# Rijndael MixColumns

Der MixColumns-Schritt ist ein Schritt im Rijndael-Algorithmus (AES).

## Die Matrizenmultiplikation

In diesem Schritt findet eine Matrizenmultiplikation eines Spaltenvektors des States mit einer MDS-Matrix statt, damit alle 4 Eingabebytes jedes Ausgabebyte beeinflussen.
    ${\begin{pmatrix}2&3&1&1\\1&2&3&1\\1&1&2&3\\3&1&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{0,i}\\a_{1,i}\\a_{2,i}\\a_{3,i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{0,i}\\b_{1,i}\\b_{2,i}\\b_{3,i}\end{pmatrix}}$
Die Arithmetik findet allerdings nicht auf den Natürlichen Zahlen statt, sondern auf dem Galois-Körper des Rijndael.

## Der Galois-Körper des Rijndael

Der Galois-Körper des Rijndael ist der Galois-Körper $GF(2^{8})$.
$GF(2^{8})$ ist die Menge aller Polynome maximal 7. Grades mit Koeffizienten aus dem Restklassenkörper $\mathbb {F} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
Ein allgemeines Polynom aus $GF(2^{8})$ besitzt die Form $a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ (a_{i}\in \mathbb {F} _{2}).$ Wie leicht nachzuvollziehen ist, lässt sich jedes dieser Polynome durch ein Byte repräsentieren, wobei jeweils das $i$-te Bit den Koeffizienten $a_{i}$ repräsentiert.
Die Addition $\oplus$ auf $GF(2^{8})$ ist analog zum Körper $\mathbb {F} _{2}$ als XOR-Verknüpfung definiert, sie findet koeffizientenweise bzw. bitweise statt. Die Subtraktion entspricht der Addition, da die XOR-Verknüpfung ihre eigene Umkehrfunktion ist. Beispiel:
    $(x^{5}+x^{4}+x^{3})-(x^{7}+x^{5}+x^{3}+x+1)=(x^{5}+x^{4}+x^{3})+(x^{7}+x^{5}+x^{3}+x+1)=x^{7}+x^{4}+x+1$
Die Multiplikation($\cdot$) findet modulo des irreduziblen Polynoms $x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1$ statt. Hierzu multipliziert man die beiden Polynome und berechnet dann Mittels einer Polynomdivision den Divisionsrest.

## Beispiel

Beispielhaft wird nun die Berechnung von $b_{0,1}$ mit ${\begin{pmatrix}a_{0,i}\\a_{1,i}\\a_{2,i}\\a_{3,i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {d4} \\32\\\mathrm {f4} \\\mathrm {ae} \end{pmatrix}}$ durchgeführt. Zahlen sind, wenn nicht anders angegeben, hexadezimal.
    ${\begin{pmatrix}2&3&1&1\\1&2&3&1\\1&1&2&3\\3&1&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {d4} \\32\\\mathrm {f4} \\\mathrm {ae} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{0,i}\\b_{1,i}\\b_{2,i}\\b_{3,i}\end{pmatrix}}$
Daraus folgt $b_{0,1}=(2\cdot \mathrm {d4} )+(3\cdot 32)+(1\cdot \mathrm {f4} )+(1\cdot \mathrm {ae} )$
Die Terme $1\cdot \mathrm {f4} =\mathrm {f4}$ sowie $1\cdot \mathrm {ae} =\mathrm {ae}$ sind trivial.
    ${\begin{aligned}2\cdot \mathrm {d4} &=00000010_{2}\cdot 11010100_{2}\\&=x\cdot (x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2})\\&=(x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{3})\ {\bmod {\ }}(x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1)\\&=110101000_{2}\ {\bmod {\ }}100011011_{2}\\&=110101000_{2}\ +100011011_{2}\\&=010110011_{2}=b3\end{aligned}}$
    3⋅32=00000011$_2$⋅00110010$_2$=(x+1)⋅(x$^5$+x$^4$+x)=(x$^6$+x$^5$+x$^2$+x$^5$+x$^4$+x) mod (x$^8$+x$^4$+x$^3$+x+1)=(x$^6$+x$^4$+x$^2$+x) mod (x$^8$+x$^4$+x$^3$+x+1)=01010110$_2$ mod 100011011$_2$=01010110$_2$=56{\textstyle {\begin{aligned}3\cdot 32&=00000011_{2}\cdot 00110010_{2}\\&=(x+1)\cdot (x^{5}+x^{4}+x)\\&=(x^{6}+x^{5}+x^{2}+x^{5}+x^{4}+x)\ {\bmod {\ }}(x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1)\\&=(x^{6}+x^{4}+x^{2}+x)\ {\bmod {\ }}(x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1)\\&=01010110_{2}\ {\bmod {\ }}100011011_{2}\\&=01010110_{2}=56\end{aligned}}}
Daraus ergibt sich mit XOR: $b_{0,1}=b3+56+\mathrm {f4} +\mathrm {ae} =\mathrm {bf}$

## Die Umkehrung des MixColumns Schrittes

Die Entschlüsselung kann in diesem Schritt in derselben Weise erfolgen wie die Verschlüsselung. Allerdings muss man hierzu mit der inversen Matrix multiplizieren. Sie lautet (Zahlen hexadezimal):
    ${\begin{pmatrix}E&B&D&9\\9&E&B&D\\D&9&E&B\\B&D&9&E\end{pmatrix}}$
da
    ${\begin{pmatrix}2&3&1&1\\1&2&3&1\\1&1&2&3\\3&1&1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E&B&D&9\\9&E&B&D\\D&9&E&B\\B&D&9&E\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

## Möglichkeiten zur Implementierung

Dadurch, dass im Rijndael bei der Verschlüsselung nur Multiplikationen mit $1$, $x$ oder $(x+1)$ stattfinden, lässt sich der Algorithmus sehr effizient und einfach am Computer implementieren.
Die Multiplikation mit $1$ ist trivial. Die Multiplikation mit $x$ bedeutet in der Binärdarstellung eine Verschiebung um 1 Bit nach links (die Moduloberechnung muss noch gesondert betrachtet werden), und die Multiplikation mit $(x+1)$ lässt sich in eine Multiplikation mit $x$ und anschließende Addition mit sich selbst aufspalten. Falls ein Überlauf stattfindet, so muss man das Zwischenergebnis noch mit $1b$ XOR-verknüpfen, um das richtige Ergebnis zu erhalten.
Folgender C-Code dient nur als Beispiel für eine mögliche einfache Implementierung und stellt keine sichere Referenzimplementierung dar.
Bei der Entschlüsselung bedarf es allerdings auch der Multiplikation mit anderen Zahlen, wo der obenstehende Ansatz nutzlos wird.
Für geeignetes $e\in GF(2^{8})$ gilt $\exp \colon GF(2^{8})\backslash \{0\}\to GF(2^{8})\backslash \{0\},x\mapsto e^{x}$ ist bijektiv. Die Umkehrfunktion heiße $\ln$. Ein solches geeignetes $x$ nennt man einen Generator, Beispiele hierfür wären die 3 oder die 5, es gibt allerdings noch einige weitere.
Beweis: Da $GF(2^{8})$ endlich, lässt sich das durch nachrechnen überprüfen.
Da $\exp$ bijektiv ist, gilt für $a,b\in GF(2^{8})\backslash \{0\}$:
    $a\cdot b=e^{\ln(a\cdot b)}=e^{\ln(a)+\ln(b)}$
Für $a=0\vee b=0$ gilt $a\cdot b=0$
Erzeugen wir uns nun für die Multiplikation eine Exponential- und Logarithmustabelle für einen Generator, so können wir mit Hilfe dieser die allgemeine Multiplikation auf $GF(2^{8})$ effektiv implementieren. Die Tabelle kann entweder zur Laufzeit berechnet werden – mit obiger Funktion bietet sich der Generator 3 an – oder im Quellcode vorliegen.
Nachfolgend die Exponential- und Logarithmustabelle für den Generator 3: