# Numeru

Un numeru hè un ogettu matematicu imprudatu per cuntà, misurà è etichettà. L'esempii originali sò i numeri naturali 1, 2, 3, 4, è tira è tocca. I numeri ponu esse riprisintati in u linguaghju da parole-numeri. Più universalmente, i numeri individuali ponu esse riprisintati da simbuli, chjamati numerali; per indettu, "5" hè un numerale chì riprisenta u numeru cinque. Cum'ellu ùn hè micca pussibile di mimurizà ch'è un numeru relativamente debule di simbuli, i ciffri di basa sò di solitu organizati in un sistemu numerale, chì hè una manera organizata di riprisintà qualsiasi numeru. U sistemu numerale u più currente hè u sistemu numerale indùarabu, chì permette di riprisintà qualsiasi numeru cù l'aiutu di una cumbinazione di deci simbuli numerichi fundamentali, chjamati ciffri. Oltre u so usu per a cuntera è a misura, i ciffri sò à spessu usati per l'etichette (cum'è i numeri di telefunu), per i cumandi (cum'è i numeri di seria) è per i codici (cum'è l'ISBN). In l'usu currente, un numerale ùn hè micca chjaramente distintu da u numeru ch'ellu riprisenta.
In matematiche, a nuzione di numeru s'hè stesa à u filu di i seculi per inchjude "0", i numeri negativi, i numeri raziunali tali una mità 1/2, i numeri reali tali a "radica quatrata" di 2 è π, è i numeri cumplessi chì stendenu i numeri reali incù una radica quatrata di -1 (è e so cumbinazione incù numeri reali aghjunghjendu ne o suttraiendu ne i so multiplici). I calculi incù i numeri sò effittuati cù l'aiutu di operazione aritmetiche, chì e più famigliare sò l'addizione, a suttrazzione, a multiplicazione, a divisione è a spunenziazione. U so studiu o u so usu hè chjamatu aritmetica, un termine chì pò ancu fà riferimentu à a teuria di i numeri, u studiu di e pruprietà di i numeri.
Oltre u so usu praticu, i numeri anu un significatu culturale in u mondu sanu. Per indettu, in a sucità occidentale, u numeru 13 hè à spessu cunsideratu cum'è sfurtunatu, è "un milione" pò significà "assai", piuttostu ch'è una quantità esatta. Bench'ella sia oghje cunsiderata cum'è una pseudoscenza, a cridenza in un significatu misticu di i numeri, cunnisciuta sottu u nome di numerolugia, hà impregnatu u pinsamentu anticu è medievale. A numerolugia hà assai influinzatu u sviluppu di e matematiche greche, stimulendu u studiu di numerosi prublemi in a teuria di i numeri chì sò sempre d'attualità.
Mentre u XIXu seculu, i matematichi anu cuminciatu à sviluppà numerose astrazzione differente chì spartenu certe pruprietà di i numeri, è ponu esse cunsiderate cum'è un'estinsione di u cuncettu. Frà i primi, omu trova i numeri ipercumplessi, chì cunsistenu in diverse estinsione o mudifiche di u sistemu di i numeri cumplessi. In e matematiche muderne, i sistemi di numeri (insemi) sò cunsiderati cum'è esempii spiciali impurtanti di categurie più generale tale l'anelli è i campi, è l'appiicazione di u termine " numeru " hè una quistione di cunvinzione, senza significatu fundamentale.

## Storia
### Numeri

Ci vole à distingue i ciffri da i numerali, i simbuli imprudati per riprisintà i numeri. L'Egizziani anu invintatu u prima sistemu numerale ciffratu, è i Grechi anu suvitatu fendu currisponde i so ciffri di cuntera à i santacroci ionicu è doricu. I ciffri rumani, un sistemu chì imprudava e cumbinazione di lettere di u santacroce rumanu, sò firmati duminanti in Europa sinu à a diffusione di u sistemu numerale superiore indùarabu ver' di a fine di u 14u seculu, è u sistemu numerale indùarabu ferma u sistemu u più currente per riprisintà i numeri à i ghjorni d'oghje. A chjave di l'efficenza di u sistemu era u simbulu di u zeru, chì hè statu sviluppatu da l'anziani matematichi indiani ver' di 500 dopu à GC.

### Prima utilisazione di i numeri

L'ossi è altri artefatti sò stati scuperti incù marche tagliate in elli ch'è assai persone credenu ch'elle sò marche di punteghju. 'Sse marche di punteghju ponu esse state imprudate per cuntà u tempu sculatu, cum'è i numeri di ghjorni,d i i cicli lunarii o guardà i rigistri di quantità, cum'è animali.
Un sistemu di punteghju ùn hà micca cuncettu di valore di piazza (cum'è in a nutazione decimale muderna), ciò chì limiteghja a so ripprisintazione di i grandi numeri. Però, i sistemi di punteghju sò cunsiderati cum'è u prima tipu di sistemu numerale astrattu.
U prima sistemu cunnisciutu incù valore di piazza era u sistemu mesuputamicu in basa 60 (ver' di 3400 av. G.-C.) è u più sistemu anzianu cunnisciutu in basa 10 data di 3100 av. G.-C. in Egittu.

### Zeru

A prima utilisazione documintata cunnisciuta di u zeru data di 628 dopu à G.-C. è apparisce in u Brāhmasphuṭasiddhānta, l'opera principale di u matematicu indianu Brahmagupta. Ci tratta u 0 cum'è un numeru è discute l'operazione cuncirnendu lu, in particulare a divisione. À quella epica (u VIIu seculu), u cuncettu avia chjaramente aghjuntu u Cambogia sottu forma di ciffri khmer, è a documentazione mostra ch'è l'idea s'hè dopu sparta in China è in u mondu islamicu.
U Brāhmasphuṭasiddhānta di Brahmagupta hè u prima libru chì minziuneghja u zeru cum'è un numeru, dunque Brahmagupta hè di solitu cunsideratu cum'è u prima à furmulà u cuncettu di zeru. Hà datu e regule d'usu di zeru incù numeri negativi è pusitivi, cum'è "zeru più un numeru pusitivu hè un numeru pusitivu, è un numeru negativu più zeru hè u numeru negativu." U Brāhmasphuṭasiddhānta hè u più testu anzianu cunnisciutu à trattà u zeru cum'è un numeru à parte intiera, piuttostu ch'è cum'è un simpliciu ciffru di rimpiazzamentu in a ripprisintazione di un antru numeru, cum'elli facianu i Babiluniani, o cum'è u simbulu di una mancanza di quantità, cum'elli facianu Tolomeu è i Rumani.
Cunvene di distingue l'utilisazione di u 0 in tantu ch'è ciffra di u so usu in quant'è ciffru di rimpiazzamentu in i sistemi di valori di rimpiazzamentu. Numerosi testi anziani usavanu u 0. I testi babiluniani è egizziani l'usavanu. L'Egizziani apradavanu a parola nfr per designà u saldu nullu in a cuntabilità in parte doppia. I testi indiani apradavanu una parola sanscrita, Shunye o shunya, per designà u cuncettu di biotu. In i testi matematichi, 'ssa parola face à spessu riferimentu à u numeru zeru. In listessu ordine d'idee, Pāṇini (Vu seculu av. G.-C.) hà usatu l'operatore null (zeru) in l'Ashtadhyayi, un esempiu prumaticciu di grammatica algebrica per a lingua sanscrita (vede ancu Pingala).
L'archivie mostranu ch'è i grechi antichi simbravanu incerti inquantu à u statutu di 0 in tantu ch'è numeru : si dumandavanu "cume" nulla "pò esse qualcosa?", ciò chì hà datu locu à interessanti argumenti filusofichi è, à l'epica medievale, riligiosu annantu à a natura è l'esistenza di u 0 è di u biotu. I paradossi di Zenone d'Elea dipendenu in parte di l'interpritazione incerta di 0. (I grechi antichi si dumandavanu ancu s'è 1 era un numeru).
L'Olmechi tardivi di u centru di u Messicu anu cuminciatu à imprudà un simbulu per u zeru, un glifu di cunchiglia, in u Nuvellu Mondu, prubabilmente à u IVu seculu innanzu G.-C. ma certamente in 40 avanti G.-C., chì hè diventatu una parte integrante di i ciffri è di u calindariu maya. L'aritmetica maya usava a basa 4 è a basa 5 scritta in basa 20. George I. Sánchez hà signalatu in u 1961 un abacu "à diti" in basa 4 è in basa 5.
In u 130 dopu à G.-C., Tolomeu, influinzatu da Ipparcu è i Babiluniani, imprudava un simbulu per u 0 (un picculu chjerchju incù una longa asta superiore) in un sistemu numerale sessagesimale imprudendu altrimente i ciffri alfabetichi grechi. Parch'è ellu era usatu solu, è micca cum'è un simpliciu sustitutu, 'ssu zeru ellinisticu hè statu u prima usu documintatu di un zeru sputicu in l'Anzianu Mondu. In i manuscritti bizantini ultiriori di a so/u so/sone Syntaxis Mathematica (Almagestu), u zeru ellinisticu s'hè trasfurmatu in a lettera greca Omicron (chì significheghja 70).
Un antru veru zeru hè statu imprudatu in e tavule accantu à i ciffri rumani da 525 (prima utilisazione cunnisciuta da Dionisiu Exiguus), ma cum'è una parola (significhendu "niente"), è micca cum'è un simbulu. Quandu a divisione pruducìa 0 cum'è restu, omu usava nihil, chì significheghja dinò "niente". 'Ssi zeri medievali sò stati usati da tutti i futuri computisti medievali (calculadori di Pasqua). Un usu isulatu di a so iniziale, N, hè statu imprudatu in una tavula di ciffri rumani da Bede o un cullegu ver' di u 725, un simbulu sputicu di zeru.

### I numeri negativi

U cuncettu astrattu di i numeri negativi hè statu ricunnusciutu da 100-50 innanzu G.-C. in China. I Nove capituli annantu à l'arte matematicu cuntenenu i metudi per truvà l'arie di e figure ; i bastunelli rossi eranu imprudati per designà i cuefficenti pusitivi, i neri per i negativi. U prima riferimentu in una opera occidentale ricolla à u IIIu seculu di a nostra epica in Grecia. Diofantu hà fattu riferimentu à l'equazione equivalente à 4x + 20 = 0 (a soluzione hè negativa) in l'Arithmetica, dicendu ch'è l'equazione dava un risultatu assurdu.
In l'anni 600, i numeri negativi eranu usati in India per riprisintà i debiti. U riferimentu precedente di Diofantu hè statu discutitu più in modu esplicitu da u matematicu indianu Brahmagupta, in Brāhmasphuṭasiddhānta in u 628, chì hà usatu i numeri negativi per produce a formula quadratica di forma generale chì ferma imprudata oghje. Eppuru, à u XIIu seculu in India, Bhaskara dà e radiche negative per l'equazione quadratiche ma dice ch'è u valore negativu "ùn hè in 'ssu casu micca da piglià, chì hè inadequata ; la ghjente ùn approvanu micca e radiche negative".
I matematichi europei, per a maiò parte, anu resistutu à u cuncettu di i numeri negativi sinu à u XVIIu seculu, bench'è Fibonacci aghji autorizatu e soluzione negative in i prublemi finanziarii induve elle pudianu esse interpritate cum'è debiti (capitulu 13 di u Liber Abaci, 1202) è dopu cum'è perdite (in Flos). À listessa epica, i Chinesi indicavanu i numeri negativi traccendu un trattu diagunale à traversu u ciffru micca nullu u più à dritta di u numerale di u numeru pusitivu currispundente. U prima usu di i numeri negativi in un'opera europea hè statu fattu da Nicolas Chuquet à u XVu seculu. L'hà imprudati cum'è espunenti, ma l'hà qualificati di "numeri assurdi".
À u XVIIIu seculu dinù, era currente di ignurà i risultati negativi rinviati da equazione partendu di u principu ch'elli eranu spruvisti di sensu, cum'è René Descartes l'hà fattu incù e soluzione negative in un sistemu di cuurdinate cartesiane.

### I numeri raziunali

Hè prubabile ch'è u cuncettu di numeri frazziunarii ricolla à a preistoria. L'anziani Egizziani usavanu a so nutazione frazziunaria egizziana per i numeri raziunali in testi matematichi tali u papiru matematicu di Rhind è u papiru di Kahun. I matematichi grechi è indiani classichi anu studiatu a teuria di i numeri raziunali in u quatru di u studiu generale di a teuria di i numeri, chì u più cunnisciutu n'hè l'Elementi d'Euclide, datendu di circa 300 av. G-C. Frà i testi indiani, u più pertinente hè u Sthananga Sutra, chì tratta ancu di a teuria di i numeri in u quatru di un studiu generale di e matematiche.
U cuncettu di frazzione decimale hè strettamente ligatu à a nutazione decimale di u valore di piazza ; e duie parenu esse si sviluppate à tempu. Per indettu, hè currente ch'è i sutras matematichi giaini inchjudenu i calculi d'apprussimazione di pi o di a radica quatrata di 2 in frazzione decimale. Listessa, i testi matematichi babiluniani usanu assai à spessu e frazzione sessagesimale (basa 60).

### Numeri irraziunali

U prima usu cunnisciutu di i numeri irraziunali si trova in i Sulba Sutras indiani cumposti trà 800 è 500 avanti G.-C. A prima prova d'esistenza di i numeri irraziunali hè di solitu attribuita à Pitagora, più precisamente à u pitagoricu Hippasus di Metapontum, chì hà produttu una prova (assai prubabilmente geumetrica) di l'irraziunalità di a radica quatrata di 2. A storia conta ch'è Hippasus hà scupertu i numeri irraziunali pruvendu à riprisintà a radica quatrata di 2 cum'è una frazzione. Eppuru, Pitagora credia in l'assoluità di i numeri è ùn pudia accittà l'esistenza di numeri irraziunali. Ùn pudia micca confutà a so esistenza per via di a logica, ma ùn pudia micca accittà i numeri irraziunali, è dunque, sient'è allegazione à spessu rapurtate, hà cundannatu Hippasus à a morte per annigamentu, per impidisce a prupagazione di 'ssa nutizia scuncertante.
U XVIu seculu hà arricatu l'accittazione europea finale di i numeri integrali è frazziunarii negativi. À u XVIIu seculu, i matematichi apradavanu di solitu e frazzione decimale incù una nutazione muderna. Eppuru, ùn hè eppuru ch'è à u XIXu seculu ch'è i matematichi anu spiccatu l'irraziunali in parte algebrichi è trascendentali, è anu torna intrapresu u studiu scentificu di l'irraziunali. Quessa era firmata guasi in sonnu dapoi Euclide. In u 1872, a publicazione di e teurie di Karl Weierstrass (da u so elevu E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, è Richard Dedekind. In u 1869, Carlu Méray avia pigliatu listessu puntu di partenza ch'è Heine, ma a teuria hè generalmente riferita à l'annu 1872. U metudu di Weierstrass hè statu espostu cumplittamente da Salvatore Pincherle (1880), è quellu di Dedekind hà ricevutu un'impurtanza supplementaria grazia à i travagli ultiriori di l'autore (1888) è à l'appruvazione di Paulu Tannery (1894). Weierstrass, Cantor è Heine fondanu e so teurie annantu à e serie infinite, mentre ch'è Dedekind fonda a soia annantu à l'idea di una tagliatura (Schnitt) in u sistemu di i numeri reali, spicchendu tutti i numeri raziunali in dui gruppi avendu certe pruprietà caratteristiche. U sughjettu hà ricevutu i cuntributi ultiriori da parte di Weierstrass, Kronecker, è Méray.
A ricerca di e radiche di l'equazione quintiche è di gradu superiore hà custituitu un sviluppu impurtante, u teurema d'Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) hà mustratu ch'elle ùn pudianu micca esse risolte per via di i radicali (formule implichendu unicamente l'operazione aritmetiche è e radiche). Era dunque necessariu di cunsiderà l'inseme più largu di i numeri algebrichi (tutte e soluzione di l'equazione polinumiale). Galois (1832) hà culligatu l'equazione polinumiale à a teuria di i gruppi, ciò chì hà datu nascita à a teuria di Galois.
E frazzione cuntinue, strettamente ligate à i numeri irraziunali (è duvute à Cataldi, 1613), anu ricevutu l'attinzione da parte di Euler, è à u principiu di u 19imu seculu, sò state messe in evidenza da i scritti di Joseph Louis Lagrange. Altri cuntributi nutevuli sò stati fatti da Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), è Günther (1872). Ramus hà prima culligatu u sughjettu à i determinanti, ciò chì hà datu locu, incù i cuntributi ultiriori di Heine, Möbius è Günther, à a teuria di i Kettenbruchdeterminanten.

### Numeri trascendenti è reali

L'esistenza di i numeri trascendenti hè stata stabilita per a prima volta da Liouville (1844, 1851). Hermite hà pruvatu in 1873 ch'è e hè trascendente è Lindemann hà pruvatu in 1882 ch'è π hè trascendente. Infine, Cantor hà mustratu ch'è l'inseme di tutti i numeri reali hè innumerevulmente infinitu ma ch'è l'inseme di tutti i numeri algebrichi hè numerevulmente infinitu, è ch'ellu esiste dunque un numeru innumerevulmente infinitu di numeri trascendenti.

### Infinitu è infinitesimali

A più cuncezzione anziana cunnisciuta di l'infinitu matematica apparisce in u Yajur Veda, un'anziana scrittura indiana, chì dichjara à un mumentu datu: "S'è voi toglite una parte di l'infinitu o aghjunghjite una parte à l'infinitu, ciò chì ferma hè l'infinitu." L'infinitu era un sughjettu di studiu filusoficu populare ind'è i matematichi giaini, ver' di 400 nanzu à Cristu. Distinguianu cinque tipi di infinitu: infinitu in una è dui direzzione, infinitu in superficia, infinitu dignalocu è infinitu perpetuamente. U simbulu ${\text{∞}}$ hè à spessu imprudatu per riprisintà una quantità infinita.
Aristotele hà definitu a nuzione occidentale tradiziunale di infinitu matematicu. Hà fattu a distinzione trà l'infinitu reale è l'infinitu putenziale, u cunsensu generale essendu ch'è solu quest'ultimu avia un valore reale. E Duie nuvelle scenze di Galileu abburdavanu l'idea di currispundenze biunivoche trà insemi infiniti. Ma a prossima avanzata magiore di a teuria hè stata rializata da Georg Cantor chì in u 1895, hà publicatu un libru annantu à a so nuvella teuria di l'insemi, intruducendu, frà altru, i numeri trasfiniti è furmulendu l'ipotesi di u cuntinuu.
In l'anni 1960, Abraham Robinson hà mustratu cume i numeri infinitamente grandi è infinitesimali ponu esse definiti di manera rigurosa è usati per sviluppà u campu di l'analisi non standard. U sistemu di i numeri iperreali riprisenta un metudu rigurosu per trattà l'idee annantu à i numeri infiniti è infinitesimali chì eranu state imprudate di manera disinvolta da i matematichi, i scentifichi è l'ingenieri dapoi l'invinzione di u calculu infinitesimale da Newton è Leibniz.
Una virsione geumetrica muderna di l'infinitu hè data da a geumitria pruiettiva, chì introduttu di i "punti ideali à l'infinitu", unu per ogni direzzione spaziale. Ogni famiglia di linie parallele in una direzzione data hè supposta cunfluisce ver' di u puntu ideale currispundente. Quessa hè strettamente ligata à l'idea di punti di fughjera in u disegnu in pruspittiva.

### I numeri cumplessi

U prima riferimentu à e radiche quatrate di i numeri negativi si trova in i travagli di u matematicu è invintore Héron d'Alissandria à u 1ima seculu di a nostra epica, quandu ellu hà esaminatu u vulume di un fustu di piramida impussibile. Sò diventate più impurtante quandu, à u XVIu seculu, e formule chjuse per e radiche di i pulinomii di u terzu è di u quartu gradu sò stati scuperte da matematichi taliani tali Niccolò Fontana Tartaglia è Gerolamo Cardano. Omu s'hè in freccia resu cunta ch'è 'sse formule, ancu s'è omu ùn s'intarissava ch'è à e soluzione reale, necessitavanu qualchì volta a manipulazione di radiche quatrate di numeri negativi.
Era duppiamentu scuncertante chì, à l'epica, ùn cunsidaravanu mancu i numeri negativi cum'è un terrenu solidu. Quandu René Descartes hà invintatu u termine " imaginariu " per 'sse quantità in u 1637, l'hà vulsutu pighjurativu. (Vede numeru imaginariu per una discussione annantu à a "rialità" di i numeri cumplessi.) un'antra fonte di cunfusione era ch'è l'equazione
    $\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$
simbrava capricciosamente incompatibile incù l'identità algebrica
    ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},$
chì hè valevule per i numeri reali pusitivi a è b, è era ancu imprudata in i calculi di numeri cumplessi incù unu di i a, b pusitivu è l'altru negativu. L'usu scurrettu di 'ss'identità, è di l'identità cunnessa
    ${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}$
in u casu induve a è b sò tremindui negativi hà ancu scumudatu Euler. 'Ssa difficultà l'hà finalmente cunduttu à imprudà u simbulu spiciale i à a piazza di ${\sqrt {-1}}$ per evità 'ssu errore.
U XVIIIu seculu hà vistu i travagli d'Abraham di Moivre è di Leonhard Euler. A formula di Di Moivre (1730) enuncia :
    $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$
quandu a formula d'analisi cumplessa d'Euler (1748) dà :
    $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.$
L'esistenza di i numeri cumplessi ùn hè stata accittata cumplittamente ch'è quandu Caspar Wessel ne hà discrittu l'interpritazione geumetrica in u 1799. Carl Friedrich Gauss l'hà rescuperta è popularizata une pochi di anni più tardi, è a teuria di i numeri cumplessi hà cusì cunnisciutu un'espansione nutevule. L'idea di a ripprisintazione grafica di i numeri cumplessi era eppuru apparsa da 1685, in u Di algebra tractatus di Wallis.
Sempre in u 1799, Gauss hà furnitu a prima prova di solitu accittata di u teurema fundivu di l'algebra, mustrendu ch'è ogni pulinomiu annantu à i numeri cumplessi hà unu inseme cumplettu di soluzione in 'ssu campu. L'accittazione generale di a teuria di i numeri cumplessi hè duvuta à i travagli d'Austinu Luigi Cauchy è di Niels Henrik Abel, è soprattuttu di quest'ultimu, chì fubbe u prima à usà arditamente i numeri cumplessi incù un successu bellu cunnisciutu.
Gauss hà studiatu i numeri cumplessi di a forma a + bi, induve a è b sò integrali, o raziunali (è i hè una di e duie radiche di x$^2$ + 1 = 0). U so elevu, Gotthold Eisenstein, hà studiatu u tipu a + bω, induve ω hè una radica cumplessa di x$^3$ − 1 = 0.. Altre classe di 'ssu tipu (chjamate campi ciclotomichi) di numeri cumplessi deriveghjanu di e radiche di l'unità x$^k$ − 1 = 0 per i valori superiori di k. 'Ssa generalisazione hè largamente duvuta à Ernst Kummer, chì hà ancu invintatu i numeri ideali, chì sò stati sprimati cum'è entità geumetriche da Felix Klein in u 1893.
In u 1850, Victor Alexandre Puiseux hà pigliatu l'iniziativa di fà a distinzione trà i poli è i punti di brancamentu, è hà introduttu u cuncettu di punti singulari essenziali, ciò chì hà finalmente cunduttu à u cuncettu di pianu cumplessu stesu.

### Numeri primi

I numeri primi sò stati studiati tuttu à longu à a storia. Euclide hà cunsacratu un libru da l'Elementi à a teuria di i numeri primi; ci hà dimustratu l'infinitezza di i numeri primi è u teurema fundamentale di l'aritmetica, è hà prisintatu l'algoritmu d'Euclide per truvà u più grande divisore cumunu di dui numeri.
In u 240 avanti G.-C., Eratostene hà usatu u stacciu d'Eratostene per isulà prestu i numeri primi. Ma a maiò parte di i sviluppi ultiriori di a teuria di i numeri primi in Europa datanu di a Rinascita è di l'epiche ultiriore.
In u 1796, Adrien-Marie Legendre hà cungetturatu u teurema di i numeri primi, discrivendu a distribuzione asintotica di i numeri primi. Altri risultati cuncirnendu a distribuzione di i numeri primi inchjudenu a prova d'Euler ch'è a somma di e reciproche di i numeri primi diverge, è a cungettura di Goldbach, chì afferma ch'è ogni numeru paru sufficintamente grande hè a somma di dui numeri primi. Un'antra cungettura ligata à a distribuzione di i numeri primi hè l'ipotesi di Riemann, furmulata da Bernhard Riemann in u 1859. U teurema di i numeri primi hè, fatta fine, statu pruvatu da Ghjacumu Hadamard è Carlu di a Vallée-Poussin in u 1896. E cungetture di Goldbach è di Riemann fermanu sempre micca pruvate è micca confutate.

## Classifica maestra

I numeri ponu esse classificati in insemi, chjamati sistemi di numeri, tali i numeri naturali è i numeri reali. E principale categurie di numeri sò e seguente:

### Numeri naturali

I numeri i più famigliari sò i numeri naturali (qualchì volta chjamati numeri intieri o numeri da cuntà) : 1, 2, 3, è tira è tocca. Tradiziunalmente, a siquenza di i numeri naturali principiava da 1 (0 ùn era mancu cunsideratu cum'è un numeru da i grechi antichi.) Eppuru, à u 19imu seculu, i teorichi di l'insemi è altri matematichi anu principiatu à inchjude 0 (cardinalità di l'inseme biotu, vene à dì 0 elementi, induve 0 hè dunque u più numeru chjucu cardinale) in l'inseme di i numeri naturali. Oghje, differenti matematichi usanu u termine per discrive i duie insemi, inchjudendu 0 o nò. U simbulu matematicu di l'inseme di tutti i numeri naturali hè N, ancu scrittu $\mathbb {N}$, è qualchì volta $\mathbb {N} _{0}$ o $\mathbb {N} _{1}$ quandu ellu hè necessariu di indicà s'è l'inseme deve cumincià da 0 o 1, rispittivamente.
In u sistemu di numerazione in basa 10, usatu guasi universalmente oghje per l'operazione matematiche, i simbuli di i numeri naturali si scrivenu cù l'aiutu di deci ciffri : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 è 9. A basa hè u numeru di ciffri singuli, cumpresu u zeru, ch'è un sistemu numericu usa per riprisintà i numeri (per u sistemu decimale, a basa hè di 10). In 'ssu sistemu di basa 10, u ciffru u più à dritta di un numeru naturale hà un valore di piazza di 1, è ogni altru ciffru hà un valore di piazza deci volta superiore à quella da u ciffru à a so dritta.
In a teuria di l'insemi, chì pò serve di fundamentu assiumaticu à e matematiche muderne, i numeri naturali ponu esse riprisintati da classe d'insemi equivalenti. Per indettu, u numeru 3 pò esse riprisintatu cum'è a classa di tutti l'insemi chì anu esattamente trè elementi. Di manera alternativa, in l'aritmetica di Peano, u numeru 3 hè riprisintatu da sss0, induve s hè a funzione " successore " (vale à dì ch'è 3 hè u terzu successore di 0). Numerose ripprisintazione differente sò pussibile ; tuttu ciò chì hè necessariu per riprisintà furmalmente 3 hè di iscrive trè volte un certu simbulu o una certa cunfigurazione di simbuli.

### Numeri intieri

U negativu di un numeru intieru pusitivu hè definitu cum'è un numeru chì produce 0 quandu ellu hè aghjuntu à u numeru intieru pusitivu currispundente. I numeri negativi sò generalmente scritti incù un segnu negativu (u segnu di menu). Per indettu, u negativu di 7 si scrive -7, è 7 (-7) 0. Quandu l'inseme di i numeri negativi hè cumbinatu incù l'inseme di i numeri naturali (cumpresu 0), u risultatu hè definitu cum'è l'inseme di i numeri intieri, Z ancu scrittu $\mathbb {Z}$. A lettera Z vene da u tedescu Zahl, chì significheghja "numeru". L'inseme di i numeri intieri forma un anellu incù l'operazione d'addizione è di multiplicazione.
I numeri naturali formanu un sottuinsemu di i numeri intieri. Cum'ellu ùn esiste micca una norma cumuna per l'inclusione o nò di u zeru in i numeri naturali, i numeri naturali senza zeru sò cumunamente chjamati numeri intieri pusitivi, è i numeri naturali incù zeru sò chjamati numeri intieri micca negativi.

### Numeri raziunali

Un numeru raziunale hè un numeru chì pò esse sprimatu cum'è una frazzione incù un numeratore intieru è un dinuminatore intieru pusitivu. I dinuminatori negativi sò autorizati, ma sò di solitu evitati, chì ogni numeru raziunale hè uguale à una frazzione à dinuminatore pusitivu. E frazzione si scrivenu cum'è dui numeri intieri, u numeratore è u dinuminatore, incù un'asta di siparazione trà di elli. A frazzione m/n riprisenta m parte di un tuttu divisu in n parte uguale. Duie frazzione differente ponu currisponde à listessu numeru raziunale ; per indettu 1/2 è 2/4 sò uguale.
S'è u valore assolutu di m hè superiore à n (suppostu esse pusitivu), tandu u valore assolutu di a frazzione hè superiore à 1. E frazzione ponu esse superiore, inferiore o uguale à 1 è ponu ancu esse pusitive, negative o nulle. L'inseme di tutti i numeri raziunali cumprende l'intieri apposta chì ogni intieru pò esse scrittu sottu a forma di frazzione incù u dinuminatore 1. Per indettu, -7 pò scrive si -7/1. U simbulu di i numeri raziunali hè Q (per quoziente), ancu scrittu $\mathbb {Q}$.

### I numeri reali

U simbulu di i numeri reali hè R, ancu scrittu sottu à a forma $\mathbb {R} .$. Cumprendenu tutti i numeri di misura. Ogni numeru reale currisponde à un puntu annantu à a dritta numerica. In u paragrafu seguente, ci interisseremu per u più à i numeri reali pusitivi. U trattamentu di i numeri reali negativi hè cunformu à e regule generale di l'aritmetica è a so denutazione cunsiste simpliciamente à prefissà u ciffru pusitivu currispundente incù un segnu di menu, per indettu -123,456.
A maiò parte di i numeri reali ùn ponu esse avvicinati ch'è da ciffri decimali, in i quali un non decimale hè piazzatu à dritta di u ciffru avendu u valore di piazza 1. Ogni ciffru à dritta di u non decimale hà un valore di piazza uguale à un dicesimu di u valore di piazza da u ciffru à a so sinistra. Per indettu, 123.456 riprisenta 123456/1000, o in altri termini, centu, dui dicine, trè uni, quattru dicesimi, cinque centesimi è sei millesimi. Un numeru reale ùn pò esse sprimatu incù un numeru finitu di ciffri decimali ch'è si ellu hè raziunale è ch'è a so parte frazziunaria hà un dinuminatore chì i so fattori primi sò 2 o 5 o e dui, chì sò i fattori primi di 10, a basa di u sistemu decimale. Cusì, per indettu, a mità vale 0,5, u quintu vale 0,2, u dicesimu vale 0,1 è u cinquantesimu vale 0,02. A ripprisintazione di altri numeri reali sottu forma di decimale necessiteria una siquenza infinita di ciffri à dritta di u non decimale. S'è 'ssa siquenza infinita di ciffri suvita un mudellu, pò esse scritta incù un'ellisse o un'antra nutazione chì indicheghja u mudellu ripetitivu. Una tale decimale hè chjamata decimale ripetitiva. Cusì, 1/3 pò esse scrittu 0,333..., incù un'ellisse per indicà ch'è u mutivu cuntinueghja.
S'avvera ch'è 'sse decimale ripetute (cumpresu a ripetizione di i zeri) designanu esattamente i numeri raziunali, vene à dì ch'è tutti i numeri raziunali sò ancu i numeri reali, ma ùn hè micca u casu ch'è ogni numeru reale sia raziunale. Un numeru reale chì ùn hè micca raziunale hè chjamatu irraziunale. Un celebru numeru reale irraziunale hè u numeru π, u rapportu trà a circumfarenza di un chjerchju qualunque è u so diamitru. Quandu pi hè scrittu sottu à a forma $\pi =3.14159265358979\dots ,$ cum'ellu hè qualchì volta u casu, l'ellisse ùn significheghja micca ch'è e decimale si ripetenu (ùn si ripetenu micca), ma piuttostu ch'è ùn anu micca fine. Hè statu pruvatu ch'è π hè irraziunale. Un antru numeru bellu cunnisciutu, ch'ellu hè statu pruvatu ch'è ellu si tratta di un numeru reale irraziunale, hè ${\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,$ a radica quatrata di 2, vene à dì u singulu numeru reale pusitivu chì u quatratu hè 2. 'Ssi dui numeri sò stati apprussimati (per ordinatore) à trilioni (1 trilione 1012 1000 000000 000) di ciffri.
Oltre 'ssi esempii nutevuli, guasi tutti i numeri reali sò irraziunali è ùn anu cusì micca mutivi ripetitivi è dunque micca ciffru decimale currispundente. Ùn ponu esse avvicinati ch'è da ciffri decimali, designendu i numeri reali attundati o muzzati. Ogni numeru attundatu o mozzu hè necessariamente un numeru raziunale, chì ùn ne esiste ch'è un numeru innumerevule. Tutte e misure sò, par natura, apprussimazione è cumportanu sempre una margine d'errore. Cusì, 123,456 hè cunsideratu cum'è un'apprussimazione di ogni numeru reale superiore o uguale à 1234555/10000 è strittamente inferiore à 1234565/10000 (attundatu à 3 decimale), o di ogni numeru reale superiore o uguale à 123456/1000 è strittamente inferiore à 123457/1000 (troncature dopu à a 3. Decimale). I ciffri chì sugiriscenu un'accuratezza superiore à quella di a misura ella stessa devenu esse cancellati. I ciffri rimanenti sò tandu chjamati ciffri significativi. Per indettu, e misure incù una regula ponu raramente esse effittuate senza una margine d'errore di omancu 0,001 m. S'è i lati di un rettangulu sò misurati à 1,23 m è 4,56 m, a multiplicazione dà una superficia per u rettangulu cumpresa trà 5,614591 m2 è 5,603011 m2. Datu chì ancu u sicondu ciffru dopu à a decimale ùn hè micca cunsirvatu, i ciffri seguenti ùn sò micca significativi. Per via di cunsequenza, u risultatu hè generalmente attundatu à 5,61.
Cum'è una stessa frazzione pò esse scritta di parechji modi, unu stessu numeru reale pò avè parechje ripprisintazione decimale. Per indettu, 0,999..., 1,0, 1,00, 1,000,..., riprisentanu tutti u numeru naturale 1. Un numeru reale datu ùn hà ch'è e ripprisintazione decimale seguente : un'apprussimazione à un numeru compiu di decimale, un'apprussimazione in a quale un mudellu hè stabilitu chì si perseguiteghja per un numeru illimitatu di decimale o un valore esattu incù sultantu un numeru finitu di decimale. In quest'ultimu casu, l'ultimu ciffru micca nullu pò esse rimpiazzatu da u ciffru unu più chjucu suvitatu da un numeru illimitatu di 9, o l'ultimu ciffru micca nullu pò esse suvitatu da un numeru illimitatu di zeri. Cusì, u numeru reale esattu 3,74 pò ancu scrive si 3,7399999999... È 3,74000000000..... Listessa, un numeru decimale cumpurtendu un numeru illimitatu di 0 pò esse turnatu à scrive cancellendu i 0 à dritta di a decimale, è un numeru decimale cumpurtendu un numeru illimitatu di 9 pò esse turnatu à scrive aumintendu di un'unità u ciffru -9 u più à dritta è trasfurmendu tutti i 9 à dritta di 'ssu ciffru in 0. Infine, una siquenza illimitata di 0 à dritta di a decimale pò esse abbandunata. Per indettu, 6,849999999999... = 6,85 è 6,850000000000... = 6,85. Infine, s'è tutti i ciffri di un numerale sò 0, u numeru hè 0, è s'è tutti i ciffri di un numerale sò una catena senza fine di 9, pudete lascià cascà i 9 à dritta di a decimale, è aghjunghje unu à a catena di 9 à manca di a decimale. Per indettu, 99,999... = 100.
I numeri reali pussedenu ancu una pruprietà impurtante ma assai tecnica chjamata a pruprietà di a minima limita superiore.
Omu pò mustrà ch'è ogni campu ordinatu, chì hè ancu cumplettu, hè isumorfu à i numeri reali. I numeri reali ùn sò eppuru micca un campu algebricamente chjusu, chì ùn cumprendenu micca soluzione (à spessu chjamata radica quatrata di menu unu) à l'equazione algebrica $x^{2}+1=0$.

### Numeri cumplessi

Passendu à unu più grande livellu d'astrazzione, i numeri reali ponu esse stesi à i numeri cumplessi. Stu inseme di numeri hè apparsu sturicamente pruvendu à truvà e formule chjuse per e radiche di i pulinomii cubichi è quadratichi. Quessa hà cunduttu à sprissione implichendu e radiche quatrate di numeri negativi, è finalmente à a definizione di un nuvellu numeru : a radica quatrata di -1, nutata da i, un simbulu attribuitu da Leonhard Euler, è chjamata l'unità imaginaria. I numeri cumplessi sò custituiti di tutti i numeri di a forma $\,a+bi$ induve a è b sò i numeri reali. Per via di quessa, i numeri cumplessi currispondenu à punti di u pianu cumplessu, un spaziu vetturiale in duie dimensione reale. In a sprissione a bi, u numeru reale a hè chjamatu a parte reale è b hè chjamatu a parte imaginaria. S'è a parte reale di un numeru cumplessu hè uguale à 0, u numeru hè chjamatu un numeru imaginariu o puramente imaginariu ; s'è a parte imaginaria hè uguale à 0, u numeru hè un numeru reale. Cusì, i numeri reali sò un sottuinsemu di i numeri cumplessi. S'è e parte reale è imaginariu di un numeru cumplessu sò tremindui numeri intieri, tandu u numeru hè chjamatu un numeru intieru gaussianu. U simbulu di i numeri cumplessi hè C o $\mathbb {C}$.
U teurema fundivu di l'algebra afferma ch'è i numeri cumplessi formanu un campu algebricamente chjusu, ciò chì significheghja ch'è ogni pulinomiu à cuefficenti cumplessi hà una radica in i numeri cumplessi. Cum'è i reali, i numeri cumplessi formanu un campu, chì hè cumplettu, ma in cuntrariu di i reali, ùn hè micca ordinatu. Vene à dì ch'è ùn ci hè micca sensu cuerente à dì ch'è i hè superiore à 1, nè à dì ch'è i hè inferiore à 1. In termini tecnichi, i numeri cumplessi ùn anu micca ordine tutale compatibile incù l'operazione di u campu.

## Sottuclasse di i numeri intieri
### Numeri pari è dispari

Un numeru paru hè un numeru intieru chì hè "uniformemente divisibile" via dui, vene à dì divisibile via dui senza restu ; un numeru disparu hè un numeru intieru chì ùn hè micca paru. Ogni numeru disparu n pò esse custruitu da a formula n = 2k + 1,, per un intieru k apprupriatu. Principiendu cù k = 0,, i primi numeri dispari micca negativi sò 1, 3, 5, 7,.... Ogni numeru paru m hà a forma m = 2k induve k hè di novu un numeru intieru. Listessa, i primi numeri pari micca negativi sò 0, 2, 4, 6,....

### Numeri primi

Un numeru prima hè un intieru superiore à 1 chì ùn hè micca u produttu di dui intieri pusitivi più chjuchi. I primi numeri primi sò 2, 3, 5, 7, è 11. Ùn esiste micca di formula cusì simplicia ch'è per i numeri pari è dispari per ingenerà i numeri primi. I numeri primi sò stati largamente studiati dapoi più di 2000 anni è anu datu locu à numerose quistione, chì certe sultantu anu truvatu una risposta. U studiu di 'sse quistione rileva di a teuria di i numeri. A cungettura di Goldbach hè un esempiu di quistione firmata senza risposta : "Ogni numeru paru hè a somma di dui numeri primi ?"
Una quistione a a quale ellu hè statu rispostu, à sapè s'è ogni numeru intieru superiore à un hè un produttu di numeri primi di una sola manera, eccituatu un reacconciu di i numeri primi, hè stata cunfirmata ; 'ssa affirmazione pruvata hè chjamata teurema fundivu di l'aritmetica. Una prova apparisce in l'Elementi d'Euclide.

### Altre classe di intieri

Numerosi sottuinsemi di i numeri naturali anu fattu l'ogettu di studii specifichi è sò stati numinati, à spessu siont'è u prima matematicu chì l'hà studiati. I numeri di Fibonacci è i numeri perfetti sò l'esempii di tali insemi di intieri.

## Sottuclasse di i numeri cumplessi
### Numeri algebrichi, irraziunali è trascendentali

I numeri algebrichi sò quelli chì sò una soluzione à un'equazione polinumiale à cuefficenti intieri. I numeri reali chì ùn sò micca numeri raziunali sò chjamati numeri irraziunali. I numeri cumplessi chì ùn sò micca algebrichi sò chjamati numeri trascendentali. I numeri algebrichi chì sò soluzione di un'equazione polinumiale monica à cuefficenti intieri sò chjamati numeri intieri algebrichi.

### Numeri custruttibili

Mutivati da i prublemi classichi di custruzzione à a regula è à u cumpassu, i numeri custruttibili sò i numeri cumplessi chì e so parte reale è imaginarie ponu esse custruite à a regula è à u cumpassu, à parte si da un sigmentu datu di lunghezza unitaria, in un numeru finitu di tappe.

### Numeri calculevuli

Un numeru calculevule, ancu cunnisciutu cum'è numeru ricursivu, hè un numeru reale tale ch'ellu esiste un algoritmu chì, datu un numeru pusitivu n cum'è intrata, produce i n primi ciffri di a ripprisintazione decimale di u numeru calculevule. E definizione equivalente ponu esse date usendu e funzione μ récursive, e macchine di Turing o u λ-calcul. I numeri calculevuli sò stabili per tutte l'operazione aritmetiche solite, cumpresu u calculu di e radiche di un pulinomiu, è formanu dunque un campu chjusu reale chì cuntene i numeri algebrichi reali.
I numeri calculevuli ponu esse cunsiderati cum'è i numeri reali chì ponu esse riprisintati esattamente in un ordinatore : un numeru calculevule hè riprisintatu esattamente da i so primi ciffri è un prugramma per calculà i ciffri seguenti. Eppuru, i numeri calculevuli sò raramente usati in a pratica. Una di e raghjone hè ch'ellu ùn esiste nissunu algoritmu permittendu di testà l'ugualità di dui numeri calculevuli. Più precisamente, ùn pò micca esiste algoritmu chì piglia qualsiasi numeru calculevule cum'è intrata, è dicide in ogni casu s'è 'ssu numeru hè uguale à zeru o micca.
L'inseme di i numeri calculevuli hà listessa cardinalità ch'è i numeri naturali. Per via di cunsequenza, guasi tutti i numeri reali ùn sò micca calculevuli. Eppuru, hè assai difficile di produce in modu esplicitu un numeru reale chì ùn sia micca calculevule.

## Estinsione di u cuncettu
### Numeri p-adichi

I numeri p-adichi ponu avè espansione infinitamente longhe à manca di a virgula, à listessu modu ch'è i numeri reali ponu avè di l'espansione infinitamente longhe à dritta. U sistemu di numerazione chì ne risulta dipende di a basa imprudata per i ciffri : qualsiasi basa hè pussibile, ma una basa di numeri primi offre e megliu pruprietà matematiche. L'inseme di i numeri p-adichi cuntene i numeri raziunali, ma ùn hè micca cuntenutu in i numeri cumplessi.
L'elementi di un campu di funzione algebriche annantu à un corpu finitu è i numeri algebrichi anu numerose pruprietà simile (vede Analugia di i campi di funzione). Per via di cunsequenza, sò à spessu cunsiderati cum'è numeri da i teorichi di i numeri. I numeri p-adichi ghjocanu un rollu impurtendu in 'ss'analugia.

### Numeri ipercumplessi

Certi sistemi di numeri chì ùn sò micca inchjusi in i numeri cumplessi ponu esse custruiti à parte si da i numeri reali di una manera chì generalizeghja a custruzzione di i numeri cumplessi. Sò qualchì volta chjamati numeri ipercumplessi. Inchjudenu i quaternioni H, introdutti da Sir William Rowan Hamilton, in i quali a multiplicazione ùn hè micca cummutativa, l'ottunioni, in i quali a multiplicazione ùn hè micca assuciativa in più di ùn esse micca cummutativa, è i sedenioni, in i quali a multiplicazione ùn hè micca alternativa, nè assuciativa nè cummutativa.

### Numeri trasfiniti

Per trattà l'insemi infiniti, i numeri naturali sò stati generalizati à i numeri ordinali è à i numeri cardinali. U prima dà l'ordine di l'inseme, mentre ch'è u sicondu dà a so taglia. Per l'insemi finiti, i numeri ordinali è cardinali sò identificati à i numeri naturali. In u casu infinitu, parechji numeri ordinali currispondenu à listessu numeru cardinale.

### Numeri non-standard

I numeri iperreali sò usati in analisi non standard. L'iperreali, o reali non standard (di solitu nutati R), designanu un campu ordinatu chì hè un'estinsione pulita di u campu ordinatu di i numeri reali R è chì suddisface à u principu di trasfirimentu. 'Ssu principu permette di reinterprità l'enunciati veri di u prima ordine cuncirnendu R cum'è l'enunciati veri di u prima ordine cuncirnendu R.
I numeri superreali è soprareali stendenu i numeri reali aghjunghjendu i numeri infinitamente chjuchi è i numeri infinitamente grandi, ma formanu sempre campi.

## Note

* ↑ 'Ss'articulu pruvene in parte da l'articulu currispundente di a wikipedia in inglese.

## Da vede dinù

* Numeru cuncretu
* Lista di i numeri
* Lista di i tipi di numeri
* Numeri cumplessi
* Cugnizione numerica
* Ordini di grandezza
* Custante fisica
* Nutazione posiziunale