# Quantilsregression

Als Quantilsregression wird eine Methode zum Schätzen der Parameter eines linearen Regressionsmodells bezeichnet. Im Gegensatz zur Kleinste-Quadrate-Schätzung, die den Erwartungswert der Zielgröße schätzt, ist die Quantilsregression dazu geeignet, ihre bedingten Quantile zu schätzen. Die Quantilsregression ist somit eine Möglichkeit durch die Betrachtung anderer Eigenschaften der Zielgrößenverteilung, den dem klassischen linearen Modell unterliegenden Fokus auf den Erwartungswert der Zielgröße aufzugeben. Die Median-Regression stellt einen Spezialfall der Quantilsregression dar.

## Optimierungsproblem

Sei $Y$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_{Y}(y)=P(Y\leq y)$, dann entspricht das (bedingte) $\tau$-Quantil von $Y$:
    $Q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y\colon F_{Y}(y)\geq \tau \right\}$
mit $\tau \in (0,1).$
Seien $(\mathbf {x} _{i},y_{i})$ mit $i\in \{1,\dots ,n\}$ beobachtete Paare von unabhängigen Variablen $\mathbf {x} _{i}$ und zugehörigen abhängigen Variablen $y_{i}$. Das Regressionsmodell wird als $y_{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}$ beschrieben, wobei prinzipiell auch nichtlineare Zusammenhänge angenommen werden können. Die optimalen Regressionsparameter können durch die folgende empirische Risikominimierung bestimmt werden:
    ${\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{\tau }=\arg \min _{\beta _{\tau }}\sum _{i=1}^{n}w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })|y_{i}-\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }|$.
Hierbei entspricht $\eta _{i,\tau }=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }$ dem linearen Prädiktor. Die Verlustfunktion entspricht der geneigten absoluten Abweichung:
    $w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })={\begin{cases}1-\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}<\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\\\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}\geq \mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\end{cases}}.$
Aufgrund ihres Aussehens wird die Verlustfunktion auch pinball loss genannt.
Das Optimierungsproblem kann mit typischen Optimierungsalgorithmen gelöst werden.
Beachte, dass die Unsicherheit extremer Quantile tendenziell größer ist, da die Wahrscheinlichkeitsdichte $f$ der zugrundeliegenden Verteilung dort sehr kleine Werte annimmt, siehe Empirisches Quantil#Eigenschaften:
    ${\text{Empirisches p-Quantil}}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu =p,\sigma ^{2}={\frac {p(1-p)}{Nf(x_{p})^{2}}}\right),$
wobei $p$ das Quantil ist, $N$ die Stichprobengröße und $x_{p}=F^{-1}(p)$ der Wert der Zufallsvariable beim p-Quantil.

## Erweiterungen
### Zensierte Daten

Für unzensierte Daten kann die normale Quantilsregression (mit Zielvariable Ereigniszeit) ebenso wie die nichtparametrische Ereigniszeitanalyse benutzt werden um die bedingten empirischen Quantile zu schätzen: bei der Ereigniszeitanalyse wird die (bedingte) Überlebensfunktion $S$ geschätzt und aus dieser kann der bedingte Quantilsschätzer direkt abgelesen werden.
Für zensierte Daten muss die Quantilsregression zur zensierten Quantilsregression erweitert werden und liefert dann eine Verallgemeinerung des Kaplan-Meier-Schätzers.

### Schätzung mehrerer Quantile

Die simultane Schätzung mehrerer Quantile mithilfe der empirischen Likelihood kann zu effizienteren Schätzer führen als wenn nur ein Quantil geschätzt wird.