# Van-Hove-Singularität

Eine Van-Hove-Singularität ist ein „Knick“ (nicht-differenzierbare Stelle) in der Zustandsdichte von Festkörpern. Der häufigste Anwendungsfall des Konzepts der Van-Hove-Singularität tritt bei der Analyse von optischen Absorptionsspektren auf. Benannt sind die Singularitäten nach dem belgischen Physiker Léon Van Hove, der das Phänomen 1953 erstmals für die Zustandsdichte von Phononen beschrieb.

## Theorie

Betrachtet man ein eindimensionales Gitter, also eine Kette der Länge $L$ aus $N$ Teilchen, wobei benachbarte Teilchen einen Abstand $a$ haben, ergibt sich für den Betrag des Wellenvektors $k$ einer stehenden Welle ein Ausdruck der Form:
    $k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi n}{L}}$
wobei $\lambda$ die Wellenlänge und $n$ eine ganze Zahl ist. Die kleinste mögliche Wellenlänge ist $2a$. Dies entspricht der größtmöglichen Wellenzahl $k_{\mathrm {max} }=\pi /a$ und korrespondiert mit dem maximalen $|n|:n_{\mathrm {max} }=L/2a$. Die Zustandsdichte $g(k)$ ist nun so definiert, dass $g(k)dk$ die Anzahl von stehenden Wellen gibt, deren Wellenvektor im Intervall von $k$ bis $k+dk$ liegt:
    $g(k)dk={\frac {dn}{2n_{\mathrm {max} }}}={\frac {a}{2\pi }}\,dk$
Dehnt man die Betrachtung auf drei Dimensionen aus, ergibt sich:
    $g({\vec {k}})d^{3}k={\frac {a^{3}}{(2\pi )^{3}}}\,d^{3}k$
wobei $d^{3}k$ ein Volumenelement im $k$-Raum ist.

### Übergang zur Zustandsdichte pro Energie

Nach der Kettenregel gilt
    $dE={\frac {\partial E}{\partial k_{x}}}dk_{x}+{\frac {\partial E}{\partial k_{y}}}dk_{y}+{\frac {\partial E}{\partial k_{z}}}dk_{z}={\vec {\nabla }}E\cdot d{\vec {k}}$,
wobei ${\vec {\nabla }}$ der Gradient im $k$-Raum ist. Die Menge an Punkten im $k$-Raum, die einer bestimmten Energie $E$ entsprechen, bilden eine Oberfläche im $k$-Raum; der Gradient von $E$ steht in jedem Punkt senkrecht auf dieser Ebene. Für die Zustandsdichte als Funktion von $E$ ergibt sich somit:
    $g(E)dE=\int _{\partial E}g({\vec {k}})\,d^{3}k={\frac {a^{3}}{(2\pi )^{3}}}\int _{\partial E}dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}$
wobei das Integral über die Oberfläche $\partial E$ mit konstantem $E$ zu bilden ist. Nun führt man Koordinaten $k'_{x},k'_{y},k'_{z}\,$ ein, bei denen $k'_{z}\,$ senkrecht auf der Oberfläche steht. Nach diesem Koordinatenwechsel ist:
    $dE={\vec {\nabla }}E\cdot d{\vec {k}}={\vec {\nabla }}E\cdot d{\vec {k}}'=|{\vec {\nabla }}E|\,dk'_{z}$.
In den Ausdruck für $g(E)$ eingesetzt, ergibt sich:
    $g(E)={\frac {a^{3}}{(2\pi )^{3}}}\ \int \!\int {\frac {dk'_{x}\,dk'_{y}}{|{\vec {\nabla }}E|}}$
wobei der $dk'_{x}\,dk'_{y}$ Term einem Flächenelement auf der Äquienergie-Fläche ($E=$ const.) entspricht.

### Die Singularitäten

An Punkten im $k$-Raum, an denen ${|{\vec {\nabla }}E|}$ verschwindet und die Dispersionsrelation somit ein Extremum hat, divergiert die Zustandsdichte $g(E)$. Diese Punkte werden Van-Hove-Singularitäten genannt.
Eine detaillierte Analyse (Bassani 1975) zeigt, dass es in drei Dimensionen vier Typen von Van-Hove-Singularitäten gibt. Diese unterscheiden sich dahingehend ob das Band ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Sattelpunkt erster bzw. zweiter Art aufweist. Die Funktion $g(E)$ tendiert in drei Dimensionen auf Grund der sphärischen Form der Fermiflächen für freie Elektronen zu quadratwurzelartigen Singularitäten. Obwohl ihre Ableitung divergiert, divergiert die Zustandsdichte daher nicht, wie in der Abbildung zu sehen ist.
    $E=\hbar ^{2}k^{2}/2m\$ so dass $\ |{\vec {\nabla }}E|=\hbar ^{2}k/m=\hbar {\sqrt {\frac {2E}{m}}}$.
In zwei Dimensionen divergiert die Zustandsdichte logarithmisch, in einer Dimension wird sie unendlich, wenn ${\vec {\nabla }}E$ Null ist.