# Quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeiten ein Forschungsgebiet der Differentialgeometrie.

## Definition

Eine zusammenhängende, orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $4n$ ist eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn ihre Holonomiegruppe in $\operatorname {Sp} (n)\operatorname {Sp} (1)$ enthalten ist. Im Fall $n=1$ verlangt man zusätzlich noch, dass es sich um eine selbstduale Einstein-Mannigfaltigkeit handelt.
Hierbei bezeichnet $\operatorname {Sp} (n)$ die (kompakte) symplektische Gruppe und $\operatorname {Sp} (n)\operatorname {Sp} (1)$ wirkt auf $\mathbb {H} ^{n}=\mathbb {R} ^{4n}$ durch Linksmultiplikation von $\operatorname {Sp} (n)$ und Rechtsmultiplikation (als Diagonalmatrizen) von $\operatorname {Sp} (1)$, wodurch $\operatorname {Sp} (n)\operatorname {Sp} (1)$ als Untergruppe von $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$ aufgefasst wird.
Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit heißt positiv bzw. negativ, wenn die Riemannsche Metrik vollständig ist und positive bzw. negative Skalarkrümmung hat.

## Eigenschaften

* Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist genau dann hyperkähler, wenn ihre Skalarkrümmung verschwindet.
* Jede positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist kompakt und einfach zusammenhängend.
* Die einzige quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung ist der quaternionische projektive Raum.
Alle bekannten Beispiele positiver quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Wolf-Räume; Die LeBrun-Salamon-Vermutung besagt, dass alle positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten symmetrische Räume und damit (nach der Klassifikation symmetrischer Räume) insbesondere Wolf-Räume sind. (Für n=1 wurde die Vermutung von Hitchin und für n=2 von Poon-Salamon bewiesen.)

## Twistorraum

Zu jeder quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit assoziiert man einen sogenannten „Twistorraum“ wie folgt. $\operatorname {Sp} (n)\operatorname {Sp} (1)$ wird von $\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)$ zweifach überlagert und lokal lässt sich das $\operatorname {Sp} (n)\operatorname {Sp} (1)$-Bündel zu einem $\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)$-Bündel heben. Die $\operatorname {Sp} (1)$-Wirkung auf $\mathbb {H} ^{1}=\mathbb {C} ^{2}$ kann man dann benutzen, um lokal ein assoziiertes quaternionisches Linienbündel $H$ zu definieren. Auch wenn dieses nicht global definiert sein muss, ist jedenfalls seine komplexe Projektivisierung global definiert und man erhält ein Bündel
    $\mathbb {C} P^{1}\to P_{\mathbb {C} }(H)\to M$.
Der Raum $Z:=P_{\mathbb {C} }(H)$ wird als Twistorraum der quaternionischen Kählermannigfaltigkeit $M$ bezeichnet.
Beispiel: Der Twistorraum des quaternionischen projektiven Raumes $\mathbb {H} P^{n}$ ist der komplexe projektive Raum $\mathbb {C} P^{2n+1}$ und das Bündel
    $\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{2n+1}\to \mathbb {H} P^{n}$
ist die kanonische Projektionsabbildung.
Satz (LeBrun-Salamon): Der Twistorraum einer positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine Fano-Kontaktmannigfaltigkeit, außerdem kompakt, einfach zusammenhängend, Kählersch und Einsteinsch.
Weiterhin ist eine positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit genau dann ein symmetrischer Raum, wenn ihr Twistorraum ein (unter biholomorphen Abbildungen) homogener Raum ist.