# Extremalpunkt

Ein Extremalpunkt einer konvexen Menge K eines reellen Vektorraums ist ein Punkt x aus K, der sich nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K darstellen lässt, also zwischen keinen zwei anderen Punkten aus K liegt. Das heißt, es gibt keine Punkte $a\neq b\in K$ mit $x=\lambda a+(1-\lambda )b$ für ein $0<\lambda <1$.

## Erläuterungen und Beispiele

* Ein Punkt $x\in K$ ist genau dann ein Extremalpunkt der konvexen Menge $K$, wenn die Restmenge $K\setminus \{x\}$ ihrerseits eine konvexe Menge ist.
* Ein Dreieck ist eine konvexe Menge, die Extremalpunkte sind genau die Ecken des Dreiecks.
* Eine abgeschlossene Kugel im $\mathbb {R} ^{n}$ ist konvex, die Extremalpunkte sind genau die Randpunkte. Das gilt in allen Hilberträumen oder allgemeiner in allen strikt konvexen Räumen. Eine offene Kugel hat keine Extremalpunkte.
* Die positiven Funktionale mit Norm 1 einer kommutativen C*-Algebra bilden eine konvexe Menge. Die Extremalpunkte sind genau die multiplikativen Funktionale.
* Nach dem Satz von Birkhoff und von Neumann sind die Permutationsmatrizen genau die Extremalpunkte der doppelt-stochastischen Matrizen.

## Anwendungen

* Die Extremalpunkte eines Polyeders nennt man Ecken. Sie spielen eine wichtige Rolle der geometrischen Interpretation der linearen Optimierung.
* In vielen Situationen gelingen Charakterisierungen von Extremalpunkten als Objekte mit besonderen Eigenschaften wie im Beispiel 3. Der Satz von Krein-Milman führt dann zu Sätzen über die Existenz solcher Objekte.
* In der Choquet-Theorie wird die Vorstellung, dass ein Punkt einer konvexen Menge als Mittelung über deren Extremalpunkte darstellbar ist, präzisiert.
* Die Extremalpunkte spielen in der Analysis, der Linearen Optimierung und der Variationsrechnung eine wichtige Rolle, da durch sie die Bestimmung von Extremstellen gewisser stetiger reellwertiger Funktionale erheblich vereinfacht wird. Dieser Sachverhalt wird durch das Maximumprinzip von Bauer beschrieben.

## Abschlusseigenschaften

Die Menge der Extremalpunkte ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen. Ein dreidimensionales Beispiel erhält man durch das Zusammenfügen zweier schiefer Kegel zu einem Doppelkegel, so dass die Verbindungsstrecke zwischen den Spitzen $P$ und $R$ (siehe nebenstehende Skizze) auf den Mantelflächen verläuft und die gemeinsame Kreislinie in einem Punkt $Q$ trifft. Die Menge der Extremalpunkte dieses Doppelkegels besteht aus den Kegelspitzen $P$ und $R$ und allen Punkten der Kreislinie ohne $Q$, denn dieser Punkt lässt sich ja aus $P$ und $R$ konvex kombinieren. $Q$ liegt aber im Abschluss der Extremalpunktmenge.
Im unendlichdimensionalen Fall kann die Menge der Extremalpunkte dicht liegen. Ein einfaches Beispiel ist die Einheitskugel $U$ in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum $H$ mit der schwachen Topologie (bezüglich dieser ist $U$ kompakt). Die Extremalpunktmenge ist die Menge aller Vektoren mit Länge 1. Um zu sehen, dass die Extremalpunktmenge dicht in $U$ liegt, sei $x_{0}$ ein Vektor mit $\|x_{0}\|<1$ und $V$ eine schwache Umgebung von $x_{0}$. Dann gibt es Vektoren $y_{1},\ldots ,y_{n}\in H$ und ein $\varepsilon >0$ mit $\{x\in H;\,|\langle x-x_{0},y_{i}\rangle |<\varepsilon \,{\mbox{ für alle }}i=1,\ldots n\}\subset V$. Da $H$ unendlichdimensional ist, gibt es einen zu den $y_{i}$ orthogonalen Vektor $y$ und dann ein $\lambda >0$, so dass der Vektor $x_{0}+\lambda y$ die Länge 1 hat und folglich ein Extremalpunkt ist. Da $\langle (x_{0}+\lambda y)-x_{0},y_{i}\rangle =\lambda \langle y,y_{i}\rangle =0$, folgt $x_{0}+\lambda y\in V$. Damit ist gezeigt, dass jede schwache Umgebung eines Vektors der Länge < 1 einen Extremalpunkt enthält. Daher fällt der Abschluss der Extremalpunktmenge mit $U$ zusammen.

## Extremale Mengen

Die Definition eines Extremalpunktes lässt sich auf natürliche Weise auf Mengen übertragen: Eine extremale Menge ist eine Teilmenge einer konvexen Menge mit der Eigenschaft, dass sich Punkte aus dieser Menge nur dann als Konvexkombination von Punkten aus der konvexen Menge darstellen lassen, wenn diese Punkte bereits in der Teilmenge selbst enthalten sind. Formal:
    Sei $X$ ein Vektorraum, $K\subset X$ konvex und $M\subset K$. Dann ist $M$ eine extremale Menge, falls gilt:
    $\forall \,\alpha \in (0,1)~\forall \,x_{1},x_{2}\in K\!:~\alpha x_{1}+(1-\alpha )x_{2}\in M~\Rightarrow ~x_{1},x_{2}\in M.$
Typische Beispiele sind Seiten oder Kanten von Polyedern. Ein oft benutzter Satz ist, dass Extremalpunkte von extremalen Mengen bereits Extremalpunkte der umgebenden konvexen Menge sind.