# C*-dynamisches System

C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.

## Definition

Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel $(A,G,\alpha )$ bestehend aus einer C*-Algebra $A$, einer lokalkompakten Gruppe $G$ und einem Homomorphismus $\alpha \colon G\rightarrow \mathrm {Aut} (A),s\mapsto \alpha _{s}$ von $G$ in die Gruppe der *-Automorphismen von $A$, so dass alle Abbildungen $G\rightarrow A,s\mapsto \alpha _{s}(a),\,a\in A$ stetig sind. (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur $\mathrm {Aut} (A)$, es sind aber *-Automorphismen gemeint.)
Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist $G=\mathbb {Z}$. Da die Gruppe $\mathbb {Z}$ diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist $\alpha$ bereits durch $\alpha _{1}\in \mathrm {Aut} (A)$ festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe $\mathbb {Z}$ ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

## Kovariante Darstellungen

Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System und sind $\pi \colon A\rightarrow B(H)$ eine Hilbertraum-Darstellung von $A$ und $u\colon G\rightarrow B(H),s\mapsto u_{s}$ eine unitäre Darstellung von $G$ auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar $(\pi ,u)$ eine kovariante Darstellung, falls
$\pi (\alpha _{s}(a))=u_{s}\pi (a)u_{s}^{*}$ für alle $a\in A$ und $s\in G$.
Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch $\alpha$ vermittelte Gruppenoperation von $G$ auf $A$ durch unitäre Operatoren dargestellt.

## Das Kreuzprodukt

Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum $K(A,G,\alpha )$ der stetigen Funktionen $G\rightarrow A$ mit kompaktem Träger für $x,y\in K(A,G,\alpha )$ und $\beta \in \mathbb {C}$:
* $(\beta x)(t):=\beta x(t)$
* $(x+y)(t):=x(t)+y(t)$
* $(x\star y)(t):=\int _{G}x(s)\alpha _{s}(y(s^{-1}t))\,\mathrm {d} \mu (s)$
* $(x^{*})(t):=\Delta (t)^{-1}\alpha _{t}(x(t^{-1})^{*})$
* $\|x\|_{1}:=\int _{G}\|x(s)\|\,\mathrm {d} \mu (s)$
Dabei ist $t\in G$, $\mu$ ein links-Haarsches Maß auf $G$ und $\Delta$ die modulare Funktion von $G$. Man rechnet nach, dass $K(A,G,\alpha )$ durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von $\alpha$ abhängige Produkt $\star$ nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit $L^{1}(A,G,\alpha )$ bezeichnet wird.
Ist $(\pi ,u)$ eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems $(A,G,\alpha )$ auf einem Hilbertraum $H$, so wird durch
    $(\pi \times u)(x):=\int _{G}\pi (x(t))u_{t}\,\mathrm {d} \mu (t),\quad x\in L^{1}(A,G,\alpha )$
eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von $L^{1}(A,G,\alpha )$ definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von $L^{1}(A,G,\alpha )$ gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen $L^{1}$-Algebra.
Die einhüllende C*-Algebra von $L^{1}(A,G,\alpha )$ wird mit $C^{*}(A,G,\alpha )$ oder $A\ltimes _{\alpha }G$ bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von $A\ltimes _{\alpha }G$ und umgekehrt.
Ist speziell $A=\mathbb {C}$, so operiert jede lokalkompakte Gruppe $G$ trivial auf $\mathbb {C}$, das heißt $\alpha _{s}=\mathrm {id} _{\mathbb {C} }$ für alle $s\in G$, und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra $C^{*}(G)$. Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

## Das reduzierte Kreuzprodukt

Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme $(A,G,\alpha )$ linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von $A$ eine solche.
Ist $\pi \colon A\rightarrow B(H)$ eine Hilbertraum-Darstellung von $A$, so konstruiert man eine kovariante Darstellung $({\tilde {\pi }},\lambda )$ auf dem Hilbertraum $L^{2}(G,H)$ aller messbaren Funktionen $\xi \colon G\rightarrow H$ mit $\textstyle \int _{G}\|\xi (t)\|^{2}\,\mathrm {d} \mu (s)<\infty$ durch folgende Formeln:
* $({\tilde {\pi }}(a)\xi )(t)=\pi (\alpha _{t^{-1}}(a))(\xi (t))$
* $(\lambda _{s}\xi )(t)=\xi (s^{-1}t)$,
wobei $a\in A$, $s,t\in G$ und $\xi \in L^{2}(G,H)$. Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell $\pi _{u}\colon A\rightarrow H_{u}$ die universelle Darstellung von $A$, so heißt der Normabschluss von $({\tilde {\pi _{u}}}\times \lambda )(L^{1}(A,G,\alpha ))$ in $B(L^{2}(G,H_{u}))$ das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit $C_{r}^{*}(A,G,\alpha )$ oder $A\ltimes _{\alpha r}G$ bezeichnet.
Betrachtet man wieder den Spezialfall $A=\mathbb {C}$ mit der trivialen Operation der Gruppe $G$, so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.
Da die kovariante Darstellung $({\tilde {\pi }},\lambda )$ zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes $A\ltimes _{\alpha }G$ führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus $A\ltimes _{\alpha }G\rightarrow A\ltimes _{\alpha r}G$, den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz:
    Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe $G$, so ist die linksreguläre Darstellung $A\ltimes _{\alpha }G\rightarrow A\ltimes _{\alpha r}G$ ein Isomorphismus.
Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall $\mathbb {Z}$) muss man also nicht zwischen $A\ltimes _{\alpha }G$ und $A\ltimes _{\alpha r}G$ unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

## Klassische dynamische Systeme

Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe $\mathbb {Z}$ auf einem kompakten Hausdorffraum $X$. Genauer ist ein Homöomorphismus $\sigma \colon X\rightarrow X$ gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation $\mathbb {Z} \times X\rightarrow X,(n,x)\mapsto \sigma ^{n}(x)$. $\sigma$ definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra $C(X)$ der stetigen Funktionen $X\rightarrow \mathbb {C}$, der $f\in C(X)$ auf $f\circ \sigma ^{-1}$ abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System $(C(X),\mathbb {Z} ,\alpha )$ vor, wobei $\alpha _{n}(f)=f\circ \sigma ^{-n}$. Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System $(X,\sigma )$ und der C*-Algebra $C(X)\ltimes _{\alpha }\mathbb {Z}$ aufgestellt werden. Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.