# Functional Programming System

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Der Begriff Functional Programming System (abgekürzt FP-System) bezeichnet ein von John W. Backus entwickeltes Konzept funktionaler Programmiersprachen. Backus ging dabei von der Beobachtung aus, dass gängige Programmiersprachen Computerprogramme als ein kleinteilige serialisierte Datenmanipulation darstellen, da sie gedanklich vom von-Neumann'schen Maschinenmodell ausgehen. Daraus resultieren laut Backus zwei Probleme. Zum einen, dass von-Neumann-Programme schwer parallelisierbar sind. Zum anderen, dass es schwer ist, über die Eigenschaften von Von-Neumann-Programmen formal zu argumentieren oder sie zu transformieren. Das Functional Programming System adressiert diese Probleme durch Konstruktion eines Programms $P$ aus einer Komposition $P=F_{n}\circ F_{n-1}\circ F_{n-2}\circ ...\circ F_{1}$. Dabei werden größere Mengen strukturierter Daten von einer Funktion zur nächsten weiter gereicht, was technisch eine Parallelisierung der Verarbeitung ermöglicht. Backus zog auch in Betracht, diese Arbeitsweise zur Grundlage einer neuen Computerarchitektur zu machen, die diese Möglichkeit ausnutzt.
In einer Rede anlässlich der Verleihung des Turing Awards an Backus im Jahr 1977 stellte dieser die Idee von FP-Systemen vor. Der Vortragstitel lautete: Can Programming Be Liberated from the von Neumann Style? A Functional Style and Its Algebra of Programs. In einem weiteren Aufsatz legte sich Backus auf den Begriff Function-Level Programming fest.

## Funktionales Programm zur Berechnung des Skalarprodukts

Backus gibt mit der Berechnung des Skalarprodukts ein instruktives Beispiel für die Anwendung des Functional Programming System.
Die Funktion $\mathrm {IP}$(„Inner Product“), die das Skalarprodukt zweier Vektoren bestimmt, ist zusammengesetzt aus der verketteten Berechnung der drei Funktionen $\mathrm {Trans} ,(\alpha \times )$ und $(/+)$ (in dieser Reihenfolge), was wie folgt als Funktionskomposition ausgedrückt wird:
${\begin{aligned}\mathrm {IP} &=(/+)\circ (\alpha \times )\circ \mathrm {Trans} \end{aligned}}$
Dabei ist $\mathrm {Trans}$ eine Funktion, die eine Matrix transponiert. Dieser Zusammenhang wird in FP beispielsweise für eine Matrix ${\Bigl{\begin{smallmatrix}3&4\\7&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ so notiert:
${\begin{aligned}\mathrm {Trans} (\langle \langle 3,4\rangle ,\langle 7,1\rangle ,\langle -1,0\rangle \rangle )&=\langle \langle 3,7,-1\rangle ,\langle 4,1,0\rangle \rangle \end{aligned}}$
Die Symbole $\alpha$ und $/$ bezeichnen Funktionale. Diese übernehmen andere Funktionen um neue Funktionen zu bilden. In der Form $(\alpha \times )$ übernimmt $\alpha$ die zweistellige Multiplikationsfunktion $\times$ und liefert eine Funktion, die $\times$ auf alle Elemente einer übergebenen Liste von Paaren anwendet. Das Berechnungsergebnis ist dann die Liste der einzelnen Produkte. In modernen Programmiersprachen heißt das Funktional $\alpha$ meistens map. Backus nennt sie auch ApplyToAll.
Die Funktion $/$ schließlich entspricht grob der Funktion reduce oder fold in üblicher funktionaler Programmierung. Backus nennt sie Insert und meint damit, dass der Ausdruck $(/+)$ eine Funktion darstellt, die in einer übergebenen Liste die Operation $+$ zwischen je zwei Elemente einfügt. Es gilt also $(/+)(\langle 2,3,4\rangle )=2+3+4=9$.
Die Berechnung der Skalarprodukt-Funktion $\mathrm {IP}$ angewendet auf die beiden Vektoren $\langle 1,2,3\rangle$ und $\langle 6,5,4\rangle$ kann dann so verstanden werden:
${\begin{aligned}&\mathrm {IP} (\langle \langle 1,2,3\rangle ,\langle 6,5,4\rangle \rangle )\\&=((/+)\circ (\alpha \times )\circ \mathrm {Trans} )(\langle \langle 1,2,3\rangle ,\langle 6,5,4\rangle \rangle )\\&=((/+)\circ (\alpha \times ))(\mathrm {Trans} (\langle \langle 1,2,3\rangle ,\langle 6,5,4\rangle \rangle )\\&=(/+)((\alpha \times )(\langle \langle 1,6\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,4\rangle \rangle )\\&=(/+)(\langle \times (\langle 1,6\rangle ),\times (\langle 2,5\langle ),\times (\langle 3,4\rangle )\rangle \\&=(/+)(\langle 6,10,12\rangle )\\&=+(\langle 6,+(\langle 10,12\rangle )\rangle \\&=28\end{aligned}}$
Der Rechenprozess stellt also eine Verarbeitungspipeline ohne inneren Zustand dar, der die Eingabe in drei getrennten Arbeitsschritten in die Ausgabe überführt. Die Arbeitsschritte selbst können für sich in unterschiedlichem Grad parallelisiert werden. Auch die Erstellung einer Hardware-Pipeline für das Programm $IP$ wäre möglich.

## Notationen im FP-System

Backus verwendet eine lose an mathematische Konventionen angelehnte Notation und ergänzt diese um McCarthy'sche bedingte Ausdrücke sowie eine rekursive Darstellung für WHILE-Schleifen. Entscheidend ist, dass jede Entität eine Funktion darstellt und damit mit dem Kompositionsoperator $\circ$ verträglich ist.

### Zahlen als Selektoren

Die Vektorprogrammiersprache APL hatte einen entscheidenden Einfluss auf das Combinator based functional programming system von John Backus, das ohne Lambda-Variablenliste auskommt; stattdessen werden Selektoren (Zahlen) für das Herauspicken von Werten aus einer Sequenz verwendet.
Feste Anzahl von Kombinatoren / Funktionalen Formen :
| Combining … | … Form | |
| Applikation | f : x | = f(x) |
| Komposition | (f o g) : x | = f(g(x)) |
| Konstruktion | [ f$_1$ , f$_2$ , … , f$_n$ ] : x | = < f$_1$:x , f$_2$:x , … , f$_n$:x > |
| Kondition | (p → f ; g) : x | = wenn p:x = T dann f:x sonst wenn p:x = F dann g:x sonst ⊥ |
| Konstante | ~x : y | = wenn y = ⊥ dann ⊥ sonst x |
| Insert | (/ f) : <x$_1$ , x$_2$ , … , x$_n$> | = f:<x$_1$ , f:<x$_2$ , … f:<x$_{n-1}$ , x$_n$>>> |
| Apply to All | (α f) : <x$_1$ , x$_2$ , … , x$_n$> | = < f:x$_1$ , f:x$_2$ , … , f:x$_n$ > |
| Binary to Unary | bu f x | |
| While-Schleife | (while p f) : x | = wenn p:x = T dann (while p f):(f:x) sonst wenn p:x = F dann x sonst ⊥ |
und die Definition von monadischen Funktionen:
Mit ⊥ meinte Backus den Wert „Bottom“, ein Wert wie „undefiniert“ oder „Ausnahme“. T und F sind die Werte für „wahr“ und „falsch“.

## Weiterentwicklung von FP-Systemen

Ein Team aus John Backus, John Williams und Edward Wimmers entwickelte 1989 am IBM Almaden Research Center den Nachfolger FL (Function-Level Programming). Mit diesem Konzept soll man Programme umstellen können so bequem wie man in der Mathematik Gleichungen umstellen kann, dazu musste referenzielle Transparenz gewährleistet sein. Das soll einer neuen Dimension von Programmoptimierung dienen (EFL). Backus wollte mit FL aus der „damaligen Informatik“ eine Ingenieurs-Disziplin machen. Wiederum einige Weiterentwicklungen von FL sind J (Einsatzgebiet wie APL) und PLaSM, eine Programmiersprache für Geometrie.

## FP-Implementierungen

* INTERACTIVE FP, Hilfeseite dazu
* FP-Compiler, der sich selbst nach C kompiliert, Repo dazu
* Pointfrip Calculator for Android
* FP trivia, FP Repo in Lazarus dazu
* PLaSM (Programming Language for Solid Modeling), eine funktionale Programmiersprache für die Anwendung im CAD, die an der Universität Rom III entwickelt wird.