# Positives Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra positiv, wenn es eine Summe von Elementen der Form $a^{*}a$ ist.

## Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ positiv, falls endlich viele Elemente $a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)$ existieren, sodass a=∑$_{k=1}$$^n$a$_k$$^∗$a$_k${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{*}a_{k}} gilt. Man schreibt dafür auch $a\geq 0$.
Die Menge der positiven Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{+}$ bezeichnet.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

## Beispiele

* Das Einselement $e$ einer unitären *-Algebra ist positiv.
* Für jedes Element $a\in {\mathcal {A}}$ sind $a^{*}a$ und $aa^{*}$ per Definition positiv.
Falls ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra ist, gilt:
* Sei $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element, dann definiert jede positive Funktion $f\geq 0$, die auf dem Spektrum von $a$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein positives Element $f(a)$.
* Jede Projektion, das heißt jedes Element $a\in {\mathcal {A}}$ für das $a=a^{*}=a^{2}$ gilt, ist positiv. Für das Spektrum $\sigma (a)$ eines solchen idempotenten Elements gilt nämlich $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$, wie sich aus dem stetigen Funktionalkalkül ergibt.

## Kriterien

Sei ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}$. Dann sind äquivalent:
* Es gilt $\sigma (a)\subseteq [0,\infty )$ und $a$ ist ein normales Element.
* Es existiert ein Element $b\in {\mathcal {A}}$, sodass $a=bb^{*}$ gilt.
* Es existiert ein (eindeutiges) selbstadjungiertes Element $c\in {\mathcal {A}}_{sa}$, sodass $a=c^{2}$ gilt.
Ist ${\mathcal {A}}$ eine unitäre *-Algebra mit Einselement $e$, so sind dazu außerdem die folgenden Aussagen äquivalent:
* Es gilt $\left\|te-a\right\|\leq t$ für jedes $t\geq \left\|a\right\|$ und $a$ ist selbstadjungiertes Element.
* Es gilt $\left\|te-a\right\|\leq t$ für ein $t\geq \left\|a\right\|$ und $a$ ist selbstadjungiertes Element.

## Eigenschaften
### In *-Algebren

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:
* Ist $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ ein positives Element, dann ist $a$ selbstadjungiert.
* Die Menge der positiven Elemente ${\mathcal {A}}_{+}$ ist ein konvexer Kegel im reellen Vektorraum der selbstadjungierten Elemente ${\mathcal {A}}_{sa}$. Das heißt, für alle $a,b\in {\mathcal {A}}$ und $\alpha \in [0,\infty )$ gilt $\alpha a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}$.
* Ist $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ ein positives Element, dann ist auch $b^{*}ab$ positiv für jedes Element $b\in {\mathcal {A}}$.
* Für die lineare Hülle von ${\mathcal {A}}_{+}$ gilt $\langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}$ und ${\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap {\mathcal {A}}^{2}$.

### In C*-Algebren

Sei ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra. Dann gilt:
* Nach dem stetigen Funktionalkalkül existiert für jedes $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ und $n\in \mathbb {N}$ ein eindeutig bestimmtes $b\in {\mathcal {A}}_{+}$, das $b^{n}=a$ erfüllt, das heißt eine $n$-te Wurzel. Insbesondere existiert für ein positives Element eine Quadratwurzel. Da für ein $b\in {\mathcal {A}}$ das Element $b^{*}b$ positiv ist, ermöglicht dies die Definition eines eindeutigen Betrags: |b|=(b$^∗$b)$^{1/2}${\textstyle |b|=(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}.
* Für jede reelle Zahl $\alpha \geq 0$ gibt es ein positives Element $a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}$ für das $a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ für alle $\beta \in [0,\infty )$ gilt. Dabei ist die Abbildung $\alpha \mapsto a^{\alpha }$ stetig. Für invertierbare $a$ sind auch negative Werte für $\alpha$ möglich.
* Produkte kommutierender positiver Elemente sind ebenfalls positiv. Gilt also $ab=ba$ für positive $a,b\in {\mathcal {A}}_{+}$, so gilt $ab\in {\mathcal {A}}_{+}$.
* Jedes Element $a\in {\mathcal {A}}$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von vier positiven Elementen darstellen. Hierzu zerlegt man $a$ zunächst in den selbstadjungierten Real- und Imaginärteil und diese wiederum in Positiv- und Negativteil mittels stetigem Funktionalkalkül. Es gilt nämlich ${\mathcal {A}}_{sa}={\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}$, da ${\mathcal {A}}^{2}={\mathcal {A}}$.
* Es gilt $a=0$, falls sowohl $a$ als auch $-a$ positiv sind.
* Ist ${\mathcal {B}}$ eine C*-Unteralgebra von ${\mathcal {A}}$, so gilt ${\mathcal {B}}_{+}={\mathcal {B}}\cap {\mathcal {A}}_{+}$.
* Ist ${\mathcal {B}}$ eine weitere C*-Algebra und $\Phi$ ein *-Homomorphismus von ${\mathcal {A}}$ nach ${\mathcal {B}}$, dann gilt $\Phi ({\mathcal {A}}_{+})=\Phi ({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}}_{+}$.
* Seien $a,b\in {\mathcal {A}}_{+}$ positive Elemente für die $ab=0$ gilt, so kommutieren diese und es gilt $\left\|a+b\right\|=\max(\left\|a\right\|,\left\|b\right\|)$. Man nennt diese dann auch orthogonal und schreibt $a\bot b$.

## Partielle Ordnung

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Die Eigenschaft, positives Element zu sein, definiert eine translationsinvariante partielle Ordnung auf der Menge der selbstadjungierten Elemente ${\mathcal {A}}_{sa}$. Wenn $b-a\in {\mathcal {A}}_{+}$ gilt für $a,b\in {\mathcal {A}}$, schreibt man $a\leq b$ oder $b\geq a$.
Diese partielle Ordnung erfüllt die Eigenschaften $ta\leq tb$ und $a+c\leq b+c$ für alle $a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}$ mit $a\leq b$ und $t\in [0,\infty )$.
Ist ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra, so besitzt die partielle Ordnung darüber hinaus für $a,b\in {\mathcal {A}}$ die folgenden Eigenschaften:
* Gilt $a\leq b$, so ist $c^{*}ac\leq c^{*}bc$ für jedes $c\in {\mathcal {A}}$. Für ein $c\in {\mathcal {A}}_{+}$, das mit $a$ und $b$ kommutiert, gilt sogar $ac\leq bc$.
* Gilt $-b\leq a\leq b$, so ist $\left\|a\right\|\leq \left\|b\right\|$.
* Gilt $0\leq a\leq b$, so ist a$^α$≤b$^α${\textstyle a^{\alpha }\leq b^{\alpha }} für alle reellen Zahlen $0<\alpha \leq 1$.
* Ist $a$ invertierbar und gilt $0\leq a\leq b$, so ist $b$ invertierbar und für die Inversen gilt $b^{-1}\leq a^{-1}$.