# Adjungierte Darstellung

In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.

## Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Eine Lie-Gruppe $G$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.
Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe $G$ identifiziert werden:
    ${\mathfrak {g}}\simeq T_{e}G$.

## Adjungierte Darstellungen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$.

### Konjugation

Definiere die Konjugation mit einem Element $g\in G$ durch
    ${\begin{aligned}c_{g}\colon G&\to G\\h&\mapsto ghg^{-1}\quad \forall \ h\in G.\end{aligned}}$
und definiere außerdem
    ${\begin{aligned}C\colon G&\to \operatorname {Aut} (G)\\g&\mapsto c_{g}\end{aligned}}$

### Ad-Funktion

Definition Ad(g)
Für jedes $g\in G$ definieren wir die Ableitung von $c_{g}$ im Punkt $e$, dem neutralen Element der Gruppe, durch
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ad} (g):T_{e}G&\to T_{c_{g}(e)}G\\x&\mapsto \operatorname {Ad} (g)(x):=D_{e}c_{g}(x),\quad x\in T_{e}G.\end{aligned}}$
$D_{e}$ bezeichnet den Differentialoperator an der Stelle $e$.
Das ist eine lineare Abbildung vom Tangentialraum an der Stelle des neutralen Elementes in sich selber
    ${\mathfrak {g}}=T_{e}G\rightarrow T_{c_{g}(e)}G=T_{e}G={\mathfrak {g}}$
da $c_{g}(e)=e$ und somit ist $\operatorname {Ad} (g)$ ein Element aus $\operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$.
Definition Ad
Die adjungierten Abbildungen definieren eine Darstellung der Gruppe
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ad} \colon G&\rightarrow \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})\\g&\mapsto \operatorname {Ad} (g),\quad \forall \ g\in G\end{aligned}}$
welche ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist und adjungierte Darstellung genannt wird.

### ad-Funktion

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird die Ableitung von $\operatorname {Ad}$
    ${\begin{aligned}\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})\\x&\mapsto \operatorname {ad} (x):=D_{e}\operatorname {Ad} (x)\end{aligned}}$
welche ein Lie-Algebren-Homomorphismus ist. Dies entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer
    $\operatorname {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]$
für alle $X,Y\in {\mathfrak {g}}$.
Häufig nützt man auch folgende Notation
    $\operatorname {ad} \colon x\mapsto \operatorname {ad} _{x}$
und
    $\operatorname {ad} _{X}(Y)=\left[X,Y\right],\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}}.$
Weil es nach den Lie’schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe $G$ mit $T_{e}G={\mathfrak {g}}$ gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung $\operatorname {ad}$ für jede solche Lie-Algebra definieren.

## Explizite Beschreibung

Für Matrizengruppen, d. h. abgeschlossene Untergruppen von $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$, lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von ${\mathfrak {g}}$ mit einer Teilmenge von ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\simeq \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )$ gilt
    $\operatorname {Ad} (g)(X)=gXg^{-1}$
für alle $g\in G,X\in {\mathfrak {g}}$.