# Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite $f$ einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.

## Grundlagen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position $P_{1}$ ist das Bild vergrößert, in der Position $P_{2}$ ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand $a$ des Gegenstandes zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite $f$ zuzüglich der Distanz ${\overline {HH'}}$ der beiden Hauptebenen der Linse:
    $a>4f+{\overline {HH'}}$
Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände $x_{1}$ und $x_{2}$ von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand $e$ der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen
    $f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}$ für dünne Linsen,
    $f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}}$ für dicke Linsen
berechnet werden kann.
Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von ${\overline {HH'}}$ zu groß, abhängig von $a$.
Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

## Herleitung
### Dünne Linsen

1. Herleitung: Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:
    $b+g=a$,
wobei $b$ die Bildweite und $g$ die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:
    $e=a-2b$
(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand $e$ der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung
    ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}}$
und Einsetzen von $g=a-b$ sowie
    $b={\frac {a-e}{2}}$
erhält man
    ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{\frac {a-e}{2}}}+{\frac {1}{a-{\frac {a-e}{2}}}}={\frac {2}{a-e}}+{\frac {2}{a+e}}={\frac {4a}{a^{2}-e^{2}}}$.
Die Umformung ergibt
    $f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}$.
2. Herleitung: Unter Benutzung der Linsengleichung
    ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}}$
und Einsetzen von $b=a-g$ (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für $g$:
    ${\frac {1}{f}}={\frac {a}{ag-g^{2}}}$.
Wird diese quadratische Gleichung nach $g$ aufgelöst, erhält man
    $e=\Delta g={\sqrt {a^{2}-4af}}$.
wobei $e$ als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten $g$ definiert ist. Die Umformung ergibt
    $f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}$ .

### Dicke Linsen

Der Abstand der Hauptebenen ${\overline {HH'}}$ ist nicht vernachlässigbar. Es gilt
    $a=g+b+{\overline {HH'}}$ und
    $e=(a-{\overline {HH'}})-2b$ .
Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel
    $f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}}$ .