# Arens-Produkt

Das Arens-Produkt, benannt nach Richard Arens, ist eine Konstruktion aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Genaugenommen handelt es sich dabei um zwei Produkte auf dem Bidualraum $A''$ einer Banachalgebra $A$, die das auf $A$ gegebene Produkt fortsetzen, wenn man $A$ vermöge der natürlichen Einbettung $A\rightarrow A''$ als Unterraum von $A''$ auffasst. Beide Produkte machen $A''$ zu einer Banachalgebra. Stimmen die beiden Produkte überein, so nennt man die Ausgangsalgebra $A$ Arens-regulär.

## Konstruktion
### Erstes Arens-Produkt

Es sei $A$ eine Banachalgebra, $A'$ ihr Dualraum und $A''$ ihr Bidualraum. Wie üblich wird $A$ vermöge der isometrischen Einbettung
    $\Phi :A\rightarrow A'',\,\Phi (a):=\Phi _{a}:A'\rightarrow \mathbb {K} ,\,\Phi _{a}(f):=f(a)$
als Unterraum von $A''$ aufgefasst. Die Konstruktion eines Produktes auf $A''$ erfolgt in drei Schritten:
* Für $x\in A$ und $f\in A'$ wird $fx\in A'$ definiert durch $(fx)(y):=f(xy),\,y\in A$.
* Für $F\in A''$ und $f\in A'$ wird $Ff\in A'$ definiert durch $(Ff)(x):=F(fx),\,x\in A$.
* Für $F,G\in A''$ wird $FG\in A''$ definiert durch $(FG)(f):=F(Gf),\,f\in A'$.
Die so definierte Verknüpfung $(F,G)\mapsto FG$ auf $A''$ heißt das erste Arens-Produkt. Man kann zeigen, dass es sich tatsächlich um eine assoziative Multiplikation handelt, die $A''$ zu einer Banachalgebra macht. Im Folgenden sei $A''$ stets mit dieser Multiplikation versehen. Die leicht nachzurechnende Formel $\Phi (ab)=\Phi (a)\Phi (b)$ zeigt, dass dadurch das auf der Ausgangsalgebra gegebene Produkt fortgesetzt wird, wenn man $A$ wie oben erwähnt als Teilmenge von $A''$ auffasst.

### Zweites Arens-Produkt

Das zweite Arens-Produkt ergibt sich aus dem ersten, indem man obige Konstruktion auf die Gegenalgebra $A^{op}$ anwendet und anschließend erneut zur Gegenalgebra übergeht, d. h. man bildet $((A^{op})'')^{op}$. Auch das kann man wieder als eine dreistufige Konstruktion beschreiben:
* Für $x\in A$ und $f\in A'$ wird $xf\in A'$ definiert durch $(xf)(y):=f(yx),\,y\in A$.
* Für $F\in A''$ und $f\in A'$ wird $fF\in A'$ definiert durch $(fF)(x):=F(xf),\,x\in A$.
* Für $F,G\in A''$ wird $F\cdot G\in A''$ definiert durch $(F\cdot G)(f):=F(fG),\,f\in A'$.
Wieder ist hierdurch eine Multiplikation definiert, die diejenige von $A$ fortsetzt und $A''$ zu einer Banachalgebra macht.

## Arens-Regularität

Während das erste Arens-Produkt ohne Verknüpfungszeichen geschrieben wurde, haben wir zur Unterscheidung einen Punkt für das zweite Arens-Produkt gewählt. Schon Arens hat in der grundlegenden Arbeit gezeigt, dass $FG=F\cdot G$, falls einer der Faktoren aus $A$, das heißt aus $\Phi (A)\subset A''$, ist. Im Allgemeinen stimmen die beiden Arens-Produkte nicht überein. Das führt zu folgender Definition:
Eine Banachalgebra heißt Arens-regulär, wenn das erste und zweite Arens-Produkt auf $A''$ übereinstimmen, das heißt falls $FG=F\cdot G$ für alle $F,G\in A''$.
Eine Banachalgebra $A$ ist genau dann Arens-regulär, wenn für jedes $f\in A'$ der durch $T_{f}(a):=fa$ definierte lineare Operator $T_{f}:A\rightarrow A'$ schwach kompakt ist.

## Beispiele
### Gruppenalgebren

Ist $G$ eine lokalkompakte Gruppe, so ist die Gruppenalgebra $L^{1}(G)$ genau dann Arens-regulär, wenn $G$ endlich ist. Insbesondere ist die Faltungsalgebra $\ell ^{1}(\mathbb {Z} )$ ein Beispiel für eine nicht-Arens-reguläre Banachalgebra.

### C*-Algebren

S. Sherman und Z. Takeda haben gezeigt, dass C*-Algebren stets Arens-regulär sind, dass sich die Involution der C*-Algebra auf den Bidual fortsetzt und dieser dadurch ebenfalls zu einer C*-Algebra wird, sogar zu einer Von-Neumann-Algebra. Weiter kann gezeigt werden, dass diese mit der einhüllenden Von-Neumann-Algebra übereinstimmt.

## Eigenschaften
### Approximation der Eins

Eine Banachalgebra $A$ hat genau dann eine beschränkte rechts-Approximation der Eins, wenn $A''$ ein rechts-Einselement hat. Daraus folgt:
Eine Arens-reguläre Banachalgebra $A$ hat genau dann eine beschränkte Approximation der Eins, wenn $A''$ ein Einselement hat.

### Kommutativität

Kommutativität vererbt sich nur im Falle der Arens-Regularität auf den Bidual. Ist $A$ eine kommutative Banachalgebra, so ist $A''$ genau dann kommutativ unter einem der Arens-Produkte, wenn $A$ Arens-regulär ist.

### Vererbungseigenschaften

Es sei $A$ eine Arens-reguläre Banachalgebra, $B\subset A$ eine abgeschlossene Unteralgebra und $I\subset A$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Dann sind auch $B$ und $A/I$ Arens-regulär.
Ist $K$ ein kompakter Hausdorffraum und $A$ eine Banachalgebra, so ist die Banachalgebra $C(K,A)$ der stetigen Funktionen $K\rightarrow A$ mit den punktweise erklärten Verknüpfungen genau dann Arens-regulär, wenn $A$ Arens-regulär ist. Aus der Arens-Regularität von $A$ folgt also die Arens-Regularität des injektiven Tensorproduktes $C(K)\otimes _{\varepsilon }A$, denn letzteres stimmt mit $C(K,A)$ überein. Das projektive Tensorprodukt Arens-regulärer Banachalgebren ist im Allgemeinen nicht wieder Arens-regulär.