# Potenz-assoziative Algebra

Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

## Definitionen

Für ein Magma ${\mathcal {M}}=(M,\circ )$ und jedes $a\in M$ definiere man
    $a^{1}:=a$ sowie $a^{k+1}:=a\circ a^{k}$ für jedes $k\in \mathbb {N}$.
Die Verknüpfung $\circ$ eines Magmas $(M,\circ )$ heißt potenz-assoziativ für ein Element $a\in M$, wenn für alle positiven natürlichen Zahlen $i,j\in \mathbb {N} ^{*}$ gilt
    $a^{i+j}=a^{i}\circ a^{j}$
Ein Magma ${\mathcal {M}}=(M,\circ )$ nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung $\circ$ potenz-assoziativ ist für jedes $a\in M$.
Die Algebra ${\mathcal {A}}$ heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation $\cdot$ potenz-assoziativ ist, also $({\mathcal {A}},\cdot )$ ein potenz-assoziatives Magma ist.

## Beispiele
### Potenz-assoziative Magmen

* Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
* Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: $a^{i+j}=a=a\circ a=a^{i}\circ a^{j}$. Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
* Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ. Beweis (per vollständiger Induktion):
** Induktionsanfang $i=1$: $a^{1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a^{j+1}=a^{1+j}$
** Induktionsanfang $i=2$: $a^{2}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a)\circ a^{j}{\overset {(2)}{=}}a\circ (a\circ a^{j}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{1+j}{\overset {(1)}{=}}a^{2+j}$
** Induktionsschritt $i\longrightarrow i+1$ für $i\geq 2$: $a^{i+1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ (a\circ a^{i-1}))\circ a^{j}$ ${\overset {(3)}{=}}(a\circ (a^{i-1}\circ a))\circ a^{j}$ ${\overset {(4)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ (a\circ a^{j}))$ ${\overset {(1)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ a^{j+1})$ ${\overset {(5)}{=}}a\circ a^{(i-1)+(j+1)}=a\circ a^{i+j}{\overset {(1)}{=}}a^{(i+j)+1}=a^{(i+1)+j}$
    (1) Definition $a^{n}$
    (2) (Links-)Alternativität von $\circ$
    (3) Flexibilität (und der daraus folgenden $i$-Potenz-Assoziativität, siehe unten) von $\circ$
    (4) Moufang-Identität für $\circ$
    (5) Induktionsvoraussetzung
   * Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
   * Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt $a^{3+2}=a^{3}a^{2}$ bereist aus der Alternativität: $a^{3+2}=a^{5}{\overset {(1)}{=}}a(a(a(aa))){\overset {(2)}{=}}a((aa)(aa)){\overset {(3)}{=}}(a(aa))(aa){\overset {(1)}{=}}a^{3}a^{2}$ 1: Definition $a^{n}$ 2: Linksalternativität 3: Rechtsalternativität

### Potenz-assoziative Algebren

* Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
* Alle alternativen Algebren sind potenz-assoziativ.
** In einer Algebra folgt aus der Alternativität die Flexibilität der Multiplikation, und außerdem die Erfüllung der Moufang-Identitäten (siehe auch Eigenschaften von Alternativkörpern)!
* Alle $K$-Algebren ${\mathcal {A}}$, in denen es zu jedem $a\in {\mathcal {A}}$ ein $c_{a}\in K$ gibt mit $a\cdot a=c_{a}\cdot a$, sind potenz-assoziativ.
** Hierzu gehört beispielsweise $\mathbb {R} ^{3}$, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da $a\times a=0$ für alle $a\in \mathbb {R} ^{3}$.
* Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

## Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität

Die Verknüpfung $\circ$ eines Magmas $(M,\circ )$ heißt $i$-potenz-assoziativ für ein Element $a\in M$, wenn für die positive natürliche Zahl $i\in \mathbb {N} ^{*}$ gilt:
    $a^{i}\circ a=a\circ a^{i}$
Ein Magma, dessen Verknüpfung $i$-potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein $i$-potenz-assoziatives Magma bezeichnen.
Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein $i$-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:
    $a\circ a^{i}{\overset {(1)}{=}}a^{i+1}{\overset {(2)}{=}}a^{i}\circ a^{1}{\overset {(1)}{=}}a^{i}\circ a$
    1: Definition $a^{n}$
    2: Potenz-Assoziativität von $\circ$
Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein $i$-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):
* Induktionsanfang $i=1$ (nur mit Definition $a^{n}$): $a^{1}\circ a=a\circ a=a\circ a^{1}$
* Induktionsschritt $i\longrightarrow i+1$: $a^{i+1}\circ a{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a{\overset {(2)}{=}}a\circ (a^{i}\circ a){\overset {(3)}{=}}a\circ (a\circ a^{i}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{i+1}$
    1: Definition $a^{n}$
    2: Flexibilität von $\circ$
    3: Induktionsvoraussetzung
Die Verknüpfung $\circ$ eines Magmas $(M,\circ )$ heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element $a\in M$, wenn gilt
    $a\circ (a\circ a)=(a\circ a)\circ a$.
Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.
Ein $i$-potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit $i=2$).

### Beispiele

1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder $i$-potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:
| $\circ$ | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 0 |
* nicht linksalternativ wegen $0\circ (0\circ 1)=0\circ 1=1\neq 0=2\circ 1=(0\circ 0)\circ 1$
* nicht rechtsalternativ wegen $0\circ (2\circ 2)=0\circ 0=2\neq 0=2\circ 2=(0\circ 2)\circ 2$
* nicht flexibel wegen $1\circ (0\circ 1)=2\neq 0=(1\circ 0)\circ 1$
* nicht potenz-assoziativ wegen $0^{2+2}=0^{4}=0\circ (0\circ (0\circ 0)=2\neq 0=(0\circ 0)\circ (0\circ 0)=0^{2}\circ 0^{2}$
* nicht $i$-potenz-assoziativ für $i\geq 3$ wegen $1\circ 1^{3}=1\circ (1\circ (1\circ 1))=2\neq 1=(1\circ (1\circ 1))\circ 1=1^{3}\circ 1$
* idemassoziativ wegen
** $0\circ (0\circ 0)=2=(0\circ 0)\circ 0$
** $1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1$
** $2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2$
2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch $i$-potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:
| $\circ$ | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 2 |
| 2 | 0 | 0 | 2 |
* nicht alternativ wegen $1\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(1\circ 1)\circ 2$
* nicht flexibel wegen $2\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(2\circ 1)\circ 2$
* potenz-assoziativ wegen
** $0^{i+j}=0=0\circ 0=0^{i}\circ 0^{j}$
** $1^{i+j}=0=0\circ 0=1^{i}\circ 1^{j}$
** $2^{i+j}=2=2\circ 2=2^{i}\circ 2^{j}$
3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder $i$-potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel: $\left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683\neq 7625597484987=3^{27}=3^{\left(3^{3}\right)}$.