theta$ eines normierten irreduziblen Polynoms dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten an den rationalen Zahlkörper $\mathbb {Q}$ gebildet werden, also $K=\mathbb {Q} (\theta )$. Dieses Polynom ist dann automatisch das Minimalpolynom $m(X)=m_{\theta }(X)$ der Nullstelle $\theta$, also $m(X)=X^{3}-sX^{2}+qX-n\in \mathbb {Z} \lbrack X\rbrack$. Dabei ist die Bezeichnung der Koeffizienten von m(X) motiviert durch ihre Darstellung als elementar-symmetrische Polynome (ESP), die in der älteren Literatur als symmetrische Grundfunktionen bezeichnet werden. Ist $m(X)=(X-\theta )\cdot (X-\theta ^{\prime })\cdot (X-\theta ^{\prime \prime })$ die Zerlegung von $m(X)$ in Linearfaktoren über dem Zerfällungskörper $N$, dann folgt durch Ausmultiplizieren $m(X)=(X-\theta )\cdot (X^{2}-\theta ^{\prime }X-\theta ^{\prime \prime }X+\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime })=X^{3}-\theta X^{2}-\theta ^{\prime }X^{2}-\theta ^{\prime \prime }X^{2}+\theta \theta ^{\prime }X+\theta \theta ^{\prime \prime }X+\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }X-\theta \theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }=X^{3}-sX^{2}+qX-n$ mit dem linearen ESP $s=\theta +\theta ^{\prime }+\theta ^{\prime \prime }$, der Spur von $\theta$, dem quadratischen ESP $q=\theta \theta ^{\prime }+\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }+\theta ^{\prime \prime }\theta$ und dem kubischen ESP $n=\theta \theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }$, der Norm von $\theta$.

## Diskriminanten

Da die Diskriminante eines allgemeinen kubischen Polynoms $P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\in \mathbb {Q} \lbrack X\rbrack$ durch den Ausdruck $d_{P}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d$ gegeben ist, ergibt sich für das Minimalpolynom $m(X)$ des primitiven Elementes $\theta$ von $K=\mathbb {Q} (\theta )$ speziell $d_{m}=18sqn-4q^{3}-27n^{2}+s^{2}q^{2}-4s^{3}n$. Wie jeder algebraische Zahlkörper besitzt auch ein kubischer Körper K eine Hauptordnung ${\mathcal {O}}_{K}$ (den Ring seiner ganzen algebraischen Elemente oder kurz Ganzheitsring), welche die Gleichungsordnung $\mathbb {Z} \lbrack \theta \rbrack$ als Teilordnung vom Index $i_{m}=({\mathcal {O}}_{K}:\mathbb {Z} \lbrack \theta \rbrack )$ enthält. Man nennt $i_{m}$ den Index des Polynoms $m(X)$ und es gilt die grundlegende Beziehung $d_{m}=i_{m}^{2}\cdot d_{K}$ zwischen der Diskriminante $d_{K}$ des Körpers (beziehungsweise seiner Hauptordnung ${\mathcal {O}}_{K}$) und der Polynomdiskriminante $d_{m}$.

## Reelle und komplexe Einbettungen

Die Signatur $(r_{1},r_{2})$ eines algebraischen Zahlkörpers $K$ vom Grad $\lbrack K:\mathbb {Q} \rbrack =g$ gibt die Anzahl $r_{1}$ der reellen Einbettungen $\phi :\,K\hookrightarrow \mathbb {R}$ und die Anzahl $r_{2}$ der Paare von konjugiert komplexen Einbettungen $\psi ,{\bar {\psi }}:\,K\hookrightarrow \mathbb {C}$ von $K$ an und genügt der Beziehung $r_{1}+2r_{2}=g$. Für ungeraden Grad $g$ muss also auch $r_{1}$ ungerade sein, weil jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Insbesondere gibt es für die Signatur eines kubischen Körpers mit $g=3$ nur zwei Möglichkeiten: entweder $(r_{1},r_{2})=(1,1)$ für einen einfach-reellen kubischen Zahlkörper oder $(r_{1},r_{2})=(3,0)$ für einen dreifach-reellen (total-reellen) kubischen Zahlkörper.

## Einheiten-Gruppen

Allgemein ergibt sich aus der Signatur $(r_{1},r_{2})$ eines algebraischen Zahlkörpers $K$ nach dem Einheitensatz von Dirichlet sogleich die Struktur der Einheitengruppe $U_{K}$ von $K$ (genauer von der Hauptordnung ${\mathcal {O}}_{K}$) als direktes Produkt der Torsions-Untergruppe der in $K$ enthaltenen Einheitswurzeln $\mu _{K}$ und einer freien abelschen Gruppe vom torsionsfreien Einheitenrang $r=r_{1}+r_{2}-1$, also $U_{K}\simeq \mu _{K}\times \mathbb {Z} ^{r}$. Die Einheitengruppe $U_{N}$ des Normalkörpers $N$ eines nicht-Galoisschen kubischen Zahlkörpers $K$ enthält die von den Einheitengruppen aller Teilkörper erzeugte Untergruppe $U_{0}=\langle U_{k},U_{K},U_{K^{\prime }},U_{K^{\prime \prime }}\rangle$. Da sich jede Einheit in $U_{K^{\prime \prime }}$ aufgrund der Norm-Beziehung $\pm 1=N_{K/\mathbb {Q} }(\varepsilon )=\varepsilon \varepsilon ^{\sigma }\varepsilon ^{\sigma ^{2}}=\varepsilon \varepsilon ^{\prime }\varepsilon ^{\prime \prime }$ als Produkt $\varepsilon ^{\prime \prime }={\frac {\pm 1}{\varepsilon \varepsilon ^{\prime }}}$ von Einheiten in $U_{K}\cdot U_{K^{\prime }}$ darstellen lässt, kann die Untergruppe der Teilkörpereinheiten auch zu $U_{0}=U_{k}\cdot U_{K}\cdot U_{K^{\prime }}$ vereinfacht werden.

## Einfach-reelle kubische Zahlkörper

Ein einfach-reeller kubischer Zahlkörper $K$ besitzt die Signatur $(r_{1},r_{2})=(1,1)$. Er ist zwar selbst reell, aber seine beiden Konjugierten, $K^{\prime }$ und $K^{\prime \prime }$, sind komplex, weshalb $K$ auch (etwas irreführend) als komplexer kubischer Zahlkörper bezeichnet wird. Sein Normalkörper $N$ ist total-komplex mit Signatur $(0,3)$ und dessen quadratischer Teilkörper $k$ ist imaginär-quadratisch mit Signatur $(0,1)$. Die Einheitengruppen von $N$, $K$, $k$ besitzen die torsionsfreien Ränge $r_{N}=0+3-1=2$, $r_{K}=1+1-1=1$, $r_{k}=0+1-1=0$, und die Strukturen $U_{N}=\mu _{N}\times \langle E_{1},E_{2}\rangle \simeq \mu _{N}\times \mathbb {Z} ^{2}$ mit einem Fundamentalsystem $(E_{1},E_{2})$, $U_{K}=\mu _{K}\times \langle \varepsilon _{0}\rangle \simeq \mu _{K}\times \mathbb {Z}$ mit Grundeinheit $\varepsilon _{0}$, die meist im Bereich $0<\varepsilon _{0}<1$ oder $1<\varepsilon _{0}<\infty$ gewählt wird, und $U_{k}=\mu _{k}$ ohne torsionsfreie Einheit. Die enthaltenen Einheitswurzeln sind $\mu _{K}=\langle -1\rangle \simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ und stimmen bis auf zwei Spezialfälle mit $\mu _{N}=\mu _{k}$ überein. Die Ausnahmen sind $\mu _{N}=\mu _{k}=\langle \zeta _{4}\rangle \simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ für $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ und $\mu _{N}=\mu _{k}=\langle \zeta _{6}\rangle \simeq \mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ für $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})$. Die Klassenzahlen der drei Körper $N$, $K$ und $k$ stehen zueinander in der Beziehung $h_{N}={\frac {i_{N}}{3}}\cdot h_{K}^{2}\cdot h_{k}$ von Arnold Scholz, wobei der Einheitenindex $i_{N}=(U_{N}:U_{0})\in \lbrace 1,3\rbrace$ zwei Werte annehmen kann.

## Total-reelle kubische Zahlkörper

Ein dreifach-reeller kubischer Zahlkörper $K$ besitzt die Signatur $(r_{1},r_{2})=(3,0)$. Er ist also wie seine beiden Konjugierten, $K^{\prime }$ und $K^{\prime \prime }$, reell. Sein Normalkörper $N$ ist total-reell mit Signatur $(6,0)$ und dessen quadratischer Teilkörper $k$ ist reell-quadratisch mit Signatur $(2,0)$. Die Einheitengruppen von $N$, $K$, $k$ besitzen die torsionsfreien Ränge $r_{N}=6+0-1=5$, $r_{K}=3+0-1=2$, $r_{k}=2+0-1=1$, und die Strukturen $U_{N}=\mu _{N}\times \langle \eta ,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}\rangle \simeq \mu _{N}\times \mathbb {Z} ^{5}$ mit einem Fundamentalsystem $(\eta ,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4})$, $U_{K}=\mu _{K}\times \langle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\rangle \simeq \mu _{K}\times \mathbb {Z} ^{2}$ mit einem Fundamentalsystem $(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})$, und $U_{k}=\mu _{k}\times \langle \eta \rangle \simeq \mu _{K}\times \mathbb {Z}$ mit Grundeinheit $\eta$. Die enthaltenen Einheitswurzeln sind übereinstimmend $\mu _{N}=\mu _{K}=\mu _{k}=\langle -1\rangle \simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, weil sämtlich reell. Die Klassenzahlen der drei Körper $N$, $K$ und $k$ genügen der Formel $h_{N}={\frac {i_{N}}{9}}\cdot h_{K}^{2}\cdot h_{k}$ von Arnold Scholz, wobei der Einheitenindex $i_{N}=(U_{N}:U_{0})\in \lbrace 1,3,9\rbrace$ drei Werte annehmen kann. Diese drei Werte erlauben eine grobe Klassifikation der total-reellen kubischen Zahlkörper nach der Galois-Kohomologie der Einheitengruppe ihrer Normalkörper im Sinne von Nicole Moser. Dem Index $i_{N}=1$ mit $E_{1}=\varepsilon _{1},E_{2}=\varepsilon _{1}^{\prime },E_{3}=\varepsilon _{2},E_{4}=\varepsilon _{2}^{\prime }$ entspricht der Typ $\alpha$, aber für die anderen beiden Werte sind je zwei Typen möglich, nämlich Typ $\beta$ oder $\delta$ für $i_{N}=3$ und Typ $\gamma$ oder $\varepsilon$ für $i_{N}=9$.

## Normalkörper als Ringklassenkörper

Als zyklisch kubische Relativerweiterung $N/k$ des quadratischen Teilkörpers $k$ ist der Normalkörper $N$ eines nicht-Galoisschen kubischen Zahlkörpers $K$ ein Klassenkörper von $k$, genauer ein $3$-Ringklassenkörper nach einem ganzzahligen Führer $f$, weil $\lbrack N:k\rbrack =3$ und $\mathrm {Gal} (N/\mathbb {Q} )$ nicht abelsch ist. Der Führer bestimmt die Verzweigung der Primzahlen von $\mathbb {Q}$ in $K$ und der Primideale von $k$ in $N$ und erfüllt die Beziehung $d_{K}=f^{2}\cdot d_{k}$ von Helmut Hasse, wobei $d_{K},d_{k}$ die Diskriminanten von $K,k$ bedeuten. Mehrere nicht-isomorphe kubische Zahlkörper $K_{1},\ldots ,K_{m}$ können denselben Führer $f$ besitzen und bilden dann ein Multiplett $(K_{1},\ldots ,K_{m})$ der Vielfachheit (Multiplizität) $m$. Aufgrund der Hasseschen Beziehung $d_{K}=f^{2}\cdot d_{k}$ sind die Normalkörper $(N_{1},\ldots ,N_{m})$ eines Multipletts zyklisch kubische Relativerweiterungen eines gemeinsamen quadratischen Teilkörpers $k=\mathbb {Q} ({\sqrt {d_{K}}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {d_{k}}})$, weil das Quadrat $f^{2}$ des Führers für den quadratischen Radikanden $d_{k}$ irrelevant ist.

## Tabellen von kubischen Zahlkörpern

Die umfangreichsten Zusammenstellungen von Invarianten kubischer Zahlkörper stammen von G. W. Fung und H. C. Williams für einfach-reelle kubische Zahlkörper $K$ mit Diskriminante $-10^{6}<d_{K}<0$ und von V. Ennola und R. Turunen für total-reelle kubische Zahlkörper $K$ mit Diskriminante $0<d_{K}<5\cdot 10^{5}$. Sie enthalten Regulatoren $R_{K}$ und Klassenzahlen $h_{K}$, die mit dem Algorithmus von G. F. Voronoi berechnet wurden. Letztere Tafel wurde neulich in zweifacher Hinsicht überboten durch die Klassifikation aller Multiplette $(K_{1},\ldots ,K_{m})$ von total-reellen kubischen Zahlkörpern mit Diskriminante $0<d_{K}<10^{7}$ durch D. C. Mayer. Außer dem erweiterten Diskriminantenbereich bietet diese Klassifikation erstmalig tieferliegende Invarianten in Form einer Verfeinerung der fünf Typen $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ von N. Moser zu neun Untertypen $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta _{1},\beta _{2},\gamma ,\delta _{1},\delta _{2},\varepsilon$ nach der Galois-Kohomologie der Einheitengruppen der Normalkörper $(N_{1},\ldots ,N_{m})$. Sie wurde mit völlig neuartigen Methoden durch Auffassung der Normalkörper $(N_{1},\ldots ,N_{m})$ als $3$-Ringklassenkörper nach $3$-zulässigen Führern $f$ unter Verwendung der klassenkörpertheoretischen Routinen von C. Fieker im Computeralgebrasystem Magma konstruiert. Nichtsdestoweniger ist der Algorithmus von Voronoi nach wie vor ein unerlässliches Hilfsmittel für die Konstruktion der Gitter-Minima einer Ordnung in einem kubischen Zahlkörper, die in Magma bisher noch nicht implementiert ist. Das wurde vor kurzem anhand einer unendlichen Serie monogener einfach-reeller kubischer Zahlkörper von A. Soullami und D. C. Mayer demonstriert. Die bisher umfangreichste Klassifikation von reinen kubischen Zahlkörpern $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{d}})$ mit normalisierten Radikanden $d<10^{6}$ wurde von S. Aouissi, D. C. Mayer und Koautoren durchgeführt.