# Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit $\mathrm {B}$ bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:
    $\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t,$
wobei $x$ und $y$ einen positiven Realteil haben müssen.
Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.

## Allgemeines

Bei festem $x$ (bzw. $y$) ist $\mathrm {B}$ eine meromorphe Funktion von $y$ (bzw. $x$), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation
    $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$.
Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit $\mathrm {Re} \,x>0$ und $\mathrm {Re} \,y>0$ (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution $u={\tfrac {t}{1-t}}$)
    ${\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}}\,\mathrm {d} t\\&=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2y-1}(t)\cos ^{2x-1}(t)\mathrm {d} t.\end{aligned}}$
An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang $x=k$ und $y=k$ für ganze Zahlen $k\leq 0$ hat.
Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl $\mathrm {B} (x,y)$ für alle rationalen, nicht ganzzahligen $x,y$ transzendent ist.

## Beziehung zur Gammafunktion

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität
    $\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$
wobei $\Gamma$ die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.
Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:
    ${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}$
nun kann man die Variablen $u=zt$ und $v=z(1-t)$ substituieren und erhält damit
    ${\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}$
Teilt man nun beide Seiten durch $\Gamma (x+y)$, erhält man das Resultat.

## Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:
    $\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0$
    $\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0$
    $\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},$
    $\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},$
    $\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},$
    $\mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}$
Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:
    ${n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$
Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive $x$ und $y$ auf:
    $\mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}$.

## Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch
    ${\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$
wobei $\psi (x)$ die Digamma-Funktion ist.

## Werte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:
    $\mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)$
Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.
    $\mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]$
    $\mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)$
    $\mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]$
    $\mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)$
    $\mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]$
Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.