# Choquet-Rand

Der Choquet-Rand, benannt nach Gustave Choquet, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra, der stets im Schilow-Rand enthalten ist.

## Definition

Es sei $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $C(X)$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen $X\rightarrow \mathbb {C}$ mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$. Eine Funktionenalgebra über $X$ ist eine Unteralgebra $A\subset C(X)$, die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte $x,y\in X$ gibt es ein $f\in A$ mit $f(x)\not =f(y)$.
Es sei weiter $\|\cdot \|$ eine Algebrennorm auf $A$, $A^{*}$ sei der zugehörige Dualraum und schließlich
    $A_{1}^{*}:=\{f\in A\mid \|f\|=f(1)=1\}$
der sogenannte Zustandsraum von $A$, wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei, die ja definitionsgemäß in $A$ enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt. Dies ist eine konvexe, schwach-*-kompakte Menge in $A^{*}$ und besitzt daher nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Es sei $\mathrm {ext} (A_{1}^{*})$ die Menge dieser Extremalpunkte.
Für jedes $x\in X$ ist die Punktauswertung $\delta _{x}\colon A\rightarrow \mathbb {C} ,\,\delta _{x}(f):=f(x)$ offenbar ein Element aus $A_{1}^{*}$. Wir interessieren uns nun für diejenigen Punkte $x\in X$, für die $\delta _{x}$ sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist:
$\chi A:=\{x\in X\mid \delta _{x}\in \mathrm {ext} (A_{1}^{*})\}$ heißt Choquet-Rand von $A$.
Ist $A$ eine beliebige kommutative Banachalgebra mit Einselement und ist $X_{A}$ ihr Gelfand-Raum, so definiert man $\chi A$ als den Choquet-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in $C(X_{A})$. Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra $A$ auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra $C(X)$ realisiert, so muss $X$ nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von $A$ sein.

## Der Choquet-Rand ist ein Rand

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Funktionenalgebra, gilt
* $\chi A\not =\emptyset$, der Choquet-Rand ist nicht leer.
* $\chi A$ ist ein Rand für $A$
* ${\overline {\chi A}}=\partial A$, das heißt, der Choquet-Rand liegt dicht im Schilow-Rand.

## Beziehung zum Bishop-Rand

Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine G$_δ$-Menge.

## Beispiele

* Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum, so ist $\chi C(X)=X$ und stimmt daher mit dem Schilow-Rand überein. Es gibt Beispiele für Räume $X$, für die der Bishop-Rand von $C(X)$ leer ist, z. B. $X=[0,1]^{\mathbb {R} }$.
* Das Standardbeispiel und Vorbild für die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra $A(\mathbb {D} )\subset C(\mathbb {D} )$ auf dem Einheitskreis $\mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$. Hier stimmen ebenfalls Choquet-Rand und Schilow-Rand überein und sind gleich dem topologischen Rand $\partial \mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$.
* Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Choquet-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei
       $X:=\mathbb {D} \cup [0,1]\cdot e_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}$ mit der Relativtopologie.
    $X$ ist ein kompakter Raum und $C(X)$ enthält die Funktionenalgebra
       $A:=\{f\in C(X)\mid f|_{\mathrm {int} (\mathbb {D} )}{\text{ ist holomorph }}\}$,
    wobei $\mathrm {int} (\mathbb {D} )$ das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand $\partial A$ zeigt man
       $\partial A=\partial \mathbb {D} \cup [0,1]\cdot e_{3}$.
    Im Artikel zum Bishop-Rand wurde begründet, dass dieser gleich
       $\partial \mathbb {D} \cup (0,1]\cdot e_{3}=\partial A\setminus \{(0,0,0)\}$
    ist. Nach obiger Beziehung zwischen Bishop-Rand und Choquet-Rand ist das aber auch gleich dem Choquet-Rand, der in diesem Beispiel also echt im Schilow-Rand enthalten ist. Wie nach obigem Satz nicht anders zu erwarten, ist hier ${\overline {\chi A}}=\partial A$.

## Darstellende Maße

Der Choquet-Rand lässt sich durch sogenannte darstellende Maße charakterisieren, was die Verbindung zur Choquet-Theorie schlägt. Für einen kompakten Hausdorffraum $X$ sei $M(X)$ Banachraum der regulären komplexen Maße auf $X$ mit der totalen Variation als Norm. Ein Maß $\mu \in M(X)$ heißt ein darstellendes Maß für ein $\varphi \in A^{*}$, falls
    $\|\varphi \|=\|\mu \|$ und $\varphi (f)=\int _{X}f(x)\mathrm {d} \mu (x)$ für alle $f\in A$.
Ist zum Beispiel $\varphi =\delta _{x}$, so ist das Einpunktmaß $\varepsilon _{x}$ ein darstellendes Maß, denn
    $\|\delta _{x}\|=1=\|\varepsilon _{x}\|$ und $\delta _{x}(f)=f(x)=\int _{X}f(y)\mathrm {d} \varepsilon _{x}(y)$.
Es könnte aber weitere darstellende Maße geben. Ist zum Beispiel $A=A(\mathbb {D} )\subset C(\mathbb {D} )$ die Diskalgebra, so gilt für alle $f\in A(\mathbb {D} )$ nach der cauchyschen Integralformel
    $\delta _{0}(f)=f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \mathbb {D} }{\frac {f(z)}{z}}\mathrm {d} z=\int _{\mathbb {D} }f(z)\mathrm {d} \mu (z)$
mit einem auf $\partial \mathbb {D}$ konzentrierten Maß $\mu$. In diesem Fall ist das darstellende Maß also nicht eindeutig. Ein ähnliches Argument zeigt, dass das darstellende Maß für kein $\delta _{z},\,|z|<1$ eindeutig ist. Eine Eindeutigkeit des darstellenden Maßes liegt nur für Funktionale $\delta _{z}$ mit $|z|=1$ vor. Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall, genauer gilt folgender Satz:
Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über $x\in X$ äquivalent:
* $x\in \chi A$
* Das darstellende Maß für $\delta _{x}$ ist eindeutig bestimmt.

## Abgeschlossene Funktionenalgebren

Fordert man von der Funktionenalgebra $A\subset C(X)$ zusätzlich, dass diese bezüglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist, so sind folgende Aussagen über ein $x\in X$ äquivalent:
* $x\in \chi A$
* Zu $0<\alpha <\beta <1$ und jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f\in A$ mit $\|f\|_{\infty }=1$, $|f(x)|>\beta$ und $|f(y)|<\alpha$ für alle $y\in X\setminus U$.
* Zu jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f\in A$ mit $\|f\|_{\infty }=1$, $\textstyle |f(x)|>{\frac {3}{4}}$ und $\textstyle |f(y)|<{\frac {1}{4}}$ für alle $y\in X\setminus U$.
* Zu jeder offenen Umgebung $U$ von $x$ gibt es ein $f\in A$ mit $\|f\|_{\infty }=1=|f(x)|$ und $\textstyle |f(y)|<1$ für alle $y\in X\setminus U$.
* Es gibt eine Familie $(f_{\alpha })_{\alpha \in I}$ in $A$ mit $\textstyle \{x\}=\bigcap _{\alpha \in I}\{y\in X\mid |f_{\alpha }(y)|=\|f\|_{\infty }\}$.

## Anwendung

Mit Hilfe des Choquet-Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zurückgehenden Satz beweisen:
Es seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Funktionenalgebra. Ist $T\colon A\rightarrow A$ eine lineare uns surjektive Isometrie mit $T(1)=1$, so ist $T$ multiplikativ, das heißt, es gilt $T(fg)=T(f)T(g)$ für alle $f,g\in A$.
Das zentrale Argument im Beweis besteht darin, die Multiplikativität von Punktauswertungen $\delta _{x}$ für Punkte $x$ aus dem Choquet-Rand zu verwenden. Damit zeigt man, dass $T(fg)$ und $T(f)T(g)$ auf allen Punkten des Choquet-Randes übereinstimmen und daher gleich sein müssen, denn der Choquet-Rand ist ein Rand. Das ist im unten genannten Lehrbuch von R. Larsen ausgeführt.