# Bratteli-Diagramm

Bratteli-Diagramme, benannt nach Ola Bratteli, sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis verwendete Graphen. Sie werden bei der Untersuchung der Struktur von AF-C*-Algebren (kurz AF-Algebren) eingesetzt.

## Definition

Die Bratteli-Diagramme leiten sich aus der Definition der AF-Algebren ab, letztere sind die Vervollständigungen aufsteigender Folgen endlichdimensionaler C*-Algebren $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \ldots \subset A$. Jede endlichdimensionale C*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer endlichen direkten Summe von vollen Matrix-Algebren $M_{n}$ über $\mathbb {C}$, das heißt, für jede Algebra $A_{j}$ gilt
    $A_{j}\cong M_{n_{j,1}}\oplus M_{n_{j,2}}\oplus \ldots \oplus M_{n_{j,m_{j}}}$.
Bis auf die Reihenfolge sind die Zahlen $n_{j,1},\ldots ,n_{j,m_{j}}$ eindeutig bestimmt. Diese Zahlen bilden die Punkte des spaltenweise aufgebauten Bratteli-Diagramms; in der $j$-ten Spalte stehen genau die Zahlen $n_{j,1},\ldots ,n_{j,m_{j}}$, an der $(i,j)$-ten Stelle steht also die Zahl $n_{i,j}$.
Zwischen den Punkten der $j$-ten und $(j+1)$-ten Spalte werden nach folgenden Kriterien Pfeile gezogen: Die Einbettungen $A_{j}\subset A_{j+1}$ sind als injektive *-Homomorphismen bis auf unitäre Äquivalenz bereits dadurch festgelegt, mit welcher Vielfachheit der $i$-te Summand $M_{n_{j,i}}$ von $A_{j}$ in den $k$-ten Summanden $M_{n_{j+1,k}}$ von $A_{j+1}$ abgebildet wird.
Beispiel: Die Einbettung
    $M_{2}\rightarrow M_{7}\oplus M_{3}\oplus M_{2},{\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&0&0&0&0&0\\x_{21}&x_{22}&0&0&0&0&0\\0&0&x_{11}&x_{12}&0&0&0\\0&0&x_{21}&x_{22}&0&0&0\\0&0&0&0&x_{11}&x_{12}&0\\0&0&0&0&x_{21}&x_{22}&0\\0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}$
hat die Vielfachheiten 3, 0 und 1. Man zieht nun $p$-Pfeile vom $(i,j)$-ten Knoten zum $(k,j+1)$-ten Knoten, wenn der $i$-te Summand von $A_{j}$ mit der Vielfachheit $p$ in den $k$-ten Summanden von $A_{j+1}$ abgebildet wird. Die Zahlen $p=p(i,j,k)$ hängen von $i,j,k$ ab und unterliegen der Beschränkung $\textstyle \sum _{i=1}^{m_{j}}p(i,j,k)n_{j,i}\leq n_{j+1,k}$, die dadurch zustande kommt, dass die Summanden in der $(j+1)$-ten Spalte groß genug sein müssen, um die entsprechenden Matrizen der $j$-ten Spalte mit den Vielfachheiten aufnehmen zu können. Nach einem Satz von Bratteli kann jede AF-Algebra bis auf Isomorphie durch eine Folge endlicher direkter Summen voller Matrix-Algebren mit den angegebenen speziellen Einbettungen konstruiert werden.

## Beispiele
### Kompakte Operatoren

Die aufsteigenden Inklusionen $M_{1}\subset M_{2}\subset M_{3}\subset \ldots$, wobei jede Matrix aus $M_{j}$ auf die um eine Nullzeile und eine Nullspalte erweiterte Matrix aus $M_{j+1}$ abgebildet wird, definieren bekanntlich eine AF-Algebra, die zur C*-Algebra der kompakten Operatoren auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$ isomorph ist. Das zugehörige Bratteli-Diagramm hat nach obigem die Gestalt
$1\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow \ldots$

### Kompakte Operatoren mit Einselement

Adjungiert man zu obigem Beispiel der kompakten Operatoren ein Einselement, so kommt zu jedem $M_{j}$ ein direkter Summand $M_{1}\cong \mathbb {C}$ hinzu und die Einbettung $\mathbb {C} \oplus M_{j}\rightarrow \mathbb {C} \oplus M_{j+1}$ sieht wir folgt aus:
    $x\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1j}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{j1}&\ldots &x_{jj}\\\end{pmatrix}}\mapsto x\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1j}&0\\\vdots &\ddots &\vdots \vdots \\x_{j1}&\ldots &x_{jj}&0\\0&\ldots &0&x\end{pmatrix}}$
Das führt zu folgendem Bratteli-Diagramm:
${\begin{array}{cccccccccc}1&\rightarrow &1&\rightarrow &1&\rightarrow &1&\rightarrow &1&\ldots \\&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\\1&\rightarrow &2&\rightarrow &3&\rightarrow &4&\rightarrow &5&\ldots \\\end{array}}$

### Cantor-Menge

Man betrachte die C*-Algebra $C(X)$ der stetigen Funktionen auf der Cantor-Menge. Man erhält eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Teilalgebren $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, indem man die endlichdimensionale Algebra $A_{n}$ der auf den Intervallen der Länge ${\tfrac {1}{3^{n}}}$ konstanten Funktionen via Einschränkung in die Algebra $A_{n+1}$ der auf den Intervallen der Länge ${\tfrac {1}{3^{n+1}}}$ konstanten Funktionen einbettet. Das führt zu folgendem Bratteli-Diagramm:

### CAR-Algebra

Man erhält die CAR-Algebra durch Inklusionen
    $M_{1}\subset M_{2}\subset M_{4}\subset M_{8}\subset \ldots \subset M_{2^{j}}\subset M_{2^{j+1}}\subset \ldots$,
wobei die Einbettung $M_{2^{j}}\subset M_{2^{j+1}}$ durch $X\mapsto {\begin{pmatrix}X&0\\0&X\\\end{pmatrix}}$ definiert sei. Hier sind alle Vielfachheiten gleich 2 und man erhält das folgende Bratteli-Diagramm:
$1\rightrightarrows 2\rightrightarrows 4\rightrightarrows 8\rightrightarrows \ldots \rightrightarrows 2^{j}\rightrightarrows 2^{j+1}\rightrightarrows \ldots$

## Anwendungen

Die Bratteli-Diagramme zu einer AF-Algebra sind nicht eindeutig bestimmt, denn sie hängen von der konkreten Realisierung als Vervollständigung einer aufsteigenden Kette endlichdimensionaler C*-Algebren ab, und diese ist nicht eindeutig, denn man kann zum Beispiel einen Anfangsabschnitt fortlassen oder einige aufeinander folgende Inklusionen zu einer zusammenfassen. Zu jedem Bratteli-Diagramm gehört aber bis auf Isomorphie nur eine AF-Algebra und man kann Eigenschaften dieser Algebra aus einem solchen Diagramm ablesen. Es wird erläutert, wie man Informationen zur Idealstruktur abliest und wie man feststellen kann, ob die AF-Algebra liminal oder postliminal ist.

### Idealstruktur

Ist $I\subset A$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der durch $A_{1}\subset A_{2}\subset \ldots$ gegebenen AF-Algebra, so ist auch $I$ eine AF-Algebra und $I\cap A_{p}\subset I\cap A_{p+1}\subset \ldots$ ist eine aufsteigende Folge endlichdimensionaler Teil-C*-Algebren mit in $I$ dicht liegender Vereinigung. Dabei ist $p$ so groß gewählt, dass $I\cap A_{p}\not =\{0\}$. Auf diese Weise wird jedem abgeschlossenen zweiseitigen Ideal ein Untergraph $D_{I}$ des Bratteli-Diagramms $D_{A}$ von $A$ zugeordnet. Dem Nullideal entspricht dabei der leere Untergraph.
Ein Untergraph $S$ eines Bratteli-Diagramms heißt gerichtet, wenn er mit jedem Punkt alle davon ausgehenden Pfeile mit den zugehörigen Zielpunkten enthält.
Ein Untergraph heißt erblich (engl. hereditary), wenn folgendes gilt: Liegen für einen Punkt alle Zielpunkte der von ihm ausgehenden Pfeile im Untergraphen, so muss auch bereits dieser Punkt im Untergraphen enthalten sein. Es gilt nun folgender Satz:
* Ist $A$ eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$, so ist obige Zuordnung $I\mapsto D_{I}$ eine Bijektion von der Menge der abgeschlossenen zweiseitigen Ideale auf die Menge der gerichteten, erblichen Untergraphen von $D_{A}$.
Eine C*-Algebra heißt einfach, wenn sie außer dem Nullideal und sich selbst keine weiteren abgeschlossenen zweiseitigen Ideale enthält. Aus obigem Satz leitet man leicht das folgende Korollar ab:
* Eine AF-Algebra $A$ mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$ ist genau dann einfach, wenn es zu dem Punkt $x$ aus $D_{A}$ eine Spalte gibt, so dass man jeden Punkt dieser Spalte von $x$ aus durch einen Weg von Pfeilen erreichen kann.
Insbesondere sind die C*-Algebren der kompakten Operatoren und die CAR-Algebra einfach, denn die zugehörigen Bratteli-Diagramme sind lineare Ketten. Adjungiert man ein Einselement zur Algebra der kompakten Operatoren, so ist die entstehende Algebra nicht einfach, denn am Bratteli-Diagramm erkennt man mühelos, dass von keinem Punkt der unteren Zeile je eine 1 der oberen Zeile in einer nachfolgenden Spalte erreicht werden kann. Offenbar ist die untere Zeile ein gerichteter und erblicher Untergraph, er entspricht dem Ideal der kompakten Operatoren.

### Liminale und postliminale AF-Algebren

Man kann am Bratteli-Diagramm einer AF-Algebra ablesen, ob diese liminal oder postliminal ist. Dazu betrachtet man unendliche Wege im Bratelli-Diagramm, das heißt Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Punkten im Diagramm, so dass für jedes $n$ mindestens ein Pfeil von $x_{n}$ nach $x_{n+1}$ führt. Sind $x$ und $y$ zwei Punkte, so sagt man $y$ sei Nachfolger von $x$ mit Multiplizität $q$, wenn es $q$ verschiedene Wege von $x$ nach $y$ gibt.
* Sei $A$ eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$. $A$ ist genau dann liminal, wenn es zu jedem unendlichen Weg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D_{A}$ natürliche Zahlen $p$ und $q$ gibt, so dass $x_{n}$ für alle $n\geq p$ Nachfolger von $x_{1}$ mit Multiplizität $q$ ist.
Demnach sind die obigen Beispiele kompakte Operatoren und Cantor-Menge liminal, denn die Bratteli-Diagramme sind Bäume mit einfachen Kanten, das heißt, es kann ohnehin nur die Multiplizität 1 auftreten. Das Beispiel Kompakte Operatoren mit Einselement ist nicht liminal, da es für den Weg bestehend aus der 1 der oberen Zeile und allen Punkten $2,3,4,\ldots ,n,\ldots$ der unteren Zeile mit wachsendem $n$ immer mehr mögliche Wege von 1 nach $n$ gibt, das heißt, die Multiplizität kann nicht ab einer bestimmten Stelle durch ein festes $q$ beschränkt werden.
* Sei $A$ eine AF-Algebra mit Bratteli-Diagramm $D_{A}$. $A$ ist genau dann postliminal, wenn es zu jedem unendlichen Weg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $D_{A}$ eine natürliche Zahl $p$ gibt, so dass $x_{n}$ für jedes $n>p$ ein Nachfolger von $x_{n-1}$ mit Multiplizität 1 ist.
Man sieht leicht ein, dass das Bratteli-Diagramm des Beispiels Kompakte Operatoren mit Einselement diese Eigenschaft hat, es handelt sich also um eine postliminale C*-Algebra. Die CAR-Algebra hat diese Eigenschaft nicht, denn alle auftretenden Multiplizitäten zwischen direkten Nachfolgern sind gleich 2, die CAR-Algebra ist daher nicht postliminal.