# Überlagerung (Topologie)

Die Überlagerung eines topologischen Raums $X$ ist eine stetige Abbildung $\pi \colon E\rightarrow X$ mit speziellen Eigenschaften.

## Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von $X$ ist eine stetige surjektive Abbildung
    $\pi \colon E\rightarrow X$,
sodass es einen diskreten Raum $D$ gibt und für jedes $x\in X$ eine offene Umgebung $U\subset X$ gibt, sodass
    $\pi ^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D}V_{d}$
und die Abbildung $\pi |_{V_{d}}\colon V_{d}\rightarrow U$ für jedes $d\in D$ ein Homöomorphismus ist.
Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum $E$ benutzt. Die offenen Mengen $V_{d}$ werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung $U$ ist zusammenhängend, eindeutig durch $U$ bestimmt. $^{S.56}$ Für ein $x\in U$ heißt die diskrete Teilmenge $\pi ^{-1}(x)$ die Faser von $x$. Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes $D$. Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist $E$ wegzusammenhängend, so wird $\pi$ als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.

## Beispiele

* Für jeden topologischen Raum $X$ existiert die triviale Überlagerung $\pi \colon X\rightarrow X$ mit $\pi (x)=x$.
* Die Abbildung $r\colon \mathbb {R} \to S^{1}$ mit $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ ist eine (nicht triviale) Überlagerung des Einheitskreises $S^{1}$ in $\mathbb {R} ^{2}$. Hierbei gilt beispielsweise für eine offene Umgebung $U$ eines $x\in S^{1}$ mit positivem $\cos(2\pi t)$-Wert: $r^{-1}(U)\subset \displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }(n-{\tfrac {1}{4}},n+{\tfrac {1}{4}})$.
* Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist die Abbildung $q\colon S^{1}\to S^{1}$ mit $q(z)=z^{n}$ eine weitere Überlagerung des Einheitskreises. Für eine offene Umgebung $U$ eines $z\in S^{1}$ gilt: $q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U$.
* Ein Gegenbeispiel, welches zwar ein lokaler Homöomorphismus aber keine Überlagerung des Einheitskreises ist, ist die Abbildung $p\colon \mathbb {R_{+}} \to S^{1}$ mit $p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$. Hierbei wird ein Blatt von $p^{-1}(U)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $(1,0)$ ist, nicht homöomorph unter $p$ auf $U$ abgebildet.

## Eigenschaften
### Lokaler Homöomorphismus

Da eine Überlagerung $\pi \colon E\rightarrow X$ die paarweise disjunkten, offenen Mengen von $\pi ^{-1}(U)$ jeweils homöomorph auf die offene Menge $U$ abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e. $\pi$ ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes $e\in E$ eine offene Umgebung $V\subset E$ existiert, sodass $\pi |_{V}\colon V\rightarrow \pi (V)$ ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:
* Ist $X$ eine zusammenhängende und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine zusammenhängende Überlagerung $\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$, wobei ${\tilde {X}}$ eine zusammenhängende und orientierbare Mannigfaltigkeit ist. $^{S.234}$
* Ist $X$ eine zusammenhängende Lie-Gruppe, so gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus $\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$, mit ${\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ ist ein Weg in X mit }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}$, der gleichzeitig eine Überlagerung ist. $^{S.174}$
* Ist $X$ ein Graph, dann gilt für eine Überlagerung $\pi :E\rightarrow X$, dass $E$ auch ein Graph ist. $^{S.85}$
* Ist $X$ eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine Überlagerung $\pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X$, wobei ${\tilde {X}}$ eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist. $^{S.32}$
* Ist $X$ eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, dann gibt es eine holomorphe Abbildung $^{S.22}$ $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$, welche gleichzeitig eine Überlagerung ist und ${\tilde {X}}$ ist eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Riemannsche Fläche. $^{S.32}$

### Produkt von Überlagerungen

Seien $X$ und $X'$ topologische Räume und $p\colon E\rightarrow X$ und $p'\colon E'\rightarrow X'$ Überlagerungen, dann ist $p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'$ mit $(p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))$ eine Überlagerung von $X\times X'$. $^{S.339}$

### Faktorisierung

Seien $p,q$ und $r$ stetige Abbildung, sodass das Diagram
kommutiert.
* Sind $p$ und $q$ Überlagerung, so auch $r$. $^{S.485}$
* Sind $p$ und $r$ Überlagerung, so auch $q$. $^{S.485}$

### Äquivalenz von Überlagerungen

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p\colon E\rightarrow X$ und $p'\colon E'\rightarrow X$ Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus $h\colon E\rightarrow E'$ gibt, sodass das Diagramm
kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.

### Hochhebungseigenschaft

Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:
Sei $I$ das Einheitsintervall $[0,1]$ und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei $F\colon Y\times I\rightarrow X$ eine stetige Abbildung und ${\tilde {F}}\colon Y\times \{0\}\rightarrow E$ ein Lift von $F|_{Y\times \{0\}}$, i.e. eine stetige Abbildung, sodass $p\circ {\tilde {F}}=F|_{Y\times \{0\}}$, dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung ${\tilde {F}}\colon Y\times I\rightarrow E$, welche $F$ hochhebt (liftet), i. e. $p\circ {\tilde {F}}=F$. $^{S.60}$
Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum, so ist für $Y=\{0\}$ die Abbildung ${\tilde {F}}$ die Hochhebung eines Weges in $X$ und für $Y=I$ die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in $X$.
Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(S^{1})$ des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife $\gamma \colon I\rightarrow S^{1}$ mit $\gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ erzeugt wird. $^{S.29}$
Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte $x,y\in X$, die durch einen Weg $\gamma$ verbunden sind, dass man durch die Hochhebung ${\tilde {\gamma }}$ von $\gamma$ eine bijektive Abbildung
    $L_{\gamma }\colon p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)$, $\quad L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)$
zwischen den Fasern von $x$ und $y$ erhält. $^{S.69}$
Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch $p$ induzierte Gruppenhomomorphismus
    $p_{\#}\colon \pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)$ mit $p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]$
injektiv. Die Elemente der Untergruppe $p_{\#}(\pi _{1}(E))$ sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in $X$, deren Hochhebung geschlossene Wege in $E$ sind. $^{S.61}$

## Verzweigte Überlagerung
### Definitionen
#### Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen

Seien $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und $f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Die Abbildung $f$ ist holomorph in einem Punkt $x\in X$, wenn für jede Karte $\phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}$ von $x$ und $\phi _{f(x)}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ von $f(x)$, mit $\phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}$, die Abbildung $\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ holomorph ist.
$f$ ist holomorph, wenn $f$ auf ganz $X$ holomorph ist.
Die Funktion $F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}$ heißt die lokale Darstellung von $f$ in $x\in X$.
Ist $f\colon X\rightarrow Y$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist $f$ surjektiv $^{S.11}$ und eine offene Abbildung $^{S.11}$, d. h. für jede offene Menge $U\subset X$ ist das Bild $f(U)$ ebenfalls offen.

#### Verzweigungspunkt

Sei $f\colon X\rightarrow Y$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes $x\in X$ gibt es Karten für $x$ und $f(x)$ und es existiert ein $k_{x}\in \mathbb {N_{>0}}$, sodass die lokale Darstellung von $f$ in $x$ von der Form $z\mapsto z^{k_{x}}$ ist. $^{S.10}$ Dieses $k_{x}\in \mathbb {N}$ wird als Verzweigungsindex von $f$ in $x$ bezeichnet. Ein Punkt $y=f(x)\in Y$ heißt Verzweigungspunkt von $f$, wenn $k_{x}\geq 2$.

#### Grad einer holomorphen Abbildung

Der Grad $deg(f)$ einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes $y\in Y$, i. e. $deg(f):=|f^{-1}(y)|$.
Diese Zahl ist endlich, da für jedes $y\in Y$ die Faser $f^{-1}(y)$ diskret ist $^{S.20}$ und sie ist wohldefiniert, da für je zwei $y_{1},y_{2}\in Y$, welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt: $|f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|$. $^{S.29}$
Für $deg(f)=d$ gilt:
    $\sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=d$ $^{S.29}$

### Verzweigte Überlagerung
#### Definition

Eine stetige Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge $E\subset Y$ mit dichtem Komplement gibt, sodass $f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}\colon X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E$ eine Überlagerung ist.

#### Beispiele

* Sei $n\in \mathbb {N}$ und $n\geq 2$, dann ist $f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ mit $f(z)=z^{n}$ ist eine $n$-fache verzweigte Überlagerung von $\mathbb {C}$, wobei $z=0$ ein Verzweigungspunkt ist.
* Jede nicht-konstante, holomorphe Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen vom Grad $d$ ist eine verzweigte $d$-fache Überlagerung.

## Universelle Überlagerung

Sei $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und $\beta \colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung $\alpha \colon {\tilde {X}}\rightarrow E$, sodass das Diagramm
kommutiert. $^{S.486}$

### Definition

Sei $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist $\beta \colon E\rightarrow X$ eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von $X$, dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus $\alpha \colon {\tilde {X}}\rightarrow E$, der das Diagramm
kommutieren lässt. $^{S.482}$ Damit ist $p$ bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von $X$ genannt.

### Existenz

Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:
Sei $X$ zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$.
${\tilde {X}}$ ist definiert als ${\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ ist ein Weg in }}X{\text{ mit }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}$ und $p\colon {\tilde {X}}\rightarrow X$ als $p([\gamma ])=\gamma (1)$. $^{S.64}$
Die Topologie auf ${\tilde {X}}$ erhält man wie folgt: Für ein Weg $\gamma \colon I\rightarrow X$ mit $\gamma (0)=x_{0}$ besitzt der Endpunkt $x$ eine einfach-zusammenhängende Umgebung $U$, in der für jedes $y\in U$ die Wege $\sigma _{y}$ in $U$ von $x$ nach $y$ bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man ${\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ Homotopie mit festen Enden}}$, so ist $p_{|{\tilde {U}}}\colon {\tilde {U}}\rightarrow U$ mit $p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y$ eine Bijektion und ${\tilde {U}}$ kann mit der Finaltopologie von $p_{|{\tilde {U}}}$ versehen werden.
Die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma$ operiert durch $([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]$ frei auf ${\tilde {X}}$ und $\psi \colon \Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X\colon \Gamma {\tilde {x}}\mapsto {\tilde {x}}(1)$ ist ein Homöomorphismus, i. e. $\Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X.$

### Beispiele

* $r\colon \mathbb {R} \to S^{1}$ mit $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ ist die universelle Überlagerung der $S^{1}$.
* Sei $n\in \mathbb {N}$. Die Abbildung $p\colon S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}$ mit $p(x)=[x]$ ist für $n>1$ die universelle Überlagerung des projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ .
* $q\colon SU(n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)$ mit $q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}A$ ist die universelle Überlagerung der unitären Gruppe $U(n)$.
* Weil $SU(2)\cong S^{3}$, ist die Abbildung $f\colon SU(2)\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash SU(2)\cong SO(3)$ die universelle Überlagerung der $SO(3)$.
* Ein Raum, welcher keine universelle Überlagerung besitzt, ist der sogenannte Hawaiischer Ohrring
    $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Biglx_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}$. Hierbei handelt es sich um eine abzählbare Vereinigung von Kreisen $C_{n}$ mit Radius $\displaystyle {\frac {1}{n}}$, welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist. $^{S.487}$

## Decktransformation
### Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus $d\colon E\rightarrow E$, sodass das Diagramm
kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe $Deck(p)$, welche gleich der Automorphismengruppe $Aut(p)$ ist.

### Beispiele

* Sei $n\in \mathbb {N}$ und $q\colon S^{1}\to S^{1}$ die Überlagerung $q(z)=z^{n}$, dann ist die Abbildung $d\colon S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi i/n}$ eine Decktransformation und $Deck(q)\cong \mathbb {Z/nZ}$.
* Sei $r\colon \mathbb {R} \to S^{1}$ die Überlagerung $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$, dann ist die Abbildung $d_{k}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k$ mit $k\in \mathbb {Z}$ eine Decktransformation und $Deck(r)\cong \mathbb {Z}$.

### Eigenschaften

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation $d\colon E\rightarrow E$ bijektiv ist, wird jedes Element einer Faser $p^{-1}(x)$ permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e. $id_{E}$, einen Punkt in der Faser. $^{S.70}$ Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung $U\subset X$ eines $x\in X$ und eine offene Umgebung ${\tilde {U}}\subset E$ eines $e\in p^{-1}(x)$ gilt: $Deck(p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})$ ist eine Gruppenoperation.

### Normale Überlagerungen
#### Definition

Eine Überlagerung $p\colon E\rightarrow X$ heißt normal, wenn $Deck(p)\backslash E\cong X$. Das bedeutet, dass es für jedes $x\in X$ und für je zwei $e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)$ eine Decktransformation $d\colon E\rightarrow E$ gibt, sodass $d(e_{0})=e_{1}$. Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.

#### Eigenschaften

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p\colon E\rightarrow X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ eine Untergruppe von $\pi _{1}(X)$, dann ist die Überlagerung $p$ genau dann normal, wenn $H$ eine normale Untergruppe von $\pi _{1}(X)$ ist. $^{S.71}$
Sei $p\colon E\rightarrow X$ eine normale Überlagerung und $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$, dann ist $Deck(p)\cong \pi _{1}(X)/H$. $^{S.71}$
Sei $p\colon E\rightarrow X$ eine wegzusammenhängende Überlagerung und $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$, dann ist $Deck(p)$ $\cong$ $N(H)/H$, wobei $N(H)$ der Normalisator von $H$ ist. $^{S.71}$
Sei $E$ ein topologischer Raum. Eine Gruppe $\Gamma$ operiert diskontinuierlich auf $E$, wenn für jedes $e\in E$ und jede offene Umgebung $V\subset E$ von $e$ mit $V\neq \emptyset$ gilt, dass für jedes $\gamma \in \Gamma$ mit $\gamma V\cap V\neq \emptyset$ folgt, dass $\gamma =1$.
Operiert nun eine Gruppe $\Gamma$ diskontinuierlich auf einem topologischen Raum $E$, so ist die Quotientenabbildung $q\colon E\rightarrow \Gamma \backslash E$ mit $q(e)=\Gamma e$ eine normale Überlagerung. $^{S.72}$ Dabei ist $\Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}$ der Quotientenraum und $\Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}$ die Bahn der Gruppenoperation.

#### Beispiele

* Die Überlagerung $q\colon S^{1}\to S^{1}$ mit $q(z)=z^{n}$ ist eine normale Überlagerung für alle $n\in \mathbb {N}$.
* Jede einfach-zusammenhängende Überlagerung ist eine normale Überlagerung.

### Berechnung von Decktransformationsgruppen

Sei $\Gamma$ eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum $E$ operiert und $q\colon E\rightarrow \Gamma \backslash E$ die normale Überlagerung.
* Ist $E$ wegzusammenhängend, so gilt $Deck(q)\cong \Gamma$. $^{S.72}$
* Ist $E$ einfach-zusammenhängend, so gilt $Deck(q)\cong \pi _{1}(X)$. $^{S.71}$

#### Beispiele

* Sei $n\in \mathbb {N}$. Die antipodale Abbildung $g\colon S^{n}\rightarrow S^{n},g(x)=-x$ generiert zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe $D(g)\cong \mathbb {Z/2Z}$ und induziert eine diskontinuierliche Operation $D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)$. Hierbei gilt für den Quotientenraum $\mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$. Damit ist $q\colon S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ eine normale Überlagerung und für $n>1$ die universelle Überlagerung und damit $Deck(q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})$ für $n>1$.
* Sei $SO(3)$ die spezielle orthogonale Gruppe, dann ist die Abbildung $f\colon SU(2)\rightarrow SO(3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash SU(2)$ eine normale Überlagerung und weil $SU(2)\cong S^{3}$ ist sie die universelle Überlagerung der $SO(3)$, weshalb gilt: $Deck(f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(SO(3))$.
* Durch die diskontinuierliche Operation $(z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)$ von $\mathbb {Z^{2}}$ auf $\mathbb {R^{2}}$, wobei ist $(\mathbb {Z^{2}} ,*)$ das semidirekte Produkt $\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z}$ ist, erhält man die universelle Überlagerung $f\colon \mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K$ der Kleinschen Flasche $K$ und damit $Deck(f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)$.
* Sei der Torus $T=S^{1}\times S^{1}$ eingebettet in $\mathbb {C^{2}}$. Dann erhält man eine durch den Homöomorphismus $\alpha \colon T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})$ induzierte diskontinuierliche Gruppenoperation $G_{\alpha }\times T\rightarrow T$, wobei $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z}$. Damit folgt, dass die Abbildung $f\colon T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K$ eine normale Überlagerung der Kleinschen Flasche $K$ ist und damit $Deck(f)\cong \mathbb {Z/2Z}$.
* Sei $S^{3}$ in $\mathbb {C^{2}}$ eingebettet. Da die Operation $S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})$ diskontinuierlich ist, wobei $p,q\in \mathbb {N}$ teilerfremd sind, ist die Abbildung $f\colon S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}$ eine normale Überlagerung des Linsenraumes und damit $Deck(f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})$.

## Galois-Korrespondenz

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe $H\subseteq \pi _{1}(X)$ eine wegzusammenhängende Überlagerung $\alpha \colon X_{H}\rightarrow X$ mit $\alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H$. $^{S.66}$ Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen $p_{1}\colon E\rightarrow X$ und $p_{2}\colon E'\rightarrow X$ sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen $H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))$ und $H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))$ von $\pi _{1}(X)$ konjugiert zueinander sind. $^{S.482}$
Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u. z.:
Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:
    ${\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Untergruppen von }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{wegzusammenhaengende Überlagerung }}p\colon E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normale Untergruppen von }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normale Überlagerung }}p\colon E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\end{matrix}}$
Für eine aufsteigende Sequenz $\displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)$ von Untergruppen, ist die Sequenz ${\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}$
eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe $H\subset \pi _{1}(X)$ vom Index $\displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d$ ist die Überlagerung $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ eine $d$-fache Überlagerung.

## Klassifikation
### Definitionen
#### Kategorie von Überlagerungen

Sei $X$ ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie ${\boldsymbol {Cov(X)}}$ sind Überlagerungen $p\colon E\rightarrow X$ und die Morphismen sind stetige Abbildungen $f\colon E\rightarrow F$, die das Diagramm
kommutieren lassen, wobei $p\colon E\rightarrow X$ und $q\colon F\rightarrow X$ Überlagerungen sind.

#### G-Menge

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Die Kategorie ${\boldsymbol {G-Menge}}$ ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung $\phi \colon X\rightarrow Y$ zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes $g\in G$, die Bedingung $\phi (gx)=g\,\phi (x)$.

### Äquivalenz dieser Kategorien

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, $x\in X$ und $G=\pi _{1}(X,x)$ die Fundamentalgruppe von $X$. $G$ definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor $F\colon Cov(X)\longrightarrow G-Menge:p\mapsto p^{-1}(x)$, der eine Äquivalenz von Kategorien ist. $^{S.68-70}$