# Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

## Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $G$ ein Monoid, dann ist
    $R[G]:=\{\alpha \colon G\to R{\ {\big |}\ }\alpha (x)=0{\text{ für alle bis auf endlich viele }}x\}\,$
mit der Addition
    $(\alpha +\beta )(x):=\alpha (x)+\beta (x)$
und der Faltung
    $(\alpha \beta )(z):=\sum _{xy=z}{\alpha (x)\beta (y)}$
als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt $a\cdot x$ oder einfach $ax$ für die Abbildung $\alpha \in R[G]$, die an der Stelle $x$ den Wert $a$ und ansonsten $0$ annimmt. Beispielsweise gilt dann
    $(a\cdot x)(b\cdot y)=(ab)\cdot (xy)\quad {\text{für }}a,b\in R{\text{ und }}x,y\in G.$
$R[G]$ besitzt ein Einselement, nämlich $1\cdot e$, wobei $1$ das Einselement von $R$ und $e$ das Neutralelement von $G$ ist.
Ist $G$ eine Gruppe, so heißt $R[G]$ Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise $RG$ ist üblich.
$R[G]$ wird zur $R$-Algebra via $r\sum _{i}r_{i}g_{i}:=\sum _{i}rr_{i}g_{i}$

## Eigenschaften

* $R[G]$ ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn $G$ als Monoid kommutativ ist oder $R$ der Nullring ist.
* Jedes Element $\alpha \in R[G]$ lässt sich eindeutig schreiben als $\alpha =\sum _{x\in G}a_{x}\cdot x$ mit $a_{x}:=\alpha (x)$
* Falls $R$ nicht der Nullring ist, sind $R$ und $G$ auf natürliche Weise in $R[G]$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen $f_{0}\colon R\to R[G],~f_{0}(r)=r\cdot e$ und $f_{1}\colon G\to R[G],~f_{1}(x)=1\cdot x$, wobei $1\cdot x$ wie oben definiert ist.
* Falls $R$ der Nullring ist, dann ist $R[G]$ isomorph zum Nullring
* Falls $G$ ein Monoid ist, $A,B$ kommutative Ringe und $f\colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $h\colon A[G]\to B[G]$. sodass $h\left(\sum _{x\in G}a_{x}x\right)=\sum _{x\in G}f(a_{x})x$

## Universelle Eigenschaft

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien $G$ und $R$ wie oben definiert. Es bezeichne $\mathbf {Mon}$ die Kategorie der Monoide und $\mathbf {Alg_{R}}$ die Kategorie der (assoziativen) $R$-Algebren. Sei $U\colon \mathbf {Alg_{R}} \to \mathbf {Mon}$ der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder $R$-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.
Dann ist die kanonische Einbettung $\phi \colon G\to U(R[G]),g\mapsto 1g$ universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus $f\colon G\to U(A)$ in das multiplikative Monoid einer $R$-Algebra $A$ haben, dann existiert genau ein $R$-Algebra-Homomorphismus ${\bar {f}}\colon R[G]\to A$, so dass $U({\bar {f}})\circ \phi =f$.
In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht ${\bar {f}}$ wie folgt aus: ${\bar {f}}\left(\sum _{i}r_{i}g_{i}\right)=\sum _{i}r_{i}f(g_{i})$.
Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über $R$ zuordnet, mit $F$ bezeichnen, ist also $F$ linksadjungiert zu $U$. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

## Beispiele

* $R[\mathbb {N} _{0}]$ ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über $R$.
* Ist allgemeiner $G$ ein freies kommutatives Monoid in $n$ Erzeugern, so ist $R[G]$ isomorph zum Polynomring in $n$ Unbestimmten über $R$.

## Spezialfälle

* Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist $G$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring $\mathbb {C} [G]$ keine Information über die topologische Struktur von $G$. Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei $\mu$ ein linksinvariantes Haarmaß auf $G$, dann bildet der Raum $L^{1}(G,\mu )$ mit der Faltung
       $(f*g)(\sigma )=\int _{G}f(\tau )g(\tau ^{-1}\sigma )\,\mathrm {d} \mu (\tau )$
    als Produkt eine Banachalgebra.
* Ist $A$ ein Ring und $G$ eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.
       aus $\alpha <\beta$ und $\gamma <\delta$ folgt $\alpha \gamma <\beta \delta$,
    so sei
       $S(G,A)=\{f\colon G\to A\mid \operatorname {supp} f{\text{ wohlgeordnet}}\}$
    mit $\operatorname {supp} f:=\{g\in G\mid f(g)\neq 0\}$. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird $S(G,A)$ zu einem Ring. Ist $A$ ein Körper, so ist $S(G,A)$ ein Schiefkörper. Ist beispielsweise $G=\mathbb {Z}$ mit der natürlichen Ordnung, so ist $S(G,A)$ der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in $A$.