# Cullen-Zahl

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$. Mit diesen Zahlen hat sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt. Ihm fiel auf, dass außer $C_{1}=3$ alle Zahlen dieser Form bis $C_{99}$ zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich $C_{53}$ konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5591 fand. Cunningham zeigte, dass alle $C_{n}$ bis $n=200$ zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für $n=141$.
1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass $C_{141}$ eine Primzahl ist, und wies nach, dass mit Ausnahme von $C_{1}$ und $C_{141}$ alle Cullen-Zahlen von $C_{1}$ bis $C_{1000}$ zusammengesetzte Zahlen sind.
Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, dass $C_{4713},C_{5795},C_{6611}$ und $C_{18\;\!496}$ ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen $C_{n}$ mit $n\leq 30\;\!000$ zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.
Momentan (Stand: November 2015) sind Cullen-Primzahlen $C_{n}$ für folgende $n$ bekannt:
    1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (Folge A005849 in OEIS)
Die bis dato größte bekannte Cullen-Primzahl ist somit $C_{6\;\!679\;\!881}=6\;\!679\;\!881\cdot 2^{6\;\!679\;\!881}+1$, sie hat 2 010 852 Stellen. Sie wurde am 25. Juli 2009 von einem anonymen japanischen Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid entdeckt.
Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Cullen-Zahlen bis $n<13\;\!705\;\!481$ gibt. Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt. Es ist noch nicht bekannt, ob $n$ und $C_{n}$ gleichzeitig prim sein darf.

## Eigenschaften von Cullen-Zahlen

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form $p=2n-1$, wobei $p$ eine Primzahl der Form $p=8k\pm 3$ sein muss. Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn $p$ eine ungerade Primzahl ist, $p$ ein Teiler von $C_{m(k)}$ sein muss mit $m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k$ für $k\geq 0$.
Weiters konnte folgendes gezeigt werden:
Die Primzahl $p$ teilt die Cullen-Zahl $C_{\frac {p+1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=-1$ ist.
Die Primzahl $p$ teilt die Cullen-Zahl $C_{\frac {3p-1}{2}}$, wenn das Jacobi-Symbol $\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$ ist.

## Verallgemeinerte Cullen-Zahlen

Zahlen der Form $n\cdot b^{n}+1$ mit $n+2>b$ bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.
Die kleinsten $n$, für die $n\cdot b^{n}+1$ prim ist, sind für aufsteigendes $b$ = 1, 2, …:
    1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … (Folge A240234 in OEIS)
Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von $b$ zwischen 1 und 30. Diese $n$ wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für $n$ die Bedingung $n+2>b$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl $n\cdot b^{n}+1$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:
| b | n, sodass n・b$^n$ + 1 prim ist | untersucht bis | OEIS-Folge |
| 1 | alle Primzahlen minus 1, d. h.: 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, … | alle Primzahlen | Folge A006093 in OEIS |
| 2 | 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … | 13705481 | Folge A005849 in OEIS |
| 3 | 2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, … | 1200000 | Folge A006552 in OEIS |
| 4 | (1), 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, … | 250000 | Folge A007646 in OEIS |
| 5 | 1242, 18390, … | 379575 | |
| 6 | (1, 2), 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, … | 200000 | Folge A242176 in OEIS |
| 7 | 34, 1980, 9898, … | 255681 | Folge A242177 in OEIS |
| 8 | (5), 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, …, 749130, … | 166666 | Folge A242178 in OEIS |
| 9 | (2), 12382, 27608, 31330, 117852, … | 222431 | Folge A265013 in OEIS |
| 10 | (1, 3), 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, … | 270026 | Folge A007647 in OEIS |
| 11 | 10, … | 600000 | |
| 12 | (1, 8), 247, 3610, 4775, 19789, 187895, … | 254519 | Folge A242196 in OEIS |
| 13 | … | 1000000 | |
| 14 | (3, 5, 6, 9), 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, … | 246922 | Folge A242197 in OEIS |
| 15 | (8), 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, … | 136149 | Folge A242198 in OEIS |
| 16 | (1, 3), 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, … | 125000 | Folge A242199 in OEIS |
| 17 | 19650, 236418, … | 281261 | |
| 18 | (1, 3), 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, … | 203597 | Folge A007648 in OEIS |
| 19 | 6460, … | 305777 | |
| 20 | (3), 6207, 8076, 22356, 151456, … | 219976 | Folge A338412 in OEIS |
| 21 | (2, 8), 26, 67100, … | 274099 | |
| 22 | (1, 15), 189, 814, 19909, 72207, … | 137649 | |
| 23 | 4330, 89350, … | 177567 | |
| 24 | (2, 8), 368, … | 134188 | |
| 25 | 2805222, … | 500000 | |
| 26 | 117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, … | 147626 | |
| 27 | (2), 56, 23454, …, 259738, … | 215413 | |
| 28 | (1), 48, 468, 2655, 3741, 49930, … | 200618 | |
| 29 | … | 500000 | |
| 30 | (1, 2, 3, 7, 14, 17), 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, … | 101757 | |
Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist $2\;\!525\;\!532\cdot 73^{2\;\!525\;\!532}+1$. Sie hat 4 705 888 Stellen und wurde am 28. August 2021 von Tom Greer, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.