# Stratonowitsch-Integral

Das Stratonowitsch-Integral (auch Fisk-Stratonowitsch-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und eine Alternative für das Itō-Integral. Beide Integrale lassen sich ineinander transformieren. Im Unterschied zu dem Itō-Integral, wo man für die Konstruktion nur den linken Endpunkt des Zerlegungsintervalls benötigt
    $\sum Y_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),$
nützt man beim Stratonowitsch-Integral das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes
    $\sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).$
Der Vorteil des Stratonowitsch-Integrals gegenüber dem Itō-Integral ist, dass die Itō-Formel nur Differentiale erster Ordnung besitzt.
Das Fisk-Stratonowitsch-Integral ist nach Ruslan Stratonowitsch und Donald Fisk benannt.

## Stratonowitsch-Integral

Seien $X$ und $Y$ Semimartingale definiert auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})$ und $t\geq 0$. Dann ist das Stratonowitsch-Integral von $Y$ bezüglich $X$ definiert als
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}\\&=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.\end{aligned}}$
Hier ist $\textstyle \int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}$ das Itō-Integral und $[X,Y]_{t}^{c}$ der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation. Ferner sind die $\Delta Y_{s}=Y_{s}-Y_{s-}$ die Sprungstellen des Prozesses.

### Für stetige Semimartingale

Wenn $X$ und $Y$ stetige Semimartingale sind, dann ist
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}:&=\int _{0}^{t}Y_{s}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}\\&=(Y\cdot X)_{t}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t},\end{aligned}}$
oder in Differentialschreibweise
    $Y_{t}\circ dX_{t}:=Y_{t}dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}d[Y,X]_{t}.$

### Erläuterungen

* Die Definition des Stratonowitsch-Integrales lässt sich verallgemeinern, so dass $Y$ nicht mehr ein Semimartingal ist, sondern lediglich adaptiert und càdlàg.

### Herleitung

Das Stratonowitsch-Integral erhält man, wenn man das arithmetische Mittel des linken und rechten Endpunktes des Zerlegungsintervall nimmt. Sei $\Delta$ eine Partition von $[0,t]$ und $X,Y$ stetige Semimartingale. Dann gilt
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}=\lim \limits _{|\Delta |\to 0}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}}}{2}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).\end{aligned}}$

### Beziehung zwischen dem Itō- und Stratonowitsch-Integral

Es gilt folgende Beziehung zwischen den beiden Integralbegriffen
    $\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}=\int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}.$
Wenn $X$ und $Y$ stetige Semimartingale sind, dann gilt
    $(Y\cdot X)_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\circ dX_{s}-{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}.$

## Itō-Formeln

Sei $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ ein $\mathbb {R} ^{n}$-Semimartingal und $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$, dann ist $f(X)$ ein Semimartingal und es gilt
    $f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\circ dX_{s}^{i}+\sum \limits _{0<s\leq t}\left(f(X_{s})-f(X_{s-})-\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{i}\right).$
Das Integrationsgebiet $1_{[0+,t]}$ bedeutet $1_{(0,t]}$.

### Für stetige Semimartingale

Sei $X=(X^{1},\dots ,X^{n})$ ein stetiges $\mathbb {R} ^{n}$-Semimartingal und $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$, dann ist $f(X)$ ein Semimartingal und es gilt
    $f(X_{t})-f(X_{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(X_{s})\circ dX_{s}^{i}.$

## Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung für Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral, welches man durch Umschreiben des Sprung-Terms erhält.
Das Ogawa-Integral verallgemeinert das Stratonowitsch-Integral.