# Kranzprodukt

Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

## Definition

Sind $G$ und $J$ Gruppen und operiert $J$ auf einer Menge $Y$, so wird dadurch eine Operation von $J$ auf $G^{Y}$ (der Gruppe aller Abbildungen von $Y$ nach $G$ mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:
    $\forall j\in J,f\in G^{Y}:(^{j}f)(y)=f(^{j^{-1}}y)$
Jedes $j\in J$ definiert auf diese Weise einen Automorphismus von $G^{Y}$.
Somit kann das Kranzprodukt $G\wr _{Y}J$ als das semidirekte Produkt aus $G^{Y}$ und $J$ bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von $Y$ nach $G$ nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

## Eigenschaften

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: $\left|G\wr _{Y}J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot \left|J\right|$
Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt $G\wr _{J}J$ definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge $\{1,...,n\}$ festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

### Operationen

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von $G\wr _{Y}J$ auf $X\times Y$ induziert:
    $\forall (x,y)\in X\times Y,(f,j)\in G\wr _{Y}J:^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^{j}y)}x,^{j}y)$
Diese Operation ist genau dann treu/transitiv, wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

### Gruppenerweiterungen

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.
Gegeben ist also eine exakte Sequenz
    $1\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota }\ \,H\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi }\ \,Q\longrightarrow 1$
Außerdem sei eine Abbildung $q\colon H\to H$ gegeben, die $\forall g\in H:q(g)\iota (N)=g\iota (N)$ erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten $\forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}$. (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)
Die Einbettung $\phi \colon H\hookrightarrow N\wr _{Q}Q$ (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:
    $\phi (h):=(\sigma _{h},\pi (h))\,$
Hierbei ist $\sigma _{h}\colon Q\to N$ wie folgt definiert:
    $\sigma _{h}(yN):=\iota ^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))$
Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.

## Beispiele

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.
Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch $W_{p,0}:=\{1\}$ und $W_{p,n+1}:=W_{p,n}\wr _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Z} _{p}$, wobei die Operation von $J=\mathbb {Z} _{p}$ auf $Y=\mathbb {Z} _{p}$ durch Linksmultiplikation gegeben ist.
Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe $\sum _{i=0}^{k}{c_{i}p^{i}}$ mit $c_{i}\in \{0,...,p-1\}$, so sind die p-Sylow-Gruppen von $S_{n}$ dann isomorph zu $\prod _{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_{i}}}$

## Zum Symbol

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240, in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.