# Spektraldichteschätzung

Die Spektraldichte eines stationären stochastischen Prozesses erlaubt tiefe Einblicke in die Struktur des Prozesses, insbesondere wenn es sich um Erkenntnisse über Periodizitäten handelt. Es ist also wichtig, dass aus gegebenen Daten, z. B. einer konkreten Zeitreihe, die Spektraldichte gut geschätzt werden kann.
Grundlage der meisten Schätzer ist das Periodogramm, das auf Arthur Schuster 1898 zurückgeht.

## Definitionen
### Spektraldichte

Sei $X_{t};t\in \mathbb {Z}$ ($\mathbb {Z}$ die Menge der ganzen Zahlen) ein (evtl. komplexwertiger) stationärer stochastischer Prozess mit
* Erwartungswert $\operatorname {E} X_{t}=0$
* Kovarianzfunktion $\operatorname {E} X_{t}X_{t+h}=\gamma (h)$.
Falls $\textstyle \sum _{h=-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|<\infty$, gilt die Spektraldarstellung von $\gamma (h)$:
    $\gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )\,e^{ih\lambda }\,d\lambda \quad \mathrm {mit} \quad f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{h=-\infty }^{\infty }e^{-ih\lambda }\,\gamma (h)$.
Die Funktion $f$ heißt Spektraldichte. Ihr Funktionswert $f(\lambda )$ gibt die Intensität der Frequenz $\lambda$ im Spektrum von $X_{t}$ an.

### Periodogramm

Seien $x_{1},\dots ,x_{n}$ Realisierungen eines stationären stochastischen Prozesses $X_{t}$ mit $\operatorname {E} X_{t}=0$. Dann heißt der Ausdruck
    $I_{n}(\lambda ):={\frac {1}{2\pi n}}\left|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,e^{-i\lambda k}\right|^{2}$
Periodogramm der konkreten Zeitreihe $x_{1},\dots ,x_{n}$.

## Schätzungen der Spektraldichte
### Inkonsistente Schätzungen

Man kann das Periodogramm umformen in
    $I_{n}(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-(n-1)}^{n-1}e^{-i\lambda k}{\hat {\gamma }}(k);\ {\hat {\gamma }}(k)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n-k}x_{t+k}x_{t}$.
$I_{n}(\lambda )$ erweist sich also als die (empirische) Fouriertransformierte der empirischen Kovarianzfunktion ${\hat {\gamma }}(k)$. Da $f(\lambda )$ die Fouriertransformierte von $\gamma (h)$ ist, kann man heuristisch erwarten, dass $I_{n}(\lambda )$ eine geeignete Schätzung für $f(\lambda )$ darstellt. Tatsächlich ist das Periodogramm eine asymptotisch erwartungstreue Schätzung der Spektraldichte, allerdings ist sie nicht konsistent, d. h. in unmodifizierter Form nur eingeschränkt geeignet zur Schätzung der Spektraldichte.

### Konsistente Schätzungen

Erwartungstreue und konsistente Schätzungen für $f(\lambda )$ erzeugt man durch geeignete gewichtete Mittel von $I_{n}(\lambda ^{\prime })$ aus einer geeigneten Umgebung von $\lambda$. Eine allgemeine Darstellung dafür ist
    ${\hat {f}}_{n}(\lambda )={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }W_{n}(\nu )I_{n}(\lambda -\nu )d\nu$
mit geeignetem Spektralfenster $W_{n}$. In der Regel wird obiges ${\hat {f}}_{n}(\lambda )$ diskret erzeugt als Summe, und zwar für die sogenannten Fourierfrequenzen $\lambda _{j}={\frac {2\pi }{n}}j$, wobei $j\in \mathbb {Z}$ so gewählt ist, dass $-\pi <\lambda _{j}<\pi$ gilt. Dann hat man die Struktur
    ${\hat {f}}_{n}(\lambda _{j})=\sum _{|k_{n}|\leq m(n)}a_{k_{n}}I_{n}(\lambda _{j+k_{n}})$.
Wenn die $a_{k_{n}}$ und $m(n)$ folgende Eigenschaften haben, erzwingt man Konsistenz:
    $a_{k_{n}}\geq 0;\ a_{k_{n}}=a_{-k_{n}};\ \sum _{|k_{n}|\leq m(n)}a_{k_{n}}=1;\ \lim _{n\to \infty }\sum _{|k_{n}|\leq m(n)}a_{k_{n}}^{2}=0;\ \lim _{n\to \infty }m(n)=\infty ;\ \lim _{n\to \infty }{\frac {m(n)}{n}}=0$.
Die Gewichte $a_{k_{n}}$ werden in der Regel durch symmetrische Kernfunktionen $K\colon [-1,1]\to [0,\infty )$ mit $\int _{-1}^{1}K^{2}(x)dx<\infty$ erzeugt gemäß:
    $a_{k_{n}}={\frac {K({\frac {k_{n}}{m(n)}})}{\sum _{i=-m(n)}^{m(n)}K({\frac {i}{m(n)}})}};\ \ -m(n)\leq k_{n}\leq m(n)$.

#### Beispiele

siehe z. B. Vereinfacht schreiben wir jetzt $k$ und $m$ anstatt $k_{n}$ und $m(n)$.
* Abgeschnittenes Periodogramm, erzeugt durch den Rechteckkern $K(x)=\chi _{[-1,1]}(x)$. Dabei ist $\chi _{[-1,1]}$ die Indikatorfunktion. Es ist also $a_{k}=1$ für $k\leq m$ und $a_{k}=0$ sonst.
* Bartlett-Schätzung, erzeugt durch den Dreieck-Kern $K(x)=\max(1-|x|,0)$, es ist $a_{k}={\frac {m-|k|}{m^{2}}}$ für $k\leq m$ und $a_{k}=0$ sonst.
* Parzenschätzung, erzeugt durch einen komplizierteren Kern, der eine günstige asymptotische Varianz liefert:
    $K(x)={\begin{cases}1-6|x|^{2}+6|x|^{3}&{\text{wenn}}\ |x|<{\frac {1}{2}}\\2(1-|x|)^{3}&{\text{wenn}}\ {\frac {1}{2}}\leq |x|\leq 1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$.