# Neunerlemma

Das Neunerlemma, wegen der Struktur des unten abgebildeten Diagramms auch 3×3-Lemma genannt, ist eine mathematische Aussage über kommutierende Diagramme und exakte Folgen, die sowohl für jede abelsche Kategorie als auch für die Kategorie der Gruppen gültig ist.

## Aussage

Ist (in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen) das Diagramm
kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt, so ist auch die obere Zeile exakt. Ebenso gilt: Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt, so ist auch die untere Zeile exakt.

## Beweis

Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd, zunächst unter der Annahme, dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft. Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit $h$, alle vertikalen mit $v$ bezeichnet. Das neutrale Element der Gruppen heiße jeweils $e$. Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden, dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht, die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken – erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt, werden die Zusammenhänge einleuchtend.
Seien zunächst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt.
* Ist $a_{1}\in A_{1}$ mit $h(a_{1})=e$, so $h(v(a_{1}))=v(h(a_{1}))=v(e)=e$. Hieraus folgt mit der Injektivität von $h\colon A_{2}\to B_{2}$ auch $v(a_{1})=e$ und mit der von $v\colon A_{1}\to A_{2}$ schließlich $a_{1}=e$.
* Ist $a_{1}\in A_{1}$, so ist $v(h(h(a_{1})))=h(h(v(a_{1})))=e$, also $h(h(a_{1}))=e$.
* Ist $b_{1}\in B_{1}$ mit $h(b_{1})=e$, so $h(v(b_{1}))=v(h(b_{1}))=e$, also $v(b_{1})=h(a_{2})$ für ein $a_{2}\in A_{2}$. Aus $h(v(a_{2}))=v(h(a_{2}))=v(v(b_{1}))=e$ folgt auch $v(a_{2})=e$, also $a_{2}=v(a_{1})$ für ein $a_{1}\in A_{1}$. Dann ist $v(h(a_{1}))=h(v(a_{1}))=h(a_{2})=v(b_{1})$, woraus bereits $b_{1}=h(a_{1})$ folgt.
* Ist $c_{1}\in C_{1}$, so gibt es ein $b_{2}\in B_{2}$ mit $h(b_{2})=v(c_{1})$. Wegen $h(v(b_{2}))=v(h(b_{2}))=v(v(c_{1}))=e$ gibt es ein $a_{3}\in A_{3}$ mit $h(a_{3})=v(b_{2})$. Weiter gibt es ein $a_{2}\in A_{2}$ mit $v(a_{2})=a_{3}$, also $v(h(a_{2}))=h(v(a_{2}))=h(a_{3})=v(b_{2})$. Somit unterscheiden sich $h(a_{2})$ und $b_{2}$ um $v(b_{1})$ für ein geeignetes $b_{1}\in B_{1}$, d. h. es gilt $b_{2}=v(b_{1})\cdot h(a_{2})$. Dann ist $v(c_{1})=h(b_{2})=h(v(b_{1})\cdot h(a_{2}))=h(v(b_{1}))\cdot h(h(a_{2}))=h(v(b_{1}))=v(h(b_{1}))$ und schließlich auch $c_{1}=h(b_{1})$.
Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile.
Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt.
* Ist $c_{3}\in C_{3}$, so $c_{3}=v(c_{2})$ für ein $c_{2}\in C_{2}$ und dann $c_{2}=h(b_{2})$ für ein $b_{2}\in B_{2}$, jeweils per Surjektivität von $v\colon C_{2}\to C_{3}$ bzw. $h\colon B_{2}\to C_{2}$. Dann ist $h(v(b_{2}))=v(h(b_{2}))=c_{3}$.
* Ist $a_{3}\in A_{3}$, so $a_{3}=v(a_{2})$ für ein $a_{2}\in A_{2}$. Dann $h(h(a_{3}))=h(h(v(a_{2})))=v(h(h(a_{2})))=v(e)=e$.
* Ist $b_{3}\in B_{3}$ mit $h(b_{3})=e$ und wählen wir ein $b_{2}\in B_{2}$ mit $v(b_{2})=b_{3}$, so $v(h(b_{2}))=h(v(b_{2}))=h(b_{3})=e$, also $h(b_{2})=v(c_{1})$ für ein $c_{1}\in C_{1}$. Weiter $c_{1}=h(b_{1})$ für ein $b_{1}\in B_{1}$. Dann ist $h(v(b_{1}))=v(h(b_{1}))=v(c_{1})=h(b_{2})$, also $b_{2}=v(b_{1})\cdot h(a_{2})$ für ein $a_{2}\in A_{2}$. Schließlich ist $h(v(a_{2}))=v(h(a_{2}))=v(v(b_{1}))\cdot v(h(a_{2}))=v(v(b_{1})\cdot h(a_{2}))=v(b_{2})=b_{3}$.
* Ist $a_{3}\in A_{3}$ mit $h(a_{3})=e$ und wählen wir $a_{2}\in A_{2}$ mit $v(a_{2})=a_{3}$, so $v(h(a_{2}))=h(v(a_{2}))=h(a_{3})=e$, also $h(a_{2})=v(b_{1})$ für ein $b_{1}\in B_{1}$. Es ist $v(h(b_{1}))=h(v(b_{1}))=h(h(a_{2}))=e$, daher bereits $h(b_{1})=e$. Folglich $b_{1}=h(a_{1})$ für ein $a_{1}\in A_{1}$. Aus $h(v(a_{1}))=v(h(a_{1}))=v(b_{1})=h(a_{2})$ folgt bereits $a_{2}=v(a_{1})$ und somit $a_{3}=v(a_{2})=v(v(a_{1}))=e$.
Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile.
Der zunächst für Gruppen durchgeführte Beweis gilt (ggf. in additive Schreibweise übersetzt) ebenso für abelsche Gruppen oder auch für Moduln über einem Ring. Durch den Einbettungssatz von Mitchell ist dies aber bereits ausreichend, um das Neunerlemma für alle abelschen Kategorien zu beweisen.