# Triangulu equilateru

Un triangulu equilateru hè un triangulu incù tutti i lati cungruenti è dunqua hè un poligunu rigulari incù trè lati. L'anguli sò tutti uguali è pari à 60° = ${\frac {\pi }{3}}$rad.
I trianguli equilateri sò trianguli isusceli particulari. Tutti i trianguli equilateri sò simili trà eddi: par carattarizà metricamenti un triangulu equilateru, vali à dì par carattarizà a classa di i trianguli equilateri in u pianu chì si poni uttena l'uni da l'altri par via di traslazioni è rutazioni, servi è basta un parametru estinsivu: tipicamenti s'usa a lunghezza di i so lati.
In i trianguli equilateri, i bisettrici, i mediani, l'altezzi è l'assi si soprapponini di tali manera ch'è listessu puntu ripprisenta l'ortucentru, u baricentru, l'incentru è u circucentru.
U gruppu di i simmetrii di u triangulu equilateru hè custituitu da l'idantità, da i rutazioni intornu à u so centru di 120° è di 240° è da i riflissioni rispettu à i bisettrici di l'anguli. Stu gruppu hè isumorfu à u gruppu simetricu di 3 ughjetti S$_3$.

## Custruzzioni

Com'è a dimostra Euclide in i so Elementi I, 1 (hè a prima prupusizioni di tutta l'opara), u triangulu equilateru datu u latu AB si pò custruiscia incù riga è cumpassu in 'ssa manera:
* Si poni u cumpassu in A incù l'apartura AB è si traccia una circumfarenza;
* Si poni u cumpassu in B incù l'apartura BA è si traccia una circumfarenza;
* U puntu d'incontru di i circumfarenzi C hè u terzu puntu circatu;
* Uniscendu A, B è C s'otteni un triangulu equilateru.
A dimustrazioni hè simplicia: essendu, par difinizioni, tutti i punti di a circumfarenza equidistanti da u centru, u sigmentu AB hè cungruenti à AC, è AB hè cungruenti à BC. Ma tandu par a prubità transitiva di a cungruenza, AB = AC = BC è u triangulu hè equilateru.

## Formuli

Rifirendu si incù $l$ à u latu di u triangulu, incù $2P$ u perimetru, incù $A$ l'aria, incù $b$ a basa è incù $h$ l'altezza s'hà:

### Perimetru

    $2P=l\cdot 3$
    $l={\frac {2P}{3}}$

### Aria

    $A={\frac {b\cdot h}{2}}={\frac {l^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}$
    $h={\frac {A\cdot 2}{b}}$
    $b={\frac {A\cdot 2}{h}}$

### Appiigazioni di u Tiurema di Pitagora

    $h={\sqrt {l^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {l^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {4l^{2}-l^{2}}{4}}}={\sqrt {\frac {3l^{2}}{4}}}={\frac {{\sqrt {l^{2}}}\cdot {\sqrt {3}}}{\sqrt {4}}}={\frac {{l}\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {3}}$
    $l={\frac {2h}{\sqrt {3}}}$

### Circumfarenza inscritta è circuscritta

    U centru giumetricu di u triangulu hè u centru di i circumfarenzi iscritta è circuscritta à u triangulu equilateru
    U raghju di a circumfarenza circuscritta hè $R={\frac {\sqrt {3}}{3}}l$
    da u quali $l=R{\sqrt {3}}$
    U raghju di a circumfarenza inscritta hè $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}l$
    da u quali $R=2\cdot r$
    Aria (nota R) $A={\frac {3\cdot R^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}$

## Da veda dinò

* Criterii di cungruenza di i trianguli
* Triangulu
* Triangulu isusceli
* Triangulu scalenu
* Toru (giumitria)
* Giumitria piana
* Angulu rettu
* Catetu
* Mezaretta
* Perimetru
* Sigmentu
* Tiurema di Pitagora
* Iputenusa
* Tangenti
* Trigunumitria
* Uttaedru

## Noti

* ↑ Quissa avveni solu in a giumitria euclidea, induva a somma di l'anguli interni d'un triangulu hè uguali à l'angulu paru. Dunqua 180°÷3=60°

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.