# Spin-Gruppe

Die Spin-Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik, insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik. Eine zentrale Eigenschaft der Spin-Gruppe $\operatorname {Spin} (n)$ ist, dass sie eine 2-fache Überlagerung der Drehgruppe $\operatorname {SO} (n)$ ist.

## Definition

Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ und einer quadratischen Form $Q\colon V\to K$ auf $V$ definiert man die Clifford-Algebra $Cl(V,Q)$ als die Algebra über $K$, die von $V$ und dem Einselement $1_{Cl}$ erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation
    $v\cdot v=-Q(v)1_{Cl}$
erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren
    $\operatorname {Spin} (V,Q):=\{v_{1}\dots v_{2k}\in Cl(V,Q):k\in \mathbb {N} ,v_{1},\ldots ,v_{2k}\in V,Q(v_{1})=\ldots =Q(v_{2k})=1\}\subset Cl(V,Q)$.
Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form
    $Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$
auf dem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V=\mathbb {R} ^{n}$ wird kurz als $\operatorname {Spin} (n)$ bezeichnet.
Für $p+q=n$ bezeichnet man mit $\operatorname {Spin} (p,q)$ die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form
    $Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}$
auf dem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V=\mathbb {R} ^{n}$.

## Beispiele

Für $n\leq 6$ hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:
* $\operatorname {Spin} (2)\cong S^{1}$
* $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)$
* $\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$
* $\operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {Sp} (2)$
* $\operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)$

## Spin(n) als 2-fache Überlagerung der SO(n)

Satz: $\operatorname {Spin} (n)$ ist eine zweifache Überlagerung der $\operatorname {SO} (n)$.
Beweisskizze: In der Clifford-Algebra $Cl(n)$ gilt $v^{-1}=-v$ für alle $v\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $q(v,v)=1$. Die Abbildung
    $x\mapsto -vxv^{-1}=vxv=x-2q(x,v)v$
ist eine Spiegelung des $\mathbb {R} ^{n}$ und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung
    $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$.
Weil jedes Element aus $\operatorname {SO} (n)$ Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist. Der Kern besteht nur aus $\pm 1_{Cl}$, denn Elemente im Kern müssen mit allen $x\in \mathbb {R} ^{n}$ kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von $1_{Cl}$ besteht. $\pm 1_{Cl}$ sind die einzigen zu $\operatorname {Spin} (n)$ gehörenden skalaren Vielfachen von $1_{Cl}$, wie man mittels der in $\operatorname {Spin} (n)$ gültigen Formel $(v_{1}\ldots v_{2k})^{-1}=v_{2k}\ldots v_{1}$ sieht, aus der für Vielfache von $1_{Cl}$ folgt, dass ihr Quadrat $1$ ist.
Für $n\geq 3$ ist $\operatorname {Spin} (n)$ einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von $\operatorname {SO} (n)$.
Analog ist $\operatorname {Spin} (p,q)$ eine zweifache Überlagerung von $\operatorname {SO} _{0}(p,q)$, der Zusammenhangskomponente der Eins von $\operatorname {SO} (p,q)$. Für $p+q\geq 3$ ist $\operatorname {Spin} (p,q)$ zusammenhängend, dagegen hat $\operatorname {Spin} (1,1)$ zwei Zusammenhangskomponenten.

## Lie-Algebra von Spin(n)

Die Lie-Algebra ${\mathfrak {spin}}(n)$ von $\operatorname {Spin} (n)$ ist der von den Produkten $e_{i}e_{j}$ mit $i\not =j$ aufgespannte Unterraum von $Cl(n)$.
Die Überlagerung $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra ${\mathfrak {so}}(n)$ der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur $0$. Dabei entspricht $\textstyle {\frac {1}{4}}\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}e_{j}$ der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen $a_{ij}$.

## Darstellungen von Spin(n)

Durch den Homomorphismus $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ werden alle Darstellungen von $\operatorname {SO} (n)$ auch zu Darstellungen von $\operatorname {Spin} (n)$. Das sind zunächst die Standard-Darstellung von $\operatorname {SO} (n)$ auf $V=\mathbb {R} ^{n}$ und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren $\Lambda ^{k}V$ für $k=2,3,\ldots$
Darüber hinaus gibt es noch für ungerade $n$ die Spinor-Darstellung und gerade $n$ die beiden Halbspinor-Darstellungen von $\operatorname {Spin} (n)$, welche sich nicht als Darstellungen von $\operatorname {SO} (n)$ faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von $\operatorname {Spin} (n)$.