# Dirac-Operator

Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.

## Definition

Es sei $D\in \operatorname {Diff} ^{1}(V,V)$ ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel $V\to M$ über einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ wirkt. Wenn dann
    $D^{2}=\Delta \,,$
gilt, wobei $\Delta$ ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf $V$ ist, so heißt $D$ Dirac-Operator.

## Geschichte

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator $\square$ betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen.
Dirac betrachtete für n=3 den Differentialoperator
    $\sum _{i=0}^{n}\gamma _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\,,$
wobei $\gamma _{i}$ die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.
In den 1960ern griffen Michael Francis Atiyah und Isadore M. Singer diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die mathematische Physik des 20. Jahrhunderts stark.

## Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels

Es sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $({\mathcal {E}},h,\nabla ^{\mathcal {E}})$ ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul-Bündel ${\mathcal {E}}\to M$ einer hermiteschen Metrik $h$ auf ${\mathcal {E}}$ und einem Clifford-Zusammenhang $\nabla ^{\mathcal {E}}$ auf ${\mathcal {E}}$. Dann ist der Operator
    $D\colon \Gamma (M,{\mathcal {E}}){\xrightarrow {\nabla ^{\mathcal {E}}}}\Gamma (M,T^{*}M\otimes {\mathcal {E}}){\xrightarrow {c}}\Gamma (M,{\mathcal {E}})$
der zum Dirac-Bündel $(E,h,\nabla ^{\mathcal {E}})$ assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung
    $D=\sum _{i=1}^{n}c(\mathrm {d} x^{i})\nabla _{\partial _{i}}^{\mathcal {E}}\,.$

## Beispiele
### Elementares Beispiel

Der Operator $-i\partial _{x}$ ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von $\mathbb {R}$.

### Spin-Dirac-Operator

Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin $^1$/$_2$, das auf die Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψ$_G$ mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} \,$ gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:
    $\psi _{G}={\begin{bmatrix}\chi _{\uparrow }(x,y)\\\eta _{\downarrow }(x,y)\end{bmatrix}}\,.$
Dabei sind $x$ und $y$ die üblichen kartesischen Koordinaten auf $\mathbb {R} ^{2}$: $\chi _{\uparrow }$ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog $\eta _{\downarrow }$ für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als
    $D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},$
wobei σ$_x$ und σ$_y$ die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt.

### Hodge-De-Rham-Operator

Sei $(M,g)$ eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $\mathrm {d} \colon {\mathcal {A}}(M)^{\bullet -1}\to {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)$ die äußere Ableitung und $\mathrm {d} ^{t}\colon {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)\to {\mathcal {A}}^{\bullet -1}(M)$ der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist
    $\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{t}\colon {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)\to {\mathcal {A}}^{\bullet }(M)$
ein Dirac-Operator.

### Atiyah-Singer-Dirac-Operator

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum, d. h. für $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\,,$ ist das $D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ wobei $\{e_{j}:j=1,\ldots ,n\}$ eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und $\mathbb {R} ^{n}$ in eine Clifford-Algebra eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.
Für eine Spin-Mannigfaltigkeit $M$, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert: Für $x\in M$ und $e_{1}(x),\ldots ,e_{j}(x)$ eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von $M$ in $x$ ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator $\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}$, wobei ${\tilde {\Gamma }}$ ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf $M$ für das Spinor-Bündel über $M$ ist.

## Eigenschaften

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist $\xi \mapsto \|\xi \|^{2}$. Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators $\xi \mapsto \|\xi \|$ und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.

## Verallgemeinerungen

Der Operator $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},S)\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{k}\otimes \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{k}\otimes S)$, der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,
    $f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}$
wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k Clifford-Variablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, $x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})$ sind n-dimensionale Variablen und $\textstyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}$ ist der Dirac-Operator in der $i$-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe $\operatorname {SL} (k)\times \operatorname {Spin} (n)$ ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.