# Legendre-Filter

Legendre-Filter, auch als Optimum-L-Filter bezeichnet, sind kontinuierliche Frequenzfilter deren Übertragungsfunktion auf den namensgebenden Legendre-Polynomen aufbaut. Legendre-Filter wurden 1958 von dem griechischen Mathematiker Athanasios Papoulis vorgestellt.
Legendre-Filter stellen einen Kompromiss zwischen dem Butterworth-Filter und dem Tschebyscheff-Filter dar: Der Betragsfrequenzverlauf ist steiler als bei Butterworth-Filter und besitzt im Gegensatz zu den Tschebyscheff-Filter im Sperr- und im Durchlassbereich einen monotonen Verlauf.

## Übertragungsfunktion

Der quadrierte Betragsfrequenzverlauf für die Filterordnung $n$ ist gegeben durch
    $M_{n}^{2}(\omega )={\frac {1}{1+L_{n}(\omega ^{2})}}$
mit dem modifizierten $n$-ten Optimal-Polynom $L_{n}$, welches sich durch die Erfüllung mehrerer spezieller Kriterien auszeichnet, die die gewünschten Eigenschaften Monotonie der Übertragungsfunktion und gleichzeitig maximale Steilheit im Sperrbereich sicherstellen. Dies sind die Nebenbedingungen
    $L_{n}(0)=0\quad {\text{(Gl. 1)}}$
    $L_{n}(1)=1\quad {\text{(Gl. 2)}}$
und die Forderung nach monotonem Anstieg
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\geq 0\quad {\text{(Gl. 3)}}$
Hauptbedingung ist die Forderung nach maximaler Steilheit im Sperrbereich, z. B. ab $\omega \geq 1$:
    $\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\right|_{\omega =1}={\text{Maximum}}\quad {\text{(Gl. 4)}}$

## Herleitung

Für $k+1$ linear unabhängige Polynome $Q_{i}(x)$ des Grades $0\leq i\leq k$, im einfachsten Falle $Q_{i}(x)=x^{i}$, lässt sich mit indirekter Erfüllung der (Gl. 3) ein Ansatz für das gesuchte optimale Polynom bilden:
    $L_{n}(\omega ^{2})=\int _{0}^{\omega ^{2}}\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}Q_{i}(x)\right]^{2}dx\quad {\text{(Gl. 5-1)}}$
mit $k+1$ unbekannten Koeffizienten $a_{i}$. Da der Integrand ein gerades Polynom ist, ist $L_{n}(x)$ ungerade mit $n=2k+1$. Um ein gerades $L_{n}(x)$ mit $n=2k+2$ zu erhalten, bietet sich folgendes an:
    $L_{n}(\omega ^{2})=\int _{0}^{\omega ^{2}}x\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}Q_{i}(x)\right]^{2}dx\quad {\text{(Gl. 5-2)}}$
Beide Ansätze erfüllen automatisch die Bedingungen aus (Gl. 1) und (Gl. 3), da $x$ in (Gl. 5-2) immer positiv ist. Für die gewählten Basispolynome lässt sich beispielsweise (Gl. 5-1) auflösen und in (Gl. 2) überführen
    $L_{n}(1)=\int _{0}^{1}\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}Q_{i}(x)\right]^{2}dx=1\quad {\text{(Gl. 6)}}$
Dies ist eine quadratische Gleichung in den Koeffizienten $a_{i}$, die nach einem Koeffizienten, am einfachsten nach $a_{0}$, aufgelöst werden kann. Eingesetzt in (Gl. 5-1) verbleiben noch $k$ unbekannte Koeffizienten, die in $k$ nichtlinearen Gleichungen aus den partiellen Ableitungen von (Gl. 4) gelöst werden können. Mit dem geraden Ansatz in (Gl. 5-2) ist analog zu verfahren.
Für allgemeine Polynome $Q_{i}(x)$ ist das resultierende Gleichungssystem für $k>2$ nur noch schwer analytisch zu lösen. Der Ansatz von (Gl. 5) legt jedoch nahe, die Legendre-Polynome $P_{i}(x)$ der 1. Art als Basis zu verwenden, in der Erwartung, dass viele Teilintegrale verschwinden und sich die Herleitung vereinfacht. Dieses stellte Papoulis 1958 für (Gl. 5-1) in seiner ersten Arbeit vor. Dazu müssen jedoch die Integralgrenzen an die Eigenschaften der Legendre-Polynome angepasst und skaliert werden, so dass sich folgende Gleichung ergibt:
    $L_{n}(\omega ^{2})=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}P_{i}(x)\right]^{2}dx=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}\sum _{i=0}^{k}a_{i}P_{i}(x)\sum _{j=0}^{k}a_{j}P_{j}(x)dx=\sum _{i=0}^{k}\sum _{j=0}^{k}a_{i}a_{j}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}P_{i}(x)P_{j}(x)dx\quad {\text{(Gl. 7)}}$
Damit vereinfacht sich die (Gl. 2), beziehungsweise (Gl. 6), erheblich zu
    $L_{n}(1)=\sum _{i=0}^{k}\sum _{j=0}^{k}a_{i}a_{j}\int _{-1}^{1}P_{i}(x)P_{j}(x)dx=\sum _{i=0}^{k}a_{i}^{2}\int _{-1}^{1}P_{i}^{2}(x)dx=2\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}^{2}}{2i+1}}=1$
Für $a_{0}$ erhält man so
    $a_{0}^{2}={\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {a_{i}^{2}}{2i+1}}\quad {\text{(Gl. 8)}}$
Zur Bestimmung des Maximums in (Gl. 4) wird die partielle Ableitung von $a_{0}$ nach den noch unbekannten Koeffizienten $a_{j}$ mit $0<j\leq k$ benötigt:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a_{j}}}a_{0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a_{j}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {a_{i}^{2}}{2i+1}}}}={\frac {-a_{j}}{(2j+1)a_{0}}}\quad {\text{(Gl. 9)}}$
Beachte: Für die innere Ableitung liefert nur der Summand mit dem Index $i=j$ einen Beitrag, weil alle andere Summanden von $a_{j}$ unabhängig sind. $a_{0}$ ist identisch mit dem Wurzelausdruck in (Gl. 9), wird aber zur einfacheren Darstellung im Weiteren wie ein konstanter Parameter mitgeführt, auf den sich die Lösung der unbekannten $a_{j}$ beziehen soll. Anschließend wird $a_{0}$ so bestimmt, dass (Gl. 8) oder (Gl. 2) erfüllt sind.
Bei der Bildung der linken Seite von (Gl. 4) ist die folgende Erkenntnis wichtig. Für alle $P_{i}(x)$ und $P_{j}(x)$ ergibt sich die Identität:
    $\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}P_{i}(x)P_{j}(x)dx\right|_{\omega =1}=4\quad {\text{(Gl. 10)}}$
Damit wird (Gl. 4) zu
    $4\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}\right]^{2}=\operatorname {Maximum} (a_{j})\quad {\text{(Gl. 11)}}$
Notwendige Bedingung für ein Maximum ist, dass alle partiellen Ableitungen der linken Seite von (Gl. 11) nach den unbekannten Koeffizienten $a_{j}$ Null sind. Dabei ist zu berücksichtigen, dass $a_{0}$ ebenfalls von allen $a_{j}$ gemäß (Gl. 8) und (Gl. 9) abhängt
    $4{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a_{j}}}\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}\right]^{2}=4\cdot 2\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}\right){\mathrm {d} \over \mathrm {d} a_{j}}\left(a_{0}+a_{j}\right)=8\left(1-{\frac {a_{j}}{(2j+1)a_{0}}}\right)\sum _{i=0}^{k}a_{i}=0_{j}\quad {\text{(Gl. 12)}}$
Bemerkung: Nur die zwei Summanden $a_{0}$ und $a_{j}$ sind von $a_{j}$ abhängig.
Die Summe ist nur null, wenn $a_{0}$ und alle $a_{j}=0$ sind, was aber ausgeschlossen ist, da dann $L_{n}(x)={\text{konstant}}$ und auch (Gl. 8) verletzt wäre. Also muss der Klammerausdruck null sein und die Lösung enthalten
    $a_{j}=(2j+1)a_{0}\quad {\text{(Gl. 13)}}$
Eingesetzt in (Gl. 8) ergibt sich
    $a_{0}^{2}={\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}(2i+1)a_{0}^{2}={\frac {1}{2}}-k(k+2)a_{0}^{2}$
oder
    $(k+1)^{2}a_{0}^{2}={\frac {1}{2}}$
für
    $a_{0}={\frac {1}{{\sqrt {2}}(k+1)}}\quad {\text{(Gl. 14)}}$
Mit (Gl. 13) ergibt sich für alle Koeffizienten $a_{i}={\frac {2i+1}{{\sqrt {2}}(k+1)}}\quad {\text{(Gl. 15)}}$
Für gerade $n=2k+2$ nach (Gl. 5-2) veröffentlichte Papoulis eine analoge Lösung. Nach der Skalierung auf die geeigneteren Intervallgrenzen gilt dann
    $L_{n}(\omega ^{2})=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1)\left[\sum _{i=0}^{k}a_{i}P_{i}(x)\right]^{2}dx=\sum _{i=0}^{k}\sum _{j=0}^{k}a_{i}a_{j}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1)P_{i}(x)P_{j}(x)\quad {\text{(Gl. 16)}}$
Analog zu der hilfreichen Identität aus (Gl. 10) gilt für gerade $n$
    $\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1)P_{i}(x)P_{j}(x)dx\right|_{\omega =1}=8$
Die Koeffizienten lauten:
    $a_{i}={\begin{cases}{\frac {2i+1}{\sqrt {(k+1)(k+2)}}}&{\text{für }}k+i{\text{ gerade}}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$
Fazit
Als Basis für das optimale Polynom $L_{n}(\omega ^{2})$ ist die Verwendung der namensgebenden Legendre-Polynome nicht zwingend notwendig. Jede andere linear unabhängige, polynomiale Basis $Q_{i}(x)$ führt zum selben Ergebnis, die analytische Herleitung ist aber wesentlich schwieriger, wenn nicht sogar unmöglich. Um die ohnehin mühsame und fehleranfällige Auflösung von (Gl. 7) und (Gl. 16) etwas zu vereinfachen, lassen sich die Nenner der $a_{0}^{2}$ respektive $a_{1}^{2}$ als Faktoren vor das Integral stellen. Das führt zu
    $L_{n}(\omega ^{2})={\frac {1}{2(k+1)^{2}}}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}\left[\sum _{i=0}^{k}(2i+1)P_{i}(x)\right]^{2}dx\quad {\text{(Gl. 17)}}$
respektive
    $L_{n}(\omega ^{2})={\frac {1}{(k+1)(k+2)}}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1)\left[\sum _{i=0}^{k}b_{i}P_{i}(x)\right]^{2}dx\quad {\text{(Gl. 18)}}$
mit $b_{i}={\begin{cases}2i+1&{\text{für }}k+i{\text{ gerade}}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

## Ergebnis

Für die Filterordnung $n$ von 1 bis 6 lauten die Optimal-Polynome $L_{n}(\omega ^{2})$ des Filters:
| $n$ | $L_{n}(\omega ^{2})$ |
| 1 | $\omega ^{2}$ |
| 2 | $\omega ^{4}$ |
| 3 | $\omega ^{2}-3\omega ^{4}+3\omega ^{6}$ |
| 4 | $3\omega ^{4}-8\omega ^{6}+6\omega ^{8}$ |
| 5 | $\omega ^{2}-8\omega ^{4}+28\omega ^{6}-40\omega ^{8}+20\omega ^{10}$ |
| 6 | $6\omega ^{4}-40\omega ^{6}+105\omega ^{8}-120\omega ^{10}+50\omega ^{12}$ |
Weitere Polynome bis zu 10. Ordnung sind in den genannten Quellen zu finden.