# Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele

Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele (EF-Spiele) sind eine Beweistechnik der Modelltheorie. Durch EF-Spiele lässt sich die Äquivalenz zweier Strukturen zeigen bzw. widerlegen. Strukturen dienen in der beschreibenden Komplexitätstheorie meist als Formalismus zur Beschreibung von Objekten wie Wörtern oder Graphen. Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele liefern so ein Hilfsmittel zum Beweisen von unteren Schranken, also zum Beweis, dass sich eine gegebene Klasse von Strukturen nicht durch eine bestimmte Logik ausdrücken lässt.
Entwickelt wurden sie von Andrzej Ehrenfeucht auf Grundlage der theoretischen Arbeit des Mathematikers Roland Fraïssé.
Ein EF-Spiel wird von zwei Spielern gespielt, gewöhnlich bezeichnet mit Spoiler und Duplicator (nach Joel Spencer) oder Samson und Delilah (nach Neil Immerman).

## Bezeichnungen

* Sei ${\mathcal {A}}$ eine Struktur. Dann bezeichne $|{\mathcal {A}}|$ das entsprechende Universum (Grundmenge, Trägermenge).
* ${\mathsf {STRUKT}}[\sigma ]$ bezeichne die Menge aller endlichen Strukturen der Signatur $\sigma$.

## Das n-Runden-EF-Spiel

Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele in ihrer herkömmlichen Form haben einen engen Bezug zu Logiken erster Stufe. Diese Grundform ist wie folgt definiert.

### Definition

Seien
    ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ zwei Strukturen der gleichen Signatur,
    $\mathbf {a'} \in |{\mathcal {A}}|^{k},\mathbf {b'} \in |{\mathcal {B}}|^{k},\ \ k,n\in \mathbb {N}$.
Ein n-Runden-Spiel wird auf den Interpretationen $({\mathcal {A}},\mathbf {a'} ),({\mathcal {B}},\mathbf {b'} )$ definiert:
    Das EF-Spiel $G_{n}(({\mathcal {A}},\mathbf {a'} ),({\mathcal {B}},\mathbf {b'} ))$ hat n Runden, die Ausgangsmenge ist $\{(a'_{0},b'_{0}),\ \ldots \ ,(a'_{k-1},b'_{k-1})\}\subseteq |{\mathcal {A}}|\times |{\mathcal {B}}|$;
   * in jeder Runde i (i<n) wählt zunächst Samson ein beliebiges $a_{i}\in |{\mathcal {A}}|$ oder ein $b_{i}\in |{\mathcal {B}}|$, welches noch nicht zuvor gewählt wurde
   * falls Samson ein Element aus $|{\mathcal {A}}|$ gewählt hat, wählt daraufhin Delilah auf dieselbe Weise ein beliebiges $b_{i}\in |{\mathcal {B}}|$, sonst ein $a_{i}\in |{\mathcal {A}}|$
   * das resultierende Tupel $(a_{i},b_{i})$ wird zur Ausgangsmenge hinzugefügt.
    Nach n Runden resultiert eine Menge von 2-Tupeln $\{(a_{0},b_{0}),\ \ldots \ ,(a_{n-1},b_{n-1}),(a'_{0},b'_{0}),\ \ldots \ ,(a'_{k-1},b'_{k-1})\}\subseteq |{\mathcal {A}}|\times |{\mathcal {B}}|$.
   * Falls durch diese Menge ein partieller Isomorphismus $\varphi :|{\mathcal {A}}|\rightarrow |{\mathcal {B}}|$ definiert wird, hat Delilah gewonnen, ansonsten hat Samson gewonnen.
    Per Definition gewinnt Delilah das Spiel $G_{n}(({\mathcal {A}},\mathbf {a'} ),({\mathcal {B}},\mathbf {b'} ))$, falls sie eine zwingende Gewinnstrategie hat.
Oft gilt $k=0$; man schreibt $G_{n}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ und die Ausgangsmenge ist leer.

### Eigenschaften von EF-Spielen
#### Satz

Zwei Strukturen ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ sind $n$-äquivalent, ${\mathcal {A}}\equiv _{n}{\mathcal {B}}\Leftarrow$ Delilah gewinnt $G_{n}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$. Falls die Signatur der Strukturen endlich ist, gilt auch die Umkehrung.
Dabei nennt man zwei Strukturen ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ $n$-äquivalent, in Zeichen ${\mathcal {A}}\equiv _{n}{\mathcal {B}}$, wenn ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ dieselben Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe erfüllen, deren Verschachtelungstiefe von All- und Existenzquantoren höchstens $n$ ist.

#### Korollar

Delilah gewinnt $G_{n}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ für alle $n\,\iff \,\forall n\in \mathbb {N} :{\mathcal {A}}\equiv _{n}{\mathcal {B}}\,:\iff \,{\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ sind elementar äquivalent.

### Beweisen von unteren Schranken

Um zu beweisen, dass eine Menge $I\subset {\mathsf {STRUKT}}\left[\sigma \right]$ nicht durch $FO$$\left[\sigma \right]$-Formeln definiert werden kann, genügt es zu zeigen, dass es für jedes n ∈ $\mathbb {N}$ zwei Strukturen ${\mathcal {A}}\in I$ und ${\mathcal {B}}\in {\mathsf {STRUKT}}[\sigma ]\setminus I$ gibt, so dass Delilah eine Gewinnstrategie für $G_{n}({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ hat.

## EF-Spiele für die Prädikatenlogik zweiter Stufe

Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele können relativ problemlos auf Logiken zweiter Stufe erweitert werden. Das Beweisen von Gewinnstrategien wird hierbei jedoch deutlich schwieriger. Eine eingeschränkte Variante sind Spiele für die existentielle Prädikatenlogik zweiter Stufe $(SO\exists ,ESO).SO\exists$ spielt durch die Charakterisierung der Komplexitätsklasse NP eine wichtige Rolle in der beschreibenden Komplexitätstheorie, siehe dazu auch Satz von Fagin.
Beschränkt man die $SO\exists$-Logik weiter auf monadische Prädikate $(MSO\exists )$, so ist diese Version der EF-Spiele äquivalent zu den Ajtai-Fagin-Spielen.

### SO∃-Spiele
#### Definition

Seien
    ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ zwei Strukturen der gleichen Signatur
    $c,n\in \mathbb {N} ,\ \mathbf {s} \in \mathbb {N} ^{c}$
die Eingaben für ein $SO\exists$-Spiel.
* Samson wählt die $c$ Prädikate $P_{i}^{\mathcal {A}}$ der Stelligkeit $s_{i}$ über $|{\mathcal {A}}|$
* Delilah wählt daraufhin die $c$ Prädikate $P_{i}^{\mathcal {B}}$ der Stelligkeit $s_{i}$ über $|{\mathcal {B}}|$
* Auf der beiden erweiterten Strukturen wird schließlich das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel $G_{n}(({\mathcal {A}},\mathbf {P} ^{\mathcal {A}}),({\mathcal {B}},\mathbf {P} ^{\mathcal {B}}))$ gespielt.
Bei $MSO\exists$-Spielen (Beschränkung auf monadische Prädikate) gilt $s_{i}=1$ für alle $i$.

### Ajtai-Fagin-Spiele

Ajtai-Fagin-Spiele sind in dem Sinne äquivalent zu den MSO∃-Spielen, als dass Delilah das Ajtai-Fagin-Spiel auf einer Menge $I\subset$${\mathsf {STRUKT}}\left[\sigma \right]$ genau dann gewinnt, wenn es für jedes $c$ und jedes $n$ zwei Strukturen ${\mathcal {A}}\in I$ und ${\mathcal {B}}\in {\mathsf {STRUKT}}[\sigma ]\setminus I$ gibt, so dass sie das entsprechende $MSO\exists$-Spiel gewinnt. Ajtai-Fagin-Spiele sind jedoch formal leichter handhabbar als $MSO\exists$-Spiele.

#### Definition

Ein Ajtai-Fagin-Spiel wird auf einer Menge von Strukturen $I\subset {\mathsf {STRUKT}}\left[\sigma \right]$ gespielt:
* Zuerst wählt Samson zwei Zahlen $c,n\in \mathbb {N}$
* Delilah wählt daraufhin eine Struktur ${\mathcal {A}}\in I$
* Samson wählt die monadischen Prädikate $P_{1}^{\mathcal {A}},\ \ldots \ ,P_{c}^{\mathcal {A}}$ über $|{\mathcal {A}}|$
* Delilah wählt nun eine weitere Struktur ${\mathcal {B}}\in {\mathsf {STRUKT}}[\sigma ]\setminus I$ sowie die monadischen Prädikate $P_{1}^{\mathcal {B}},\ \ldots \ ,P_{c}^{\mathcal {B}}$ über $|{\mathcal {B}}|$
* Nun wird auf den beiden erweiterten Strukturen das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel $G_{n}(({\mathcal {A}},\mathbf {P} ^{\mathcal {A}}),({\mathcal {B}},\mathbf {P} ^{\mathcal {B}}))$ gespielt

#### Satz

Sei $I\subset {\mathsf {STRUKT}}\left[\sigma \right]$. Dann gewinnt Delilah das Ajtai-Fagin-Spiel auf $I$ genau dann, wenn $I$ nicht durch $MSO\exists \left[\sigma \right]$-Logik definierbar ist.