# Bewertung (Algebra)

Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

## Bewertungen

Eine Bewertung eines Körpers $K$ ist eine Funktion $\varphi \colon K\to P$ in einen angeordneten Körper $P$ mit den Eigenschaften
* $\varphi (x)\geq 0$ und $\varphi (x)=0\iff x=0$
* $\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$
* $\varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)$
Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion $|x|$ auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur $|\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R}$. Eine Bewertung $|\cdot |\colon K\to \mathbb {R}$ heißt nicht-archimedisch, wenn $|n|\leq 1$ für $n\in \mathbb {N}$. Eine Bewertung ist genau dann nicht-archimedisch, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

## Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen)
### Definition

Ist $G$ eine totalgeordnete abelsche Gruppe und $K$ ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung
    $v\colon K\to G\cup \{\infty \}$
eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
* $v(ab)=v(a)+v(b)$
* $v(a)=\infty \iff a=0$
* $v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}$
für alle $a,b\in K$.
$K$ heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe $v(K^{\times })\subseteq G$.
Zwei Bewertungen $v_{1}$ und $v_{2}$ heißen äquivalent, wenn $v_{1}(a)<1\Longleftrightarrow v_{2}(a)<1$ gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

### Bewertungen und Bewertungsringe

Ein Integritätsbereich $A$ heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:
    Für jedes Element $x$ des Quotientenkörpers von $A$ gilt $x\in A$ oder $x^{-1}\in A$.
Ist $A$ ein Bewertungsring mit Quotientenkörper $K$, so kann man eine Bewertung auf $K$ mit Wertegruppe $G=K^{\times }/A^{\times }$ definieren:
    $v\colon K\to G\cup \{\infty \},\quad v(x)=\left\{{\begin{matrix}\infty &x=0\\[x]&x\in K^{\times };\end{matrix}}\right.$
dabei bezeichnet $[x]$ das Bild von $x$ in $G=K^{\times }/A^{\times }$; die Ordnung auf $G$ ist definiert durch
    $[x]\geq [y]\iff xy^{-1}\in A$ für $x,y\in K^{\times }.$
Ist umgekehrt $K$ ein bewerteter Körper mit Bewertung $v$, so ist
    $\{x\in K\mid v(x)\geq 0\}$
ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung $v$ genannt wird. Die Gruppe $K^{\times }/A^{\times }$ ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von $v$.
Für einen Körper $K$ gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf $K$ und Bewertungsringen, die in $K$ enthalten sind.

### Diskrete Bewertungen
#### Definition

Es sei $K$ ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion
    $v\colon K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$
eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
* $v(ab)=v(a)+v(b)$
* $v(a)=\infty \iff a=0$
* $v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}$
für alle $a,b\in K$. $K$ zusammen mit $v$ heißt diskret bewerteter Körper.

#### Beispiele

* die $p$-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl $p$
* die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

### Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge
    $A:=\left\{x\in K\mid v(x)\geq 0\right\}$
bildet einen Unterring von $K$, den Bewertungsring von $v$. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}:=\{x\mid x\in K,v(x)>0\}$, welches Hauptideal ist.
Ist umgekehrt $(A,{\mathfrak {m}})$ ein diskreter Bewertungsring, so ist durch
    $v(x)=\sup \left\{k\in \mathbb {Z} \mid x\in {\mathfrak {m}}^{k}\right\}$
eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von $A$ definiert.
Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

### p-Bewertung

Es sei $p$ eine Primzahl.
Die $p$-Bewertung (auch: die $p$-adische Bewertung oder der $p$-Exponent) $v_{p}(n)$ einer natürlichen oder ganzen Zahl $n$ ist die größte Zahl $k$, so dass $n$ noch durch $p^{k}$ teilbar ist. Die $p$-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.
Ist
    $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}},$
so ist
    $v_{p_{1}}(n)=a_{1},\quad v_{p_{2}}(n)=a_{2},\quad \ldots ,\quad v_{p_{k}}(n)=a_{k}.$
Tritt eine Primzahl $p$ nicht in der Primfaktorzerlegung von $n$ auf, dann ist $v_{p}(n)=0$.
Man setzt $v_{p}(0)=\infty$, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.
Die $p$-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.
Die $p$-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der $p$-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl $r={\tfrac {m}{n}}$ mit $m,n\in \mathbb {Z}$ ist also
    $v_{p}(r)=v_{p}(m)-v_{p}(n).$
Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs $m/n$ auf, ist $v_{p}(r)$ also eine negative Zahl.
Die $p$-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion
    $r\mapsto p^{-v_{p}(r)}$
bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

#### p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine $p$-ganze Zahl (auch "$p$-adisch ganze Zahl" oder "für $p$ ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative $p$-Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch $p$ teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht $p$-ganz sind, werden manchmal auch "$p$-gebrochen" genannt.
Die Menge aller $p$-ganzen Zahlen ist ein Unterring von $\mathbb {Q}$, der $\mathbb {Z} _{(p)}$ geschrieben wird. $\mathbb {Z} _{(p)}$ ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich $p$.
Ist allgemeiner $S$ eine Menge von Primzahlen, so ist eine $S$-ganze Zahl eine rationale Zahl, die $p$-ganz für jedes $p\notin S$ ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus $S$ teilbar ist. Die Menge der $S$-ganzen Zahlen bildet einen Unterring $\mathbb {Z} _{S}$ von $\mathbb {Q}$.

##### Beispiele

* Für $S=\emptyset$ ist $\mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z}$.
* Für eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$ und $S=\mathbb {P} \setminus \{p\}$ ist $\mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} _{(p)}$, der diskrete Bewertungsring der $p$-ganzen Zahlen.
* Für $S=\{2,5\}$ ist $\mathbb {Z} _{S}$ der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

## Verallgemeinerungen

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern $(K,|\cdot |)$, also Körpern mit einem Absolutbetrag $|\cdot |$, zugelassen werden. Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen $R$-(Links)-Modul $M$ über einem unitären Ring mit Betrag $(R,|\cdot |)$ ersetzt wird. Eine Funktion $\|\cdot \|\colon M\to \mathbb {R} _{+}$ heißt dann Norm auf dem Modul $M$, wenn für alle $x,y\in M$ und alle Skalare $\alpha \in R$ die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring $R$ der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul $M$ die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.