# Plus-Minus-Methode

Die Plus-Minus-Methode ist eine geophysikalische Methode zur Analyse refraktionsseismischer Daten für die Rekonstruktion von Tiefen- und Geschwindigkeitsvariationen an gewellten Schichtgrenze geringer Neigung (< 10°).

## Theorie

In der Plus-Minus-Methode wird die nahe Oberfläche als eine Schicht über einem Halbraum modelliert, wobei sowohl die Schicht als auch der Halbraum variable Geschwindigkeiten haben dürfen. Die Methode basiert auf der Analyse der sogenannten Plus-Zeit $t^{+}$ und Minus-Zeit $t^{-}$, die durch folgende Gleichungen gegeben sind:
    $t^{+}=t_{AX}+t_{BX}-t_{AB}$
    $t^{-}=t_{AX}-t_{BX}-t_{AB}$
wobei $t_{AB}$ die Laufzeit von A nach B, $t_{AX}$ die Laufzeit von A nach X und $t_{BX}$ die Laufzeit von B nach X ist.
Unter der Annahme, dass die Schichtgrenze zwischen A'' und B'' plan ist und dass der Einfallswinkel klein ist (<10°), entspricht die Plus-Zeit $t^{+}$ der Intercept-Zeit in der klassischen Refraktionsanalyse und die Minus-Zeit $t^{-}$ kann ausgedrückt werden als:
    $t^{-}=t^{+}+{\frac {2x}{v_{2}}}$
wobei $x$ der Abstand zwischen A und X ist und $v_{2}$ die Geschwindigkeit des Halbraums ist.
Daher kann die Steigung der Minus-Zeit $\triangle t^{-}/\triangle x$ verwendet werden, um die Geschwindigkeit des Halbraums $v_{2}$ zu schätzen:
    $v_{2}(x)=2{\frac {\triangle x}{\triangle t^{-}}}$
Das Intervall $\triangle x$, über das die Steigung geschätzt wird, sollte entsprechend der Datenqualität gewählt werden. Ein größeres $\triangle x$ führt zu stabileren Geschwindigkeitsschätzungen, bringt aber auch eine stärkere Glättung mit sich. Wie in der klassischen Refraktionsanalyse kann die Dicke der oberen Schicht aus der Schnittzeit $t^{+}$ abgeleitet werden:
    $z(x)={\frac {t^{+}v_{1}(x)v_{2}(x)}{2{\sqrt {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}}}$
Dies erfordert eine Schätzung der Geschwindigkeit der oberen Schicht $v_{1}(x)$, die aus der direkten Welle im Laufzeitdiagramm gewonnen werden kann.
Darüber hinaus können die Ergebnisse der Plus-Minus-Methode verwendet werden, um die Schuss-Empfänger-Statikverschiebung $\triangle \tau (x)$ zu berechnen:
    $\triangle \tau (x)=-{\frac {z(x)}{v_{1}(x)}}+{\frac {E_{X}-E_{S}+z(x)}{v_{2}(x)}}$
wobei $E_{X}$ die Höhenlage des Datums und $E_{S}$ die Oberflächenhöhe an Station X ist.

## Anwendung

Die Plus-Minus-Methode wurde für flache seismische Untersuchungen entwickelt, bei denen eine dünne, langsamere Verwitterungsschicht das festere Grundgestein bedeckt. Die Dicke der Verwitterungsschicht ist unter anderem wichtig für statische Korrekturen in der Reflexionsseismik oder für ingenieurtechnische Zwecke. Ein wichtiger Vorteil der Methode ist, dass sie keine manuelle Interpretation der Schnittzeit oder des Kreuzungspunktes erfordert. Dies macht sie auch leicht in Computerprogrammen implementierbar. Sie ist jedoch nur anwendbar, wenn die Schichtgrenze in Teilen plan ist und die Neigungen klein sind. Diese Annahmen führen oft zu einer Glättung der tatsächlichen Topographie der Schichtgrenze. Heutzutage wird die Plus-Minus-Methode meist durch fortgeschrittenere Inversionsmethoden ersetzt, die weniger Einschränkungen haben. Trotzdem wird die Plus-Minus-Methode immer noch für die Echtzeitverarbeitung im Feld verwendet, da sie einfach und rechnerisch kostengünstig ist.