# Sinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u sinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa.
Più in generali, u sinu d'un angulu $\alpha$, espressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da $\alpha$, custruita usendu a circumfarenza unitaria.
Difiniscendu com'è $\sin(x)$ u sinu in l'angulu $x$, s'otteni a funzioni sinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

## Difinizioni

In u triangulu rossu annantu à a figura, u sinu di $x$ hè datu da
    $\sin(x)={\overline {DC}}$
Più in generali, si difinisci u sinu d'un angulu $x$ (aspressu in gradi o radianti) à parta da a circumfarenza guniumetrica, vali à dì da a circumfarenza di raghju unitariu in u pianu cartisianu. Presa a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu $x$ incù l'assu di l'ascissi com'è annantu à a figura, u sinu di l'angulu hè dunqua difinitu com'è u valori di a cuurdinata $y$ di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu $CD$).
U duminiu di a funzioni sinu hè l'insemu di i numari riali, mentri u cuduminiu hè l'intarvallu riali $[-1;+1]$, veni à dì applichendu tali funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà $-1$ è $+1$, estremi inclusi.
A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni sinu:
| $x$ in radianti | 0 | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {\pi }{2}}$ | $\pi$ | ${\frac {3\pi }{2}}$ | $2\pi$ |
| $x$ in gradi | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| $\sin(x)$ | $0$ | ${\frac {1}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
In i testi di matematica u sinu di $x$ hè di solitu indicatu incù a nutazioni $\sin(x)$, induva $\sin$ hè un'abbriviazioni di u latinu sinus usata ancu in i paesi di lingua inglesa.
Esisti un'altra difinizioni di sinu chì si cullega à i rutazioni: u sinu d'un angulu $x$ hè u cumpunenti longu l'assu di l'urdinati di u virsori $i$, virsori di l'assu di l'ascissi, ghjiratu di $x$.

## Funzioni sinu

A funzioni sinu hè difinita assucendu à $x$ u sinu di l'angulu $x$ (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù $\sin(x)$. postu ch'è $x$ è $x+2\pi$ definiscini u stessu angulu, a funzioni sinu hè una funzioni piriodica di periodu $2\pi$ (induva $2\pi$ hè l'angulu ghjiru).

## Sinu è cusinu

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali:
    $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,$
chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora. Infatti in u triangulu $OCD$ in a figura in altu u cusinu di $x$ hè difinitu com'è
    $\cos(x)={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}.$
D'altra parti u tiurema di Pitagora applicatu à u triangulu $OCD$ furnisci a rilazioni:${\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {OD}}^{2},$è dunqua:$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=\left({\frac {\overline {DC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}+\left({\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}={\frac {{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}={\frac {{\overline {OD}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}=1.$ Vali ancu a rilazioni:
    $\sin(x)=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right).$
Com'è par u cusinu, a cusecanti d'un angulu hè $1$ divisu u sinu di l'angulu.

## Prubità analitichi di a funzioni sinu

A dirivata di a funzioni sinu hè a funzioni cusinu. Avemu veni à dì:$\sin 'x=\cos x.$ A dirivata siconda hè inveci:$\sin ''x=-\sin x.$ A funzioni sinu hè una funzioni analitica, è a so espansioni in seria di Taylor hè:$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$ In analisa matematica st'ugualità hè spessu usata par difiniscia u sinu. A stessa seria difinisci u sinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

## Equazioni fundamintali rilativi à u sinu

Si rapportani quì di seguitu parechji equazioni fundamintali riguardu à a funzioni sinu;
    $\sin ^{2}x+\cos ^{2}(x)=1,$
    $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,$
    $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,$
incù l`aghjunta di a cundizioni ch'è:
    $0<x\cos x<\sin x<x{\text{ par }}0<x<1.$
Esisti ancu un'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni sinu è a funzioni tangenti:
    $\sin(x)={\frac {2\tau }{1+\tau ^{2}}}\quad {\text{ incù }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}.$
st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u cusinu, u chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni in a scunnisciuta $\tau$.

## Difinizioni currilati

* U reciprocu di u sinu (difinitu induva u sinu hè diffarenti da zeru) hè a cusecanti
    $\csc x={\frac {1}{\sin x}}$
* A funzioni sinu, ristretta à l'intarvallu $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ hè iniettiva è dunqua hà una inversa, chjamata arcusinu (indicatu incù $\arcsin$ o incù $\sin ^{-1}$ chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa). Par difinizioni s'hà dunqua:
    $x=\arcsin y\Longleftrightarrow y=\sin x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -1\leq y\leq 1.$

## Storia è urighjina di u nomu

U cuncettu di sinu fù introduttu da u matematicu è astrunomu indiana Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) (476 - 550) in a so opara Aryabhatiya (499).
U sinu hè par difinizioni a mità d'una corda, veni à dì un sigmentu chì unisci dui punti (ditti estremi) d'una circumfarenza. A parola sanscrita par mità corda hè jya-ardha, calchì volta sustituitu incù ardha-jya è abbriviatu in jya (corda). Stu terminu fù impurtatu in a lingua araba com'è jiba, un terminu senza significatu prima di tandu ma chì riflittia a prununcia funetica di u nomu jya. Sicondu i reguli di a lingua araba, 'ssu nomu fù scrittu incù i dui cunsunanti jb, senza vucali. Più dopu, quandu i traduttori uccidintali ebbini cunniscenza di i fonti arabi, intarpritàni a parola jb com'è jaib, chì u so significatu era baia. Infini, u talianu Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradussi a parola in latinu com'è sinus, di a quali u significatu era par appuntu baia.
U sinu d'un angulu hè indicatu incù $\mathrm {sin} (x)$.

## Da veda dinò

* Funzioni trigunumetrica
* Sinusoidi
* Cusinu
* Tangenti (matematica)
* Arcusinu
* Circumfarenza guniumetrica
* formula di Eulero
* Formuli di duplicazioni
* Formuli di bisizzioni
* Formuli di Werner
* Tiurema di i sini
* Funzioni piriodica
* Funzioni altirnata
* sinu iperbolicu

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.