# Higgs-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl $Hp_{n}\in \mathbb {P}$, bei der $Hp_{n}-1$ die $a$-te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz $a\in \mathbb {N}$, dass die Higgs-Primzahl $Hp_{n}$ folgende Bedingung erfüllt:
    $\varphi (Hp_{n})=Hp_{n}-1{\mbox{ teilt }}\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ mit }}Hp_{n}>Hp_{n-1}$
wobei $\varphi (n)$ die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ an, wie viele zu $n$ teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als $n$ sind; bei Primzahlen $p$ ist $\varphi (p)=p-1$).
Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.

## Beispiele

* Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz $a=2$ (also für Quadrate) sind die folgenden:
       2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 461, 463, 491, 509, 523, 547, 557, 571, … (Folge A007459 in OEIS)
* Die Zahl $Hp_{8}=23$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=2$, weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also $(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19)^{2}=325550124900$ die Zahl $Hp_{8}-1=23-1=22$ als Teiler hat (es ist $325550124900:22=14797732950$).
* Die Zahl $17$ ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=2$: das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also $(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13)^{2}=901800900$ hat die Zahl $17-1=16$ nicht als Teiler (es bleibt $4$ Rest).
* Die Zahl $13$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=6$, weil die $6$-te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also $(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11)^{6}=151939915084881000000$ die Zahl $13-1=12$ als Teiler hat (es ist $151939915084881000000:12=12661659590406750000$).
* Bei höheren Potenzen $a$ sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz $a$ bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz $a$ an:
| Exponent $a$ | 100. Higgs- Primzahl | keine Higgs-Primzahlen für die Potenz $a$ bis zur 100. Higgs-Primzahl dieser Potenz |
| 2 | 1117 | 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823, 857, 877, 881, 887, 919, 929, 937, 953, 971, 977, 997, 1009, 1021, 1031, 1033, 1049, 1069, 1091, 1097 (insgesamt 87 Primzahlen) |
| 3 | 733 | 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487, 577, 593, 613, 619, 641, 647, 653, 673 (insgesamt 30 Primzahlen) |
| 4 | 593 | 97, 193, 257, 353, 389, 449, 487, 577 (insgesamt 8 Primzahlen) |
| 5 | 563 | 193, 257, 449 |
| 6 | 547 | 257 |
| 7 | 547 | 257 |
| 8 | 541 | --- |

## Eigenschaften

* Für die Potenz $a=1$ gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:
       2, 3, 7, 43
       Beweis:
          Angenommen, es gibt eine Primzahl $p>2\cdot 3\cdot 7\cdot 43=1806$ (die nächste ist $p=1811$), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=1$ ist. Dann muss $p-1\geq 1810$ ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz $a=1$, also von $(2\cdot 3\cdot 7\cdot 43)^{1}=1806$ sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil $p-1\geq 1810$ kein Teiler der kleineren Zahl $1806$ sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen $p\geq 1811$ aus. Alle Primzahlen $1811>p>43$ scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus. $\Box$
* Alle bekannten Fermatschen Primzahlen $2^{2^{n}}+1$ sind keine Higgs-Primzahlen für die $a$-ten Potenzen mit $a<2^{n}$.
       Beweis:
          Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass
         * die erste Fermatsche Primzahl $2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^{0}=1$ ist.
         * die zweite Fermatsche Primzahl $2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^{1}=2$ ist.
         * die dritte Fermatsche Primzahl $2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^{2}=4$ ist.
         * die vierte Fermatsche Primzahl $2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^{3}=8$ ist.
         * die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl $2^{2^{4}}+1=2^{1}6+1=65537$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^{4}=16$ ist. $\Box$
* Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.
    Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz $a=2$ endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.

## Ungelöste Probleme

* Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten $a\geq 2$ existieren.