# Artin-Schreier-Theorie

Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik $p$ beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten $p$ und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.

## Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p.$ Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom
    $f_{a}(X)=X^{p}-X-a$
für ein $a\in K.$ Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für $c\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ist $f_{a}(X+c)=f_{a}(X).$ Daraus ergibt sich: Ist $\omega$ eine Nullstelle von $f_{a}(X)$ in einem Erweiterungskörper von $K,$ dann sind die weiteren Nullstellen $\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega +(p-1).$ Hat $f_{a}(X)$ keine Nullstelle in $K,$ ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper $K(\omega )/K$ ist galoissch mit Galois-Gruppe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,$ erzeugt von $\omega \mapsto \omega +1.$
Sei umgekehrt $L/K$ eine Galois-Erweiterung vom Grad $p$ und $\sigma$ ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein $x\in L,$ sodass $x,\sigma x,\dots ,\sigma ^{p-1}x$ eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur
    ${\text{Spur}}_{L/K}(x)=x+\sigma x+\dots +\sigma ^{p-1}x$
nicht 0. Setze
    $\omega =-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot \sigma ^{k}x.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}\sigma (\omega )&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot \sigma ^{k+1}x\\&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\left(\sum _{k=0}^{p-1}(k+1)\cdot \sigma ^{k+1}x-\sum _{k=0}^{p-1}\sigma ^{k+1}x\right)\\&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p}k\cdot \sigma ^{k}x+1\\&=\omega +1\end{aligned}}$
und folglich
    $\sigma (\omega ^{p}-\omega )=(\sigma \omega )^{p}-\sigma \omega =(\omega +1)^{p}-(\omega +1)=\omega ^{p}-\omega .$
Daher ist $a=\omega ^{p}-\omega$ invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in $K.$
Das so konstruierte Element $a\in K$ hängt von der Wahl von $x$ ab, aber in kontrollierter Weise: Ist $\omega _{1}\in L$ ein anderes Element mit $\sigma \omega _{1}=\omega _{1}+1,$ dann ist $\sigma (\omega -\omega _{1})=(\omega +1)-(\omega _{1}+1)=\omega -\omega _{1},$ also ist $\omega _{1}=\omega +d$ mit einem Element $d\in K,$ und
    $\omega _{1}^{p}-\omega _{1}=(\omega +d)^{p}-(\omega +d)=\omega ^{p}+d^{p}-\omega -d=a+(d^{p}-d).$
Folglich ist die Restklasse von $a$ modulo $\{d^{p}-d:d\in K\}$ eindeutig bestimmt.

## Resultate

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $p>0.$
* Sei $\wp K=\{d^{p}-d:d\in K\}.$ Die Abbildung, die einem Element $a\in K$ den Zerfällungskörper des Polynoms $X^{p}-X-a$ zuordnet, induziert eine Bijektion von $(K/\wp K)\setminus \{0\}$ auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von $K$ vom Grad $p.$
Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:
* Sei $K^{\text{sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ und $\wp :K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}}$ der additive Gruppenhomomorphismus $x\mapsto x^{p}-x.$ Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von $K/\wp K$ und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von $K$ vom Exponenten $p$ (d. h. für jedes Element $\sigma$ der Galoisgruppe gilt $\sigma ^{p}={\text{id}}$): Eine Untergruppe von $\Delta \subseteq K/\wp K$ werde mit ihrem Urbild in $K$ identifiziert. Dann ist $K(\wp ^{-1}(\Delta ))/K$ die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten $p.$ Für endliche Untergruppen $\Delta \subseteq K/\wp K$ ist $[K(\wp ^{-1}(\Delta )):K]=|\Delta |.$ Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung $L/K$ die Gruppe $(K\cap \wp L)/\wp K$ zu.

## Galoiskohomologische Interpretation

Sei weiterhin $K$ ein Körper der Charakteristik $p,$ $K^{\text{sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ und $\wp \colon K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}},\ x\mapsto x^{p}-x.$ Sei außerdem $G_{K}={\text{Gal}}(K^{\text{sep}}/K)$ die absolute Galoisgruppe von $K.$ Das Polynom $X^{p}-X-a$ ist für jedes $a\in K^{\text{sep}}$ separabel, weil seine Ableitung $pX^{p-1}-1=-1$ ist. Deshalb ist der Homomorphismus $\wp \colon K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}}$ surjektiv. Sein Kern ist $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .$ Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von $G_{K}$-Moduln:
    $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K^{\text{sep}}{\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}K^{\text{sep}}\to 0.$
Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz
    $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K{\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}K\to {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0.$
Dabei wurde verwendet:
* $H^{0}(G_{K},K^{\text{sep}})=K.$
* $H^{1}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )={\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ (stetige Homomorphismen), weil $G_{K}$ trivial auf $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ operiert.
* $H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0,$ weil $H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=\varinjlim H^{1}({\text{Gal}}(L/K),L)$ über alle endlichen Galois-Erweiterungen von $K$ ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man $H^{1}({\text{Gal}}(L/K),L)=0$ zeigen.
Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad $p$ ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei $L/K$ eine Galois-Erweiterung vom Grad $p.$ Dann ist ${\text{Gal}}(L/K)\cong \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,$ und durch Verkettung mit der Projektion $G_{K}\to {\text{Gal}}(L/K)$ erhält man einen Homomorphismus $h\colon G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .$ Mit der Einbettung $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K^{\text{sep}}$ erhält man einen 1-Kozykel $c\in H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}}),$ der aber schon in der Untergruppe $H^{1}({\text{Gal}}(L/K),L)$ liegt. Das oben konstruierte Element $\omega \in L$ hat die Eigenschaft $c(\sigma )=\sigma \omega -\omega$ für alle $\sigma \in {\text{Gal}}(L/K),$ also ist $c$ ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass $\wp (\omega )$ ein Urbild von $h$ unter dem Verbindungshomomorphismus ist.
Ist umgekehrt $a\in K$ gegeben, kann man ein Urbild $\omega \in \wp ^{-1}(a)$ wählen, und der Homomorphismus $h\colon G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ist $h(\sigma )=\sigma \omega -\omega .$ Der Kern von $h$ und $L=K(\omega )$ entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.
Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus $K/\wp K\to {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.
Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von ${\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ mit Erweiterungen vom Exponenten $p$ identifizieren: Einer Untergruppe $\Delta \subseteq {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ entspricht der Fixkörper von $\textstyle \bigcap _{h\in \Delta }\ker(h),$ einer abelschen Erweiterung $L/K$ vom Exponenten $p$ entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten $G_{K}\to {\text{Gal}}(L/K)$ faktorisieren.

## Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie

Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei $K$ ein lokaler Körper der Charakteristik $p>0,$ d. h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper $\mathbb {F} _{q}((T))$ für eine Potenz $q=p^{e}.$ Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung
    $K/\wp K\times G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$
durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung $({-},{*}/K)\colon K^{*}\to G_{K}^{\text{ab}}.$ Ist $a\in K$ und $\omega \in K^{\text{sep}}$ mit $\wp (\omega )=a$ und $b\in K^{*},$ dann gilt:
    $[a,b)=(b,{*}/K)\omega -\omega .$
Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform
    $K/\wp K\times K^{*}/(K^{*})^{p}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .$
Weitere Eigenschaften sind:
* Es gilt $[a,b)=0$ genau dann, wenn $b$ eine Norm in der Erweiterung $K(\omega )/K$ ist.
* Es gilt $[a,a)=0$ für alle $a\in K^{*}.$
Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei $dT$ ein Symbol, $\Omega =\mathbb {F} _{q}((T))\cdot dT$ der eindimensionale, von $dT$ aufgespannte Vektorraum sowie
    $d\colon \mathbb {F} _{q}((T))\to \Omega ,\ \ \sum a_{n}T^{n}\mapsto \left(\sum a_{n}\cdot nT^{n-1}\right)dT$
und die Residuenabbildung
    ${\text{res}}\colon \Omega \to \mathbb {F} _{q},\ \ \left(\sum a_{n}T^{n}\right)dT\mapsto a_{-1}.$
(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus $K\cong \mathbb {F} _{q}((T)).$) Für $a\in K$ und $b\in K^{*}$ ist dann:
    $[a,b)={\text{Spur}}_{\mathbb {F} _{q}/\mathbb {F} _{p}}\ {\text{res}}\left(a\cdot {\frac {db}{b}}\right).$
Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in $K^{*},$ das für jede Galois-Erweiterung $L/K$ vom Grad $p$ in der Normengruppe $N_{L/K}L^{*}$ liegt, eine $p$-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.
Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung
    $\mathbb {A} _{K}/\wp \mathbb {A} _{K}\times I_{K}/I_{K}^{p}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$
(dabei $\mathbb {A} _{K}$ der Adelring und $I_{K}=\mathbb {A} _{K}^{*}$ die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.

## Geometrische Sichtweise

Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus
    $\wp =F-1:\mathbb {G} _{a}\to \mathbb {G} _{a},$
der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe $\mathbb {G} _{a}=\mathbb {A} ^{1}$ aufgefasst werden kann ($F$ ist der relative Frobeniusmorphismus). $\wp$ ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .$ Die Existenz von $\wp$ zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.
Ein Körperelement $a\in K$ entspricht einem Morphismus $a:{\text{Spec }}K\to \mathbb {G} _{a},$ und die Faser von $\wp$ über $a$ ist entweder der triviale $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$-Torsor oder die durch das Polynom $X^{p}-X-a$ definierte Artin-Schreier-Erweiterung von $K.$
Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.

## Artin-Schreier-Witt-Theorie

Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von $p$ ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt. Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik $p,$ der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.
Sei wieder $K$ ein Körper der Charakteristik $p,$ $K^{\text{sep}}$ ein separabler Abschluss von $K$ und $G_{K}={\text{Gal}}(K^{\text{sep}}/K)$ die absolute Galois-Gruppe von $K.$ Sei $W_{n}$ die Gruppe der $p$-typischen Wittvektoren der Länge $n$ und $F$ der Frobeniushomomorphismus
    $(x_{0},\dots ,x_{n-1})\mapsto (x_{0}^{p},\dots ,x_{n-1}^{p}).$
Mit
    $\wp :W_{n}(K^{\text{sep}})\to W_{n}(K^{\text{sep}}),\ \ x\mapsto F(x)-x$
ist
    $0\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to W_{n}(K^{\text{sep}}){\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}W_{n}(K^{\text{sep}})\to 0$
eine exakte Sequenz von $G_{K}$-Moduln, wobei $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \cong W_{n}(\mathbb {F} _{p})$ verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie $H^{1}(G_{K},W_{n})$ verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der $V$-Filtrierung isomorph zu $K^{\text{sep}}$ sind und $H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0$ gilt (siehe oben). Also ist $H^{1}(G_{K},\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} )\cong W_{n}(K)/\wp W_{n}(K),$ und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von $p^{n}$ ist, und Untergruppen von $W_{n}(K)/\wp W_{n}(K).$
Sei $K\cong \mathbb {F} _{q}((T))$ ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor $a\in W_{n}(K)$ und einem Körperelement $b\in K^{*}$ definiert Witt eine zentrale einfache Algebra $A_{[a,b)},$ die von $u$ und den kommutierenden Elementen $v_{0},\dots ,v_{n-1}$ mit den Relationen
    $u^{p^{n}}=b,\ \wp (v)=a,\ v^{u}=v+1$
erzeugt wird. Dabei wird mit $v=(v_{0},\dots ,v_{n-1})$ als einem Wittvektor gerechnet, und $v^{u}$ steht für den Wittvektor $(uv_{0}u^{-1},\dots ,uv_{n-1}u^{-1}).$ Sei $\omega \in W_{n}(K^{\text{sep}})$ mit $\wp (\omega )=a$ und $L=K(\omega )=K(\omega _{0},\dots ,\omega _{n-1}),$ außerdem $({-},L/K)$ die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als
    $[a,b)=(b,L/K)(\omega )-\omega \in W_{n}(\mathbb {F} _{p})\cong {\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} /\mathbb {Z} ;$
es ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung
    $W_{n}(K)/\wp W_{n}(K)\times K^{*}/(K^{*})^{p^{n}}\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .$
Es ist $[a,b)=0$ genau dann, wenn $b\in N_{L/K}(K^{*})$ gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra: $[a,b)={\text{inv}}(A_{[a,b)}).$ Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.