# Schwache Konvergenz in Lp

Die schwache Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ und die schwache Konvergenz in $L^{p}$ sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in L$^p$-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ oder $L^{p}$ wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ oder $L^{p}$ bezeichnet.

## Definition

Gegeben sei ein Maßraum $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ sowie $p\in [1,\infty )$ und $q:={\tfrac {1}{1-1/p}}$, also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ mit ${\tfrac {1}{\infty }}=0$, der zu $p$ konjugierte Index. Außerdem seien $f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$, kurz ${\mathcal {L}}^{p}$, dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt schwach konvergent gegen $f$, wenn für alle $g\in {\mathcal {L}}^{q}$ gilt, dass
    $\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu =\int _{X}fg\mathrm {d} \mu$
ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus $L^{p}$. Man schreibt dann in beiden Fällen $f_{n}\rightharpoonup f$.

## Einordnung

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum $V$ bildet man den topologischen Dualraum
    $V':=\{T\;|\;T\colon V\to \mathbb {K} {\text{ ist linear und stetig }}\}$.
Eine Folge $(x_{n})_{n\in N}$ in $V$ heißt dann schwach konvergent gegen $x\in V$, wenn
    $\lim _{n\to \infty }T(x_{n})=T(x){\text{ für alle }}T\in V'$
ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den ${\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ für $p=(1,\infty )$, so ist der Dualraum normisomorph zum ${\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei $q$ der zu $p$ konjugierte Index ist, also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$. Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form
    $T_{g}(\cdot )=\int g\cdot \mathrm {d} \mu {\text{ für ein }}g\in {\mathcal {L}}^{q}$.
Somit ist eine Folge von $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {L}}^{p}$ schwach konvergent in $L^{p}$, wenn
    $\lim _{n\to \infty }T_{g}(f_{n})=T_{g}(f)$
für alle $g\in {\mathcal {L}}^{q}$, was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ${\mathcal {L}}^{p}$ ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.

## Eindeutigkeit

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ${\mathcal {L}}^{p}$ ist nur bis auf eine $\mu$-Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen $f$ und schwach gegen $g$ konvergiert folgt, dass $f=g$ $\mu$-fast überall ist.
Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in $L^{p}$ aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.

## Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen
### Konvergenz lokal nach Maß

Aus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für $p\in (1,\infty )$ unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${\mathcal {L}}^{p}$ gegen $f\in {\mathcal {L}}^{p}$ lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen $(\|f_{n}\|_{p})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen $f$.
Für $p=1$ ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda |_{[0,1]})$, so konvergiert die Folge
    $f_{n}=n\chi _{[0,1/n]}$
lokal nach Maß gegen 0 und es ist $\|f_{n}\|_{1}=1$ für alle $n$. Aber für die konstante Funktion $g=1$ aus ${\mathcal {L}}^{\infty }$ ist dann
    $\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \lambda =1$.
Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.

### Konvergenz im p-ten Mittel

Jede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für $p\in [1,\infty )$ auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt
    $\left|\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu -\int _{X}fg\mathrm {d} \mu \right|\leq \|f_{n}-f\|_{p}\|g\|_{q}$,
somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für $p\in (1,\infty )$ eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.