# 3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre oder kurz 3-Sphäre ist ein Objekt in der Mathematik, nämlich eine Sphäre der dritten Dimension. Sie ist neben dem euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ das einfachste Beispiel einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit und kann in den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{4}$ eingebettet werden.
Als Einheitssphäre trägt sie den Namen $\mathbb {S} ^{3}$.

## Definition

Unter einer 3-dimensionalen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{4}$ ist. Letztere wird mit $\mathbb {S} ^{3}$ bezeichnet.
Die Einheitssphäre $\mathbb {S} ^{3}$ ist die Menge der Punkte im 4-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{4}$ mit Abstand eins vom Ursprung, also
    $\mathbb {S} ^{3}:=\{x\in \mathbb {R} ^{4}\colon \|x\|_{2}=1\}$,
wobei $\|\cdot \|_{2}$ die euklidische Norm ist. Sie kann als Rand der 4-Einheitskugel $\operatorname {B} ^{4}$ aufgefasst werden und wird daher auch mit $\partial \operatorname {B} ^{4}$ bezeichnet.

## Eigenschaften
### Geometrische Eigenschaften

Die 3-dimensionale Hyperfläche (das 3-Volumen) einer 3-Sphäre vom Radius $r$ ist
    $2\pi ^{2}r^{3}\,$
und das 4-dimensionale Hypervolumen einer 4-Kugel (das 4-Volumen des 4-dimensionalen Gebietes innerhalb dieser 3-Sphäre) ist
    ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.$
Entsprechend ist ${\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$ das 4-Volumen von $\operatorname {B} ^{4}$.
Jeder nicht-leere Durchschnitt einer 3-Sphäre mit einer 3-dimensionalen Hyperebene ist eine 2-Sphäre oder ein einzelner Punkt.
Die 3-Sphäre vom Radius $r$ hat die konstante, positive Schnittkrümmung ${\tfrac {1}{r^{2}}}$.

### Topologische Eigenschaften

Die 3-Sphäre hat keinen Rand, ist kompakt und einfach zusammenhängend. Ihre Homologiegruppen sind
| $H_{i}(\mathbb {S} ^{3})={\begin{cases}\\\\\end{cases}}$ | $\mathbb {Z}$, | falls $i\in \{0,3\}$ |
| $H_{i}(\mathbb {S} ^{3})={\begin{cases}\\\\\end{cases}}$ | $\{0\}$ | sonst. |
Jeder topologische Raum mit diesen Homologiegruppen wird 3-Homologiesphäre genannt.
Sie ist homöomorph zur Einpunkt-Kompaktifizierung des $\mathbb {R} ^{3}$ und ist der homogene Raum
    $\mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SO} (4)/\operatorname {SO} (3)$.

## Differenzierbare Struktur

Wie jede 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat die 3-Sphäre nach dem Satz von Moise eine eindeutige Differentialstruktur und eine eindeutige PL-Struktur.

## Runde Metrik

Die Einbettung als Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{4}$ gibt der Sphäre die „runde Metrik“ mit Schnittkrümmung konstant 1. Insbesondere wird sie mit dieser Metrik ein symmetrischer Raum mit Isometriegruppe $\operatorname {SO} (4)$.
Jede Metrik konstanter Schnittkrümmung ist ein Vielfaches der runden Metrik.

## Die 3-Sphäre als Lie-Gruppe

Die 3-Sphäre $\mathbb {S} ^{3}$ ist eine nichtabelsche Gruppe. Sie fällt zusammen mit der Gruppe der Einheitsquaternionen
    $\left\{x\in \mathbb {H} \,\mid \,x{\bar {x}}=1\right\}$
mit $x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$ und ${\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\mathrm {i} -x_{2}\mathrm {j} -x_{3}\mathrm {k}$. Die Abbildung
    $x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} \mapsto {\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}$ mit $z_{1}:=x_{0}+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }x_{1}$ und $z_{2}:=x_{2}+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }x_{3}$
ist ein Isomorphismus der Quaternionen $\mathbb {H}$ in den Ring $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ der komplexen 2×2-Matrizen, der $\mathbb {S} ^{3}$ auf die Untergruppe der unitären Matrizen
    $\left\{{\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 2}{\Bigg |}\;|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}=:\operatorname {SU} (2)$,
abbildet. Sie machen eine Lie-Gruppe aus, die den Namen $\operatorname {SU} (2)$ trägt.
Diese Bijektion ist gleichzeitig ein Diffeomorphismus
    $\quad \mathbb {H} ^{\times }\supset \mathbb {S} ^{3}\to \operatorname {SU} (2)\subset \left(\mathbb {C} ^{2\times 2}\right)^{\times }\quad ;\quad (z_{1},z_{2})\mapsto {\begin{pmatrix}z_{1}&z_{2}\\-{\overline {z_{2}}}&{\overline {z_{1}}}\end{pmatrix}}$
Die 3-Sphäre $\mathbb {S} ^{3}=\operatorname {SU} (2)$ ist die einfachste nichtabelsche kompakte Lie-Gruppe und insbesondere im Standardmodell der Elementarteilchenphysik von Bedeutung.

## Poincaré-Vermutung

Die 3-Sphäre ist die einzige einfach zusammenhängende, kompakte 3-Mannigfaltigkeit.

## Vektorfelder auf der 3-Sphäre

Als Lie-Gruppe ist die 3-Sphäre parallelisierbar. Ein Beispiel dreier linear unabhängiger Vektorfelder auf der Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{4}$ ist
    $V_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(-x_{2},x_{1},-x_{4},x_{3}),V_{2}(x)=(-x_{3},x_{4},x_{1},-x_{2}),V_{3}(x)=(-x_{4},-x_{3},x_{2},x_{1})$.

## Heegaard-Zerlegungen

Man erhält die 3-dimensionale Sphäre, indem man die Ränder zweier 3-dimensionaler Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.
Allgemeiner hat die 3-Sphäre zu jedem $g\geq 0$ eine eindeutige Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht $g$.

## Dehn-Chirurgien

Jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit kann durch Chirurgien an Verschlingungen $K\subset \mathbb {S} ^{3}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden.

## Sphärische 3-Mannigfaltigkeiten

Aus dem von Thurston initiierten und von Perelman bewiesenen Geometrisierungsprogramm folgt, dass alle kompakten 3-Mannigfaltigkeiten endlicher Fundamentalgruppe sphärische 3-Mannigfaltigkeiten (oder 3-dimensionale sphärische Raumformen) sind, sich also als Quotientenraum
    $M=\Gamma \backslash \mathbb {S} ^{3}$
für eine endliche Gruppe $\Gamma \subset SO(4)$ von Isometrien der runden Metrik darstellen lassen.
Beispiele 3-dimensionaler sphärischer Raumformen sind die Linsenräume oder die Poincaré-Homologiesphäre.