# Affine Lie-Algebra

Eine affine Lie-Algebra ist in der Mathematik eine unendlichdimensionale Lie-Algebra, die auf kanonische Weise aus einer endlichdimensionalen Lie-Algebra konstruiert wird. Dies ermöglicht die Konstruktion affiner Kac-Moody-Algebren.

## Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Dann ist die zugehörige affine Lie-Algebra ${\hat {\mathfrak {g}}}$ definiert als der Vektorraum
    ${\hat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {C} c$
mit der Kommutator-Relation
    $\left[a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c\right]=\left[a,b\right]\otimes t^{n+m}+\langle a,b\rangle n\delta _{m+n,0}c$
für $a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,n,m\in \mathbb {Z}$. Hierbei bedeutet $\left[a,b\right]$ die Lie-Klammer in ${\mathfrak {g}}$, $\langle a,b\rangle$ die Killing-Form von ${\mathfrak {g}}$ und $\mathbb {C} [t,t^{-1}]$ ist die assoziative Algebra der Laurent-Polynome.
$c$ ist ein Element des Zentrums der Liealgebra und $\mathbb {C} c$ ist daher ein zentrales Ideal. Weiter hat man eine kurze exakte Sequenz
    $0\rightarrow \mathbb {C} c\rightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\rightarrow 0$
von Lie-Algebren.

## Erweiterte affine Lie-Algebra

Wir definieren durch die Formeln
    $d(c):=0$
    $d(a\otimes f):=a\otimes (t{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}})(f),\quad a\in {\mathfrak {g}},f\in \mathbb {C} [t,t^{-1}]$
eine Derivation auf ${\hat {\mathfrak {g}}}$. Beachte dazu, dass durch den Differentialoperator $t{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$ eine Derivation auf $\mathbb {C} [t,t^{-1}]$ erklärt ist. Die erweiterte affine Lie-Algebra ${\tilde {\mathfrak {g}}}$ entsteht aus ${\hat {\mathfrak {g}}}$ durch Adjunktion dieser Derivation, das heißt
    ${\tilde {\mathfrak {g}}}:=\mathbb {C} d\ltimes {\hat {\mathfrak {g}}}$,
wobei $\ltimes$ für die semidirekte Summe steht. Die so konstruierte Algebra ${\tilde {\mathfrak {g}}}$ heißt die zu ${\mathfrak {g}}$ gehörige erweiterte affine Lie-Algebra oder einfach erweiterte affine Algebra.

## Kac-Moody-Algebren affinen Typs

Aus den bekannten endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren A$_n$, B$_n$, C$_n$, D$_n$, E$_6$, E$_7$, E$_8$, F$_4$, G$_2$ kann man mittels obiger Konstruktion die Kac-Moody-Algebren affinen Typs konstruieren, genauer die ungetwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Weitere treten als Fixpunktalgebren gewisser Automorphismen auf, man spricht dann von getwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Wir konstruieren im Folgenden sämtliche Kac-Moody-Algebren affinen Typs, die von unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen herrühren. Dies sind sogenannte Realisierungen der abstrakt definierten Kac-Moody-Algebren, das heißt man erhält zu jeder Kac-Moody-Algebra affinen Typs mit unzerlegbarer, verallgemeinerter Cartan-Matrix einen konkreten Vektorraum mit einer Lie-Klammer wie oben angegeben, so dass diese Lie-Algebra der entsprechenden Isomorphieklasse angehört.

### Ungetwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs

Für ${\mathfrak {g}}$ wählen wir in obiger Konstruktion die endlichendimensionalen einfachen Lie-Algebren $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$, $D_{n}$, $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$, $F_{4}$, $G_{2}$, wobei die angegebenen Typen die einfache Lie-Algebra bis auf Isomorphie charakterisieren. Dann bezeichnet man die erweiterten affinen Lie-Algebren daraus mit ${\tilde {A}}_{n}$, ${\tilde {B}}_{n}$, ${\tilde {C}}_{n}$, ${\tilde {D}}_{n}$, ${\tilde {E}}_{6}$, ${\tilde {E}}_{7}$, ${\tilde {E}}_{8}$, ${\tilde {F}}_{4}$, ${\tilde {G}}_{2}$. Es handelt sich um Kac-MoodyAlgebren affinen Typs mit unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen. Wir geben neben diesen auch die zugehörigen Dynkin-Diagramme an.
| Typ | Verallgemeinerte Cartan-Matrix |
| ${\tilde {A}}_{n},\,n\geq 1$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&&&&&-1\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&.&&&\\&&.&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\-1&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {B}}_{n},\,n\geq 3$ | ${\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&2&-1&&&\\&&-1&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-2&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {C}}_{n},\,n\geq 2$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-2&2&-1&&&&\\&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {D}}_{n},\,n\geq 4$ | ${\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&-1\\&&&&-1&2&\\&&&&-1&&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {E}}_{6}$ | ${\begin{pmatrix}2&&&&-1&&\\&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\-1&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {E}}_{7}$ | ${\begin{pmatrix}2&&&&&&&-1\\&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\-1&&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {E}}_{8}$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&2&-1&&&&\\&&&-1&2&-1&&&\\&&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&&-1&2&&\\&&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {F}}_{4}$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-1&\\&&-2&2&-1\\&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {G}}_{2}$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&\\-1&2&-1\\&-3&2\\\end{pmatrix}}$ |
Beachte, dass die Matrixgröße, das heißt die Zeilen- bzw. Spaltenzahl, um eins größer ist als der Index des Typnamens. Genauso verhält es sich mit der Anzahl der Knoten des zugehörigen Dynkin-Diagramms.

### Getwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs

Die weiteren Kac-Moody-Algebren affinen Typs können als Unteralgebren ungetwisteter Kac-Moody-Algebren konstruiert werden, genauer als Fixpunktalgebra eines Automorphismus. Im Folgenden sei $\sigma :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ der Automorphismus, der zu einem der nebenstehend abgebildeten Graphautomorphismen der Dynkin-Diagramme zu $A_{n}$, $D_{n}$ und $E_{6}$ gehört. Eine Besonderheit tritt bei $D_{4}$ auf, hier gibt es einen zusätzliche Automorphismus der Ordnung 3, alle anderen Automorphismen haben offenbar die Ordnung 2. Dazu konstruieren wir nun Automorphismen $\tau$ auf den erweiterten affinen Lie-Algebren, indem wir definieren:
    $\tau (a\otimes t^{m})=e^{2\pi \mathrm {i} m/\mathrm {ord} (\sigma )}\cdot \sigma (a)\otimes t^{m}$
    $\tau (c)=c,\quad \tau (d)=d$
Der skalare Faktor ist eine $\mathrm {ord} (\sigma )$-te Einheitswurzel. Würde man statt dieser einfach 1 verwenden, so erhielte man auch Automorphismen, die aber nicht das Gewünschte leisten. Wegen der Einheitswurzel spricht man von getwisteten Automorphismen und nennt daher auch die Fixpunktalgebren
    ${\mathfrak {g}}^{\tau }:=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid \tau (x)=x\}$
getwistete Algebren. Mittels dieser Konstruktion können die restlichen Kac-Moody-Algebren affinen Typs mit den Standardbezeichnungen ${\tilde {B}}_{n}^{t}$, ${\tilde {C}}_{n}^{t}$, ${\tilde {F}}_{4}^{t}$, ${\tilde {G}}_{2}^{t}$, ${\tilde {A}}_{1}'$, ${\tilde {C}}_{n}'$ konstruiert werden. Man verwendet dieselben Namen für die zugehörigen verallgemeinerten Cartan-Matrizen sowie für die zugehörigen Dynkin-Diagramme. Das hochgestellte t steht nicht für einen Automorphismus, sondern für Matrixtransposition.
Man erhält folgende Aufstellung:
| Typ | Fixpunktalgebra | Verallgemeinerte Cartan-Matrix |
| ${\tilde {B}}_{n}^{t},\,n\geq 3$ | ${\tilde {A}}_{2n-1}^{\tau }$ | ${\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {C}}_{n}^{t},\,n\geq 2$ | ${\tilde {D}}_{n+1}^{\tau }$ | ${\begin{pmatrix}2&-2&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&-1&&&\\&&.&.&.&&\\&&&-1&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-2&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {F}}_{4}^{t}$ | ${\tilde {E}}_{6}^{\tau }$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-2&\\&&-1&2&-1\\&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {G}}_{2}^{t}$ | ${\tilde {D}}_{4}^{\tau }$ | ${\begin{pmatrix}2&-1&\\-1&2&-3\\&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {A}}_{1}'$ | ${\tilde {A}}_{2}^{\tau }$ | ${\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\\\end{pmatrix}}$ |
| ${\tilde {C}}_{n}',\,n\geq 2$ | ${\tilde {A}}_{2n}^{\tau }$ | ${\begin{pmatrix}2&-2&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&-1&&&\\&&.&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$ |
Für die Größen der Matrizen und Dynkin-Diagramme gilt das für die ungetwisteten Algebren Gesagte. Ferner beachte, dass ${\tilde {D}}_{4}^{\tau }$ in obiger Liste zweimal vorkommt. Es handelt sich bei den zwei Fällen um verschiedene Automorphismen $\tau$, für ${\tilde {G}}_{2}^{t}$ wird der Autorphismus des oben genannten Sonderfalls für $D_{4}$ verwendet, für ${\tilde {D}}_{n+1}^{\tau }$ mit $n=3$ ist es der Automorphismus, der nur die zwei Enden des Dynkin-Diagramms austauscht.