# Well Equidistributed Long-period Linear

Der Well Equidistributed Long-period Linear (kurz: WELL) ist ein Pseudozufallszahlengenerator, der 2006 von François Panneton und Pierre L’Ecuyer entwickelt wurde. Er wurde konzipiert, um schnell gleichverteilte Pseudozufallszahlen mit extrem langer Periode zu generieren und basiert auf linearen Rekursionsgleichungen.

## Eigenschaften

WELL-Zufallszahlengeneratoren haben mit Periodenlängen von $2^{k}-1$ (mit k ∈ {512, 607, 800, 1024, 19937, 21701, 23209, 44497}) bei geringem Aufwand sehr lange Periodenlängen (in Potenzschreibweise zwischen etwa 10$^{154}$ und etwa 10$^{13395}$). Sie generieren hochgradig gleichverteilte Sequenzen. Diesbezüglich haben die erzeugten Zufallszahlen sogar eine höhere Qualität als die des Mersenne-Twisters, wobei auch WELL ähnlich schnell wie der Mersenne-Twister Zufallszahlen liefert.
Seine Eigenschaften prädestinieren WELL insbesondere zur Verwendung in statistischen Simulationen (z. B. Monte-Carlo-Simulation). Hingegen ist der WELL genauso wie der Mersenne-Twister (und alle anderen LRGs) für kryptographische Anwendungen nicht direkt geeignet. Bei vergleichsweise kurzer Beobachtung seiner Ausgaben kann sein interner Zustand ermittelt werden und so alle zukünftigen Zahlen vorhergesagt werden. Dieses Problem kann umgangen werden, indem man mehrere Ausgabeworte in einem Block sammelt und auf diesen dann eine sichere Hashfunktion anwendet (z. B. SHA-256).

## Algorithmus

$z_{0}\leftarrow rot_{p}(v_{i,r-2}^{T},v_{i,r-1}^{T})^{T};$
$z_{1}\leftarrow T_{0}v_{i,0}\oplus T_{1}v_{i,m_{1}};$
$z_{2}\leftarrow T_{2}v_{i,m_{2}}\oplus T_{3}v_{i,m_{3}}$
$z_{3}\leftarrow z_{1}\oplus z_{2}$
$v_{i+1,r-1}\leftarrow v_{i,r-2}\wedge m_{p}$
${\begin{aligned}{\text{for}}~&j:=r-2,\dots ,2\quad {\text{do}}\\\quad &v_{i+1,j}\leftarrow v_{i,j-1}\end{aligned}}$
$v_{i+1,1}\leftarrow z_{3}$
$v_{i+1,0}\leftarrow z_{4}$
Ausgabe: $y_{i}=v_{i,1}$ oder $y_{i}=v_{i,0}$.

## Initialisierung

Zur Initialisierung wird das Zustandsarray auf beliebige (zufällige) Werte gesetzt. Diese initialen Werte stellen in erster Linie nur eine Position in der $2^{k}-1$ langen Bit-Sequenz dar, bei der der Generator startet.
Das Initialisieren mit nur Nullen führt zur konstanten Ausgabe des Wertes 0 (das ist der zweite mögliche Zyklus des Zufallszahlengenerators mit der Periodenlänge 1). Sind dagegen nur viele (aber nicht alle) Bits des Zustandswortes „0“, liefert der WELL wie auch der Mersenne-Twister (und alle(!) anderen LRGs) anfänglich keine gleichverteilten Zufallszahlen mehr. Dieser Fall kann auftreten, wenn schlecht initialisiert wurde.
Gerade hier erweisen sich die WELL-Generatoren gegenüber dem Mersenne-Twister und dessen kleinem Bruder, dem TT800, als überlegen: Sie liefern bereits nach einigen hundert Schritten (z. B. 700 für den WELL-19937) wieder eine gleichverteilte Bit-Sequenz. Der Mersenne-Twister benötigt hier bis zu 700.000 Schritte und der TT800 immer noch mehr als 60.000.

## Periodenlänge

Die WELL-Generatoren sind so entworfen, dass sie eine für linear rückgekoppelte Generatoren maximale Periodenlänge besitzen, d. h. den gesamten Zustandsraum (außer der 0) durchlaufen. Die Periodendauer beträgt 2$^k$-1, in Potenzschreibweise etwa 10$^{0,3·k}$. k ist hierbei die Ordnung des charakteristischen Polynoms P(z) der Transitionsmatrix A.

## Implementierung in C

Hier ist beispielhaft die Implementierung in C für den WELL1024a dargestellt. Der Generator liefert gleichverteilte Zufallszahlen auf dem Intervall [0, 2$^{32}$-1].