# Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich $X$ und $Y$ topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge $C(X,Y)$ aller stetigen Funktionen $X\to Y$ wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.
Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.

## Definition

Seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Ist $K\subset X$ kompakt und $U\subset Y$ offen, so sei $\Omega (K,U):=\{f\in C(X,Y):\,f(K)\subset U\}$.
Die Kompakt-Offen-Topologie auf $C(X,Y)$ ist die von allen Mengen der Form $\Omega (K,U)$, $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen $\Omega (K,U)$.
Die Mengen $\Omega (K,U)$, $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit $co$ abgekürzt (engl. compact-open), $C_{co}(X,Y)$ bezeichnet dann den Raum $C(X,Y)$, der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

## Eigenschaften

Im Folgenden seien $X$ und $Y$ topologische Räume.

### Trennungsaxiome

Ist Y T$_0$-Raum, T$_1$-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt $C_{co}(X,Y)$ demselben Trennungsaxiom.

### Die Auswertungsabbildung

Für jede Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ hat man die Auswertungsabbildung $j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$. Ist $\tau$ irgendeine Topologie auf $H$, so dass $j_{H}$ stetig ist ($H\times X$ trägt dabei die Produkttopologie aus $\tau$ und der auf $X$ gegebenen Topologie), so ist $co|_{H}\subset \tau$, d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf $H$ ist gröber als $\tau$. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung $j_{H}$ stetig, wenn man $H$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:
Ist $X$ lokalkompakt und $Y$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung $j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$ stetig macht.

### Komposition

Seien $X$ und $Y$ lokalkompakt, $Z$ sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung
$C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z)\rightarrow C_{co}(X,Z),\,\,(f,g)\mapsto g\circ f$
stetig.

### Kompakte Konvergenz

Sei $X$ lokalkompakt, $Y$ uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf $C(X,Y)$ mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

## Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt $p\in X$. Mit $\pi _{1}(X,p)$ werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt $p$ bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen $\pi _{n}(X,p)$ betrachte man den Raum $\Omega _{X,p}$ aller stetigen Abbildungen $g:([0,1],\partial [0,1])\to (X,p)$ des Einheitsintervalls $[0,1]$ nach $X$, die den Rand $\partial [0,1]$ des Einheitsintervalls auf den Basispunkt $p$ abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus $\Omega _{X,p}$, die das Einheitsintervall auf den Punkt $p$ abbildet, mit ${\tilde {p}}$ und versieht man $\Omega _{X,p}$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von $C([0,1],X)$, so ist das Paar $(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.
Man definiert nun $\pi _{2}(X,p):=\pi _{1}(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})$ und allgemeiner rekursiv $\pi _{n}(X,p):=\pi _{n-1}(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})$ für $n>1$.