# Alternierende Permutation

Eine alternierende Permutation (auch Zickzack-Permutation genannt) ist in der Kombinatorik eine Permutation der ersten $n$ natürlichen Zahlen, bei der keine Zahl der Größe nach zwischen der vorangehenden und der nachfolgenden Zahl steht. Beginnt die Folge mit einem Anstieg, so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg von einer Down-Up-Permutation. Alternierende Permutationen weisen eine Reihe von Spiegelsymmetrien auf. Jede alternierende Permutation ungerader Länge entspricht einem vollen partiell geordneten Binärbaum und jede alternierende Permutation gerader Länge einem fast vollen solchen Baum. Die Anzahlen der alternierenden Permutationen fester Länge treten als Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe der Sekans- und der Tangensfunktion auf und stehen in engem Zusammenhang mit den Euler- und den Bernoulli-Zahlen.

## Definition

${\begin{array}{ccccccccccccccccccc}&&\!\!6\!\!&&&&\!\!7\!\!&&&&\!\!4\!\!&&&&\!\!\\&\!\!\diagup \!\!&&\!\!\diagdown \!\!&&\!\!\diagup \!\!&&\!\!\diagdown \!\!&&\!\!\diagup \!\!&&\!\!\diagdown \!\!&&\!\!&\\\!\!5\!\!&&&&\!\!3\!\!&&&&\!\!1\!\!&&&&\!\!2\!\!\end{array}}$
Ist $S_{n}$ die symmetrische Gruppe aller Permutationen der Menge $\{1,\ldots ,n\}$, dann heißt eine Permutation $\pi \in S_{n}$ alternierend, wenn in ihrer Tupeldarstellung
    $\pi =(\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (n))$
die Zahlen $\pi (2),\ldots ,\pi (n)$ immer abwechselnd größer und kleiner als die jeweils vorangegangene Zahl sind. Es muss also für $j=2,\ldots ,n-1$ entweder
    $\pi (j-1)<\pi (j)>\pi (j+1)$
oder
    $\pi (j-1)>\pi (j)<\pi (j+1)$
gelten. Beginnt die Folge der Zahlen mit einem Anstieg, ist also $\pi (2)>\pi (1)$, so spricht man von einer Up-Down-Permutation, beginnt sie mit einem Abstieg, gilt also $\pi (2)<\pi (1)$, von einer Down-Up-Permutation. Allgemeiner können auch alternierende Permutationen geordneter endlicher Mengen, beispielsweise Alphabete, betrachtet werden, zur Analyse der mathematischen Eigenschaften kann man sich jedoch auf die ersten $n$ natürlichen Zahlen beschränken.

## Beispiele

| $n$ | Up-Down-Permutationen | Down-Up-Permutationen | Anzahl |
| 2 | (1,2) | (2,1) | 2 |
| 3 | (1,3,2), (2,3,1) | (2,1,3), (3,1,2) | 4 |
| 4 | (1,3,2,4), (1,4,2,3), (2,3,1,4), (2,4,1,3), (3,4,1,2) | (2,1,4,3), (3,1,4,2), (3,2,4,1), (4,1,3,2), (4,2,3,1) | 10 |
Die Permutation
    $\pi =(3,5,2,4,1,6)\in S_{6}$
ist eine Up-Down-Permutation, denn es gilt $3<5>2<4>1<6$. Die Permutation
    $\pi =(5,1,4,2,6,3)\in S_{6}$
ist hingegen eine Down-Up-Permutation, da $5>1<4>2<6>3$ gilt. Die Permutation
    $\pi =(4,5,2,3,6,1)\in S_{6}$
ist keine alternierende Permutation, denn sie enthält mit $2<3<6$ zwei aufeinander folgende Anstiege.
Die nebenstehende Tabelle führt alle alternierenden Permutationen der symmetrischen Gruppen vom Grad zwei bis vier auf.

## Symmetrien
### An- und Abstiege

Bei einer alternierenden Permutation wechseln sich Anstiege mit Abstiegen ab. Bei einer Up-Down-Permutation gilt $\pi (i+1)>\pi (i)$ für ungerade $i$ und $\pi (i+1)<\pi (i)$ für gerade $i$, bei Down-Up-Permutationen entsprechend umgekehrt. Eine alternierende Permutation gerader Länge weist demnach ebenso viele An- wie Abstiege auf. Eine Up-Down-Permutation ungerader Länge hat einen Anstieg mehr als Abstiege, eine Down-Up-Permutation ungerader Länge einen Abstieg mehr als Anstiege. Weiterhin weisen alternierende Permutationen die folgenden beiden Arten von Spiegelsymmetrien auf.

### Horizontale Symmetrie

Liest man eine Permutation von rechts nach links, erhält man die entsprechende reverse Permutation. Die Reverse einer Up-Down-Permutation ist wieder eine Up-Down-Permutation, falls $n$ ungerade ist und eine Down-Up-Permutation, falls $n$ gerade ist. Analog dazu ist die Reverse einer Down-Up-Permutation wieder eine Down-Up-Permutation, wenn $n$ ungerade ist, und eine Up-Down-Permutation, wenn $n$ gerade ist. Die Abbildung
    $(\pi (1),\ldots ,\pi (n))\mapsto (\pi (n),\ldots ,\pi (1))$
stellt also eine Involution der Menge der Up-Down- bzw. der Down-Up-Permutationen dar, falls $n$ ungerade ist und eine Bijektion zwischen den beiden Mengen, falls $n$ gerade ist.

### Vertikale Symmetrie

Ersetzt man in einer Permutation für $j=1,\ldots ,n$ jede Zahl $\pi (j)$ durch die Zahl $n-\pi (j)+1$, erhält man die entsprechende komplementäre Permutation. Das Komplement einer Up-Down-Permutation ist stets eine Down-Up-Permutation und umgekehrt. Die Abbildung
    $(\pi (1),\ldots ,\pi (n))\mapsto (n-\pi (1)+1,\ldots ,n-\pi (n)+1)$
stellt damit für jedes $n$ eine Bijektion zwischen der Menge der Up-Down-Permutationen und der Menge der Down-Up-Permutationen dar.

## Anzahl
### Rekursive Darstellung

Anzahl der Down-Up-Permutationen von n Zahlen, die mit der Zahl k beginnen :
| $_{n}\!\diagdown \!\!^{k}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Summe |
| 2 | 0 | 1 | | | | | | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | | | | | 2 |
| 4 | 0 | 1 | 2 | 2 | | | | 5 |
| 5 | 0 | 2 | 4 | 5 | 5 | | | 16 |
| 6 | 0 | 5 | 10 | 14 | 16 | 16 | | 61 |
| 7 | 0 | 16 | 32 | 46 | 56 | 61 | 61 | 272 |
Anzahl der Up-Down-Permutationen von n Zahlen, die mit der Zahl k beginnen :
| $_{n}\!\diagdown \!\!^{k}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Summe |
| 2 | 1 | 0 | | | | | | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 0 | | | | | 2 |
| 4 | 2 | 2 | 1 | 0 | | | | 5 |
| 5 | 5 | 5 | 4 | 2 | 0 | | | 16 |
| 6 | 16 | 16 | 14 | 10 | 5 | 0 | | 61 |
| 7 | 61 | 61 | 56 | 46 | 32 | 16 | 0 | 272 |
Aufgrund der vorstehenden Symmetrie gibt es ebenso viele Up-Down- wie Down-Up-Permutationen. Nachdem diese beiden Mengen für $n\geq 2$ disjunkt sind, kann man sich bei der Zählung auf einen der beiden Typen beschränken. Bezeichnet nun $A_{n}$ die Anzahl der Down-Up-Permutationen der Länge $n$, sowie $A_{n,k}$ die Anzahl der Down-Up-Permutationen der Länge $n$, die mit der Zahl $k$ beginnen, dann gilt
    $A_{n}=\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}$.
Die Zahlen $A_{n}$ werden für ungerades $n$ auch (positive) Eulersche Zahlen genannt, die Zahlen $A_{n,k}$ heißen auch Entringer-Zahlen (Folge A008282 in OEIS). Man erhält jede der Down-Up-Permutationen der Länge $n$ und Startzahl $k$, indem man bei einer Up-Down-Permutation der Länge $n-1$, die höchstens mit der Zahl $k-1$ beginnt, alle Zahlen von $k$ bis $n-1$ um eins erhöht und die Zahl $k$ vorne anfügt. Nachdem jede Up-Down-Permutation durch vertikale Spiegelung einer Down-Up-Permutation entsteht, erhält man so für die Anzahl $A_{n,k}$ mit $n\geq 3$ und $k=2,\ldots ,n$ die Rekurrenz
    $A_{n,k}=\sum _{j=1}^{k-1}A_{n-1,n-j}$,
wobei $A_{2,2}=1$ und $A_{n,1}=0$ für alle $n$ gesetzt wird. Diese Rekurrenz lässt sich zu
    $A_{n,k}=A_{n,k-1}+A_{n-1,n-k+1}$
vereinfachen. Entsprechend gespiegelte Rekurrenzen lassen sich auch für die Anzahl der Up-Down-Permutationen, die mit der Zahl $k$ beginnen, herleiten (Folge A010094 in OEIS).

### Explizite Darstellung

Durch Auflösung der Rekurrenzen erreicht man nun für die Anzahl der Up-Down- oder Down-Up-Permutationen ungerader Länge die explizite Summendarstellung
    $A_{2n+1}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j}^{n}(-1)^{j+n}{\binom {2k}{k-j}}(k+1){\frac {j^{2n}}{2^{k-1}}}$
und für die Anzahl der Up-Down- oder Down-Up-Permutationen gerader Länge die entsprechende Darstellung
    $A_{2n}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j}^{n}(-1)^{j+n}{\binom {2k}{k-j}}{\frac {j^{2n}}{2^{k-1}}}$.
Insgesamt erhält man so für die Anzahl der Up-Down- oder Down-Up-Permutationen $A_{n}$ die Folge
    $1,1,2,5,16,61,272,1385,7936,\ldots$ (Folge A000111 in OEIS)
und für die Gesamtzahl $2A_{n}$ der alternierenden Permutationen der Länge $n$ die Folge
    $1,2,4,10,32,122,544,2770,15872,\ldots$ (Folge A001250 in OEIS).

## Korrespondenz zu Binärbäumen

Im Folgenden werden Binärbäume betrachtet, deren Knoten mit den ersten natürlichen Zahlen bezeichnet sind. Ein Binärbaum heißt voll, wenn jeder Knoten entweder zwei oder keine Kindknoten hat. In einem partiell geordneten Binärbaum sind alle Knoten derart markiert, dass die Zahl eines Vaterknotens immer größer, als die Zahlen der Kindknoten sind. Jede Up-Down-Permutation ungerader Länge $\pi \in S_{2n+1}$ entspricht nun einem vollen, partiell geordneten Binärbaum mit $2n+1$ Knoten. Um diese Korrespondenz zu konstruieren, wählt man die größte Zahl $\pi (j)=2n+1$ als Wurzelknoten des Baums aus und betrachtet die Teilpermutationen
    $(\pi (1),\ldots ,\pi (j-1))$ und $(\pi (j+1),\ldots ,\pi (2n+1))$
links und rechts dieser Zahl. Die beiden Teilpermutationen sind nun wieder Up-Down-Permutationen jeweils einer Teilmenge der Zahlen $\{1,\ldots ,2n\}$. Von diesen Teilpermutationen kann nun wieder jeweils das größte Element ausgewählt werden und auf diese Weise rekursiv ein voller, partiell geordneter Binärbaum aufgebaut werden (siehe Abbildung). Die rekursive Struktur der Binärbäume kann man sich nun zunutze machen, um weitere Rekurrenzen herzuleiten. Der Wurzelknoten muss einen geraden Index $j\in \{2,4,\ldots ,2n\}$ aufweisen, sodass der linke Teilbaum $j-1$ Knoten und der rechte Teilbaum $2n-j+1$ Knoten besitzt. Es gibt nun genau ${\tbinom {2n}{j-1}}$ Möglichkeiten, die Zahlen des linken Teilbaums auszuwählen, wodurch die übrigen Zahlen im rechten Teilbaum stehen müssen. Setzt man $i=j/2$, so folgt daraus für die Anzahl der Up-Down-Permutationen ungerader Länge die Rekurrenz
    $A_{2n+1}=\sum _{i=1}^{n}{\binom {2n}{2i-1}}A_{2i-1}A_{2n-2i+1}$
mit Startwert $A_{1}=1$. Jede Up-Down-Permutation gerader Länge $\pi \in S_{2n}$ entspricht einem fast vollen, partiell geordneten Binärbaum mit $2n$ Knoten, bei dem nur das am weitesten rechts stehende Blatt des Baums fehlt. Für die Anzahl der Up-Down-Permutationen gerader Länge erhält man die entsprechende Rekurrenz
    $A_{2n}=\sum _{i=1}^{n}{\binom {2n-1}{2i-1}}A_{2i-1}A_{2n-2i}$
mit Startwert $A_{0}=1$. Analog zu diesen beiden Fällen entspricht jede Down-Up-Permutation einem bezüglich der umgedrehten Ordnung partiell geordneten Binärbaum, der bei ungerader Länge voll und bei gerader Länge fast voll ist. Aufgrund der Spiegelsymmetrie erhält man so für die Gesamtzahl der alternierenden Permutationen der Länge $n$ die Rekurrenz
    $2A_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}A_{i}A_{n-i}$
und nach Setzen von $a_{i}=A_{i}/i!$ die diskrete Faltung
    $2a_{n+1}={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}a_{i}a_{n-i}$.

## Erzeugende Funktionen
### Differentialgleichung

Die exponentiell erzeugende Funktion der Folge $A_{n}$
    $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
erfüllt die gewöhnliche Differentialgleichung
    $2f'(x)=1+(f(x))^{2}$
mit der Anfangsbedingung $f(0)=1$, wie durch Einsetzen der obigen Rekurrenz nachgerechnet werden kann. Durch Separation der Variablen erhält man die Lösung dieses Anfangswertproblems als
    $f(x)=\sec x+\tan x=\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$.
Dieses klassische Resultat der analytischen Kombinatorik aus dem Jahr 1881 geht auf den französischen Mathematiker Désiré André zurück.

### Maclaurin-Reihen

Die Zahlen $A_{n}$ werden für gerades $n$ auch Sekantenzahlen genannt und treten in der Maclaurin-Reihe der Sekansfunktion
    $\sec x=A_{0}+A_{2}{\frac {x^{2}}{2!}}+A_{4}{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots$
auf, während die Zahlen für ungerades $n$ auch Tangentenzahlen genannt werden und in der Reihenentwicklung der Tangensfunktion
    $\tan x=A_{1}x+A_{3}{\frac {x^{3}}{3!}}+A_{5}{\frac {x^{5}}{5!}}+\ldots$
vorkommen. Die Zahlen $A_{n}$ stehen dabei in enger Verwandtschaft zu den Bernoulli-Zahlen $B_{n}$.

### Asymptotik

Für den Anteil der alternierenden Permutationen in der Menge aller Permutationen gilt für $n\to \infty$ asymptotisch
    ${\frac {A_{n}}{n!}}\simeq 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n+1}$.
Dieser Anteil entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine (gleichverteilt) zufällige Permutation der Länge $n$ alternierend ist.