# Produktionsregel

Eine Produktionsregel (auch Regel, Produktion oder Ersetzungsregel genannt) ist in der Theorie formaler Grammatiken eine Regel, die angibt, wie aus Wörtern durch eine Grammatik neue Wörter bzw. Symbolfolgen produziert werden.

## Definition

Formal ist eine Produktionsregel $p$ aus einer Grammatik $G=(V,T,P,S)$ - mit Vokabular $V$, Alphabet $T$ von Terminalsymbolen, Regelmenge $P$ und Startsymbol $S$ - ein Element der Regelmenge, also $p\in P$.
Eine Regel ist ein geordnetes Paar $p=(\alpha ,\beta )\in P$ der beiden Wörter $\alpha$ und $\beta$, wenn $\alpha$ ein Wort aus $V^{*}\setminus T^{*}$ ist und $\beta$ ein Wort aus $V^{*}$ ist. Das Wort $\alpha$ kann also eine beliebig lange Folge von Zeichen des Vokabulars $V$ sein ($V^{*}$ ist die Kleenesche Hülle von $V$), solange sie nicht leer ist und nicht nur aus Terminalsymbolen $s\in T$ besteht. Es ist daher $V^{*}\setminus T^{*}=$$V^{*}NV^{*}$. Das Wort $\beta$ kann dann gemäß der Regel das Wort $\alpha$ ersetzen und kann eine beliebig lange, endliche Folge von Zeichen des Vokabulars sein. Insbesondere kann $\beta$ auch nur aus Terminalsymbolen bestehen ($\beta \in T^{*}$) oder das leere Wort sein ($\beta =\varepsilon$). Damit stellen die Produktionsregeln eine endliche Teilmenge des kartesischen Mengenprodukts
    $(V^{*}\setminus T^{*})\times V^{*}=V^{*}NV^{*}\times V^{*}$,
also eine Relation dar. Verlangt man noch, dass auf der rechten Seite einer Regel keine Startzeichen vorkommen dürfen, dann hat im obigen kartesischen Produkt auf der rechten Seite jeweils $(V\setminus \{S\})^{*}$ statt $V^{*}$ zu stehen.
Eine Regel $p=(\alpha ,\beta )$ wird oftmals durch die Schreibweise $\alpha \rightarrow \beta$ (mit dem Relationszeichen $\rightarrow$ anstelle von $P$) dargestellt, und zu jedem festen $\alpha$ kann die Gesamtheit zugehöriger Regeln $\alpha \rightarrow \beta _{1},\;\alpha \rightarrow \beta _{2},\;\alpha \rightarrow \beta _{3},\ldots$ durch die Schreibweise $\alpha \rightarrow \beta _{1}\;|\;\beta _{2}\;|\;\beta _{3}\;|\ldots$ abgekürzt werden.

## Anwendung von Produktionsregeln

In der Theoretischen Informatik sowie in der Linguistik werden die Produktionsregeln einer formalen Grammatik angewendet, um formale Sprachen zu beschreiben oder zu erzeugen.
Liegt ein Wort $v_{1}\alpha v_{2}=v\in V^{+}$ vor, so lässt sich eine Produktionsregel $(\alpha ,\beta )$ auf $v$ anwenden, mit dem resultierenden Wort $v_{1}\beta v_{2}$. Ein Wort, das nur aus Terminalsymbolen besteht und vom Startsymbol abgeleitet werden kann, ist ein Wort der Sprache, die von der Grammatik beschrieben wird.

## Beispiele

Es sei innerhalb einer formalen Grammatik mit den Nichtterminalsymbolen $N=\{A,B\}$ und den Terminalsymbolen $T=\{a,b\}$ die Produktionsregel $aBa\rightarrow bA$ definiert. Durch Anwendung dieser Regel kann bei der Erzeugung der durch die Grammatik beschriebenen Sprache zum Beispiel das Wort $aBaBaBA$ zum Wort $bABaBA$ abgeleitet werden, wobei hier das Präfix $aBa$ durch die Konklusion $bA$ ersetzt wird. Es wäre jedoch nach der Definition formaler Grammatiken auch möglich, das zweite Vorkommen des Wortes $aBa$ zu ersetzen, so dass das Wort $aBbABA$ entsteht.
Wäre außerdem die Regel $aBa\rightarrow \varepsilon$ definiert, so könnte das zuvor betrachtete Wort $aBaBaBA$ außerdem in die Wörter $BaBA$ bzw. $aBBA$ abgeleitet werden. ($\varepsilon$ ist die in der Regel verwendete Notation für das leere Wort, ein Wort, das aus keinem einzigen Zeichen besteht.)

## Informatik

Wie bereits beschrieben, stellen Produktionsregeln einen grundlegenden Bestandteil formaler Grammatiken dar und werden demnach dazu verwendet, um formale Sprachen zu beschreiben. So werden Produktionsregeln etwa im Rahmen des Compilerbaus dazu verwendet, um eine Programmiersprache zu beschreiben. Produktionsregeln werden hier häufig in der Backus-Naur-Form dargestellt.
Eine kognitive Anwendung haben Produktionsregeln in regelbasierten Systemen: Hier spricht man von Produktionsregeln, wenn die Konklusionen der Regeln, mit denen das System arbeitet, nur aus Konjunktionen von Literalen bestehen.

## Linguistik

In der Theorie der Transformationsgrammatik veranschaulichen Produktionsregeln, die hier Phrasenstrukturregeln (PS-Regeln) genannt werden, den Gedanken, dass ein Satz eine grammatische Struktur besitzt, die aus kategorietragenden Bestandteilen rekursiv aufgebaut ist. Die ersten und klassisch gewordenen PS-Regeln in Noam Chomskys Buch "Syntactic Structures" lauten:

## Anmerkungen und Einzelnachweise

* ↑ Die Mitglieder der Menge $N:=V\setminus T$ bezeichnet man als Nichtterminalzeichen, zu diesen gehört das Startzeichen, also $S\in N$.
* ↑ Sinngemäß nach Klaus Reinhardt: Prioritatszahlerautomaten und die Synchronisation von Halbspursprachen, Fakultät Informatik der Universität Stuttgart; Doktorarbeit 1994.
* ↑ Vergleiche Backus-Naur-Form.