# Neyman-Pearson-Lemma

Das Neyman-Pearson-Lemma, auch Fundamentallemma von Neyman-Pearson oder Fundamentallemma der mathematischen Statistik genannt, ist ein zentraler Satz der Testtheorie und somit auch der mathematischen Statistik, der eine Optimalitätsaussage über die Konstruktion eines Hypothesentests macht. Gegenstand des Neyman-Pearson-Lemmas ist das denkbar einfachste Szenario eines Hypothesentests, das auch Neyman-Pearson-Test genannt wird: Dabei ist sowohl die Nullhypothese $H_{0}$ als auch die Alternativhypothese $H_{1}$ einfach, d. h., sie entsprechen jeweils einer einzelnen Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichten nachfolgend mit $f_{0}$ und $f_{1}$ bezeichnet werden. Dann, so die Aussage des Neyman-Pearson-Lemmas, erhält man den besten Test durch eine Entscheidung, bei der die Nullhypothese verworfen wird, wenn der Likelihood-Quotient $f_{0}/f_{1}$ einen bestimmten Wert unterschreitet.
Das Lemma ist nach Jerzy Neyman und Egon Pearson benannt, die es 1933 bewiesen haben.

## Situation

Gesucht ist ein möglichst „guter“ Hypothesentest, der mit hoher Zuverlässigkeit eine Entscheidung zwischen Null- und Alternativhypothese herbeiführen soll. Dabei wird vorausgesetzt, dass Null- und Alternativhypothese jeweils genau einer für die Beobachtungsergebnisse geltenden Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechen. Unter dieser Voraussetzung kann für jede Festlegung eines Verwerfungsbereichs die Wahrscheinlichkeit einer falschen Testentscheidung exakt berechnet werden: Im Detail handelt es sich um die beiden Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler erster Art und einen Fehler zweiter Art. Daher können bei einer durch das Signifikanzniveau vorgegebenen Obergrenze für einen Fehler erster Art die theoretisch denkbaren Testentscheidungen besonders einfach in qualitativer Hinsicht untereinander verglichen werden.

## Formale Beschreibung der Situation

Beobachtet werden Realisierungen eines reellen Zufallsvektors $X$ mit Dimension $d$ mit Werten in dem Messraum $(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}^{d})$. Unbekannt ist die exakte Verteilung $P_{X}$ von $X$. Getestet werden soll die Nullhypothese „$P_{X}=P_{0}$“ gegen die Alternative „$P_{X}=P_{1}$“ für zwei Wahrscheinlichkeitsmaße $P_{0},P_{1}$ über dem gegebenen Messraum. Die Maße $P_{0}$ und $P_{1}$ besitzen Dichten $f_{0}$ bzw. $f_{1}$ bzgl. des Lebesgue-Maßes, d. h., sie sind stetige Verteilungen auf $\mathbb {R} ^{d}$.
Charakterisiert wird ein Entscheidungsverfahren jetzt durch die Festlegung eines Verwerfungsbereichs $B\in {\mathcal {B}}^{d}$, mit dessen Hilfe man die Nullhypothese genau dann verwirft, wenn die beobachtete Realisierung von $X$ in $B$ liegt. Dieser Test darf ein vorgegebenes Niveau $\alpha \in (0,1)$ nicht überschreiten,
    $P_{0}(B)=\int 1_{B}(x)f_{0}(x)dx\leq \alpha$ ,
d. h., die Wahrscheinlichkeit für ein fälschliches Verwerfen der Nullhypothese, der sog. Fehler 1. Art, darf nicht größer als $\alpha$ sein. Unter allen Tests, die dieses Niveau einhalten, nennt man denjenigen den stärksten Test, der die sog. Teststärke $P_{1}(B)$ maximiert, sprich einen minimalen Fehler 2. Art,
    $P_{1}(B^{\complement })=\int 1_{B^{\complement }}(x)f_{1}(x)dx$ ,
die Wahrscheinlichkeit für ein fälschliches Nichtverwerfen der Nullhypothese, besitzt.

## Formulierung
### Das Neyman-Pearson-Lemma

Unter der obigen Situation betrachtet man für eine Realisierung von $X$ den erweiterten Likelihood-Quotienten
    $q(x):={\begin{cases}{\frac {f_{0}(x)}{f_{1}(x)}}\ ,&f_{1}(x)>0\\1\ ,&f_{0}(x)=f_{1}(x)=0\\\infty \ ,&f_{0}(x)>0,f_{1}(x)=0\end{cases}}\ .$
Der Fall $f_{0}(x)=f_{1}(x)=0$ wird nur der Vollständigkeit halber definiert, da er mit keiner positiven Wahrscheinlichkeit eintritt.
Jetzt ist ein Test der Hypothese „$P_{X}=P_{0}$“ gegen die Alternative „$P_{X}=P_{1}$“ zu einem gegebenen Niveau $\alpha \in (0,1)$ genau dann optimal (stärkster Test), wenn ein $\gamma \in (0,\infty )$ existiert, sodass sein Verwerfungsbereich $B\in {\mathcal {B}}^{d}$ die Forderungen
* $P_{0}(B)=\alpha$ sowie
* $q(x)\leq \gamma$ für fast sicher alle $x\in B$ und
* $q(x)\geq \gamma$ für fast sicher alle $x\in B^{\complement }$
erfüllt. Die fast sicheren Eigenschaften aus 2. und 3. beziehen sich hierbei auf das Wahrscheinlichkeitsmaß $0{,}5(P_{0}+P_{1})$, d. h. sie müssen fast sicher bzgl. $P_{0}$ und $P_{1}$ eintreten.
Erfüllt ein Verwerfungsbereich $B$ die Forderungen 1.–3., nennt man diesen auch einen Neyman-Pearson-Bereich. In diskreten Modellen existiert solch ein Verwerfungsbereich nur zu bestimmten Niveaus $\alpha$, um ein vorgegebenes Niveau komplett auszuschöpfen muss gegebenenfalls auf randomisierte Tests zurückgegriffen werden.

### Sonderfälle

Durch das obige Lemma nicht betrachtet wurden wenigstens die folgenden Sonderfälle:
* Der Verwerfungsbereich $B_{0}=\{f_{0}=0\}$ ist der stärkste Test zum Testniveau $\alpha =0$, d. h. der Test weist keinen Fehler 1. Art auf. Der entsprechende Testparameter ist $\gamma =0$.
* Der Verwerfungsbereich $B_{1}=\{f_{1}>0\}$ ist der stärkste Test zum Niveau $\alpha =P_{0}(B_{1})$, denn er besitzt die Teststärke $P_{1}(B_{1})=1$, d. h. der Test weist keinen Fehler 2. Art auf. Der entsprechende Testparameter ist $\gamma =\infty$.