# Trigunumitria

A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.
I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

## L'urighjini

Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

## Funzioni trigunumetrichi

Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

### Funzioni trigunumetrichi diretti

Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu $\pi$ o $2\pi$.
Funzioni trigunumetrichi diretti :
| Funzioni | Nutazioni | Duminiu | Cuduminiu | Radichi | Periodu | Funzioni inversa |
| sinu | sen, sin | $\mathbb {R}$ | $\left[-1,1\right]$ | $\mathbb {Z} \pi$ | $2\pi$ | arcusinu |
| cusinu | cos | $\mathbb {R}$ | $\left[-1,1\right]$ | ${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$ | $2\pi$ | arcucusinu |
| tangenti | tan, tg | $\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)$ | $\mathbb {R}$ | $\mathbb {Z} \pi$ | $\pi$ | arcutangenti |
| cutangenti | cot, cotg, ctg | $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$ | $\mathbb {R}$ | ${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$ | $\pi$ | arcucutangenti |
| secanti | sec | $\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)$ | $\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ | nisciuna | $2\pi$ | arcusecanti |
| cusecanti | csc, cosec | $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$ | $\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ | nisciuna | $2\pi$ | arcucusecanti |

### Funzioni trigunumetrichi inversi

À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ oppuri $\left[0,\pi \right]$, in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.
Funzioni trigunumetrichi inversi :
| Funzioni | Nutazioni | Duminiu | Cuduminiu | Radichi | Andamentu | Funzioni inversa |
| arcusinu | arcsen, arcsin, asin, sen$^{−1}$ | $\left[-1,1\right]$ | $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ | 0 | $\nearrow$ | sinu |
| arcucusinu | arccos, acos, cos$^{−1}$ | $\left[-1,1\right]$ | $\left[0,\pi \right]$ | 1 | $\searrow$ | cusinu |
| arcutangenti | arctan, arctg, atan, tan$^{−1}$ | $\mathbb {R}$ | $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ | 0 | $\nearrow$ | tangenti |
| arcucutangenti | arccot, arccotg, arcctg, acot, cot$^{−1}$ | $\mathbb {R}$ | $\left(0,\pi \right)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | cutangenti |
| arcusecanti | arcsec, asec, sec$^{−1}$ | $\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ | $\left[0,\pi \right]$ | 1 | criscenti, incù una discuntinuità in $\left[-1,1\right]$ | secanti |
| arcucusecanti | arccsc, arccosec, acsc, csc$^{−1}$ | $\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ | $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ | $\pm \infty$ | dicriscenti, incù una discuntinuità in $\left[-1,1\right]$ | cusecanti |

## Rilazioni fundamintali di a guniumitria
### Prima rilazioni fundamintali

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$
da quissa s'utteni
$\cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}$
$\sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}$
induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di $\alpha$ par a scelta oppurtuna di i cenni

### Siconda rilazioni fundamintali

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$
chì vali solu par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

### Terza rilazioni fundamintali

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }}$
chì vali solu par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$
da quissa s'utteni
$\cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}$
induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di $\alpha$ par a scelta oppurtuna di i cenni.

## Formuli di l'anguli assuciati

In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli $\alpha$, $\pi -\alpha$, $\pi +\alpha$ è $2\pi -\alpha$. 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

### Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti

$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$
$\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

### Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti

$\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
$\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha$
$\tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha$

### Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti

$\cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha$
$\sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$
$\tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

### Formuli di l'anguli opposti

$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$
$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$
$\tan(-\alpha )=-\tan \alpha$
Si dici ch'è $\cos \alpha$ hè una funzioni para, mentri $\sin \alpha$ è $\tan \alpha$ sò dispari.

### Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$
$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$
$\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha$

### Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$
$\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha$
$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$

## Formuli guniumetrichi

In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

### Formuli d'addizioni

* $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
* $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
* $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$
* $\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$
A formula di a tangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$
A formula di a cutangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

### Formuli di suttrazzioni

* $\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta$
* $\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
* $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$
* $\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$
A formula di a tangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$
A formula di a cutangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

### Formuli di duplicazioni

* $\sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$
* $\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$
* $\tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$
L'ultima formula vali par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ è $\alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

### Formuli di liniarità

* $\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}$
* $\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}$
* $\tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}$
L'ultima formula vali par $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ incù $k\in \mathbb {Z}$

### Formuli di bisizzioni

Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi ${\frac {\alpha }{2}}$ par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli
* $\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$
* $\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$
* $\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$
L'ultima formula vali par $\alpha \neq \pi +2k\pi$.

### Formuli parametrichi

* $\cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
* $\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
* $\tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}$
induva $t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ incù $\alpha \neq \pi +2k\pi$.

### Formuli di prustaferesi

* $\sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)$
* $\sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)$
* $\cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)$
* $\cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)$
I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

### Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)

* $\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]$
* $\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]$
* $\sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]$
* $\cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]$
I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

### Formuli di l'angulu aghjuntu

* $a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\phi )$
A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni
$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
    ${\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}$
    $\tan \phi ={\frac {b}{a}}$
Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di $\phi$ è dunqua
    $\phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{s'è }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{s'è }}a<0\end{cases}}$

## Risuluzioni di i trianguli rittanguli

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è
* $\alpha =90^{o}$ è $\beta +\gamma =90^{o}$
* un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
* un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.
Par asempiu $\beta$ hè oppostu à u catetu $b$ è aghjacenti à u catetu $c$.
Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.
'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli
    $a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma$
    ${\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma$
    $a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta$
    ${\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta$

### Dimustrazioni

Si cunsidareghja un triangulu rittangulu $ABC$ incù angulu rettu di vertici $A$. Dittu $CA$ l'assu $x$, nantu à u vertici $C$ si custruisci una circumfarenza di raghju $CP=1$. I cuurdinati di u puntu $P$ rapprisentani u $\cos \gamma$ è u $\operatorname {sen} \gamma$, è apposta ch'è $\gamma$ hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti $CH$ è $PH$.
Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli $ABC$ è $HPC$ sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti: $\gamma$ in cumunu è l'anguli retti di vertici $A$ è $H$. Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):
    ${\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}$
Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni
    ${\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}$
è cusì
    $a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma$
da quissa dui s'utteni ancu
    ${\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma$
Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu $\beta$ in modu da ottena formuli analoghi
    $a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta$
    ${\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta$

## Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli
### Calculu di l'altezza d'una torra

Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra $AB$, cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi

#### U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli

In stu casu basta à misurà u catetu $AC$ ($b$), è da u puntu $C$ misurà l'angulu acutu $ACB$ ($\gamma$) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra $AB$ ($c$). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni
    $h_{torra}=c=b\cdot \tan \gamma$

#### U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli

In stu casu $AC$ ($b_{1}=x$) hè scunnisciuta (in quantu u pedi $A$ ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali $CD$ ($di$) (cusì u catetu $AD$ hè $b_{2}=x+di$). Da u puntu $C$ si misura l'angulu acutu $ACB$ ($\gamma _{1}$) è da $D$ si misura l'angulu acutu $ADB$ ($\gamma _{2}$) sottu à u quali si vedi a summità di a torra $AB$ ($c$). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni
    $h_{torra}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}=x\cdot \tan \gamma _{1}$
Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta $x$
    $x\cdot \tan \gamma _{1}=(x+di)\cdot \tan \gamma _{2}$
st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i $\gamma _{1}$ è $\gamma _{2}$
Truvatu $x$ s'hà $b_{1}$ è cusì si pò calculà
    $h_{torra}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}$

### Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi

Par calculà l'aria di u triangulu $ABC$, di basa $CB=a$, servi l'altezza $AH$. In u triangulu rittangulu $CHA$, d'iputenusa $AC=b$, l'altezza $AH=h$ pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu $\gamma$. Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni
    $AH=h=b\cdot \sin \gamma$
è cusì
    $Aria={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
Sta formula vali ancu s'è $\gamma$ hè ottusu.

### Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina $O(0;0)$ è una mezaretta $Or$, datu un puntu $P$ di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali $(\rho ,\theta )$ incù a cundizioni $\rho >0$ è $0\leq \theta <360^{o}$. A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di $P$. Giumitricamenti $\rho$ ripprisenta a distanza $OP$, mentri $\theta$ ripprisenta l'angulu $rOP$ misuratu in sensu antiurariu incù prima latu $Or$.
Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani $(x;y)$ è i cuurdinati pularii $(\rho ;\theta )$ di u puntu $P$. I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu $P$ nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.
Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani
    ${\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}$
Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$ è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii
    ${\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}$
    ${\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x\end{cases}}$
Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par $x=0$ ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di $P$ par calculà di manera curretta $\theta$
    $\theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{s'è }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{s'è }}x<0\end{cases}}$

## Tiuremi trigunumetrichi

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

### Tiurema di a corda

Data una circumfarenza è una corda $AB$, u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:
    ${\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.$

### Tiurema di i sini

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati $a$, $b$ è $c$, u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:
    ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.$

### Tiurema di u cusinu o di Carnot

U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.
    ${\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma$.
Vali à dì, indichendu incù $a,b,c$ a lunghezza di i lati è $\alpha ,\beta ,\gamma$ l'anguli à eddi opposti, s'otteni
    $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$
    $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$
Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

## Risuluzioni di i trianguli qualsiasi

In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:
* sò cunnisciuti un latu è dui anguli
* sò cunnisciuti trè lati
* sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
* sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati
A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

### Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli $(\alpha ,\beta )$

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni
    $\alpha +\beta <180^{o}$
in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

#### A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

* Calculà l'angulu mancanti $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$
* Calculà u latu scunnisciutu $b$ imprudendu u tiurema di i sini: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$
* Calculà u latu scunnisciutu $c$ imprudendu u tiurema di i sini: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

### Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

#### A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

* calculà l'angulu $\alpha$ par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$
* calculà l'angulu $\beta$ par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$
* calculà l'angulu mancanti $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$

### Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu $(\gamma )$

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

#### A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

* calculà u latu $c$ (oppostu à l'angulu $\gamma$) par via di u tiurema di u cusinu: $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$
* calculà l'angulu $\alpha$ (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$
* calculà l'angulu mancanti $\beta =180^{o}-(\gamma +\alpha )$

### Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu $\alpha$ oppostu à u latu a

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.
* Si calculeghja l'angulu scunnisciutu $\beta$ incù u tiurema di i sini ${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$
* S'è $\alpha$ hè ottusu si uttinarà un solu angulu $\beta _{1}$ acutu, altrimenti si trova ancu $\beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}$.
* Si calculeghja $\gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )$ è eventualmenti $\gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha )$
* Si calculeghja $c_{1}$ è eventualmente $c_{2}$ imprudendu u tiurema di i sini ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

## Etimulugia di i noma

Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini. A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

## Noti

* ↑ I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin$^{−1}$, cos$^{−1}$, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni: $\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$

## Da veda dinò

* Formuli di prustaferesi
* Formuli di Werner
* Funzioni trigunumetrica
* Angulu
* Sinu
* Cusinu
* Tangenti (matematica)
* Secanti (trigunumitria)
* Cusecanti
* Cutangenti
* Equazioni trigunumetrica
* Idantità trigunumetrica
* Tiurema di a corda
* Tiurema di i sini
* Tiurema di u cusinu
* Toru (giumitria)
* Giumitria piana
* Angulu rettu
* Catetu
* Mezaretta
* Perimetru
* Sigmentu
* Triangulu isusceli
* Triangulu equilateru
* Tiurema di Pitagora
* Iputenusa
* Tangenti
* Triangulu
* Uttaedru

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.