# Brunsche Konstante

Die Brunsche Konstante ist eine mathematische Konstante aus dem Bereich der Zahlentheorie. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Viggo Brun, welcher ihre Existenz durch Verwendung des nach ihm benannten Siebes bewiesen hat.

## Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge

Im Jahr 1919 zeigte der Mathematiker Viggo Brun, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge (Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt) konvergiert. Der Grenzwert $B_{2}$ dieser Summe wird Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge genannt:
    $B_{2}=\textstyle \!\sum \limits _{p,p+2\;{\text{prim}}}\!({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}})=({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}})+({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}})+({\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}})+({\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}})+({\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}})+\ldots$
Dieses Ergebnis der analytischen Zahlentheorie ist auf den ersten Blick überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, wie bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler bewiesen wurde. Wäre auch $B_{2}$ divergent, hätte man einen Beweis für die bis heute offene Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (Alphonse de Polignac (1817–1890) 1849). Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht auf das Gegenteil schließen.

### Berechnung

Die Idee zur Berechnung besteht darin, dass die Summation zunächst möglichst weit durchgeführt wird und dann der fehlende Rest abgeschätzt wird. So haben Daniel Shanks und John William Wrench, Jr. (1911–2009) alle Primzahlzwillinge unterhalb 2·10$^6$ benutzt.
Eine Schätzung
    $B_{2}\approx 1{,}90216\ 05831\ 04$ (Folge A065421 in OEIS)
stammt von Pascal Sebah aus dem Jahr 2002, der hierfür alle Primzahlzwillinge bis 10$^{16}$ betrachtete. Die Berechnung von $B_{2}$ ist allerdings außerordentlich schwierig, zum einen, da die Reihe sehr langsam konvergiert, zum anderen, da das Auffinden aller großen Primzahlzwillinge äußerst kompliziert ist (siehe auch: Primzahltests).
Die bislang genaueste Abschätzung ist (Stand 16. März 2010)
    $B_{2}=1{,}90216\ 05832\ 09\pm 0{,}00000\ 00007\ 81.$
Hierfür wurden die Kehrwerte aller 19.831.847.025.792 Primzahlzwillinge unterhalb 2·10$^{16}$ summiert:
    $\textstyle \sum \limits _{p,p+2\;{\text{prim}} \atop <2\cdot 10^{16}}({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}})=1{,}83180\ 80634\ 32379\ 01198\ 41239\ 12086\ 74712\ 537\ldots$
und der Restterm abgeschätzt.

## Brunsche Konstante für Primzahldrillinge

Neben $B_{2}$ gibt es noch zwei weitere Brunsche Konstanten $B_{3a}$ und $B_{3b}$ für Primzahldrillinge.
Die ersten drei Primzahldrillinge der Form $(p,p+2,p+6)$ sind (5, 7, 11), (11, 13, 17) und (17, 19, 23). Auch in diesem Fall konvergiert die Summe und es gilt (Stand 16. März 2010):
    $B_{3a}=\left({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}\right)+\left({\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}\right)+\left({\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{23}}\right)+\ldots \approx 1{,}09785\ 10396\ 79$
Die ersten drei Primzahldrillinge der Form $(p,p+4,p+6)$ sind (7, 11, 13), (13, 17, 19) und (37, 41, 43). Die Summe konvergiert ebenfalls und es gilt (Stand 16. März 2010):
    $B_{3b}=\left({\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}\right)+\left({\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}\right)+\left({\tfrac {1}{37}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}\right)+\ldots \approx 0{,}83711\ 32124\ 11$

## Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge

Neben $B_{2}$ gibt es noch die Brunsche Konstante $B_{4}$ für Primzahlvierlinge, Paare von Primzahlzwillingen, die einen Abstand von 4 haben (dies ist der kleinstmögliche Abstand zweier Primzahlzwillinge zueinander). Die ersten drei Primzahlvierlinge sind (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) und (101, 103, 107, 109), also
    $B_{4}=\left({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}\right)+\left({\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}\right)+\left({\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{103}}+{\tfrac {1}{107}}+{\tfrac {1}{109}}\right)+\ldots$
Da alle Summanden von $B_{4}$ auch in $B_{2}$ vorkommen und bis auf ${\tfrac {1}{11}}$ und ${\tfrac {1}{13}}$ keine Summanden doppelt vorhanden sind, konvergiert auch diese Reihe. Sie hat den Wert (Stand 16. März 2010)
    $B_{4}=0{,}87058\ 83799\ 75\pm 0{,}00000\ 00001\ 14$ (Folge A213007 in OEIS).

## Trivia

* 1994 entdeckte Thomas R. Nicely bei einer Abschätzung von $B_{2}$ über alle Primzahlzwillinge bis 10$^{14}$ den sogenannten Pentium-FDIV-Bug.
* Gelegentlich wird die Aussage über die Konvergenz der Summe der Reziproken aller Primzahlzwillinge (also die Existenz und Berechenbarkeit der Brunschen Konstanten) als Brunscher Witz bezeichnet. Der mathematische Witz liegt darin, dass trotz des präzisen Ergebnisses von Brun die eigentlich interessierende Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, offenbleibt (und die bejahende Vermutung bis heute nicht bewiesen werden konnte).