# Satz von Seifert und van Kampen

Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

## Die einfache Hälfte des Satzes

Es sei $(X,*)$ ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei $(U_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.
Für $\lambda \in \Lambda$ sei $f_{\lambda }:(U_{\lambda },*)\rightarrow (X,*)$ die Inklusion. Dann wird $\pi _{1}(X,*)$ erzeugt von den Untergruppen $\pi _{1}(f_{\lambda })(U_{\lambda },*),\lambda \in \Lambda .$
Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem $U_{\lambda }$ verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes $U_{\lambda }$ diese Eigenschaft besitzt.

## Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen

Es seien $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $U_{1},U_{2}\subseteq X$ offen und wegzusammenhängend, sodass $X=U_{1}\cup U_{2}$ gilt, und $*\in U_{3}:=U_{1}\cap U_{2}$ . Auch $U_{3}$ sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von $U_{3}$ nach $U_{1},U_{2}$ gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen
    $v_{i}:\pi _{1}(U_{3},*)\rightarrow \pi _{1}(U_{i},*),i=1,2.$
Zu den Inklusionen von $U_{j}$ nach $X$ gehören Homomorphismen
    $u_{j}:\pi _{1}(U_{j},*)\rightarrow \pi _{1}(X,*),1\leq j\leq 3.$
Offensichtlich gilt hierbei $u_{3}=u_{i}\circ v_{i},i=1,2.$ Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und $p_{j}:\pi _{1}(U_{j},*)\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft
    $p_{3}=p_{i}\circ v_{i},i=1,2.$
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $p:\pi _{1}(X,*)\rightarrow H$, sodass
    $p_{j}=p\circ u_{j},1\leq j\leq 3.$
Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

## Kombinatorische Version

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist $\pi _{1}(X,*)$ das amalgamierte Produkt von $\pi _{1}(U_{1},*)$ und $\pi _{1}(U_{2},*)$ über $\pi _{1}(U_{3},*)$ via der Homomorphismen $u_{1}$ und $u_{2}$. Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:
    $\pi _{1}(U_{1},*)=\langle \alpha _{1},...,\alpha _{k}|r_{1},...,r_{l}\rangle$,
    $\pi _{1}(U_{2},*)=\langle \beta _{1},...,\beta _{m}|s_{1},...,s_{n}\rangle$ und
    $\pi _{1}(U_{3},*)=\langle \gamma _{1},...,\gamma _{p}|t_{1},...,t_{q}\rangle$,
dann kann die Amalgamierung als
    $\pi _{1}(X,*)=\pi _{1}(U_{1},*)\;*_{\pi _{1}(U_{3},*)}\;\pi _{1}(U_{2},*)$
    $=\langle \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{m}|r_{1},...,r_{l},s_{1},...,s_{n},v_{1}(\gamma _{1})=v_{2}(\gamma _{1}),...,v_{1}(\gamma _{p})=v_{2}(\gamma _{p})\rangle$
präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von $X$ ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen $U_{1}$ und $U_{2}$; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt $U_{3}$ unabhängig davon, ob man sie als Element von $\pi _{1}(U_{1},*)$ oder von $\pi _{1}(U_{2},*)$ auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

## Beispiel zum Hilfssatz

Man nehme die n-dimensionale Sphäre $S^{n},n\geq 2$ und $P,Q$ zwei verschiedene Punkte aus $S^{n}$. Dann sind $U_{1}:=S^{n}\setminus \{P\}$ und $U_{2}:=S^{n}\setminus \{Q\}$ wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen $n\geq 2$ auch wegzusammenhängend.
Nun ist aber $S^{n}\setminus \{P\}$, mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu $\mathbb {R} ^{n}$. Da $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist, gilt dies also auch für $U_{1}$ und $U_{2}$ und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch $\pi _{1}(S^{n})$ trivial.

## Folgerungen

Wenn die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(U_{3},*)$ trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass $\pi _{1}(X,*)$ das freie Produkt von $\pi _{1}(U_{1},*)$ und $\pi _{1}(U_{2},*)$ ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in $\pi _{1}(U_{1},*)$ oder $\pi _{1}(U_{2},*)$ gewesen wären. Insbesondere sind $u_{1}$ und $u_{2}$ injektiv.