# Lucas-Folge

Unter der Lucas-Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge:
       2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, … (Folge A000032 in OEIS)
    bei der jedes Folgenglied (ab dem dritten) die Summe der beiden vorhergehenden ist.
       $U_{0}=0,\quad U_{1}=1$ bzw. $V_{0}=2,\quad V_{1}=P$
    erfüllen und den Rekursionsformeln
       $U_{n}=PU_{n-1}-QU_{n-2}\,$ bzw. $V_{n}=PV_{n-1}-QV_{n-2}\,$
    für $n>1$ genügen.
Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Édouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

## Beispiele

* Sei $P=1$ und $Q=-1$. Dann ist $U_{n}(P,Q)=U_{n}(1,-1)$ die folgende Folge:
       $U_{0}=0,U_{1}=1,$
       $U_{2}=PU_{1}-QU_{0}=1\cdot 1-(-1)\cdot 0=1,$
       $U_{3}=PU_{2}-QU_{1}=1\cdot 1-(-1)\cdot 1=2,$
       $U_{4}=PU_{3}-QU_{2}=1\cdot 2-(-1)\cdot 1=3,$
       $U_{5}=PU_{4}-QU_{3}=1\cdot 3-(-1)\cdot 2=5,\ldots$
    Kurz geschrieben erhält man die Fibonacci-Folge:
       0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, … (Folge A000045 in OEIS)
* Sei $P=1$ und $Q=-1$. Dann ist $V_{n}(P,Q)=V_{n}(1,-1)$ die folgende Folge:
       $V_{0}=2,V_{1}=P=1,$
       $V_{2}=PV_{1}-QV_{0}=1\cdot 1-(-1)\cdot 2=3,$
       $V_{3}=PV_{2}-QV_{1}=1\cdot 3-(-1)\cdot 1=4,$
       $V_{4}=PV_{3}-QV_{2}=1\cdot 4-(-1)\cdot 3=7,$
       $V_{5}=PV_{4}-QV_{3}=1\cdot 7-(-1)\cdot 4=11,\ldots$
    Kurz geschrieben erhält man eine Folge, die man ebenfalls kurz spezielle Lucas-Folge (oder noch einfacher nur Lucas-Folge) nennt, nämlich:
       2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, … (Folge A000032 in OEIS)
    Die einzelnen Zahlen dieser Folge nennt man Lucas-Zahlen, auf die weiter unten näher eingegangen wird.
* In einer Tabelle zusammengefasst erhält man für gewisse Startwerte für $P$ und $Q$ die Tabelle im Abschnitt Spezialfälle.

## Explizite Formeln
### Vorbereitung

Zur Bestimmung der Folgenglieder der allgemeinen Lucas-Folge muss vorbereitend die zugeordnete quadratische Gleichung gelöst werden.
Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen $a$ und $b$ der quadratischen Gleichung $x^{2}-Px+Q=0\$ benötigt. Es sind dies
    $a={\frac {P}{2}}+{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$
und
    $b={\frac {P}{2}}-{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$
Ist $P^{2}-4Q<0$, so ist eine der beiden komplexen Wurzeln zu wählen. Welche der beiden Zahlen $a$ und welche $b$ genannt wird, ist hierbei nicht von Belang.
Die Parameter $P$ und $Q$ und die Werte $a$ und $b$ sind voneinander abhängig, es gilt umgekehrt
    $P=a+b,\quad Q=a\cdot b.$ (Satz von Vieta)
Die Formeln für $a$ und $b$ lassen sich in Bezug auf die Potenzen verallgemeinern. Und zwar gilt:
    $a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,$
    $b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,$

### Die allgemeinen Lucas-Folgen

Falls $P^{2}-4Q\neq 0$ gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen $a$ und $b$ verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $U_{n}(P,Q)\$ nach folgender Formel:
    $U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}$
für alle $n\geq 0$. Im Spezialfall $P^{2}-4Q=0$ gilt stattdessen
    $U_{n}(P,Q)=na^{n-1}=n\left({\frac {P}{2}}\right)^{n-1}.$
Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $V_{n}(P,Q)\$ berechnet sich nach folgender Formel:
    $V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\$
für alle $n\geq 0$

## Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Eine Auswahl der Beziehungen zwischen den Folgengliedern ist:
* $U_{2n}=U_{n}\cdot V_{n}\$
* $V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}\$
* $V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\$
* $\operatorname {ggT} (U_{m},U_{n})=U_{\operatorname {ggT} (m,n)}$, falls $\operatorname {ggT} (P,Q)=1$
* $m\mid n\implies U_{m}\mid U_{n}$; für alle $U_{m}\neq 1$

## Spezialfälle

Es folgen ein paar Spezialfälle, die zu Folgen führen, die in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen und deswegen sogar eigene Namen haben:
| $P$ | $Q$ | $a$ | $b$ | $U(P,Q)$ | $V(P,Q)$ |
| $1$ | $-1$ | ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ | ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ | $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$ (Folge A000045 in OEIS) (Fibonacci-Folge) | $2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,\ldots$ (Folge A000032 in OEIS) ((spezielle) Lucas-Folge) |
| $1$ | $-2$ | $2$ | $-1$ | $0,1,1,3,5,11,21,43,85,171,\ldots$ (Folge A001045 in OEIS) (Jacobsthal-Folge) | $2,1,5,7,17,31,65,127,257,511,\ldots$ (Folge A014551 in OEIS) (Jacobsthal-Lucas-Folge) |
| $2$ | $-1$ | $1+{\sqrt {2}}$ | $1-{\sqrt {2}}$ | $0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,\ldots$ (Folge A000129 in OEIS) (Pell-Folge) | $2,2,6,14,34,82,198,478,1154,2786,\ldots$ (Folge A002203 in OEIS) (Companion Pell-Folge, Pell-Lucas-Folge) |
| $3$ | $2$ | $2$ | $1$ | $0,1,3,7,15,31,63,127,255,511,\ldots$ (Folge A000225 in OEIS) (Mersenne-Zahl-Folge) | $2,3,5,9,17,33,65,129,257,513,\ldots$ (Folge A000051 in OEIS) (Zahlen der Form $2^{n}+1$ (enthalten die Fermat-Zahlen)) |
| $A$ | $-1$ | ${\frac {A+{\sqrt {A^{2}+4}}}{2}}$ | ${\frac {A-{\sqrt {A^{2}+4}}}{2}}$ | Fibonacci-Polynome | Lucas-Polynome |
| $2A$ | $1$ | $A+{\sqrt {A^{2}-1}}$ | $A-{\sqrt {A^{2}-1}}$ | Tschebyschow-Polynome zweiter Art | Tschebyschow-Polynome erster Art, mit $2$ multipliziert |
| $A+1$ | $A$ | $A$ | $1$ | $a_{i}=1+a_{i-1}\cdot A$ mit $a_{0}=0$ Repunits zur Basis A | $(A^{n}+1)$ -Folge |
Es gibt aber auch viele weitere Spezialfälle, die zu Folgen führen, die einen OEIS-Eintrag haben und somit in der Mathematik ebenfalls eine gewisse Rolle spielen. Es folgen ein paar Beispiele:
| $P$ | $Q$ | $a$ | $b$ | $U(P,Q)$ | $V(P,Q)$ |
| $1$ | $1$ | | | $0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,0,\ldots$ (Folge A128834 in OEIS) | $2,1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,-2,\ldots$ (Folge A087204 in OEIS) |
| $1$ | $2$ | | | $0,1,1,-1,-3,-1,5,7,-3,-17,\ldots$ (Folge A107920 in OEIS) | $2,1,-3,-5,1,11,9,-13,-31,-5,\ldots$ (Folge A002249 in OEIS) |
| $2$ | $1$ | $1$ | $1$ | $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots$ (Folge A001477 in OEIS) | $2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,\ldots$ (Folge A007395 in OEIS) |
| $2$ | $2$ | | | $0,1,2,2,0,-4,-8,-8,0,16,\ldots$ (Folge A009545 in OEIS) | $2,2,0,-4,-8,-8,0,16,32,32,\ldots$ (Folge A009545 in OEIS) |
| $2$ | $3$ | | | $0,1,2,1,-4,-11,-10,13,56,73,\ldots$ (Folge A088137 in OEIS) | $2,2,-2,-10,-14,2,46,86,34,-190,\ldots$ |
| $2$ | $4$ | | | $0,1,2,0,-8,-16,0,64,128,0,\ldots$ (Folge A088138 in OEIS) | $2,2,-4,-16,-16,32,128,128,-256,-1024,\ldots$ |
| $2$ | $5$ | | | $0,1,2,-1,-12,-19,22,139,168,-359,\ldots$ (Folge A045873 in OEIS) | $2,2,-6,-22,-14,82,234,58,-1054,-2398,\ldots$ |
| $3$ | $-10$ | $5$ | $-2$ | $0,1,3,19,87,451,2223,11179,55767,279091,\ldots$ (Folge A015528 in OEIS) | $2,3,29,117,641,3093,15689,77997,390881,1952613,\ldots$ |
| $3$ | $-5$ | | | $0,1,3,14,57,241,1008,4229,17727,74326,\ldots$ (Folge A015523 in OEIS) | $2,3,19,72,311,1293,5434,22767,95471,400248,\ldots$ (Folge A072263 in OEIS) |
| $3$ | $-4$ | $4$ | $-1$ | $0,1,3,13,51,205,819,3277,13107,52429,\ldots$ (Folge A015521 in OEIS) | $2,3,17,63,257,1023,4097,16383,65537,262143,\ldots$ (Folge A201455 in OEIS) |
| $3$ | $-3$ | | | $0,1,3,12,45,171,648,2457,9315,35316,\ldots$ (Folge A030195 in OEIS) | $2,3,15,54,207,783,2970,11259,42687,161838,\ldots$ (Folge A172012 in OEIS) |
| $3$ | $-2$ | | | $0,1,3,11,39,139,495,1763,6279,22363,\ldots$ (Folge A007482 in OEIS) | $2,3,13,45,161,573,2041,7269,25889,92205,\ldots$ (Folge A206776 in OEIS) |
| $3$ | $-1$ | | | $0,1,3,10,33,109,360,1189,3927,12970,\ldots$ (Folge A006190 in OEIS) | $2,3,11,36,119,393,1298,4287,14159,46764,\ldots$ (Folge A006497 in OEIS) |
| $3$ | $1$ | | | $0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584,\ldots$ (Folge A001906 in OEIS) | $2,3,7,18,47,123,322,843,2207,5778,\ldots$ (Folge A005248 in OEIS) |
| $3$ | $5$ | | | $0,1,3,4,-3,-29,-72,-71,147,796,\ldots$ (Folge A0190959 in OEIS) | $2,3,-1,-18,-49,-57,74,507,1151,918,\ldots$ |
| $4$ | $-5$ | $5$ | $-1$ | $0,1,4,21,104,521,2604,13021,65104,325521,\ldots$ (Folge A015531 in OEIS) | $2,4,26,124,626,3124,15626,78124,390626,1953124,\ldots$ (Folge A087404 in OEIS) |
| $4$ | $-3$ | | | $0,1,4,19,88,409,1900,8827,41008,190513,\ldots$ (Folge A015530 in OEIS) | $2,4,22,100,466,2164,10054,46708,216994,1008100,\ldots$ (Folge A080042 in OEIS) |
| $4$ | $-2$ | | | $0,1,4,18,80,356,1584,7048,31360,139536,\ldots$ (Folge A090017 in OEIS) | $2,4,20,88,392,1744,7760,34528,153632,683584,\ldots$ |
| $4$ | $-1$ | | | $0,1,4,17,72,305,1292,5473,23184,98209,\ldots$ (Folge A001076 in OEIS) | $2,4,18,76,322,1364,5778,24476,103682,439204,\ldots$ (Folge A014448 in OEIS) |
| $4$ | $1$ | | | $0,1,4,15,56,209,780,2911,10864,40545,\ldots$ (Folge A001353 in OEIS) | $2,4,14,52,194,724,2702,10084,37634,140452,\ldots$ (Folge A003500 in OEIS) |
| $4$ | $2$ | | | $0,1,4,14,48,164,560,1912,6528,22288,\ldots$ (Folge A007070 in OEIS) | $2,4,12,40,136,464,1584,5408,18464,63040,\ldots$ (Folge A056236 in OEIS) |
| $4$ | $3$ | $3$ | $1$ | $0,1,4,13,40,121,364,1093,3280,9841,\ldots$ (Folge A003462 in OEIS) | $2,4,10,28,82,244,730,2188,6562,19684,\ldots$ (Folge A034472 in OEIS) |
| $4$ | $4$ | $2$ | $2$ | $0,1,4,12,32,80,192,448,1024,2304,\ldots$ (Folge A001787 in OEIS) | $2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,\ldots$ (Folge A000079 in OEIS) |
| $5$ | $-6$ | $6$ | $-1$ | $0,1,5,31,185,1111,6665,39991,239945,1439671,\ldots$ (Folge A015540 in OEIS) | $2,5,37,215,1297,7775,46657,279935,1679617,10077695,\ldots$ (Folge A0274074 in OEIS) |
| $5$ | $-3$ | | | $0,1,5,28,155,859,4760,26377,146165,809956,\ldots$ (Folge A015536 in OEIS) | $2,5,31,170,943,5225,28954,160445,889087,4926770,\ldots$ |
| $5$ | $-2$ | | | $0,1,5,27,145,779,4185,22483,120785,648891,\ldots$ (Folge A015535 in OEIS) | $2,5,29,155,833,4475,24041,129155,693857,3727595,\ldots$ |
| $5$ | $-1$ | | | $0,1,5,26,135,701,3640,18901,98145,509626,\ldots$ (Folge A052918 in OEIS) | $2,5,27,140,727,3775,19602,101785,528527,2744420,\ldots$ (Folge A087130 in OEIS) |
| $5$ | $1$ | | | $0,1,5,24,115,551,2640,12649,60605,290376,\ldots$ (Folge A004254 in OEIS) | $2,5,23,110,527,2525,12098,57965,277727,1330670,\ldots$ (Folge A003501 in OEIS) |
| $5$ | $4$ | $4$ | $1$ | $0,1,5,21,85,341,1365,5461,21845,87381,\ldots$ (Folge A002450 in OEIS) | $2,5,17,65,257,1025,4097,16385,65537,262145,\ldots$ (Folge A052539 in OEIS) |
| $8$ | $-9$ | $9$ | $-1$ | $0,1,8,73,656,5905,53144,478297,4304672,38742049,\ldots$ (Folge A015577 in OEIS) | $2,8,82,728,6562,59048,531442,4782968,43046722,387420488,\ldots$ |

## Die allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q), V(P,Q) und die Primzahlen

Die allgemeinen Lucas-Folgen $U(P,Q)\,$ und $V(P,Q)\,$ haben für ganzzahlige Parameter $P$ und $Q$ eine spezielle Eigenschaft hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen. Diese Eigenschaft wurde für Verfahren zur Bestimmung der Primalität einer Zahl angewandt (siehe auch Lucas-Lehmer-Test).

### Die Folgen U(P,Q)

Für alle Lucas-Folgen $U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}$ gilt:
    Ist p eine Primzahl, so ist $U_{p}(P,Q)-\left({\frac {D}{p}}\right)$ durch p teilbar.
Dabei ist $\left({\frac {D}{p}}\right)$ das Legendre-Symbol.
Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Diese Zahlen nennt man Lucas-Pseudoprimzahlen.

### Die Folgen V(P,Q)

Für alle Lucas-Folgen $V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\$ gilt:
    Ist p eine Primzahl, so ist $V_{p}(P,Q)-P\$ durch $p$ teilbar.
Eine zusammengesetzte Zahl, die diese Bedingung (im Fall von $P>0$ und $Q=\pm 1$) erfüllt, heißt Fibonacci-Pseudoprimzahl.
Besonders interessant ist die Teilbarkeitsbedingung für die Folge $V_{n}(3,2)=a^{n}+b^{n}=2^{n}+1\$. Für diese Folge gilt nämlich:
    Wenn $n$ eine Primzahl ist, dann gilt: $n$ teilt $2^{n}+1-3=2^{n}-2\$.
Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz.
Analog zu $a^{p}\equiv a\mod p$ gilt hier $V_{p}(a+1,a)\equiv V_{1}(a+1,a)\mod p$.

## Die spezielle Lucas-Folge

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge $L_{n}$ der Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … lässt sich außer durch die Rekursion $L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ mit den Anfangswerten $L_{0}=2$ und $L_{1}=1$ auch wie folgt erzeugen:
* Wie im allgemeinen Fall für die Folgen $V_{n}$ erwähnt, über die Formel von Binet (nach Jacques Philippe Marie Binet):
    $L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}$, da $a={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ und $b={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ gilt. a ist übrigens die goldene Zahl $\Phi$.
* Eine andere rekursive Formel (mit Gaußklammer):
    $L_{n+1}=\left\lfloor {\frac {L_{n}(1+{\sqrt {5}})+1}{2}}\right\rfloor$
* Als Summe zweier Glieder der Fibonacci-Folge:
    $L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}\$ .
Nach 1) lässt sich alternativ auch $L_{n}=\Phi ^{n}+(1-\Phi )^{n}$ schreiben. Da für $n>1$ der Betrag von $(1-\Phi )^{n}$ stets kleiner 0,5 ist, ergibt sich die Eigenschaft, dass die $n$-te ($n>1$) Lucaszahl dem gerundeten Wert der Golden Zahl zur Potenz $n$ entspricht: $L_{n}=\left\lfloor {\Phi ^{n}+{\frac {1}{2}}}\right\rfloor$.

### Reziproke Reihe

Der Grenzwert der absolut konvergierenden reziproken Reihe spezieller Lucas-Zahlen
* $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{L_{2^{n}}}}$
ist irrational.

### Lucas-Primzahlen

Eine Lucas-Primzahl ist eine Lucas-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Lucas-Primzahlen lauten:
    2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 5600748293801, 688846502588399, 32361122672259149, 412670427844921037470771, … (Folge A005479 in OEIS)
Für diese Lucas-Primzahlen ist der Index $n$ von $L_{n}$ der folgende:
    0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, 10691, 12251, 13963, 14449, 19469, 35449, 36779, 44507, 51169, 56003, 81671, 89849, 94823, 140057, 148091, 159521, 183089, 193201, 202667, 344293, 387433, 443609, 532277, 574219, 616787, 631181, 637751, 651821, 692147, 901657, 1051849, … (Folge A001606 in OEIS)
       Beispiel:
          Es ist $L_{6}=18$ und $L_{5}=11$. Somit ist $L_{7}=L_{6}+L_{5}=18+11=29\in \mathbb {P}$ eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index $n=7$ in obiger Liste an der 5. Stelle auf, weil er zur fünftkleinsten Lucas-Primzahl $L_{7}=29$ führt.
Es gelten folgende zwei Eigenschaften für Lucas-Primzahlen:
* Wenn $L_{n}$ eine Primzahl ist, dann ist der Index $n$ entweder gleich $0$ oder eine selbst Primzahl oder eine Zweierpotenz.
* $L_{2^{m}}$ ist eine Primzahl für $m\in \{1,2,3,4\}$. Für keine anderen bekannten Werte von $m$ erhält man weitere Primzahlen.
Es wird vermutet, dass es unendlich viele Lucas-Primzahlen gibt.

## Zusammenhang zur Artinschen Konstante

Die Artinsche Konstante, benannt nach Emil Artin, ist definiert durch
    $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=\left(1-{\frac {1}{2\cdot 1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3\cdot 2}}\right)\left(1-{\frac {1}{5\cdot 4}}\right)\cdots =0{,}3739558136\ldots .$
Dabei bezeichnet $\textstyle \prod$ das Produktsymbol, wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Die Konstante $C_{\mathrm {Artin} }$ taucht in einer tiefen Vermutung von Artin über die asymptotische Dichte von Primzahlen, die Primitivwurzeln zu einer gegebenen Zahl sind, auf. Eine Primitivwurzel zu einer Primzahl $p$ ist eine ganze Zahl, deren Potenzen, bis auf Vielfache von $p$, alle Zahlen zwischen $1\leq n\leq p-1$ erzeugen können. Zum Beispiel ist $3$ eine Primitivwurzel bezüglich $p=5$, denn die ersten echten Potenzen der $3$ sind $3,9,27,81$ und bis auf Vielfache von $5$ entspricht dies den Zahlen $3,4,2,1$. Die Artinsche Vermutung besagt, grob gesprochen, dass zu festem $a$ die Menge der Primzahlen, so dass $a$ eine Primitivwurzel zu $p$ ist, die asymptotische Dichte $C_{\mathrm {Artin} }$ innerhalb aller Primzahlen hat. Also haben ca. 37 % der Primzahlen diese Eigenschaft, unabhängig von $a$. Jedoch muss $a$ dafür bestimmte Voraussetzungen erfüllen.
Bezeichnet $L_{n}$ die $n$-te Lucas-Zahl, so gilt die Formel
    $C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{n=2}^{\infty }\zeta (n)^{-{\frac {1}{n}}\sum _{k|n}L_{k}\mu \left({\frac {n}{k}}\right)}={\frac {1}{\zeta (2)\zeta (3)\zeta (4)\zeta (5)^{2}\zeta (6)^{2}\zeta (7)^{4}\zeta (8)^{5}\zeta (9)^{8}\cdots }}.$
Dabei bedeutet $k|n$ in der Summe, dass $k>0$ die Zahl $n$ teilt, und es ist $\mu$ die Möbiusfunktion sowie $\zeta$ die Riemannsche Zeta-Funktion.