# Borel-Hierarchie

In der Mathematik und insbesondere der deskriptiven Mengenlehre ist die Borel-Hierarchie eine stufenweise Aufteilung der Borelschen σ-Algebra zu einem polnischen Raum. Sie stellt einen konstruktiven Aufbau aller Borel-Mengen dar. Ist eine Eigenschaft über alle Borel-Mengen zu beweisen, ist dies oft mittels transfiniter Induktion über alle Ebenen der Borel-Hierarchie möglich.

## Definition

Über einem polnischen Raum $(X,{\mathfrak {T}})$ (${\mathfrak {T}}$ Menge der offenen Mengen) seien folgende Mengensysteme induktiv definiert:
* $\Sigma _{1}^{0}:={\mathfrak {T}}$.
* $\Pi _{\alpha }^{0}:=\left\{S\subseteq X|X\setminus S\in \Sigma _{\alpha }^{0}\right\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha \geq 1$.
* $\Sigma _{\alpha }^{0}:=\textstyle \left\{S\subseteq X|\exists A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \in \bigcup _{p<\alpha }\Pi _{p}^{0}:S=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha >1$.
* $\Delta _{\alpha }^{0}:=\Sigma _{\alpha }^{0}\cap \Pi _{\alpha }^{0}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha \geq 1$.
$\Sigma _{1}^{0}$ bezeichnet also die offenen Mengen, $\Pi _{\alpha }^{0}$ die Komplemente von $\Sigma _{\alpha }^{0}$-Mengen, $\Sigma _{\alpha }^{0}$ bezeichnet die Mengen, die sich als abzählbare Vereinigung der $\Pi _{p}^{0}$-Mengen für $p<\alpha$ darstellen lassen, und $\Delta _{\alpha }^{0}$ die Mengen, die sowohl in $\Sigma _{\alpha }^{0}$ als auch in $\Pi _{\alpha }^{0}$ liegen.

## Abschluss- und Monotonie-Eigenschaften

* Die $\Sigma _{\alpha }^{0}$-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung und endlichem Schnitt.
* Die $\Pi _{\alpha }^{0}$-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarem Schnitt und endlicher Vereinigung.
* Die $\Delta _{\alpha }^{0}$-Mengen sind abgeschlossen unter endlichem Schnitt, endlicher Vereinigung und Komplementbildung.
* Die $\Sigma _{\alpha }^{0}$-Mengen (ebenso auch die $\Pi _{\alpha }^{0}$-Mengen und die $\Delta _{\alpha }^{0}$-Mengen) sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, das heißt:
Für eine stetige Funktion $f\colon X\to Y$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ ist $f^{-1}(A)$ wiederum eine $\Sigma _{\alpha }^{0}$-Menge ($\Pi _{\alpha }^{0}$-Menge, $\Delta _{\alpha }^{0}$-Menge), falls $A\subseteq Y$ eine $\Sigma _{\alpha }^{0}$-Menge ($\Pi _{\alpha }^{0}$-Menge, $\Delta _{\alpha }^{0}$-Menge) ist.
* $\Sigma _{\alpha }^{0}\subseteq \Delta _{\alpha +1}^{0}\supseteq \Pi _{\alpha }^{0}$ für alle abzählbaren Ordinalzahlen $\alpha$.
In überabzählbaren polnischen Räumen, welche stets die Kardinalität $2^{\aleph _{0}}$ haben, sind diese Inklusionen immer strikt, während in abzählbaren polnischen Räumen $\Sigma _{2}^{0}$ bereits alle Teilmengen des Raumes enthält.

## Bezug zur Borelschen σ-Algebra

Die Vereinigung aller Mengensysteme der Borel-Hierarchie bildet genau die Borelsche σ-Algebra, d. i. die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen des polnischen Raumes enthält.
Dass jede Menge in der Borelhierarchie in der Borelschen σ-Algebra enthalten sein muss, folgt unmittelbar aus den Abschlusseigenschaften einer σ-Algebra: Gäbe es Mengen in der Borel-Hierarchie, die nicht in der Borelschen σ-Algebra enthalten sind, so gäbe es eine kleinste Ordinalzahl $n$, sodass $\Sigma _{n}^{0}$ eine solche enthält (denn die Ordinalzahlen sind wohlgeordnet), was äquivalent dazu ist, dass $\Pi _{n}^{0}$ eine solche enthält, da σ-Algebren abgeschlossen unter Komplementbildung sind. Dieses Element ist jedoch Vereinigung abzählbar vieler Elemente von $\textstyle \bigcup _{m<n}\Pi _{m}^{0}$, welche alle Borel-Mengen sind. Somit müsste das Element ebenfalls in der σ-Algebra enthalten sein, da σ-Algebren abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung sind.
Umgekehrt sind alle offenen Mengen in der Borel-Hierarchie enthalten und die Mengen der Borel-Hierarchie sind abgeschlossen unter Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung: Ersteres folgt unmittelbar aus der Definition der $\Pi _{n}^{0}$ als Komplemente, zweiteres lässt sich wie folgt zeigen: Seien abzählbar viele in der Borel-Hierarchie auftretende Mengen $S_{0},S_{1},S_{2},\ldots$ gegeben. Für jedes $i\in \mathbb {N}$ existiert eine Ordinalzahl $\alpha _{i}$, sodass $S_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}}^{0}$, schließlich treten die Mengen in der Hierarchie auf. Für das Supremum $\textstyle {\hat {\alpha }}:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\alpha _{i}$ gilt dann $\textstyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\in \Sigma _{\hat {\alpha }}^{0}$, und das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen ist ihre Vereinigung, somit ist ${\hat {\alpha }}$ abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen und somit wiederum eine abzählbare Ordinalzahl. Nun wird auch deutlich, wieso gerade abzählbare Ordinalzahlen gewählt worden sind.

## Bezug zur projektiven Hierarchie

Über polnischen Räumen wird ausgehend von der Borel-Hierarchie die projektive Hierarchie definiert, welche auf den analytischen Mengen, den Projektionen von Borel-Mengen, aufbaut. Nach dem Satz von Suslin sind die Borel-Mengen in einem polnischen Raum genau die Mengen, die analytisch sind und deren Komplement ebenfalls analytisch ist.

## Duale Definition über abgeschlossene Mengen

Die Borel-Hierarchie lässt sich ebenfalls ausgehend von den abgeschlossenen Mengen definieren:
* $\Pi _{1}^{0}$ sei die Menge aller abgeschlossenen Mengen.
* $\Sigma _{\alpha }^{0}:=\left\{S\subseteq X|X\setminus S\in \Pi _{\alpha }^{0}\right\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha \geq 1$.
* $\textstyle \Pi _{\alpha }^{0}:=\left\{S\subseteq X|\exists A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \in \bigcup _{p<\alpha }\Sigma _{\alpha }^{0}:S=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha >1$.
Die $\Pi _{\alpha }^{0}$-Mengen werden also als abzählbarer Schnitt von $\Sigma _{p}^{0}$-Mengen für $p<\alpha$ definiert.

## Nomenklatur

Felix Hausdorff hat folgende Bezeichnungen für die Stufen der Hierarchie zu endlichen Ordinalzahlen eingeführt: $F_{\sigma }:=\Sigma _{2}^{0}$, $G_{\delta }:=\Pi _{2}^{0}$, $F_{\sigma \delta }:=\Pi _{3}^{0}$, $G_{\delta \sigma }:=\Sigma _{3}^{0}$, $F_{\sigma \delta \sigma }:=\Sigma _{4}^{0}$, $G_{\delta \sigma \delta }:=\Pi _{4}^{0}$ etc., siehe auch G$_δ$- und F$_σ$-Mengen. Die einheitliche Notation $\Sigma _{\alpha }^{0}$, $\Pi _{\alpha }^{0}$, $\Delta _{\alpha }^{0}$, die auch die Analogie zur arithmetischen Hierarchie in der Rekursionstheorie andeutet, wurde von John Addison 1959 eingeführt.