# Cuntz-Algebra

In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren ${\mathcal {O}}_{n}$ (nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.

## Definition

Sei $H$ ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl $n\geq 2$ seien $S_{1},\dots ,S_{n}\in {\mathcal {L}}(H)$ Isometrien auf H, d. h., es gilt $S_{i}^{*}S_{i}=1$ für $1\leq i\leq n$. Zudem sollen sie die Eigenschaft
    $\sum _{i=1}^{n}S_{i}S_{i}^{*}=1$
erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall $n=\infty$ fordert man eine Folge von Isometrien $S_{1},S_{2},S_{3},\dots \quad$ mit der Eigenschaft
    $\sum _{i=1}^{k}S_{i}S_{i}^{*}\leq 1\quad$ für alle $k\in \mathbb {N} .$
Man definiert nun
    ${\mathcal {O}}_{n}=C^{*}(S_{1},\dots ,S_{n})$
als die von $S_{1},\dots ,S_{n}$ erzeugte C*-Unteralgebra in ${\mathcal {L}}(H)$. Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall $n=\infty$ bei.

## Eigenschaften

Die Cuntz-Algebra ${\mathcal {O}}_{n}$ hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.

### Eindeutigkeit

Sind ${\tilde {S}}_{1},\dots ,{\tilde {S}}_{n}\in {\mathcal {L}}(H)$ weitere Isometrien mit $\sum _{i=1}^{n}{\tilde {S}}_{i}{\tilde {S}}_{i}^{*}=1$, so folgt
    $C^{*}(S_{1},\dots ,S_{n})\simeq C^{*}({\tilde {S}}_{1},\dots ,{\tilde {S}}_{n}).$
Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise ${\mathcal {O}}_{n}$, die nicht auf die Erzeuger $S_{1},\dots ,S_{n}$ zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.
Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von ${\mathcal {O}}_{n}$ spielt die C*-Unteralgebra ${\mathcal {F}}^{n}$, die von Elementen der Form $S_{i_{1}}S_{i_{2}}\dots S_{i_{k}}S_{j_{k}}^{*}S_{j_{k-1}}^{*}\dots S_{j_{1}}^{*}$ mit $k\in \mathbb {N} ,1\leq i_{l},j_{l}\leq n$ erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl $n^{\infty }$ isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel $V=S_{1}$ und schreibt $V^{-1}=S_{1}^{*}$, so existieren Abbildungen $F_{i}:{\mathcal {O}}_{n}\to {\mathcal {F}}^{n}$, sodass jedes $A\in {\mathcal {O}}_{n}$ dargestellt werden kann als
    $A=\sum _{i=-\infty }^{-1}V^{i}F_{i}(A)+F_{0}(A)+\sum _{i=1}^{\infty }F_{i}(A)V^{i}$.
Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese $F_{i}(A)$ analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von $S_{1},\dots ,S_{n},S_{1}^{*},\dots ,S_{n}^{*}$ nur eine C*-Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.

### Einfachheit

Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt. ${\mathcal {O}}_{n}$ ist sogar im algebraischen Sinne einfach.
Satz: Sei $0\neq X\in {\mathcal {O}}_{n}$. Dann existieren $A,B\in {\mathcal {O}}_{n}$ mit $AXB=1$.
Außerdem sind Cuntz-Algebren in folgendem Sinne mit einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.
Satz: Sei ${\mathcal {A}}$ eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von ${\mathcal {A}}$, die isomorph zu ${\mathcal {O}}_{\infty }$ ist. Für endliche $n\geq 2$ existiert eine C*-Unteralgebra ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {A}}$, die ein Ideal ${\mathcal {J}}$ enthält, sodass ${\mathcal {O}}_{n}\simeq {\mathcal {B}}/{\mathcal {J}}$.

### Klassifikation

Es sei ${\mathcal {O}}_{2}=C^{*}(S_{1},S_{2})$ wie oben. Definiert man ${\hat {S}}_{1}=S_{1}^{2},{\hat {S}}_{2}=S_{1}S_{2},{\hat {S}}_{3}=S_{2}$, so sind ${\hat {S}}_{1},{\hat {S}}_{2},{\hat {S}}_{3}$ ebenfalls Isometrien mit ${\hat {S}}_{1}{\hat {S}}_{1}^{*}+{\hat {S}}_{2}{\hat {S}}_{2}^{*}+{\hat {S}}_{3}{\hat {S}}_{3}^{*}=1$ und es gilt offensichtlich $C^{*}({\hat {S}}_{1},{\hat {S}}_{2},{\hat {S}}_{3})\subset C^{*}(S_{1},S_{2})$.
Man erhält auf diese Weise die Inklusionen
    ${\mathcal {O}}_{\infty }\subset {\mathcal {O}}_{n}\subset {\mathcal {O}}_{2}$.
Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass ${\mathcal {O}}_{n}$ und ${\mathcal {O}}_{m}$ nicht isomorph sind, falls $n\neq m$. Falls $n$ endlich ist, so berechnet sich die $K_{0}$-Gruppe von ${\mathcal {O}}_{n}$ zu $\mathbb {Z} _{n-1}$. Für den Fall $n=\infty$ ergibt sich $K_{0}=\mathbb {Z}$. Da die $K_{0}$-Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt sofort die Behauptung.

### Darstellung als Kreuzprodukt

Auf ${\mathcal {F}}^{n}$ existiert ein *-Automorphismus $\Phi$, sodass ${\mathcal {O}}_{n}\simeq {\mathcal {F}}^{n}\rtimes _{\Phi }\mathbb {Z}$. Da ${\mathcal {F}}^{n}$ als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als Kreuzprodukt, dass auch ${\mathcal {O}}_{n}$ nuklear ist.