# Lineare Optimierung (Spieltheorie)

Die lineare Optimierung wird im Rahmen der Spieltheorie zur Ermittlung optimal gemischter Strategien genutzt. Das Verfahren ist insbesondere bei sehr komplizierten Nullsummenspielen anwendbar und garantiert darüber hinaus bei Spielen mit mehr als zwei Personen und einer Vielzahl möglicher Strategien die Ermittlung von Gleichgewichten.

## Vorgehen

Zweipersonenspiele, die eine endliche Spieldauer aufweisen, können nach John von Neumann und Oskar Morgenstern auf folgende Normalform gebracht werden:
| | S$_1$ | S$_2$ | $\ldots$ | S$_{n-1}$ | S$_n$ |
| Z$_1$ | a$_{1,1}$ | a$_{1,2}$ | $\ldots$ | a$_{1,n-1}$ | a$_{1,n}$ |
| Z$_2$ | a$_{2,1}$ | a$_{2,2}$ | $\ldots$ | a$_{2,n-1}$ | a$_{2,n}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| Z$_{m-1}$ | a$_{m-1,1}$ | a$_{m-1,2}$ | $\ldots$ | a$_{m-1,n-1}$ | a$_{m-1,n}$ |
| Z$_m$ | a$_{m,1}$ | a$_{m,2}$ | $\ldots$ | a$_{m,n-1}$ | a$_{m,n}$ |
Die Menge $Z_{1},\ldots ,Z_{m}$ sind die Strategien des Zeilenspielers Z. Die Menge $S_{1},\ldots ,S_{n}$ sind die Strategien des Spaltenspielers S.
Die Auszahlungsmatrix mit den Werten $a_{i,j}(i=1,\ldots ,m;j=1,\ldots ,n)$ beschreibt sämtliche Auszahlungen des Zeilenspielers. Wenn in Nullsummenspielen der Zeilenspieler die reine Strategie 1 wählt und der Spaltenspieler die reine Strategie 1, so bekommt Z die Auszahlung $a_{1,1}$ und S die Auszahlung $-a_{1,1}$.
Nach dem Min-Max-Theorem sollten beide Spieler ihre Strategie so wählen, dass die eigenen maximalen Verluste minimiert werden. Kann mit Hilfe des Min-Max-Kriteriums kein Sattelpunkt und damit keine für jeden Spieler optimale reine Strategie ermittelt werden, empfiehlt es sich, die jeweiligen Strategien zu mischen. Um die eigenen Auszahlungen zu maximieren, muss die Auswahl der Strategien zufällig mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten erfolgen. „Würfelt“ ein Spieler seine Strategie gemäß dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung zufällig aus, ist ihm die bestmögliche Gewinnerwartung sicher, die er haben kann, wenn er seine Strategie unabhängig von der seines Gegners wählt.
Die Wahrscheinlichkeiten, mit der Z die Strategien $Z_{i}(i=1,\ldots ,m)$ wählt, werden im Folgenden mit $p_{i}(p_{i}\geq 0,\sum _{i=1}^{m}p_{i}=1)$ und die Wahrscheinlichkeiten, mit der S die Strategien $S_{j}(j=1,\ldots ,n)$ spielt mit $q_{j}(q_{j}\geq 0,\sum _{j=1}^{n}q_{j}=1)$ bezeichnet. Mit der Verteilung der Wahrscheinlichkeiten $\!\ {p}$ über ${Z_{1},\ldots ,Z_{m}}$ erhält Z seine gemischte Strategie und mit der Verteilung der Wahrscheinlichkeiten $\!\ {q}$ über ${S_{1},\ldots ,S_{n}}$ erhält S seine gemischte Strategie. Der erwartete Gewinn $\!\ {E}$ des Zeilenspielers ergibt sich folgendermaßen:
$\operatorname {E} (p,q)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}p_{i}q_{j}a_{ij}$. Umgekehrt verliert der Spaltenspieler genau diesen Erwartungswert.
Für das weitere Vorgehen ist es notwendig, das Min-Max-Theorem und dessen Idee auf gemischte Strategien auszuweiten. Es gilt, diejenige gemischte Strategie zu spielen, die das Minimum des erwarteten Gewinns maximiert bzw. das Maximum des erwarteten Verlustes minimiert. Anders ausgedrückt, stellen $\!\ {a_{*}}$ die obere Auszahlungsschranke des Zeilenspielers und $\!\ {a^{*}}$ die untere Auszahlungsschranke des Spaltenspielers dar.
$a_{*}={\underset {p}{\mathrm {max} }}\,{\underset {S_{j}}{\mathrm {min} }}\,\operatorname {E} (p,S_{j})$
$a^{*}={\underset {q}{\mathrm {min} }}\,{\underset {Z_{i}}{\mathrm {max} }}\,\operatorname {E} (q,Z_{i})$
Der Maximierungsspieler Z findet seine optimale Strategie $\!\ {p^{0}}$ durch die Lösung des folgenden Problems:
maximiere $\!\ {a_{*}}$
so dass $a_{*}\leq \sum _{i=1}^{m}a_{ij}p_{i}\qquad (j=1,\ldots ,n)$ und
$\sum _{i=1}^{m}p_{i}=1$ und
$\quad p_{i}\geq 0\qquad (i=1,\ldots ,m)$
Der Minimierungsspieler S hat auf der Suche nach der optimalen Strategie $\!\ {q^{0}}$ folgendes Problem zu lösen:
minimiere $\!\ {a^{*}}$
so dass $a^{*}\geq \sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}\qquad (i=1,\ldots ,m)$ und
$\sum _{j=1}^{n}q_{j}=1$ und
$\quad q_{j}\geq 0\qquad (j=1,\ldots ,n)$
Gilt $\!\ {a_{*}}={a^{*}}$, so ergibt sich ein gemischter Wert $\!\ {W}$. Diesen Wert können sich beide Spieler nur aufgrund der Kenntnis der Auszahlungsmatrix durch Wahl der gemischten Minimax-Strategie $\!\ {p^{0}}$ und $\!\ {q^{0}}$ jederzeit garantieren. Es wird vorausgesetzt, dass der Wert des Spiels $\!\ {W}$ größer 0 ist. Dies ist immer dann gesichert, wenn die Auszahlungsmatrix nur positive Elemente enthält. Wenn dies nicht der Fall ist, kann es durch die Addition einer genügend großen einheitlichen Konstante erreicht werden. Nach Beendigung der Rechnung wird diese Konstante wieder abgezogen.
Die Einführung der neuen Variablen $x_{i}={\frac {p_{i}}{a_{*}}}(i=1,\ldots ,m)$ und $y_{j}={\frac {q_{j}}{a^{*}}}(j=1,\ldots ,n)$ führt durch Einsetzen in die oben ermittelten Gleichungen zu den finalen linearen Optimierungsproblemen.
Für den Zeilenspieler ergibt sich folgendes Optimierungsproblem $\!\ {L_{1}}$:
$\!{\frac {1}{a}}_{*}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}$ zu minimieren unter den Nebenbedingungen $\sum _{i=1}^{m}a_{ij}x_{i}\geq 1;\qquad x_{i}\geq 0\qquad (i=1,\ldots ,m;j=1,\ldots ,n)$
Für den Spaltenspieler ergibt sich folgendes Optimierungsproblem $\!\ {L_{2}}$:
$\!{\frac {1}{a}}*=\sum _{j=1}^{n}y_{j}$ zu maximieren unter den Nebenbedingungen $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}y_{j}\leq 1;\qquad y_{j}\geq 0\qquad (i=1,\ldots ,m;j=1,\ldots ,n)$
Die Lösung der Aufgabe erfolgt über das Simplex-Verfahren. Da $L_{1}$ und $L_{2}$ zueinander duale Programme darstellen, reicht es aus, $L_{1}$ oder $L_{2}$ zu lösen, um die Strategien für beide Spieler zu ermitteln. Die Ergebnisse für $x_{i}$ und $y_{j}$ können aus dem entwickelten Simplex-Endtableau abgelesen werden und ermöglichen ohne viel Aufwand die Ermittlung des Spielwertes $W$ und der optimal gemischten Strategien $p^{0}$ und $q^{0}$.

## Beispiel

Das Vorgehen zur Bestimmung der optimal gemischten Strategien soll anhand des Knobelspiels Schere, Stein, Papier verdeutlicht werden. Das Zwei-Personen-Nullsummenspiel weist folgende Auszahlungsmatrix auf:
| | Schere | Stein | Papier |
| Schere | 0 | −1 | 1 |
| Stein | 1 | 0 | −1 |
| Papier | −1 | 1 | 0 |
Für das gegebene Spiel liegt kein Sattelpunkt in reinen Strategien vor. Die Lösung des Problems erfolgt mit Hilfe der linearen Optimierung und der Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Da für das weitere Vorgehen positive Werte der Auszahlungsmatrix vorausgesetzt werden, erfolgt die Addition einer Konstanten. Dies führt nicht zu einer Änderung der optimalen Strategien, sondern nur zu einer Änderung der Erwartungswerte. Nach Lösung des Optimierungsproblems muss diese Konstante wieder abgezogen werden. In dem gewählten Beispiel führt die Addition von 2 zu dem gewünschten Ergebnis.
So entsteht aus der Ausgangsmatrix $A={\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\end{pmatrix}}\ \Rrightarrow \ A^{\prime }={\begin{pmatrix}2&1&3\\3&2&1\\1&3&2\end{pmatrix}}$
Daraus entwickeln sich die folgenden Optimierungsprobleme:
Zeilenspieler:
minimiere ${\frac {1}{a_{*}}}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}\$ so dass
    ${\begin{alignedat}{3}2x_{1}&+&3x_{2}&+&x_{3}\geq 1\\x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}\geq 1\\3x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}\geq 1\end{alignedat}}$
    $x_{i}\geq 0;\ i=1,2,3$
Spaltenspieler:
maximiere ${\frac {1}{a^{*}}}=\sum _{j=1}^{3}y_{j}\$ so dass
    ${\begin{alignedat}{3}2y_{1}&+&y_{2}&+&3y_{3}\leq 1\\3y_{1}&+&2y_{2}&+&y_{3}\leq 1\\y_{1}&+&3y_{2}&+&2y_{3}\leq 1\end{alignedat}}$
    $y_{j}\geq 0;\ j=1,2,3$
Die beiden linearen Programme können mit Hilfe des Simplex-Verfahrens gelöst werden. Für das gewählte Beispiel ergeben sich folgende Werte:
$x_{1}=x_{2}=x_{3}={\frac {1}{6}}\qquad y_{1}=y_{2}=y_{3}={\frac {1}{6}}$
Für ${\frac {1}{a_{*}}}=\sum _{i=1}^{m}x_{i}$ lässt sich der Wert ${\frac {1}{2}}$ ermitteln.
Aufgrund der Beziehungen $x_{i}={\frac {p_{i}}{a_{*}}};\quad y_{j}={\frac {q_{j}}{a^{*}}}$ ergeben sich die optimalen Strategien $\ p^{*}$ und $q^{*}$.
$p_{i}^{*}=2\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}\qquad q_{j}^{*}=2\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$
Die optimale gemischte Strategie des Zeilenspielers lautet: $\ p_{i}^{*}=\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$
Die optimale gemischte Strategie des Spaltenspielers lautet: $\ q_{j}^{*}=\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$
Der Wert des Spiels mit der Auszahlungsmatrix $A^{\prime }$ beträgt $a_{*}=a^{*}=W^{\prime }=2$. Für die Ausgangsmatrix $A$ ergibt sich der Spielwert durch Subtraktion der Konstanten und damit ist $W=W^{\prime }-2=0$.
Gilt für ein Spiel $W=0$, so wird dieses Spiel als fair bezeichnet.
Die ermittelten optimalen Strategien für das Spiel $A^{\prime }$ stellen aufgrund der Äquivalenz gleichzeitig optimale Strategien für das Spiel $A$ dar.
Um den optimalen Gewinn zu erlangen, müssen beide Spieler jede der möglichen Strategien mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,33 % spielen und diese damit zufällig gleich oft anwenden.

## Belege

* ↑ Avinash K. Dixit/Barry J. Nalebuff: Spieltheorie für Einsteiger. Strategisches Know-how für Gewinner. Schaeffer-Poeschel Verlag, Stuttgart, 1997, S. 175.
* ↑ John von Neumann/Oskar Morgenstern: Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten, Physica-Verlag, Würzburg, 1967, S. 93.
* ↑ Hans-Jürgen Zimmermann: Operations Research, Vieweg+Teubner Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2005, S. 38.
* ↑ Frederick S. Hillier/Gerald J. Liebermann: Operations Research, Oldenbourg, 1996, S. 360.
* ↑ Hans-Jürgen Zimmermann: Operations Research, Vieweg+Teubner Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2005, S. 37.
* ↑ Karl Manteuffel/Dieter Stumpe: Spieltheorie, Vieweg+Teubner Verlag, Leipzig, 1997, S. 32.