# Mellin-Transformation

Unter der Mellin-Transformation versteht man eine mit der Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.

## Geschichte

Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.

## Definition

Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ ist definiert als die Funktion
    $M_{f}(s):=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t$
für komplexe Zahlen $s$, sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor ${\tfrac {1}{\Gamma (s)}}$, also
    ${\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.$
Dabei ist $\Gamma$ die Gamma-Funktion.

## Rücktransformation

Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation
    $f(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }M_{f}(s)x^{-s}\mathrm {d} s$
von $M_{f}(s)$ zu $f(x)$ für jedes reelle $c$ mit $b>c>a>0$ möglich. Hierbei seien $a$ und $b$ zwei positive reelle Zahlen.
* das Integral $M_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\mathrm {d} x$ ist in dem Streifen $S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}$ absolut konvergent
* $M_{f}(s)$ ist in dem Streifen $S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}$ analytisch
* der Ausdruck $M_{f}(c\pm \mathrm {i} t)$ strebt für $t\to \infty$ und jedem beliebigen Wert $c$ zwischen $a$ und $b$ gleichmäßig gegen 0
* die Funktion $f(x)$ ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

## Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral $t=e^{x}$, setzt man $F(x)=f(e^{x})$ und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion $F$ mit ${\widehat {F}}$, so ist für reelle $s$
    $M_{f}(\mathrm {i} s)={\sqrt {2\pi }}{\widehat {F}}(s)$.

## Beispiel zur Dirichletreihe

Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe $f$ und eine Potenzreihe $F$ zueinander in Beziehung setzen. Es seien
    $f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ und $F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$
mit den gleichen $a_{n}$. Dann gilt
    $f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm {d} t$.
Setzt man hierin zum Beispiel alle $a_{n}=1$, so ist $f$ die Riemannsche Zetafunktion, und man erhält
    $\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$
für $\operatorname {Re} (s)>1$.