# Gauß-Test

Der Gauß-Test oder Z-Test ist in der mathematischen Statistik eine Gruppe von Hypothesentests mit standardnormalverteilter Testprüfgröße unter der Nullhypothese. Der Test ist benannt nach Carl Friedrich Gauß.
Mit dem Gauß-Test werden anhand von Stichproben-Mittelwerten Hypothesen über die Erwartungswerte derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben stammen.
Der Gauß-Test folgt einer ähnlichen Methode wie der t-Test. Der wichtigste Unterschied liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung dieser Tests: Während der t-Test mit den empirischen Standardabweichungen der Stichproben arbeitet, müssen für den Gauß-Test die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten bekannt sein. Des Weiteren verwendet der Gauß-Test grundsätzlich die Standardnormalverteilung als Kennwerteverteilung, während der t-Test auf die t-Verteilung zurückgreift. Somit ist der Gauß-Test für kleine Stichproben nur bedingt geeignet.

## Mathematische Grundlagen

Sind $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert $\mu _{X}$ und Standardabweichung $\sigma _{X}$, so ist ihr arithmetisches Mittel
    ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
normalverteilt mit Erwartungswert $\mu _{X}$ und Standardabweichung $\sigma _{X}/{\sqrt {n}}$.
Die Stichprobenfunktion
    $Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}$
ist dann unter der Nullhypothese $\mu _{X}=\mu _{0}$ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet. Sie heißt auch Gauß-Statistik.
Die Teststatistik kann geschrieben werden als:
    $Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}+{\frac {\mu _{X}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}=X+{\frac {\mu _{X}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}$,
also wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $X$ plus eine Zahl, die auf standardisierte Weise die Distanz zwischen dem wirklichen und dem unterstellten Erwartungswert zeigt.
Liegen außerdem unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen $Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{m}$ mit Erwartungswert $\mu _{Y}$, Standardabweichung $\sigma _{Y}$ und arithmetischem Mittel
    ${\bar {Y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}Y_{i}$
vor, die zusätzlich unabhängig von der $X$-Stichprobe sind, so ist ${\bar {X}}-{\bar {Y}}$ normalverteilt mit Erwartungswert $\mu _{X}-\mu _{Y}$ und Standardabweichung ${\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}$.
Die Stichprobenfunktion
    $Z={\frac {({\bar {X}}-{\bar {Y}})-\delta }{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}$
ist dann unter der Nullhypothese $\mu _{X}-\mu _{Y}=\delta$ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

## Einstichproben-Gauß-Test
### Anwendung

Der Einstichproben-Gauß-Test prüft anhand des arithmetischen Mittels einer Stichprobe, ob der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.
Die Stichprobe $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ bestehe aus den Ausprägungen unabhängiger Zufallsvariablen und entstamme einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert $\mu$ und bekannter Standardabweichung $\sigma$.
Es werden getestet bei einem
* zweiseitigen Test: $H_{0}\colon \mu =\mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}$
* rechtsseitigen Test: $H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu >\mu _{0}$
* linksseitigen Test: $H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu <\mu _{0}$
Der Wert von $\mu _{0}$ wird vom Anwender vorgegeben.

### Berechnung der Testprüfgröße

Mit dem Stichprobenmittelwert ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ berechnet man die Testprüfgröße $z={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{\sigma }}$.

## Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben
### Anwendung

Der Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben prüft anhand der arithmetischen Mittel der Stichproben, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.
Die unabhängigen Stichproben $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ und $y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}$ sollen auch untereinander unabhängig sein und normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten Erwartungswerten $\mu _{X}$ bzw. $\mu _{Y}$ und bekannten Standardabweichungen $\sigma _{X}$ bzw. $\sigma _{Y}$ entstammen.
Es werden getestet bei einem
* zweiseitigen Test: $H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}=\mu _{0}\!\,$ gegen $H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\neq \mu _{0}$
* rechtsseitigen Test: $H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\leq \mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}>\mu _{0}$
* linksseitigen Test: $H_{0}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}\geq \mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu _{X}-\mu _{Y}<\mu _{0}$
Der Wert von $\mu _{0}$ wird vom Anwender vorgegeben.

### Berechnung der Testprüfgröße

Mit den Stichprobenmittelwerten ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ und ${\bar {y}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}y_{i}$ berechnet man die Testprüfgröße $z={\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}-\mu _{0}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}+{\frac {\sigma _{Y}^{2}}{m}}}}}$.

## Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige (verbundene) Stichproben
### Anwendung

Für den Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben müssen Paare $(x_{i},y_{i})$ von Messwerten vorliegen, wie man sie z. B. bei Vorher-Nachher-Messungen vorfindet. Mittels der Paardifferenzen wird geprüft, ob für diese Differenzen der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.
Die Differenzen $d_{i}=x_{i}-y_{i}$ sollen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert $\mu$ und bekannter Standardabweichung $\sigma$ entstammen.
Es werden getestet bei einem
* zweiseitigen Test: $H_{0}\colon \mu =\mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}$
* rechtsseitigen Test: $H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu >\mu _{0}$
* linksseitigen Test: $H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}$ gegen $H_{1}\colon \mu <\mu _{0}$
$\mu _{0}$ wird vom Anwender vorgegeben. In den meisten Anwendungsfällen wird auf „Ungleichheit“ ($H_{1}$) getestet; dann ist $\mu _{0}=0$.

### Berechnung der Testprüfgröße

Die Differenzen $d_{i}$ bilden eine neue Stichprobe mit arithmetischem Mittel ${\bar {d}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}$. Also kann man den Einstichproben-Gauß-Test auf die Stichprobe der Differenzen anwenden und erhält als Testprüfgröße $z={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {d}}-\mu _{0}}{\sigma }}$.

## Entscheidung über die Hypothesen

Bei allen drei Gauß-Tests werden für die Entscheidung über die Annahme bzw. Verwerfung der Hypothesen die allgemeinen Kriterien für Hypothesentests angewendet. Da $Z$ unter der Nullhypothese eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, erhält man die folgenden Regeln.
| | zweiseitiger Test | rechtsseitiger Test | linksseitiger Test |
| Hypothesen | $H_{0}\colon \mu =\mu _{0}$ | $H_{0}\colon \mu \leq \mu _{0}$ | $H_{0}\colon \mu \geq \mu _{0}$ |
| Hypothesen | $H_{1}\colon \mu \neq \mu _{0}$ | $H_{1}\colon \mu >\mu _{0}$ | $H_{1}\colon \mu <\mu _{0}$ |
| Stichprobenfunktion | $Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}$ | $Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}$ | $Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma _{X}}}{\sqrt {n}}$ |
| Bedingung für Ablehnung von $H_{0}$ und Annahme von $H_{1}$ | $|Z|>Z_{1-{\tfrac {\alpha }{2}}}$ | $Z>Z_{1-\alpha }$ | $Z<-Z_{1-\alpha }$ |

## Gauß-Test für nicht-normalverteilte Zufallsvariablen

Für große Stichprobenumfänge (> 30 als Faustregel) kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Wenn also die für den Gauß-Test geltenden Forderungen an die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen erfüllt sind, geht man davon aus, dass die für die Berechnung von z erforderlichen Summen approximativ normalverteilt sind und der Gauß-Test in guter Näherung korrekte Ergebnisse liefert.

## Beispiel

Ein bestimmter Blutparameter B ist in der Bevölkerung in sehr guter Näherung normalverteilt mit $\sigma =2$. Von einer Gruppe chemisch verwandter Pharmaka ist bekannt, dass sie die Verteilung des Blutparameters verschieben können, d. h. sie verändern möglicherweise den Erwartungswert (unter Beibehaltung der Verteilungsform).
Für ein Pharmakon P aus dieser Gruppe soll geprüft werden, ob sich eine solche Veränderung tatsächlich einstellt. Zufällige unabhängige Stichproben des Umfangs n=22 ergeben die folgenden Messwerte für B:
Mit diesen Messwerten sollen verschiedene Hypothesen geprüft werden. Das Signifikanzniveau $\alpha$ soll jeweils 0,05 betragen; die zugehörigen u-Werte sind dann (im Folgenden alle Werte gerundet):
* $u(1-\alpha /2)=u(0{,}975)=1{,}960$
* $u(1-\alpha )=u(0{,}95)=1{,}645$
* $u(\alpha )=u(0{,}05)=-1{,}645$
Für die Mittelwerte berechnet man ${\bar {x}}=13{,}32$ und ${\bar {y}}=15{,}36$.
* 1. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Verabreichung von P im Mittel oberhalb von 15.
    Verfahren: rechtsseitiger Einstichproben-Gauß-Test
    $H_{0}:\mu \leq \mu _{0}=15$ und $H_{1}:\mu >15\!\,$
    $z={\sqrt {22}}\cdot {\frac {15{,}36-15}{2}}=0{,}84<1{,}645$
    Entscheidung: H$_0$ wird beibehalten. Es ließ sich nicht nachweisen, dass die Gabe von P zu einem durchschnittlichen B-Wert oberhalb 15 führt.
* 2. Hypothese: Die Werte von B unterscheiden sich im Mittel in den beiden Grundgesamtheiten ohne bzw. mit Gabe von P.
    Verfahren: zweiseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben
    $H_{0}:\mu _{x}-\mu _{y}=\mu _{0}=0\!\,$ und $H_{1}:\mu _{x}\neq \mu _{y}$
    $|z|={\sqrt {22}}\cdot {\frac {|13{,}32-15{,}36|}{2\cdot {\sqrt {2}}}}=3{,}38>1{,}960$
    Entscheidung: H$_0$ wird zugunsten von H$_1$ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass sich bzgl. der Gabe bzw. Nicht-Gabe von P die B-Werte im Mittel unterscheiden.
Nun soll ein Versuch mit abhängigen Stichproben betrachtet werden. Bei umfangreichen Vorher-Nachher-Untersuchungen wurde für die Veränderung der B-Werte durch die Gabe der betroffenen Pharmaka ebenfalls eine Normalverteilung gefunden, mit $\sigma =1{,}6$. In der Tabelle der Messwerte seien nun die jeweils übereinander stehenden Messwerte in einem Vorher-Nachher-Versuch ermittelt worden.
* 3. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der Werte vor Gabe von P.
    Verfahren: linksseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben
    $H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=-1{,}25$ und $H_{1}:\mu <-1{,}25\!\,$
    ${\bar {d}}={\bar {x}}-{\bar {y}}=-2{,}045$
    $z={\sqrt {22}}\cdot {\frac {-2{,}045+1,25}{1{,}6}}=-2{,}33<-1{,}645$
    Entscheidung: H$_0$ wird zugunsten von H$_1$ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass bei Vorher-Nachher-Untersuchungen die B-Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der B-Werte vor Gabe von P liegen.