# Sophie-Germain-Primzahl

Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist (2p + 1 ist dann eine sichere Primzahl (vom englischen Safe prime)). Diese Primzahlen sind nach der Mathematikerin Sophie Germain (1776–1831) benannt, die sich mit der Fermatschen Vermutung beschäftigte und bewies, dass der erste Fall der Vermutung für alle Sophie-Germain-Primzahlen zutrifft.

## Beispiele

p = 2 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p + 1 = 5 ist prim. Das Gleiche gilt für 3, 5 und 11.
p = 7 ist keine Sophie-Germain-Primzahl, da 2p + 1 = 15 nicht prim ist.
Zwischen 1 und 10.000 gibt es die folgenden 190 Sophie-Germain-Primzahlen:
| 2 | 3 | 5 | 11 | 23 | 29 | 41 | 53 | 83 | 89 | 113 | 131 | 173 | 179 | 191 | 233 | 239 | 251 | 281 | 293 |
| 359 | 419 | 431 | 443 | 491 | 509 | 593 | 641 | 653 | 659 | 683 | 719 | 743 | 761 | 809 | 911 | 953 | 1013 | 1019 | 1031 |
| 1049 | 1103 | 1223 | 1229 | 1289 | 1409 | 1439 | 1451 | 1481 | 1499 | 1511 | 1559 | 1583 | 1601 | 1733 | 1811 | 1889 | 1901 | 1931 | 1973 |
| 2003 | 2039 | 2063 | 2069 | 2129 | 2141 | 2273 | 2339 | 2351 | 2393 | 2399 | 2459 | 2543 | 2549 | 2693 | 2699 | 2741 | 2753 | 2819 | 2903 |
| 2939 | 2963 | 2969 | 3023 | 3299 | 3329 | 3359 | 3389 | 3413 | 3449 | 3491 | 3539 | 3593 | 3623 | 3761 | 3779 | 3803 | 3821 | 3851 | 3863 |
| 3911 | 4019 | 4073 | 4211 | 4271 | 4349 | 4373 | 4391 | 4409 | 4481 | 4733 | 4793 | 4871 | 4919 | 4943 | 5003 | 5039 | 5051 | 5081 | 5171 |
| 5231 | 5279 | 5303 | 5333 | 5399 | 5441 | 5501 | 5639 | 5711 | 5741 | 5849 | 5903 | 6053 | 6101 | 6113 | 6131 | 6173 | 6263 | 6269 | 6323 |
| 6329 | 6449 | 6491 | 6521 | 6551 | 6563 | 6581 | 6761 | 6899 | 6983 | 7043 | 7079 | 7103 | 7121 | 7151 | 7193 | 7211 | 7349 | 7433 | 7541 |
| 7643 | 7649 | 7691 | 7823 | 7841 | 7883 | 7901 | 8069 | 8093 | 8111 | 8243 | 8273 | 8513 | 8663 | 8693 | 8741 | 8951 | 8969 | 9029 | 9059 |
| 9221 | 9293 | 9371 | 9419 | 9473 | 9479 | 9539 | 9629 | 9689 | 9791 | | | | | | | | | | |
Die ersten Sophie-Germain-Primzahlen $p$ kann man auch dem folgenden OEIS-Link entnehmen:
    2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, … (Folge A005384 in OEIS)
Die dazugehörigen sicheren Primzahlen $2p+1$ sind die folgenden:
    5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, … (Folge A005385 in OEIS)
Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes.
| Rang | Rang in Primzahl- liste⁠ | Primzahl $\,p$ | Dezimal- stellen von $p$ | Datum der Entdeckung | Entdecker |
| 1 | 1609. | $2618163402417\cdot 2^{1290000}-1$ | $388342$ | 29. Februar 2016 | Scott Brown (USA) |
| 2 | 1678. | $18543637900515\cdot 2^{666667}-1$ | $200701$ | 4. oder 9. April 2012 | Lee Blyth (AUS) |
| 3 | 1697. | $183027\cdot 2^{265440}-1$ | $79911$ | 22. März 2010 | Tom Wu |
| 4 | 1703. | $648621027630345\cdot 2^{253824}-1$ | $76424$ | 18. November 2009 | Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, János Kasza, Antal Járai |
| 5 | 1704. | $620366307356565\cdot 2^{253824}-1$ | $76424$ | 2. November 2009 | Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, János Kasza, Antal Járai |
| 6 | 1722. | $1068669447\cdot 2^{211088}-1$ | $63553$ | 17. Mai 2020 | Michael Kwok |
| 7 | 1729. | $99064503957\cdot 2^{200008}-1$ | $60220$ | 1. April 2016 | S. Urushihata |
| 8 | 1743. | $607095\cdot 2^{176311}-1$ | $53081$ | 18. September 2009 | Tom Wu |
| 9 | 1748. | $48047305725\cdot 2^{172403}-1$ | $51910$ | 25. Januar 2007 | David Underbakke |
| 10 | 1752. | $137211941292195\cdot 2^{171960}-1$ | $51780$ | 3. Mai 2006 | Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, János Kasza, Antal Járai |

## Bedeutung
### Eigenschaften

* Eine Sophie-Germain-Primzahl kann im Dezimalsystem niemals die Endziffer 7 haben.
       Beweis:
          Sei p eine Primzahl mit Endziffer 7. Dann kann man p darstellen als p = 10k + 7. Dann gilt: 2p + 1 = 20k + 14 + 1 = 20k + 15 = 5·(4k + 3).
          Das bedeutet, 2p + 1 ist durch 5 teilbar, aber größer als 14, also nicht prim. $\Box$
* Alle Sophie-Germain-Primzahlen $p>3$ gehören der Restklasse $p\equiv 5{\pmod {6}}$ an, haben also die Form $p=6n+5$ mit ganzzahligem $n\in \mathbb {N}$.
       Beweis:
          Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6), r ≡ 2 (mod 6) und r ≡ 4 (mod 6) sind gerade und demnach durch 2 teilbar.
          Alle Zahlen der Restklassen r ≡ 0 (mod 6) und r ≡ 3 (mod 6) sind durch 3 teilbar.
          Zwar existieren Primzahlen in der Restklasse r ≡ 1 (mod 6), jedoch ergibt 2·(6n+1)+1 = 12n+3 = 3·(4n+1) – und 3·(4n+1) ist durch 3 teilbar.
          Als einzige Sechser-Restklasse für die Sophie-Germain-Primzahlen bleibt die Restklasse r ≡ 5 (mod 6) übrig. Nur in diesem Fall hat die zu einer Sophie-Germain-Primzahl gehörende sichere Primzahl die Form 2·(6n+5)+1 = 12n+11 ≡ 5 (mod 6) und kann prim sein. $\Box$

### Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen

Die folgende Eigenschaft wurde von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange bewiesen:
    Ist p > 3 eine Sophie-Germain-Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).
       Beispiel:
          p = 11 ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn 2p+1 = 23 ist prim. Weiter ist 11 ≡ 3 (mod 4), denn 11 dividiert durch 4 ergibt als Rest 3.
          Die 11. Mersenne-Zahl M(11) = 2$^{11}$-1 = 2047 ist also nicht prim, sondern durch 2p+1 = 23 teilbar; konkret ist M(11) = 23 · 89.

### Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen

1922 veröffentlichten Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood ihre Vermutung bzgl. der Häufigkeit von Sophie-Germain-Primzahlen:
Die Anzahl aller Sophie-Germain-Primzahlen unterhalb einer Grenze N beträgt ungefähr
    ${2C_{2}\int \limits _{2}^{N}{\cfrac {1}{\ln(x)\ln(2x+1)}}\;\mathrm {d} x\approx {\cfrac {2C_{2}N}{\ln ^{2}(N)}}}$
mit C$_2$ = 0,6601618158 (siehe Primzahlzwillingskonstante). Diese Formel kann man mit den bekannten Sophie-Germain-Primzahlen recht gut bestätigen. Für N = 10$^4$ liefert die Vorhersage 156 Sophie-Germain-Primzahlen, was einen Fehler von 18 % zur exakten Anzahl von 190 bedeutet. Für N = 10$^7$ liefert die Vorhersage 50822, was bereits nur noch 9 % vom exakten Wert 56032 entfernt ist. Eine numerische Approximation des Integrals liefert noch bessere Ergebnisse, etwa 195 für N = 10$^4$ (Fehler nur noch 2,6 %) und 56128 für N = 10$^7$ (Fehler fast vernachlässigbar bei 0,17 %).
Die Dichte der Sophie-Germain-Primzahlen fällt in der Größenordnung um ln(N)-mal stärker als die der Primzahlen selbst. Sie findet Anwendung für eine genauere Laufzeitabschätzung für den AKS-Primzahltest, der die Primeigenschaft in polynomialer Zeit feststellen kann.

### Cunningham-Kette

Bei einer Cunningham-Kette der ersten Art handelt es sich, mit Ausnahme der letzten Zahl, um eine Folge von Sophie-Germain-Primzahlen. Ein Beispiel für eine solche Kette ist die Folge: 2, 5, 11, 23, 47.

## Offene Fragen

Man vermutet, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt, aber ein Beweis dafür wurde bis heute nicht gefunden.