# Lorentz-Gruppe

Die Lorentz-Gruppe ist in der Physik (und in der Mathematik) die Gruppe aller Lorentz-Transformationen der Minkowski-Raumzeit. Die Lorentz-Gruppe wurde nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Lorentz benannt.
Die Lorentz-Gruppe drückt die fundamentale Symmetrie (oder: die Automorphismen) vieler bekannter Naturgesetze dadurch aus, dass sie diese invariant lässt: so insbesondere die Bewegungsgleichungen der speziellen Relativitätstheorie, die Maxwellschen Feldgleichungen der Theorie des Elektromagnetismus und die Dirac-Gleichung der Theorie des Elektrons.

## Definition

Die Lorentz-Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes $\mathbb {R} ^{3+1}$, der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo-Skalarprodukt ist. Die Lorentz-Gruppe ist die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes, die das Pseudo-Skalarprodukt erhalten.
Sie ähnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O(3) im dreidimensionalen Raum, die aus den linearen Automorphismen des R$^3$ besteht, die das Standardskalarprodukt erhalten und damit Längen und Winkel.
Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Lorentz-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.
Formal können wir daher definieren (definierende Darstellung):
    $O(3,1)=\left\{\Lambda \in {\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} ):\langle \Lambda \cdot \mathbf {x} ,\Lambda \cdot \mathbf {y} \rangle _{M}=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}\quad \forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{4}\right\},$
wobei ${\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} )$ die reellen 4×4 Matrizen und $\textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}=-x_{0}y_{0}+\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}$ das Pseudo-Skalarprodukt (entsprechend der (−,+,+,+)-Konvention) bezeichnet.

## Eigenschaften

Die Lorentz-Gruppe O(3,1) ist eine 6-dimensionale Lie-Gruppe. Sie ist nicht kompakt.
Die räumlichen Drehspiegelungen bilden als die Fixpunktgruppen zeitartiger Vektoren eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Solche Untergruppen sind nicht normal, die Untergruppen zu verschiedenen Fixpunkten (das entspricht verschiedenen Inertialsystemen) sind zueinander konjugiert.
Die Lorentz-Gruppe besteht aus vier Zusammenhangskomponenten. Elemente derselben Zusammenhangskomponente gehen durch Anwendung von infinitesimalen Transformationen auseinander hervor. Im Gegensatz dazu stehen die diskreten Transformationen, die Elemente verschiedener Zusammenhangskomponenten miteinander verbinden: Spiegelungen, Raumspiegelungen, Zeitspiegelungen und Raum-Zeit-Spiegelungen. Die Untergruppe SO(3,1) der Elemente mit Determinante 1 heißt eigentliche Lorentz-Gruppe und enthält zwei der vier Zusammenhangskomponenten. Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist die Zusammenhangskomponente, die die Identität enthält.
Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist nicht einfach zusammenhängend, d. h. nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die universelle einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL(2,C) (diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektiven Darstellungen der O(3,1) in Quantentheorien).

### Zerlegung

Jedes Element $\Lambda$ der eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe lässt sich (auf eindeutige Weise) als Hintereinanderausführung einer räumlichen Rotation und einer speziellen Lorentz-Transformation (= Boost in Richtung ${\vec {v}}$) schreiben:
    $\Lambda =L({\vec {v}}){\mathcal {R}}\quad {\text{mit}}\quad {\mathcal {R}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&R\end{pmatrix}}\,,\quad R\in SO(3)$
Dabei sind $L({\vec {v}})$ und ${\mathcal {R}}$ wieder Elemente der eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe und konkret gegeben durch
    $v_{i}={\frac {\Lambda _{i0}}{\Lambda _{00}}}\qquad (i=1..3)\qquad$ und
    $R_{ij}=\Lambda _{ij}-{\frac {1}{1+\Lambda _{00}}}\Lambda _{i0}\Lambda _{0j}\,{\text{.}}$
Die Reihenfolge der Operationen lässt sich umkehren:
    $\Lambda ={\mathcal {R}}L(\mathbf {w} )$
Dabei ist ${\mathcal {R}}$ dieselbe Drehmatrix wie oben und
    $w_{i}={\frac {\Lambda _{0i}}{\Lambda _{00}}}\quad {\text{d.h.}}\quad \mathbf {w} =R^{-1}{\vec {v}}\,{\text{.}}$
Weiterhin kann man sich durch Hinzunahme einer weiteren Rotation auf eine spezielle Lorentz-Transformation in $x$-Richtung beschränken:
    $\Lambda ={\mathcal {R}}_{1}L(v\mathbf {e} _{1}){\mathcal {R}}_{2}$

## Lie-Algebra

Die sechsdimensionale Lie-Algebra der O(3,1) wird in der definierenden Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger der räumlichen Rotationen J$_i$ und durch die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Boosts K$_i$ aufgespannt. Diese Lie-Algebra ist isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C):
    $[J_{i},J_{j}]=\epsilon _{ijk}J_{k}$
    $[K_{i},K_{j}]=-\epsilon _{ijk}J_{k}$
    $[J_{i},K_{j}]=\epsilon _{ijk}K_{k}$
wobei die Erzeuger J$_i$ der Rotationen eine Lie-Unteralgebra bilden, nämlich die so(3).

### Beispiele

| Vektorfeld auf R$^2$ | Einparametrige Untergruppe von SL(2,C), Möbius-Transformationen | Einparametrige Untergruppe von SO$^+$(1,3), Lorentz-Transformationen | Vektorfeld auf R$^4$ |
| Parabolisch ||||
| $\partial _{u}\,\!$ | $\left[{\begin{matrix}1&\alpha \\0&1\end{matrix}}\right]$ | $\left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&\alpha &0&-\alpha ^{2}/2\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\\alpha ^{2}/2&\alpha &0&1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right]$ | $X_{1}=\,\!$ $x(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{x}\,\!$ |
| $\partial _{v}\,\!$ | $\left[{\begin{matrix}1&i\alpha \\0&1\end{matrix}}\right]$ | $\left[{\begin{matrix}1+\alpha ^{2}/2&0&\alpha &-\alpha ^{2}/2\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\\alpha ^{2}/2&0&\alpha &1-\alpha ^{2}/2\end{matrix}}\right]$ | $X_{2}=\,\!$ $y(\partial _{t}+\partial _{z})+(t-z)\partial _{y}\,\!$ |
| Hyperbolisch ||||
| ${\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)$ | $\left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {\beta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\beta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]$ | $\left[{\begin{matrix}\cosh(\beta )&0&0&\sinh(\beta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\beta )&0&0&\cosh(\beta )\end{matrix}}\right]$ | $X_{3}=\,\!$ $z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!$ |
| Elliptisch ||||
| ${\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)$ | $\left[{\begin{matrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]$ | $\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]$ | $X_{4}=\,\!$ $-y\partial _{x}+x\partial _{y}\,\!$ |
| ${\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}$ | $\left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]$ | $\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]$ | $X_{5}=\,\!$ $-x\partial _{z}+z\partial _{x}\,\!$ |
| $uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}$ | $\left[{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{matrix}}\right]$ | $\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{matrix}}\right]$ | $X_{6}=\,\!$ $-z\partial _{y}+y\partial _{z}\,\!$ |