# Rotationszahl

Die Rotationszahl ist eine Invariante von Selbstabbildungen des Kreises, die erstmals von Henri Poincaré 1885 in seinen Arbeiten zur Himmelsmechanik untersucht wurde. Homöomorphismen von Kreisen kommen dort als Poincaré-Abbildungen (return maps) 2-dimensionaler Flüsse vor und die Rotationszahl der Poincaré-Abbildung liefert Informationen über das Langzeitverhalten des 2-dimensionalen Flusses.

## Definition

Es sei $f\colon S^{1}\to S^{1}$ ein orientierungserhaltender Homöomorphismus des Kreises $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ (vgl. Kreisgruppe). Dann gibt es eine Hochhebung von $f$ zu einem Homöomorphismus $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ der Zahlengerade mit
    $F(x+m)=F(x)+m$
für jede reelle Zahl $x$ und jede ganze Zahl $m$.
Die Rotationszahl von $f$ ist mit Hilfe der Iteration von $F$ definiert als:
    $\omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}$.
Henri Poincaré bewies, dass der Grenzwert existiert und nicht von der Wahl des Startpunktes $x$ abhängt.
Die Hochhebung $F$ ist nur modulo ganzzahliger Verschiebungen eindeutig definiert, deshalb ist die Rotationszahl ein wohldefiniertes Element aus $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$. Anschaulich misst sie den durchschnittlichen Drehwinkel entlang des Orbits von $f$.

## Beispiele

* Wenn $f=R_{\alpha }$ die Drehung um den Winkel $\alpha$ ist, dann ist $\omega (f)={\tfrac {1}{2\pi }}\alpha$.
* Wenn $f$ mindestens einen Fixpunkt hat, dann ist $\omega (f)=0$. Wenn $f$ keine Fixpunkte hat, dann ist $\omega (f)\not =0$.
* $\omega (f)$ ist rational genau dann, wenn $f$ einen periodischen Punkt hat. Wenn $\omega (f)$ eine rationale Zahl ${\tfrac {p}{q}}$ ist, dann haben alle periodischen Punkte die Periode $q$.

## Eigenschaften

* Die Rotationszahl ist invariant unter Konjugation: wenn $h\colon S^{1}\to S^{1}$ ein Homöomorphismus ist, dann ist $\omega (hfh^{-1})=\omega (f)$.
* Die Rotationszahl hängt stetig von $f$ ab, d. h. wenn eine Folge $f_{n}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, dann konvergiert $\omega (f_{n})$ gegen $\omega (f)$.

## Anwendungen

* Klassifikationssatz von Poincaré: Wenn $\omega (f)$ irrational ist, dann gibt es einen monotone, stetige Abbildung $h$ mit
       $h\circ f=R_{\omega (f)}\circ h$,
    wobei $R_{\omega (f)}$ die Drehung um den Winkel $\omega (f)$ bezeichnet. $h$ ist ein Homöomorphismus genau dann, wenn die Wirkung von $f$ unter Iteration transitiv ist. Beispiele nichttransitiver Homöomorphismen mit irrationaler Rotationszahl wurden von Denjoy konstruiert.
* Wenn $\omega (f)$ rational und $f$ orientierungserhaltend ist, dann gibt es zwei mögliche Typen periodischer Orbiten:
** Wenn $f$ genau einen periodischen Orbit hat, dann ist jeder andere Punkt unter $f^{q}$ heteroklin zu zwei Punkten auf dem periodischen Orbit.
** Wenn $f$ mehrere periodische Orbiten hat, dann ist jeder andere Punkt unter $f^{q}$ heteroklin zu zwei Punkten auf unterschiedlichen periodischen Orbiten.

## Verallgemeinerungen

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der Rotationszahl, die sich (einschließlich Poincarés klassischer Definition) alle in den folgenden Ansatz einordnen lassen.
Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe und $\kappa \in {\widehat {H}}_{cb}^{2}(G,\mathbb {Z} )$ eine beschränkte $\mathbb {Z}$-wertige Borel-Kohomologieklasse. Es sei $g\in G$. Weil die Einschränkung der entsprechenden reell-wertigen Kohomologieklasse $\kappa _{\mathbb {R} }\in {\widehat {H}}_{cb}^{2}(G,\mathbb {R} )$ auf die Untergruppe $B:={\overline {\langle g\rangle }}\subset G$ verschwindet, gibt es wegen der exakten Sequenz
    $0\to \operatorname {Hom} _{c}(B,\mathbb {R} /Z)\to {\widehat {H}}_{cb}^{2}(B,\mathbb {Z} )\to {\widehat {H}}_{cb}^{2}(B,\mathbb {R} )\to 0$
einen eindeutigen stetigen Homomorphismus $f\colon B\to \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ im Urbild von $\kappa$. Die Rotationszahl von $g$ wird dann definiert als
       $\operatorname {Rot} _{\kappa }(g):=f(g)$.
* Für $G=\operatorname {Homeo} ^{+}(S^{1})$ und $\kappa =e$ die Euler-Klasse erhält man die klassische Rotationszahl.
* Für $G=\operatorname {Sp} (n,\mathbb {R} )$ und $\kappa$ das Bild von $u(k)=\det(k)^{2}$ unter $\operatorname {Hom} _{c}(U(n),\mathbb {R} /Z)\to {\widehat {H}}_{cb}^{2}(U(n),\mathbb {Z} )={\widehat {H}}_{cb}^{2}(\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} ),\mathbb {Z} )$ erhält man die symplektische Rotationszahl.
* Für die Automorphismengruppen symmetrischer Gebiete vom Tubentyp erhält man die Clerc-Koufany-Rotationszahl.