# Kommakategorie

Eine Kommakategorie ist eine Konstruktion in der mathematischen Kategorientheorie, die 1963 von F. W. Lawvere eingeführt wurde. Der Name ergibt sich aus der ursprünglich von Lawvere verwendeten Notation.

## Definition

Für die allgemeinste Konstruktion der Kommakategorie betrachtet man zwei Funktoren. Typischerweise ist einer von beiden auf der terminalen Kategorie definiert: viele kategorientheoretische Darstellungen betrachten nur diesen Fall.
Seien ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$ und ${\mathcal {C}}$ Kategorien, $T$ und $S$ Funktoren ${\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {B}}$. Die Kommakategorie $(T\downarrow S)$ ist folgendermaßen definiert:
* Die Objekte sind Tripel $(\alpha ,\beta ,f)$, wobei $\alpha$ Objekt in ${\mathcal {A}}$, $\beta$ Objekt in ${\mathcal {B}}$ und $f:T(\alpha )\rightarrow S(\beta )$ Pfeil in ${\mathcal {C}}$ ist.
* Die Pfeile von $(\alpha ,\beta ,f)$ nach $(\alpha ',\beta ',f')$ sind Paare $(g,h)$, wobei $g\colon \alpha \rightarrow \alpha '$ und $h\colon \beta \rightarrow \beta '$ jeweils Pfeile in ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ sind, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
       ${\begin{matrix}T(\alpha )&{\xrightarrow {T(g)}}&T(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\S(\beta )&{\xrightarrow[{S(h)}]}&S(\beta ')\end{matrix}}$
    Die Verkettung von Pfeilen ist durch $(g,h)\circ (g',h'):=(g\circ g',h\circ h')$ definiert.

## Spezialfälle
### Kategorie der Objekte unter A

Der erste Spezialfall tritt ein, wenn ${\mathcal {A}}={\boldsymbol {1}}$ terminal (d. h. es gibt genau ein Objekt und dessen Identität ist der einzige Morphismus) und $S$ identischer Funktor ist (also ${\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$). Dann ist in obiger Definition $T(\alpha )=A$ für ein festes Objekt $A$ in ${\mathcal {C}}$. Die diesbezügliche Kommakategorie heißt Kategorie der Objekte unter $A$, geschrieben $(A\downarrow {\mathcal {C}})$. Die Objekte $(\alpha ,\beta ,f)$ können kurz $(\beta ,f)$ notiert werden, da die Festlegung von $A$ die Angabe von $\alpha$ überflüssig macht; $f:T(\alpha )\rightarrow S(\beta )$ notieren wir kurz als $f:A\rightarrow \beta$ - oft wird $f$ auch $i_{\beta }$ genannt, insbesondere, wenn es sich um Injektionen handelt. Ähnlich können wir die Darstellung eines Pfeils $(g,h):(B,i_{B})\rightarrow (B',i_{B'})$ auf $h:B\rightarrow B'$ reduzieren, da $g$ stets als $id_{A}$ gewählt wird. Das folgende Diagramm kommutiert:
$(A,id_{A})$ ist ein Anfangsobjekt von $(A\downarrow {\mathcal {C}})$. Ist $A$ bereits ein Anfangsobjekt von ${\mathcal {C}}$, so ist $(A\downarrow {\mathcal {C}})$ isomorph zu ${\mathcal {C}}$.
Beispiele:
* Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kategorie der topologischen Räume unter einem fest gewählten einpunktigen Raum.
* Die Kategorie der kommutativen, unitären $k$-Algebren für einen Körper $k$ ist isomorph zur Kategorie der kommutativen, unitären Ringe unter $k$.

### Kategorie der Objekte über A

Analog können wir $T$ identisch und ${\mathcal {B}}$ terminal wählen. Wir erhalten dann die Kategorie der Objekte über $A$ (wobei $A$ das durch $S$ ausgewählte Objekt von ${\mathcal {C}}$ ist). Diese Kommakategorie notieren wir als $({\mathcal {C}}\downarrow A)$; in der algebraischen Geometrie ist die Bezeichnung ${\mathcal {C}}/A$ üblich. Sie ist das duale Konzept zu Objekten unter $A$. Die Objekte sind Paare $(\beta ,\pi _{\beta })$ mit $\pi _{\beta }:\beta \rightarrow A$; dabei steht $\pi$ für Projektion auf $A$. Ein Pfeil in der Kommakategorie mit Quelle $(B,\pi _{B})$ und Ziel $(B',\pi _{B'})$ wird durch eine Abbildung $g:B\rightarrow B'$ gegeben, die das folgende Diagramm kommutieren lässt:
$A$ ist ein Endobjekt von $({\mathcal {C}}\downarrow A)$. Ist $A$ bereits ein Endobjekt von ${\mathcal {C}}$, so ist $({\mathcal {C}}\downarrow A)$ isomorph zu ${\mathcal {C}}$.