# Lane-Emden-Gleichung

Die astrophysikalische Lane-Emden-Gleichung beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel, deren Zustandsgleichung die einer polytropen Flüssigkeit ist. Ihre Lösungen beschreiben die Abhängigkeit des Drucks und der Dichte vom Radius $r$ und erlauben somit Rückschlüsse auf die Stabilität und Ausdehnung der Kugel. Sie ist benannt nach den Astrophysikern Jonathan Homer Lane (1819–1880) und Robert Emden (1862–1940); Lane schlug sie 1870 als mathematisches Modell zur Untersuchung der inneren Struktur der Sterne vor. Lord Kelvin und August Ritter waren an der Entwicklung dieser Gleichung ebenfalls maßgeblich beteiligt.

## Physikalischer Kontext

Eine polytrope Flüssigkeit genügt der Gleichung $\textstyle P=K\rho ^{\gamma }$ ($P$: Druck, $\textstyle \rho$: Dichte). Man verwendet allerdings statt $\textstyle \gamma$ meist den Polytropenindex $\textstyle n$, der wie folgt definiert ist: $\textstyle \gamma =1+{\frac {1}{n}}$. Sternmaterie kann in guter Näherung als polytropes Fluid angesehen werden, so etwa entartetes Gas, das in Abhängigkeit davon, ob es relativistisch oder nicht-relativistisch ist, einen Polytropenindex von $\textstyle n=3\,\mathrm {bzw.} \,1,\!5$ besitzt (d. h. $\textstyle \gamma ={\frac {4}{3}}\,\mathrm {bzw.} \,{\frac {5}{3}}$).

## Herleitung

Die Gleichgewichtsbedingung lautet allgemein für isentrope Kugeln: $\textstyle \varphi +H=const$. Dabei ist $\textstyle \varphi$ das gravitative Potential, $\textstyle H=(n+1){\frac {P}{\rho }}$ die Enthalpie. Nach Anwendung des Laplace-Operators auf beiden Seiten ergibt sich $\textstyle \Delta (\varphi +H)=0$.
Mit der Definition $\textstyle \rho =\lambda \theta ^{n}$ und entsprechend $\textstyle P=K\lambda ^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ ist die Enthalpie $\textstyle H=(n+1)K\lambda ^{1/n}\theta$.
Mit der Poisson-Gleichung $\textstyle \Delta \varphi =4\pi G\lambda \theta ^{n}$ wird aus der Gleichgewichtsbedingung: $\textstyle 4\pi G\lambda \theta ^{n}+(n+1)K\lambda ^{1/n}\Delta \theta =0$. Mit der Maßstabstransformation $\textstyle r=\alpha \xi$ und einem günstig gewählten $\textstyle \alpha$, so dass $\textstyle 4\pi G\lambda ={\frac {(n+1)K\lambda ^{1/n}}{\alpha ^{2}}}$ erhält man
    ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$
Wenn man $\textstyle \lambda$ mit der Dichte im Zentrum $\textstyle \rho _{c}$ identifiziert, ergibt sich $\textstyle \xi =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$ und $\textstyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}$.

## Lösungen

Die Anfangsbedingungen sind $\textstyle \theta (0)=1$ und $\textstyle \left.{\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}\xi }}\right|_{\xi =0}=0$. Die Nullstelle von $\textstyle \xi$, notiert als $\textstyle \xi _{1}$, legt die Grenze der Kugel, in der Anwendung also die Grenze des Sterns, fest.
Die Lane-Emden-Gleichung lässt sich für n = 0, 1 und 5 analytisch lösen. Während die ersten beiden Fälle auf einfach zu lösende Gleichungen führen, sind alle übrigen deutlich komplizierter. Die Lösung für n = 5 wurde 1885 von Arthur Schuster, später auch unabhängig davon von Emden selbst gefunden. Die drei analytischen Lösungen sind in der Tabelle dargestellt:
| n = | 0 | 1 | 5 |
| $\theta$ = | $1-{\frac {\xi ^{2}}{6}}$ | ${\frac {\sin \xi }{\xi }}$ | $\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ |
| $\xi _{1}$ = | ${\sqrt {6}}$ | $\pi$ | ∞ |
Für n = 1 wird die Gleichung zu einer sphärischen Besselschen Differentialgleichung mit der sinc-Funktion als Lösung.

## Radius

Mit der Definition für $\textstyle \xi$ gilt für den Radius des Sterns (im Gleichgewicht)
    $R={\sqrt {\frac {(n+1)P_{\rm {c}}}{4\pi G\rho _{\rm {c}}^{2}}}}\;\xi _{1}$.
Für n = 1 ist wegen $\textstyle P_{\rm {c}}=K\rho _{\rm {c}}^{2}$ der Radius unabhängig von der Gesamtmasse bzw. der Dichte im Zentrum. Der Stern enthält im gleichen Volumen beliebig viel Masse, die die Gleichgewichtsbedingung erfüllt.