# Hilbertalgebra

Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

## Definitionen

Eine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra $A$ über dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution $x\mapsto x^{*}$ und einem Skalarprodukt $\langle \cdot |\cdot \rangle$, das $A$ zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* $\langle x|y\rangle =\langle y^{*}|x^{*}\rangle$ für alle $x,y\in A$
* $\langle xy|z\rangle =\langle y|x^{*}z\rangle$ für alle $x,y,z\in A$
* Für jedes $x\in U$ ist die Abbildung $A\rightarrow A,\,y\mapsto xy$ stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
* Aus $\langle xy|z\rangle =0$ für alle $x,y\in A$ folgt $z=0$.
Im Folgenden sei $H$ der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von $A$ ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung $J:H\rightarrow H$ fortsetzt, für die
    $J^{2}=\mathrm {id} _{H}$ und $\langle Jx|Jy\rangle =\langle y|x\rangle$ für alle $x,y\in H$
gilt, man nennt $J$ die kanonisch durch $A$ definierte Involution auf $H$.
Die Abbildungen $y\mapsto xy$ und $y\mapsto yx$ setzen sich für jedes $x\in A$ zu stetigen linearen Operatoren $U_{x}:H\rightarrow H$ und $V_{x}:H\rightarrow H$ fort, so dass gilt:
    $x\mapsto U_{x}$ ist ein involutiver Homomorphismus
    $x\mapsto V_{x}$ ist ein involutiver Antiomomorphismus
    $U_{x}V_{y}=V_{y}U_{x}$ für alle $x,y\in A$
    $JU_{x}J=V_{x^{*}}$ und $JV_{x}J=U_{x^{*}}$ für alle $x\in A$
Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von $\{U_{x}|x\in A\}$ und $\{V_{x}|x\in A\}$ werden mit $U=U(A)$ und $V=V(A)$ bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu $A$. Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität $\mathrm {id} _{H}$ enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.
Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form $U(A)=$ ist.

## Beispiel

Die H*-Algebra Algebra $A$ der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum $H$ ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet ${\overline {H}}$ den konjugierten Hilbertraum, so ist $A$ isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt ${\overline {H}}\otimes H$. Für $\xi ,\eta \in H$ ist $\xi \otimes \eta$ der eindimensionale Operator $H\rightarrow H,(\xi \otimes \eta )\zeta :=\langle \zeta ,\eta \rangle \xi$, wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist
    $(\xi _{1}\otimes \eta _{1})(\xi _{2}\otimes \eta _{2})\zeta =(\xi _{1}\otimes \eta _{1})(\langle \zeta ,\xi _{2}\rangle \eta _{2})=\langle \zeta ,\xi _{2}\rangle \langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle \eta _{1}=\langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle (\xi _{2}\otimes \eta _{1})\zeta$
und daher
    $(\xi _{1}\otimes \eta _{1})(\xi _{2}\otimes \eta _{2})=\langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle (\xi _{2}\otimes \eta _{1})$,
also
    $U_{\xi _{1}\otimes \eta _{1}}(\xi _{2}\otimes \eta _{2})=\langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle (\xi _{2}\otimes \eta _{1})=\xi _{2}\otimes (\langle \xi _{1},\eta _{2}\rangle \eta _{1})$
    $=\xi _{2}\otimes ((\xi _{1}\otimes \eta _{1})\eta _{2})=(\mathrm {id} _{H}{\overline {\otimes }}(\xi _{1}\otimes \eta _{1}))(\xi _{2}\otimes \eta _{2})$,
wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man
    $U(A)=\mathbb {C} \cdot 1_{\overline {H}}\,{\overline {\otimes }}\,L(H)$
ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren $\xi _{1}\otimes \eta _{1}$ liegen dicht in den jeweiligen Algebren.

## Semiendliche Von-Neumann-Algebren

Die Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren. Ist $A$ eine Hilbertalgebra, so ist durch $\phi (U_{a}^{*}U_{a}):=\langle a|a\rangle$ eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die $U(A)$ zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt $U$ eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist $A:=\{a\in U|\phi (a^{*}a)<\infty ,\phi (aa^{*})<\infty \}$ mit dem durch $\langle a|b\rangle :=\phi (b^{*}a)$ definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu $U$ isomorph ist.

## Verallgemeinerte Hilbertalgebra

Eine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra $A$ über dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution $x\mapsto x^{*}$ und einem Skalarprodukt $\langle \cdot |\cdot \rangle$, das $A$ zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
* Die Abbildung $x\mapsto x^{*}$ ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung $H$.
* $\langle xy|z\rangle =\langle y|x^{*}z\rangle$ für alle $x,y,z\in A$
* Für jedes $x\in U$ ist die Abbildung $A\rightarrow A,\,y\mapsto xy$ stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
* Aus $\langle xy|z\rangle =0$ für alle $x,y\in A$ folgt $z=0$.
Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.
Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung $A\rightarrow A$, $x\mapsto x^{*}$ abschließbar ist, das heißt aus $x_{n}\rightarrow 0$ und $x_{n}^{*}\rightarrow z$ bereits $z=0$ folgt. Für jedes $y\in A$ folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra
    $\langle z,y\rangle =\lim _{n\to \infty }\langle x_{n}^{*},y\rangle =\lim _{n\to \infty }\langle y^{*},x_{n}\rangle =\langle y^{*},0\rangle =0$
und daher $z=0$, denn $y\in A$ war beliebig, das heißt $z$ steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.
Wie oben setzen sich die Abbildungen $y\mapsto xy$ zu Operatoren $U_{x}$ auf $H$ fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von $A$. Der Abschluss $S$ der Abbildung $x\mapsto x^{*}$ heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung $\textstyle S=J\Delta$ führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.
Eine beliebige Von-Neumann-Algebra $U$ hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht $\omega$. Dann ist $A:=\{a\in U|\,\omega (a^{*}a)<\infty ,\omega (aa^{*})<\infty \}$ eine verallgemeinerte Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu $U$ isomorph ist.