# Typ-III-Von-Neumann-Algebra

Typ-III-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich nach einem Satz von M. Takesaki aus Typ-II-Von-Neumann-Algebren konstruieren.

## Definitionen

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra $A$ ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element $e$, das heißt, es gilt $e=e^{*}=e^{2}$. Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus $e=v^{*}v$ und $vv^{*}\leq e$ stets $vv^{*}=e$ folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.

## Beispiele

Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.

## Satz von Takesaki

Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II$_∞$-Algebren zurück:
Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra $A$ gibt es W*-dynamisches System $(A_{1},\mathbb {R} ,\alpha )$, wobei $A_{1}$ eine Typ-II$_∞$-Algebra ist, so dass $A\cong A_{1}\ltimes _{\alpha }\mathbb {R}$.
Dazu verwendet man das W*-dynamische System $(A,\mathbb {R} ,\sigma )$, das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II$_∞$-Algebra $A_{1}:=A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R}$. Mit dem dualen W*-dynamischen System $(A_{1},\mathbb {R} ,{\hat {\sigma }})$ folgt dann
    $A_{1}\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} =(A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} )\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} \cong A\otimes L(L^{2}(\mathbb {R} ))$  wegen Dualität
          $\cong A$,  da $A$ eine Typ-III-Von-Neumann-Algebra ist.

## Connes-Klassifikation von Typ-III-Faktoren

Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum $\mathbb {C} \cdot 1$, konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl $\lambda \in [0,1]$, die dann zum Begriff des Typ-III$_λ$-Faktors führt.
Sei $\varphi$ ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra $A$. Dann gibt es eine kleinste Projektion $p\in A$ mit $\varphi (p)=1$. Dann ist $pAp$ eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von $\varphi$ ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator $\Delta _{\varphi }$. Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum $\sigma (\Delta _{\varphi })$ in $\mathbb {R} _{0}^{+}$. Man definiert
    $S(A):=\bigcap \{\sigma (\Delta _{\varphi });\,\varphi {\text{ normaler Zustand auf }}A\}\subset \mathbb {R} _{0}^{+}$.
Man kann zeigen, dass 0 genau dann in $S(A)$ liegt, wenn $A$ vom Typ III ist, anderenfalls gilt $S(A)=\{1\}$. Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:
* $S(A)\setminus \{0\}=\{1\}$
* $S(A)\setminus \{0\}=\{\lambda ^{n};\,n\in \mathbb {Z} \}$ für ein $0<\lambda <1$
* $S(A)\setminus \{0\}=\mathbb {R} ^{+}$
Im ersten Fall nennt man $A$ einen Typ-III$_0$-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-III$_λ$-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III$_1$-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.
Sind $\lambda ,\mu \in [0,1]$ verschieden, so ist ein Typ-III$_λ$-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-III$_µ$-Faktor, denn die Menge $S(A)$ ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.
Wir wollen kurz die Existenz der Typ-III$_λ$-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand $\varphi _{\mu }$ auf der CAR-Algebra. Zu einem $\mu \in [0,1]$ kann man rekursiv Zustände $\varphi _{\mu }^{(n)}:M_{2^{n}}\rightarrow \mathbb {C}$ definieren, wobei
* $\varphi _{\mu }^{(0)}:M_{2^{0}}\cong \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ die identische Abbildung sei und
* $\varphi _{\mu }^{(n)}(x)=\mu \varphi _{\mu }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\mu )\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x_{2,2})$ für jedes $n>0$, wobei $x=(x_{i,j})$ als $2\times 2$-Matrix mit Elementen aus $M_{2^{n-1}}$ geschrieben ist.
Dann ist die Einschränkung von $\varphi _{\mu }^{(n)}$ auf $M_{2^{n-1}}$ gleich $\varphi _{\mu }^{(n-1)}$, denn gemäß der Einbettung
    $M_{2^{n-1}}\ni x\mapsto {\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}}\in M_{2^{n}}$
ist
    $(\varphi _{\mu }^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x)=\varphi _{\mu }^{(n)}({\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}})=\mu \varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)+(1-\mu )\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)=\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)$.
Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand $\varphi _{\mu }$, der auf allen $M_{2^{n}}$ mit $\varphi _{\mu }^{(n)}$ übereinstimmt. Zum Zustand $\varphi _{\mu }$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi _{\mu }:A\rightarrow L(H_{\mu })$ auf einem Hilbertraum $H_{\mu }$. Für $0<\mu <{\frac {1}{2}}$ ist das Bild $\pi _{\mu }(A)\subset L(H_{\mu })$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III$_λ$ ist, wobei $\textstyle \lambda ={\frac {\mu }{1-\mu }}$.