# Panjer-Algorithmus

Die Panjer-Rekursion (oder auch Panjer-Algorithmus) ist ein Algorithmus um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable
    $S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
zu berechnen. Dabei sind $N$ und $X_{i}$ Zufallsvariablen, welche ein kollektives Modell bilden, und $\chi$ bezeichnet die Indikatorfunktion.
Der Algorithmus wurde in einer Publikation von Harry Panjer erstmals veröffentlicht. Er wird im Versicherungswesen häufig benutzt.

## Vorbedingungen

Wir sind an der speziellen zusammengesetzten Zufallsvariable $\textstyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ interessiert, wobei $N$ und $X_{i}$ die folgenden Vorbedingungen erfüllen müssen:

### Schadenanzahlverteilung

$N$ ist eine „Schadenanzahlverteilung“, d. h. $N\in \mathbb {N} _{0}$. $N$ ist unabhängig von $X_{i}$.
Weiterhin muss $N$ ein Element der Panjer-Klasse sein. Die Panjer-Klasse besteht aus allen Zufallsvariablen mit Werten in $\mathbb {N} _{0}$, welche die folgende Relation erfüllen:
    $p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1}$ mit $~~k\geq 1$ und für $a$ und $b$ mit $a+b\geq 0$.
Der Wert $p_{0}$ wird so bestimmt, dass $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1$ erfüllt ist.
Sundt bewies im Paper, dass nur die Binomialverteilung, die Poisson-Verteilung und die Negative Binomialverteilung in der Panjer-Klasse liegen. Sie haben die Parameter und Werte wie in der folgenden Tabelle beschrieben, wobei $W_{N}(x)$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bezeichnet.
| Verteilung | $P[N=k]$ | $a$ | $b$ | $p_{0}$ | $W_{N}(x)$ | $E[N]$ | $Var(N)$ |
| Binomial | ${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ | ${\frac {p}{p-1}}$ | ${\frac {p(n+1)}{1-p}}$ | $(1-p)^{n}$ | $(px+(1-p))^{n}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| Poisson | $e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$ | $0$ | $\lambda$ | $e^{-\lambda }$ | $e^{\lambda (x-1)}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| Negative Binomial | ${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}$ | $1-p$ | $(1-p)(r-1)$ | $p^{r}$ | $\left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}$ | ${\frac {r(1-p)}{p}}$ | ${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$ |

### Einzelschadenverteilung

Wir nehmen an, dass $X_{i}$ identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, welche unabhängig von $N$ sind. Weiterhin muss $X_{i}$ auf einem Gitter $h\mathbb {N} _{0}$ mit Gitterlänge $h>0$ verteilt sein.
    $f_{k}=P[X_{i}=hk].$

## Rekursion

Der Algorithmus verwendet eine Rekursion, um die Wahrscheinlichkeiten $g_{k}=P[S=hk]$ zu berechnen.
Der Startwert ist: $g_{0}=W_{N}(f_{0})$
    mit den Spezialfällen
       $g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b){\text{ für }}a=0,$
    und
       $g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}{\text{ für }}a\neq 0.$
Die nachfolgenden Werte können folgendermaßen berechnet werden:
    $g_{k}=P[S=hk]={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.$

## Beispiel

Abbildung 1 zeigt die approximierte Dichtefunktion von $\textstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ wobei $\textstyle N\,\sim \,\operatorname {NegBin} (3{,}5;0{,}3)$ und $\textstyle X\,\sim \,\operatorname {Frechet} (1{,}7;1)$. Die Einzelschadenverteilung wurde mit einer Gitterbreite $h=0{,}04$ diskretisiert (siehe auch Fréchet-Verteilung).