# Abelsche Von-Neumann-Algebra

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Von-Neumann-Algebren, deren Multiplikation kommutativ ist.

## Beispiele

* Die Algebra der Diagonalmatrizen auf dem endlichdimensionalen Hilbertraum $\mathbb {C} ^{n}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die offenbar zur Algebra $\mathbb {C} ^{n}$ mit der komponentenweisen Multiplikation isomorph ist. Die Unteralgebra der konstanten Vielfachen der Einheitsmatrix ist ebenfalls eine abelsche Von-Neumann-Algebra.
* Der Folgenraum $\ell ^{\infty }$ mit der komponentenweisen Multiplikation ist die unendlichdimensionale Verallgemeinerung des ersten Beispiels. Diese abelsche Von-Neumann-Algebra operiert auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$.
* Ist $\lambda$ das Lebesguemaß auf dem Einheitsintervall [0,1], so definiert jede Funktion $f\in L^{\infty }([0,1],\lambda )$ durch die Formel $M_{f}(\xi ):=f\cdot \xi$ einen stetigen linearen Operator $M_{f}:L^{2}([0,1],\lambda )\rightarrow L^{2}([0,1],\lambda )$. Die Algebra $\{M_{f};f\in L^{\infty }([0,1],\lambda )\}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die man einfach mit $L^{\infty }[0,1]$ bezeichnet.

## Abelsche Von-Neumann-Algebren als L$^∞$-Algebren

Das obige Beispiel der $L^{\infty }$ ist bis auf Isomorphie bereits der allgemeinste Fall. Es gilt:
Ist $A$ eine abelsche Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$, so gibt es einen lokalkompakten Hausdorffraum $X$ und ein positives Maß $\mu$ auf $X$ mit Träger $X$, so dass $A$ isomorph zu $L^{\infty }(X,\mu )$ ist. Isomorphie bedeutet dabei isometrische *-Isomorphie. Ist der Hilbertraum $H$ separabel, so kann man $X$ als kompakten, metrischen Raum wählen.
Ist umgekehrt $(X,\mu )$ ein Maßraum mit lokalkompaktem $X$, so definiert jede Funktion $f\in L^{\infty }(X,\mu )$ durch die Formel $M_{f}(\xi ):=f\cdot \xi$ einen stetigen linearen Operator $M_{f}:L^{2}(X,\mu )\rightarrow L^{2}(X,\mu )$. Die Algebra $A=\{M_{f};f\in L^{\infty }(X,\mu )\}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die isomorph zu $L^{\infty }(X,\mu )$ ist. $A$ ist maximal unter allen abelschen Von-Neumann-Algebren auf $L^{2}(X,\mu )$.

## Abelsche Von-Neumann-Algebren auf separablen Hilberträumen

Die Isomorphisklassen der abelschen Von-Neumann-Algebren über einem separablen Hilbertraum lassen sich vollständig überblicken; beschränkt man sich auf maximale Von-Neumann-Algebren, so kann man Isomorphie sogar durch unitäre Äquivalenz ersetzen.
Es seien $A_{n}\subset L(\mathbb {C} ^{n})$ die zu $\mathbb {C} ^{n}$ und $A_{\infty }$ die zu $\ell ^{\infty }$ isomorphe Von-Neumann-Algebren aus obigen Beispielen. Jede maximale abelsche Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum ist unitär äquivalent zu genau einer der Algebren
* $A_{n},\quad 1\leq n\leq \infty$
* $L^{\infty }[0,1]$
* $A_{n}\oplus L^{\infty }[0,1],\quad 1\leq n\leq \infty$
Dabei heißen zwei Von-Neumann-Algebren $A$ über $H$ und $B$ über $K$ unitär äquivalent, falls es einen unitären Operator $u:H\rightarrow K$ gibt, so dass $a\mapsto uau^{*}$ ein Isomorphismus $A\rightarrow B$ ist.

## Abelsche Von-Neumann-Algebren als C*-Algebren

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind insbesondere kommutative C*-Algebren und als solche nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra $C(X)$ stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. $X$ ist ein extremal unzusammenhängender Raum. Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume $X$, so dass die Algebra $C(X)$ nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.

## Spektralsatz

Ist $a\in L(H)$ ein selbstadjungierter, beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum $H$, so ist die von $a$ erzeugte Von-Neumann-Algebra abelsch und enthält sämtliche Spektralprojektionen von $a$. Abelsche Von-Neumann-Algebren sind daher ein natürlicher Rahmen zur Entwicklung der Spektraltheorie, was sich auch auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren ausdehnen lässt. Dieses Programm wird konsequent in ausgeführt.