# Damköhler-Zahl

Die Damköhler-Zahlen ($Da$) (entwickelt von Gerhard Damköhler, 1908–1944) sind dimensionslose Kennzahlen der chemischen Reaktionstechnik. Bekannt sind vier verschiedene Damköhler-Zahlen ($Da_{I}$, $Da_{II}$, $Da_{III}$, $Da_{IV}$), die als Damköhler-Zahl n-ter Ordnung bekannt sind, sowie eine turbulente Damköhler-Zahl ($Da_{t}$).

## Damköhler-Zahl erster Ordnung

Die Damköhler-Zahl erster Ordnung $Da_{I}$ beschreibt das Verhältnis der Geschwindigkeitskonstanten der Reaktion zur Geschwindigkeitskonstanten des konvektiven Stofftransports:
    $Da_{I}={\frac {k_{\text{reakt}}}{k_{\text{konvekt}}}}=k\cdot \tau \cdot c_{0}^{n-1}={\frac {k\cdot L\cdot c_{0}^{n-1}}{w}}$,
mit
* $k$ = Geschwindigkeitskonstante
* $\tau$ = Verweilzeit bzw. Reaktionszeit
* $c_{0}$ = Anfangskonzentration
* $n$ = Reaktionsordnung
* $L$ = charakteristische Länge
* $w$ = Strömungsgeschwindigkeit.
Für die Beschreibung diskontinuierlicher Reaktoren ersetzt man die Verweilzeit $\tau$ durch die Reaktionszeit $t_{r}$. Somit erhält man in deutlich übersichtlicherer Darstellung die dimensionslose Massenbilanz des idealen Rührkesselreaktors.

## Damköhler-Zahl zweiter Ordnung

Die Damköhler-Zahl zweiter Ordnung $Da_{II}$ findet sich bei der Beschreibung innerer Stofftransportvorgänge (Porendiffusion) an Grenzflächen, z. B. an Katalysatorkugeln. Sie ist definiert als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zur Diffusionsgeschwindigkeit:
    $Da_{II}={\frac {k\cdot L^{2}\cdot c^{n-1}}{D}}={\frac {k\cdot c^{n-1}}{k_{L}\cdot a}}$
mit
* $k_{L}$ = volumenbezogener Stoffübergangskoeffizient
* a = spezifische Austauschfläche.
$Da_{II}$ kann als Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeit zu Oberflächenbedingungen zu der Diffusionsgeschwindigkeit durch die äußere Oberfläche des Katalysatorpellets gesehen werden.

## Damköhler-Zahl dritter Ordnung und vierter Ordnung

Die Damköhler-Zahl dritter Ordnung $Da_{III}$ und die Damköhler-Zahl vierter Ordnung $Da_{IV}$ werden zur Abschätzung von Betriebsbedingungen bei polytroper Betriebsweise von Reaktoren verwendet.

## Turbulente Damköhler-Zahl

Die turbulente Damköhler-Zahl $Da_{t}$ (in der Verbrennungsforschung meist nur als $Da$ bezeichnet) beschreibt das Verhältnis zwischen der makroskopischen Zeitskala einer turbulenten Strömung $\tau _{0}$ und der Zeitskala einer chemischen Reaktion $\tau _{R}$:
    $Da_{t}:={\frac {\tau _{0}}{\tau _{\text{R}}}}\approx {\frac {l_{0}\,v_{\text{R}}}{v'\,l_{\text{R}}}}$
$l$ steht hierbei für die jeweilige Längenskala, wobei als makroskopische Längenskala meist eine integrale Längenskala gewählt wird. Diese dient als Maß für den Durchmesser der energiereichsten (und damit auch in der Regel der größten) Wirbel in der Strömung. Deren Umlaufgeschwindigkeit ist etwa gleich der Standardabweichung $v'$ der Strömungsgeschwindigkeit. Als charakteristische Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_{\text{R}}$ für die chemischen Reaktionen dient in der Verbrennungsforschung meist die laminare Flammengeschwindigkeit $s_{\text{L}}$, also die Geschwindigkeit, mit der die Flammenfront im laminaren Fall propagiert: $v_{\text{R}}=s_{\text{L}}$ Analog dazu ist es in Bezug auf Verbrennungsprozesse üblich, die Dicke der laminaren Flammenfront $l_{\text{L}}$ als Reaktionslängenskala einzusetzen: $l_{\text{R}}=l_{\text{L}}$
Anhand der turbulenten Damköhler-Zahl lassen sich Aussagen über die räumliche Struktur und das zeitliche Verhalten des Reaktionsgebiets in einer turbulenten reagierenden Strömung treffen.