# Wronski-Determinante

Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński (1776–1853) benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

## Definition

Für $n$ reell- oder komplexwertige Funktionen $f_{1},\dots ,f_{n}$ auf einem Intervall $I$ ist die Wronski-Determinante definiert durch
    $W(f_{1},\dots ,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\dots &f_{n}(t)\\f_{1}^{(1)}(t)&f_{2}^{(1)}(t)&\dots &f_{n}^{(1)}(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\dots &f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}},\qquad t\in I,$
wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis $(n-1)$-te Ableitung bezeichnen.

## Eigenschaften

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden, wenn im Fundamentalsystem in der Darstellung $y''(t)-a_{1}y'(t)-a_{0}y(t)=0$ der Koeffizient $a_{1}\neq 0$ ist.

### Kriterium für lineare Unabhängigkeit

Gilt $W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t_{0})\neq 0$ für ein $t_{0}\in I$, so sind die Funktionen $f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf dem Intervall $I$ linear unabhängig. Andererseits folgt aus $W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t)=0$ für alle $t\in I$ nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen $f_{1},\ldots ,f_{n}$. Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall $I$. Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).

### Beispiel

Ausgehend vom Sturm-Liouville-Problem wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $-\psi ''=\lambda \psi$
mit den Randbedingungen $\psi (0)=\psi (\pi )=0$ betrachtet. Als Lösungsansatz wird $\psi (t)=\alpha \sin({\sqrt {\lambda }}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}t)$ für $\lambda >0$ und beliebige $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ gewählt. Aufgrund der Randbedingungen $\psi (0)=\psi (\pi )=0$ ist $\alpha \neq 0,\beta =0$ und $\sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0,$ also ${\sqrt {\lambda }}\pi =n\pi$ und somit $\lambda =n^{2}$ für $n\in \mathbb {N}$. Als Lösung wird daher
    $\psi (t)=\alpha \sin(nt)$
gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch $\phi =p\psi '=\psi '$ mit $p=1$ gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung
    $\phi (t)=\alpha n\cos(nt)$
angenommen und mittels der Wronski-Determinante auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt
    $W(\phi ,\psi )(t)={\begin{vmatrix}\phi (t)&\psi (t)\\\phi '(t)&\psi '(t)\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\alpha n\cos(nt)&\alpha \sin(nt)\\-\alpha n^{2}\sin(nt)&\alpha n\cos(nt)\end{vmatrix}}=(\alpha n)^{2}\cos ^{2}(nt)+(\alpha n)^{2}\sin ^{2}(nt)=(\alpha n)^{2}>0$.
Also ist $W(\phi ,\psi )(t)=\left|{\begin{smallmatrix}\phi (t)&\psi (t)\\\phi '(t)&\psi '(t)\end{smallmatrix}}\right|>0$ für $t\geq 0$ (genauer für alle $t\in \mathbb {R}$) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen $\phi (t),\psi (t)$ ist gegeben.

### Gegenbeispiel

Als Gegenbeispiel dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen
    $f_{1}(t)={\begin{cases}0\ ,&{\mbox{falls }}t\leq 0,\\t^{2}\ ,&{\mbox{falls }}t>0,\end{cases}}\qquad {\mbox{und}}\qquad f_{2}(t)={\begin{cases}t^{2}\ ,&{\mbox{falls }}t\leq 0,\\0\ ,&{\mbox{falls }}t>0.\end{cases}}$
Für alle $t\in \mathbb {R}$ gilt
    $W(f_{1},f_{2})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f'_{1}(t)&f'_{2}(t)\end{vmatrix}}=0.$
Aber $\lambda \ f_{1}(t)+\mu \ f_{2}(t)=0$ führt für $t=1$ zu $\lambda =0$ und für $t=-1$ zu $\mu =0$, was die lineare Unabhängigkeit auf $t=1$ beziehungsweise für $t=-1$ der beiden Funktionen impliziert. Für $t=0$ gilt $f_{1}(0)=0$ und $f_{2}(0)=0$, was lineare Abhängigkeit in $t=0$ bedeutet.