# Räumliches Tensorprodukt

Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.

## Definitionen

Es seien $A$ und $B$ zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ ist eine Norm $\alpha$, so dass
* $(A\odot B,\alpha )$ ist eine normierte Algebra
* $\alpha (s*s)=\alpha (s)^{2}$ für alle $s\in A\odot B$
Ist $\alpha$ eine solche C*-Norm, so ist die mit $A\otimes _{\alpha }B$ bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist $\alpha$ eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren $A$ und $B$ definieren lässt, so spricht man von einem $\alpha$-Tensorprodukt.
Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt $\alpha (a\otimes b)=\|a\|\cdot \|b\|$ für alle $a\in A,b\in B$.
In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit $\sigma$ bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das $\sigma$ wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

## Konstruktion

Es seien $A$ und $B$ zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume $H$ und $K$ und isometrische *-Homomorphismen $A\rightarrow L(H)$ und $B\rightarrow L(K)$, das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes K$ und betrachtet ein Element $\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}$ des algebraischen Tensorproduktes $A\odot B$ als Operator auf $H\otimes K$, der durch
    $(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i})(x\otimes y):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x\otimes b_{i}y$
definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung $\sigma$ der Operatornorm von $L(H\otimes K)$ auf $A\odot B$ eine C*-Norm ist.

## Unabhängigkeit von den Hilberträumen

Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind $f$ und $g$ Zustände auf $A$ bzw. $B$, so gibt es genau einen mit $f\otimes g$ bezeichneten Zustand auf $A\otimes _{\sigma }B$ mit $(f\otimes g)(a\otimes b)=f(a)g(b)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$, den sogenannten Produktzustand aus $f$ und $g$. Für ein Element $c=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}$ des algebraischen Tensorproduktes $A\odot B$ gilt nun
$\sigma (c)^{2}=\sup {\frac {(f\otimes g)(s^{*}c^{*}cs)}{(f\otimes g)(s^{*}s)}}$
wobei das Supremum über alle Zustände $f$ von $A$, $g$ von $B$ und $s\in A\odot B$ mit $(f\otimes g)(s^{*}s)>0$ gebildet wird. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.
Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird $A\otimes B$ an Stelle von $A\otimes _{\sigma }B$ geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise $A\otimes _{*}B$.

## Eigenschaften

* Sind $\pi _{1}:A_{1}\rightarrow B_{1}$ und $\pi _{2}:A_{2}\rightarrow B_{2}$ *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit $\pi _{1}\otimes \pi _{2}$ bezeichneten *-Homomorphismus $A_{1}\otimes A_{2}\rightarrow B_{1}\otimes B_{2}$, so dass $\pi _{1}\otimes \pi _{2}(a_{1}\otimes a_{2})=\pi _{1}(a_{1})\otimes \pi _{2}(a_{2})$ für alle $a_{i}\in A_{i}$. Sind beide $\pi _{1}$ und $\pi _{2}$ isometrisch oder *-Isomophismen, so hat $\pi _{1}\otimes \pi _{2}$ dieselbe Eigenschaft.
* Ist $\alpha$ eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$, so ist $\sigma \leq \alpha$. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise $A\otimes _{\mathrm {min} }B$.

## Beispiele

Seien $A$ eine C*-Algebra und $X$ ein kompakter Hausdorffraum. $C(X,A)$ sei die Menge aller stetigen Funktionen $X\rightarrow A$. Für $f,g\in C(X,A)$, $\lambda \in \mathbb {C}$ und $x\in X$ definiere:
    ${\begin{array}{rcl}(\lambda f)(x)&:=&\lambda \cdot f(x)\\(f+g)(x)&:=&f(x)+g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=&f(x)\cdot g(x)\\(f^{*})(x)&:=&f(x)^{*}\\\|f\|&:=&\sup\{\|f(x)\|;\,x\in X\}\\\end{array}}$.
Damit wird $C(X,A)$ zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus $C(X)\otimes _{\sigma }A\rightarrow C(X,A),f\otimes a\mapsto f(\cdot )a$.
Seien $M_{n}$ die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen und $A$ eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum $H$ operiere. Weiter sei $M_{n}(A)$ die Algebra der $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $A$; diese operiert in üblicher Weise auf $H^{n}$, das heißt
${\begin{pmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1,j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{n,j}x_{j}\end{pmatrix}}$
Dadurch trägt $M_{n}(A)$ die Norm von $L(H^{n})$ und man zeigt, dass $M_{n}\otimes A\cong M_{n}(A)$, wobei $(c_{i,j})_{i,j}\otimes a$ auf $(c_{i,j}\cdot a)_{i,j}$ abgebildet wird.