# Wheeler-DeWitt-Gleichung

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist eine Feldgleichung in der Theoretischen Physik und angewandten Mathematik, die John Archibald Wheeler und Bryce DeWitt zugeschrieben wird. Die Gleichung versucht, die Ideen der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie mathematisch zu kombinieren, und ist somit ein Schritt in Richtung einer Theorie der Quantengravitation.
Bei diesem Ansatz spielt die Zeit eine andere Rolle als in der nicht-relativistischen Quantenmechanik, was zu dem sogenannten „Problem der Zeit“ führt. Genauer gesagt beschreibt die Gleichung die Quantenversion der Hamiltonschen Einschränkung unter Verwendung metrischer Variablen. Seine Kommutierungsbeziehungen mit den Diffeomorphismusbeschränkungen erzeugen die Bergman-Komar-„Gruppe“.

## Quantengravitation

Alle definierten und verstandenen Beschreibungen der String/M-Theorie befassen sich mit festen asymptotischen Bedingungen auf der Hintergrundraumzeit. In der Unendlichkeit ist die „richtige“ Wahl der Zeitkoordinate „t“ in jeder Beschreibung bestimmt (weil die Raum-Zeit für eine feste Raum-Zeit asymptotisch ist), sodass es eine bevorzugte Definition des Hamiltonians (mit Eigenwerten ungleich Null) gibt, um Zustände des Systems in der korrekten Zeitrichtung zu entwickeln. Dadurch wird vermieden, dass dynamisch eine Zeitdimension mit der Wheeler-DeWitt-Gleichung generiert werden muss. Daher hat die Gleichung in der Stringtheorie bisher keine Rolle gespielt.
Es existiert die Möglichkeit, mit den Methoden von Wheeler und DeWitt die Massendynamik der Quantentheorie der Schwerkraft zu beschreiben. Einige Experten glauben, dass diese Gleichung immer noch das Potenzial zum Verständnis der Quantengravitation birgt; Jahrzehnte nach der Veröffentlichung der Gleichung haben jedoch völlig unterschiedliche Ansätze, wie die Stringtheorie, Physikern ebenso gute Ergebnisse über die Quantengravitation generiert.

## Motivation und Hintergrund

In der kanonischen Schwerkraft wird die Raumzeit in raumartige Untermannigfaltigkeiten geblättert. Die Drei-Metrik (d. h. die Metrik auf der Hyperoberfläche) ist $\gamma _{ab}$ und gegeben durch:
    $g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=(-N^{2}+\beta _{a}\beta ^{a})\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{a}\mathrm {d} x^{a}\mathrm {d} t+\gamma _{ab}\mathrm {d} x^{a}\mathrm {d} x^{b}$.
In dieser Gleichung laufen die lateinischen Indizes über die Werte 1, 2, 3 und die griechischen über die Werte 0, 1, 2, 3. Die Drei-Metrik $\gamma _{ab}$ ist das Feld, und seine konjugierten Impulse sind $\pi ^{ab}$. Der Hamiltonian ist eine Einschränkung (charakteristisch für die meisten relativistischen Systeme)
    ${\mathcal {H}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}G_{abcd}\pi ^{ab}\pi ^{cd}-{\sqrt {\gamma }}^{(3)}R=0$,
wobei $\gamma =\det(\gamma _{ab})$ und $G_{abcd}=(\gamma _{ac}\gamma _{bd}+\gamma _{ad}\gamma _{bc}-\gamma _{ab}\gamma _{cd})$ die Wheeler-DeWitt-Metrik bezeichnen.
Quantisierung „setzt Hüte“ auf die Impuls- und Feldvariablen; das heißt, die Funktionen von Zahlen im klassischen Fall werden zu Operatoren, die die Zustandsfunktion im Quantenfall ändern. So erhalten wir den Operator
    ${\hat {\mathcal {H}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\hat {G}}_{abcd}{\hat {\pi }}^{ab}{\widehat {\pi }}^{cd}-{\sqrt {\gamma }}^{(3)}{\hat {R}}.$
In der Ortsdarstellung lauten diese Operatoren
    ${\hat {\gamma }}_{ab}(x^{\mu })\to \gamma _{ab}(x^{\mu })$
    ${\hat {\pi }}^{ab}(x^{\mu })\to -\mathrm {i} {\frac {\delta }{\delta \gamma _{ab}(x^{\mu })}}.$.
Man kann den Operator auf eine allgemeine Wellenfunktion der Metrik ${\hat {\mathcal {H}}}\Psi [\gamma ]=0$ anwenden, wobei gilt:
    $\Psi [\gamma ]=\alpha +\int \psi (x)\gamma (x)\mathrm {d} x^{3}+\iint \psi (x,y)\gamma (x)\gamma (y)dx^{3}dy^{3}+\dots$,
was eine Reihe von Bedingungen an die Koeffizienten $\psi (x,y,\dots )$ stellt. Das bedeutet, dass die Amplituden für $N$ Gravitonen an bestimmten Orten mit den Amplituden für eine andere Mange von Gravitonen an anderen Orten verknüpft sind. Alternativ kann man den Zwei-Feld-Formalismus nutzen und $\omega (g)$ als unabhängiges Feld betrachten, so dass die Wellenfunktion zu $\Psi [\gamma ,\omega ]$ wird.

## Mathematischer Formalismus

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist eine funktionale Differentialgleichung. Sie ist im allgemeinen Fall nicht wohldefiniert, aber in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantengravitation, sehr wichtig. Sie ist eine funktionale Differentialgleichung auf dem Raum dreidimensionaler räumlicher Metriken. Die Wheeler-DeWitt-Gleichung hat die Form eines Operators, der auf eine Wellenfunktion wirkt; das Funktional reduziert sich auf eine Funktion in der Kosmologie. Im Gegensatz zum allgemeinen Fall ist die Wheeler-DeWitt-Gleichung in Minisuperräumen wie dem Konfigurationsraum kosmologischer Theorien wohldefiniert. Ein Beispiel für eine solche Wellenfunktion ist der Hartle-Hawking-Zustand. Bryce DeWitt veröffentlichte diese Gleichung erstmals 1967 unter dem Namen „Einstein-Schrödinger-Gleichung“; sie wurde später in „Wheeler-DeWitt-Gleichung“ umbenannt.

### Hamiltonsche Einschränkung

Einfach gesagt, sagt die Wheeler-DeWitt-Gleichung
    ${\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0$,
wobei ${\hat {H}}(x)$ die Hamiltonsche Einschränkung in der quantisierten Allgemeinen Relativitätstheorie ist und $|\psi \rangle$ steht für die Wellenfunktion des Universums. Im Gegensatz zur gewöhnlichen Quantenfeldtheorie oder Quantenmechanik ist der Hamiltonian eine Einschränkung erster Klasse für physikalische Zustände. Darüber hinaus existiert eine unabhängige Einschränkung für jeden Punkt im Raum.
Die Symbole ${\hat {H}}$ und $|\psi \rangle$ unterscheiden sich in ihrer Interpretation in der Wheeler-DeWitt-Gleichung erheblich von der nicht-relativistischen Quantenmechanik. $|\psi \rangle$ ist keine räumliche Wellenfunktion mehr im traditionellen Sinne einer komplexwertigen Funktion, die auf einer 3-dimensionalen raumartigen Oberfläche definiert und auf die Eins normiert wird. Stattdessen ist es eine Funktion der Feldkonfigurationen auf der gesamten Raumzeit. Diese Wellenfunktion enthält alle Informationen über die Geometrie und den Materieinhalt des Universums. ${\hat {H}}$ ist immer noch ein Operator, der auf den Hilbertraum der Wellenfunktionen operiert, aber es ist nicht derselbe Hilbertraum wie im nichtrelativistischen Fall, und der Hamiltonian bestimmt nicht mehr die Entwicklung des Systems, so dass die Schrödinger-Gleichung ${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle$ nicht mehr gilt. Diese Eigenschaft wird als Zeitlosigkeit bezeichnet. Das Wiederauftauchen der Zeit erfordert die Werkzeuge der Dekohärenz und der Uhroperatoren (oder die Verwendung eines Skalarfeldes).

### Impuls-Einschränkung

Die Hamilton-Beschränkung muss mit der Impulsbeschränkung
    ${\vec {\mathcal {P}}}(x)\left|\psi \right\rangle =0$
erweitert werden, die mit der räumlicher Diffeomorphismus-Invarianz verbunden ist.
In Minisuperräumen-Approximationen haben wir nur eine Hamiltonsche Einschränkung.
Tatsächlich impliziert das Prinzip der allgemeinen Kovarianz in der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass die globale Evolution an sich nicht existiert; die Zeit $t$ ist nur ein Label, das einer der Koordinatenachsen zugewiesen wird. Was wir also als Zeitentwicklung eines physikalischen Systems betrachten, ist nur eine Eichtransformation $\psi \rightarrow e^{i\theta ({\vec {r}})}\psi$, ähnlich der in der Quantenelektrodynamik, die durch die lokale U(1)-Eichtransformation induziert wird, in welcher die Rolle der Ortszeit $\theta ({\vec {r}})$ eine Rolle spielt. Die Rolle eines Hamiltonians besteht einfach darin, den Raum der „kinematischen“ Zustände des Universums auf den von „physikalischen“ Zuständen zu beschränken – diejenigen, die den Bahnen der Eichtransformation folgen. Aus diesem Grund heißt es „Hamiltonsche Einschränkung“. Bei der Quantisierung werden physikalische Zustände zu Wellenfunktionen, die im Kern des Hamilton-Operators liegen.
Im Allgemeinen verschwindet der Hamiltonian für eine Theorie mit allgemeiner Kovarianz oder zeitskalierender Invarianz.