# Projektiver Kegelschnitt

Ein nicht ausgearteter (n.a.) projektiver Kegelschnitt ist eine Kurve in einer pappusschen projektiven Ebene, die bei geeigneter Wahl einer Ferngerade $g_{\infty }$ affin als Hyperbel $y={\tfrac {1}{x}}$ (s. Bild: c2) oder Parabel $y=x^{2}$ (Bild: c1) beschrieben werden kann. Die Gleichung $x^{2}+y^{2}=1$ beschreibt nicht immer einen n.a. Kegelschnitt.
Geometrisch kann man sich einen n.a. projektiven Kegelschnitt $k$ kreisähnlich vorstellen mit den wesentlichen Eigenschaften: 1) eine Gerade trifft $k$ in 0, 1 oder 2 Punkten, 2) in jedem Punkt $P$ von $k$ gibt es genau eine Tangente $t_{P}$, d. h. $|t_{P}\cap k|=1$. Diese beiden Eigenschaften bestimmen allerdings noch nicht einen n.a. Kegelschnitt. Zusätzlich zu den geometrischen Eigenschaften 1), 2) besitzt ein n.a. Kegelschnitt viele Symmetrien (s. u.).
Der Vorteil eines projektiven n.a. Kegelschnitts ist die Tatsache, dass alle n.a. projektiven Kegelschnitte zur Kurve mit der Gleichung $x_{1}x_{2}=x_{3}^{2}$ projektiv äquivalent sind. Affin sind die affinen Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel nicht äquivalent: Eine Parabel lässt sich mit einer affinen Abbildung nicht in eine Ellipse oder Hyperbel überführen.

## Projektive Ebene über einem Körper K

Die projektive Erweiterung der affinen Ebene über einem Körper K liefert das anschauliche inhomogene Modell der projektiven Ebene über K. Dabei wird jeder Gerade $y=mx+d$ bzw. $x=c$ ein Punkt, der allen dazu parallelen Geraden auch angehört, hinzugefügt. Die neuen Punkte nennt man Fernpunkte und die Menge der neuen Punkte Ferngerade. In der projektiven Erweiterung gibt es die Parallelrelation zwischen Geraden nicht mehr. Die Geometrie ist „einfacher“ geworden: 1) Zu je zwei Punkten gibt es genau eine Verbindungsgerade. 2) Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Die zunächst inhomogene Beschreibung (d. h. die Ferngerade scheint eine Sonderrolle zu spielen) wird durch das homogene Modell beseitigt: Ein Punkt ist eine Ursprungsgerade, eine Gerade eine Ursprungsebene im $K^{3}$. Der Vorteil des homogenen Modells ist: Die wichtigsten Kollineationen werden durch lineare Abbildungen induziert.
Definition: Es sei K ein Körper und
$P_{1}:=K^{2}\cup K\cup \{\infty \},\ \infty \notin K,$ die Menge der Punkte $G_{1}:=\ \{\{(x,y)\in K^{2}\ |\ {\color {red}y=mx+d}\}\cup \{(m)\}\ |\ m,d\in K\}$
       $\cup \ \{\{(x,y)\in K^{2}\ |\ {\color {red}x=c}\}\cup \{(\infty )\}\ |\ c\in K\}\$
       $\cup \ \{\{(m)\ |\ m\in K\}\cup \{(\infty )\}\}$ die Menge der Geraden,
${\color {red}g_{\infty }}:=\{(m)\ |\ m\in K\}\cup \{(\infty )\}$ die Ferngerade, ihre Punkte sind die Fernpunkte.
${\mathfrak {P}}_{1}(K):=(P_{1},G_{1},\in )$ heißt inhomogenes Modell der projektiven Ebene über dem Körper K.
Definition: Es sei $K$ ein Körper, $V$ der Vektorraum $K^{3}$ und ${\vec {0}}:=(0,0,0)^{\top }$, $P_{2}:=\{{\text{1-dim. Unterräume von V}}\}=\{<{\vec {x}}>\ |\ {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V\}$,
wobei $<{\vec {x}}>$ der von ${\vec {x}}$ aufgespannte Unterraum ist.
$G_{2}:=\{{\text{2-dim. Unterräume von V}}\}$
       $=\{\{<(x_{1},x_{2},x_{3})^{\top }>\ \in P_{2}\ |\ {\color {blue}ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=0}\}\ |\ {\vec {0}}\neq (a,b,c)^{\top }\in K^{3}\}$.
${\mathfrak {P}}_{2}(K):=(P_{2},G_{2},\in )$ heißt homogenes Modell der projektiven Ebene über $K$.
Satz: ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ und ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ sind isomorphe projektive Ebenen.
Die folgende Abbildung $\phi$ bildet ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ auf ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ ab. Die projektive Gerade mit der Gleichung ${\color {blue}x_{3}=0}$ wird dabei auf ${\color {red}g_{\infty }}$ abgebildet:
$<(x_{1},x_{2},x_{3})^{\top }>\ \rightarrow ({\frac {x_{1}}{x_{3}}},{\frac {x_{2}}{x_{3}}})=(x,y)$, falls $x_{3}\neq 0\ ,$
$<(x_{1},x_{2},0)^{\top }>\ \rightarrow ({\frac {x_{2}}{x_{1}}})=(m)$, falls $x_{1}\neq 0,\ \ <(0,x_{2},0)^{\top }>\ \rightarrow (\infty )$, falls $x_{2}\neq 0$.
Die Umkehrabbildung ist:
$(x,y)\rightarrow \ <(x,y,1)^{\top }>,\ \ (m)\rightarrow \ <(1,m,0)^{\top }>,\ \ (\infty )\rightarrow \ <(0,1,0)^{\top }>\ .$
Definition:
* Permutationen der Punktmenge $P_{i}$, die Geraden auf Geraden abbilden, heißen Kollineationen.
* Kollineationen von ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$, die von linearen Abbildungen induziert werden, heißen projektiv.
Bemerkung: In den projektiven Ebenen ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ und ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ gilt der Satz von Pappos. Sie heißen deswegen pappussch.

## Definition eines nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitts

Es werden zunächst die Kurven $k_{1},k_{2}$ als Quadriken in ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ (homogene Koordinaten) definiert. Die im vorigen Abschnitt erklärte Zuordnung $\phi$ zwischen dem homogenen Modell ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ und dem inhomogenen Modell ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ liefert schließlich anschaulichere inhomogene Beschreibungen von $k_{1},k_{2}$.
Definition: Es sei $K$ ein Körper. In ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$ sei
$k_{1}:=\{<(x_{1},x_{2},x_{3})^{\top }>\ |\ {\color {blue}x_{1}x_{2}=x_{3}^{2}}\}$.
In ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ ist $k_{1}$: $\{(x,y)\ |\ {\color {red}y={\frac {1}{x}}},x\neq 0\}\cup \{(0),(\infty )\}$.
Jedes Bild von $k_{1}$ unter einer Kollineation von ${\mathfrak {P}}_{i}(K)$ heißt nicht ausgearteter projektiver Kegelschnitt. (Ausgeartete Kegelschnitte sind: die leere Menge, 1 Punkt, 1 Gerade oder 2 Geraden.)
Definition: $k_{2}:=\{<(x_{1},x_{2},x_{3})^{\top }>\ |\ {\color {blue}x_{2}x_{3}=x_{1}^{2}}\}$.
In ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ ist $k_{2}$: $\{(x,y)\ |\ {\color {red}y=x^{2}}\}\cup \{(\infty )\}$.
Bemerkung: Die Gleichungen $x_{1}x_{2}=x_{3}^{2},\ x_{2}x_{3}=x_{1}^{2}$ beschreiben im $K^{3}$ Kegel mit Spitzen im Nullpunkt (s. Bilder). $k_{1}$ enthält die $x_{1}$- und $x_{2}$-Achsen, $k_{2}$ enthält die $x_{2}$- und $x_{3}$-Achsen.
Lemma: Die n. a. Kegelschnitte in ${\mathfrak {P}}_{i}(K)$ sind projektiv äquivalent zu $k_{1}$ (oder $k_{2}$). (D. h., sie sind durch eine projektive Kollineation ineinander überführbar.)
Bemerkung: Die lineare Abbildung $(x_{1},x_{2},x_{3})^{\top }\rightarrow (x_{2},x_{3},x_{1})^{\top }$ induziert eine projektive Kollineation, die $k_{1}$ auf $k_{2}$ abbildet. Im inhomogenen Modell wird diese Kollineation durch $(x,y)\rightarrow \left({\frac {1}{y}},{\frac {x}{y}}\right)$ beschrieben.
Bemerkung:
* Der „Einheitskreis“ $\color {red}x^{2}+y^{2}=1$ ist im Fall $CharK=2$ (d. h. 1+1=0) kein n. a. Kegelschnitt, da in diesem Fall die Gleichung $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}=1$ eine Gerade beschreibt.
* Im Fall $CharK\neq 2$ lässt sich die Gleichung $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{3}^{2}$ durch eine geeignete Koordinatentransformation in die Gleichung $x_{1}x_{2}=x_{3}^{2}$ überführen, d. h. der Einheitskreis ist nur im Fall $CharK\neq 2$ ein n. a. Kegelschnitt.
* Im Fall $K=\mathbb {C}$ schneidet der Einheitskreis die Ferngerade in zwei Punkten und ist im affinen Teil mit einer Hyperbel zu vergleichen.

## Eigenschaften eines n.a. projektiven Kegelschnitts

Satz:
* Ein n.a. Kegelschnitt $k$
** wird von einer Gerade $g$ in höchstens 2 Punkten geschnitten. Im Fall $|g\cap k|=0$ heißt $g$ Passante, im Fall $|g\cap k|=1$ Tangente und im Fall $|g\cap k|=2$ Sekante.
** hat in jedem Punkt genau eine Tangente.
* Ein n.a. Kegelschnitt $k$ ist symmetrisch zu jedem Punkt $P\notin k$, durch den eine Sekante geht, d. h. es gibt eine involutorische Zentralkollineation $\sigma _{P}$ mit Zentrum $P$, die $k$ invariant lässt.
* Falls $|K|=n<\infty$ ist, besitzt ein n.a. Kegelschnitt $n+1$ Punkte.
* Es gelten die Pascalschen Sätze.
Beispiele von Symmetrien im Fall $CharK\neq 2$:
* $(x,y)\leftrightarrow (-x+b,y-2bx+b^{2}),\quad (m)\leftrightarrow (2b-m),\quad (\infty )\leftrightarrow (\infty )$ ist für jedes $b\in K$ eine Schrägspiegelung an der Gerade $x={\tfrac {b}{2}}$, die $k_{2}$ als Ganzes festlässt. $({\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b^{2}}{4}}),(\infty )$ sind Fixpunkte auf $k_{2}$. Im Fall $b=0$ ist die Schrägspiegelung die normale Spiegelung an der y-Achse.
* Die Involution $(x,y)\leftrightarrow (\textstyle {\frac {x}{y}},{\tfrac {1}{y}}),y\neq 0,\quad (x,0),\ x\neq 0\leftrightarrow ({\tfrac {1}{x}}),\quad (0,0)\leftrightarrow (\infty )$ ist die „Spiegelung“ (involutorische Zentralkollineation) mit der Achse $y=1$ und Zentrum $(0,-1)$. Sie lässt $k_{2}$ als Ganzes fest. $(1,1),(-1,1)$ sind Fixpunkte auf $k_{2}$.
Beispiele von Symmetrien im Fall $CharK=2$:
* $(x,y)\leftrightarrow (x+b,y+b^{2}),\quad (m)\leftrightarrow (m),\quad (\infty )\leftrightarrow (\infty )$ ist für jedes $b\in K$ eine involutorische Zentralkollineation mit Zentrum $(b)$ auf der Achse $g_{\infty }$, die $k_{2}$ als Ganzes festlässt. $(\infty )$ ist der einzige Fixpunkt auf $k_{2}$. (Auf $K^{2}$ wirkt diese Abbildung als Translation in Richtung $(b)$.)
* Die Involution $(x,y)\leftrightarrow (\textstyle {\frac {x}{y}},{\tfrac {1}{y}}),y\neq 0,\quad (x,0),\ x\neq 0\leftrightarrow ({\tfrac {1}{x}}),\quad (0,0)\leftrightarrow (\infty )$ ist die involutorische Zentralkollineation mit Zentrum $(0,1)$ auf der Achse $y=1$. Sie lässt $k_{2}$ als Ganzes fest. $(1,1)$ ist der einzige Fixpunkt auf $k_{2}$.
Bemerkung:
* Die Tangente im Punkt $<(a,b,c)>$ des Kegelschnitts $k_{1}:x_{1}x_{2}=x_{3}^{2}$ hat die Gleichung $ax_{2}+bx_{1}-2cx_{3}=0$. Im Fall $CharK=2$ vereinfacht sich die Gleichung zu $ax_{2}+bx_{1}=0$, d. h. alle Tangenten gehen durch den Punkt $N:<(0,0,1)>$. $N$ heißt der Knoten von $k_{1}$.
* Im inhomogenen Modell hat $k_{1}:y={\tfrac {1}{x}}$ im Punkt $(x_{0},y_{0})$ die Tangente $y=-{\tfrac {1}{x_{0}^{2}}}x+{\tfrac {2}{x_{0}}}$. Die Tangenten in den Fernpunkten $(0),(\infty )$ sind die Koordinatenachsen. Im Fall $CharK=2$ vereinfacht sich die Gleichung zu $y={\tfrac {1}{x_{0}^{2}}}x$, d. h. alle Tangenten gehen durch den Punkt $(0,0)$.
* Im inhomogenen Modell hat $k_{2}:y=x^{2}$ im Punkt $(x_{0},y_{0})$ die Tangente $y=2x_{0}x-x_{0}^{2}$. Die Tangente im Fernpunkt$(\infty )$ ist die Ferngerade. Im Fall $CharK=2$ vereinfacht sich die Gleichung zu $y=x_{0}^{2}$, d. h. alle Tangenten gehen durch den Punkt $(0)$ (Fernpunkt der x-Achse).
Bemerkung: Eine Punktmenge ${\mathfrak {o}}$ mit den Eigenschaften
* ${\mathfrak {o}}$ wird von einer Garade in höchstens 2 Punkten geschnitten.
* ${\mathfrak {o}}$ hat in jedem Punkt genau eine Tangente (Gerade die mit ${\mathfrak {o}}$ nur einen Punkt gemeinsam hat).
heißt Oval. Jeder n.a. Kegelschnitt ist ein Oval, aber nicht umgekehrt. Es gibt im reellen Fall viele Ovale, die keine Kegelschnitte sind: z. B. die Kurve $x^{4}+y^{4}=1$ oder beim Kegelschnitt $k_{2}$ ersetzt man die Parabel durch die Kurve $y=x^{4}$ oder man setzt zwei Ellipsenhälften von verschiedenen Ellipsen glatt zusammen. Erst viele Symmetrien machen aus einem Oval einen Kegelschnitt.

## Steiner-Erzeugung der Kegelschnitte k$_1$, k$_2$

Ein n.a. projektiver Kegelschnitt kann auch nach Steiner folgendermaßen erzeugt werden (s. Satz von Steiner):
* Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten $U,V$ (alle Geraden durch den Punkt $U$ bzw. $V$) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitt.
Erzeugung von $k_{2}$:
Um den projektiven Kegelschnitt $k_{2}$ (Parabel) zu erzeugen, geben wir im inhomogenen Modell ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ der projektiven Ebene die 3 Punkte $(0,0),(x_{0},x_{0}^{2}),(\infty )$, die x-Achse als Tangente im Punkt $(0,0)$ und die Ferngerade $g_{\infty }$ als Tangente im Punkt $(\infty )$ vor (s. Bild). Als Geradenbüschel verwenden wir die Büschel in $(0,0)$ und $(\infty )$. Mit Hilfe der beiden Geraden $a:y=x_{0}^{2}$ und $b:x=x_{0}$ als Achsen für Perspektivitäten $\pi _{a},\ \pi _{b}$ (s. Satz von Steiner) bilden wir zunächst das Geradenbüschel in $(0,0)$ mit $\pi _{b}$ auf das Büschel im Fernpunkt $(-x_{0})$ (Parallelen zur Gerade $AB$) und anschließend mit $\pi _{a}$ auf das Büschel in $(\infty )$ (Parallelen zur y-Achse) ab. Dabei wird die Gerade $g:y=mx,m\in K,\$ zunächst mit der Gerade $b:x=x_{0}$ geschnitten. Der Schnittpunkt ist $(x_{0},mx_{0})$. Die Parallele zu $AB$ durch diesen Punkt ist $y=-x_{0}(x-x_{0})+mx_{0}=-x_{0}x+x_{0}^{2}+mx_{0}$. Der Schnittpunkt mit $a:y=x_{0}^{2}$ ist $(m,x_{0}^{2})$. Hieraus ergibt sich $G=\pi _{a}\pi _{b}(g)\cap g=(m,m^{2})$. Durchläuft $m$ alle Zahlen $K$ so erhält man alle Punkte der Parabel $y=x^{2}$.
Bemerkung: Die x-Achse wird bei der projektiven Abbildung $\pi _{a}\pi _{b}$ auf die y-Achse und die y-Achse auf die Ferngerade abgebildet.
Bemerkung: Die Steiner-Erzeugung von $k_{2}$ liefert eine einfache Methode, viele Punkte einer Parabel zu erzeugen. Siehe: Parabel.
Erzeugung von $k_{1}$:
Um den projektiven Kegelschnitt $k_{1}$ (Hyperbel) zu erzeugen, geben wir im inhomogenen Modell ${\mathfrak {P}}_{1}(K)$ der projektiven Ebene die 3 Punkte $(0),(\infty ),(x_{0},{\tfrac {1}{x_{0}}})$, die x-Achse als Tangente im Punkt $(0)$ und die y-Achse als Tangente im Punkt $(\infty )$ vor. Als Geradenbüschel verwenden wir die Büschel in $(0)$ und $(\infty )$. $\pi _{b}$ bildet zunächst das Büschel in $(\infty )$ auf das Hilfsbüschel im Punkt $(0,0)$ ab. Aufgrund der Symmetrie ist dieser Fall rechnerisch leichter zu erfassen. Man rechnet leicht nach, dass die Gerade $g:x=c,c\neq 0$ durch die projektive Abbildung $\pi _{a}\pi _{b}$ auf die Gerade $y={\tfrac {1}{c}}$ abgebildet wird (s. Bild).
Bemerkung:
* Die y-Achse wird bei der projektiven Abbildung $\pi _{a}\pi _{b}$ auf $g_{\infty }$ und $g_{\infty }$ auf die x-Achse abgebildet.
* Die Abbildung zeigt auch den Zusammenhang der Steiner-Erzeugung mit einer affinen Version der 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.
Bemerkung: Eine Erzeugung der Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ findet man hier.

## Polarität und v. Staudt-Kegelschnitt

Ein n.a. projektiver Kegelschnitt kann im Fall $Char\neq 2$ auch nach Karl von Staudt als die Menge der selbstpolaren Punkte einer hyperbolischen projektiven Polarität aufgefasst werden.
Für einen Vektorraum $V(K)$ über einem Körper $K$ sei $\rho$ eine Abbildung von $V(K)$ in $K$ mit den folgenden Eigenschaften
    (Q1) $\rho (x{\vec {x}})=x^{2}\rho ({\vec {x}})$ für jedes $x\in K$ und ${\vec {x}}\in V(K)$.
    (Q2) $f({\vec {x}},{\vec {y}}):=\rho ({\vec {x}}+{\vec {y}})-\rho ({\vec {x}})-\rho ({\vec {y}})$ ist eine Bilinearform.
$\rho$ heißt quadratische Form. (Die Bilinearform $f$ ist sogar symmetrisch, d. h. $f({\vec {x}},{\vec {y}})=f({\vec {y}},{\vec {x}})$. )
Im Fall $charK\neq 2$ gilt $f({\vec {x}},{\vec {x}})=2\rho ({\vec {x}})$, d. h. $f$ und $\rho$ bestimmen sich gegenseitig in eindeutiger Weise. Im Fall $charK=2$ ist $f({\vec {x}},{\vec {x}})=0$.
Im Folgenden sei $V(K)=K^{3},\ \rho ({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},$. Dann ist $\ f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}$.
Für einen Punkt $P=<{\vec {p}}>$ ist
    $P^{\perp }:=\{<{\vec {x}}>\in {\mathcal {P}}\ |\ f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}$ eine Gerade und heißt die Polare von $P$. $P$ heißt der Pol von $P^{\perp }$
Die Zuordnung $P\leftrightarrow P^{\perp }$ ist eine projektive hyperbolische Polarität. Hyperbolisch bedeutet, dass es Punkte gibt, die auf ihren Polaren liegen. Solche Punkte heißen selbstpolar. (Falls eine Polarität keine selbstpolaren Punkte besitzt, heißt die Polarität elliptisch.)
Eigenschaften der Polarität:
* Die Polare eines Kegelschnittpunktes ist die Tangente in diesem Punkt.
* $A\in P^{\perp }\rightarrow P\in A^{\perp }$ (s. Bild),
* $P^{\perp \perp }=P$.
Startet man nun umgekehrt mit einer projektiven hyperbolischen Polarität $\pi$ in der projektiven Ebene ${\mathfrak {P}}_{2}(K)$, so wird diese durch eine reguläre symmetrische Bilinearform $f$ auf $K^{3}$ beschrieben. Im Fall $CharK\neq 2$ ist dann $\rho ({\vec {x}})=f({\vec {x}},{\vec {x}})$ eine quadratische Form, die einen nicht ausgearteten Kegelschnitt $k$ beschreibt. Ein so definierter Kegelschnitt heißt v. Staudt-Kegelschnitt.
Bemerkung: Die lineare Abbildung ${\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}$ induziert die involutorische Zentralkollineation $\sigma _{P}$ mit Achse $P^{\perp }$ und Zentrum $P=<{\vec {p}}>$, die $k$ invariant lässt (s. Abschnitt „Eigenschaften eines n.a. Kegelschnitts“).
Bemerkung: Polaritäten gibt es auch für die affinen Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel.