# Toru (giumitria)

In giumitria u toru o turoidi hè una superficia à forma di ciambedda. Pò essa ottinuta com'è superficia di rivuluzioni, fendu voglia una circumfarenza, a generatrici, intornu à un assi di rutazioni appartinenti à listessu pianu ch'è a generatrici, ma disghjuntu da edda.
U terminu diriveghja da u latinu torus chì si rifiria, frà l'altri cosi, à un tipu di cuscinu à forma di ciambedda.

## U toru in a giumitria euclidea
### Ripprisintazioni par via di l'equazioni parametrichi

Una ripprisintazioni parametrica di u toru, in l'usuali spaziu euclideu tridiminsiunali, hè data da:
    $x(p,t)=(R+r\,\cos p)\cos t$
    $y(p,t)=(R+r\,\cos p)\sin t$
    $z(p,t)=r\,\sin p$
induva $t,p$ varieghjani trà 0 è $2\pi$, $R>0$ hè a distanza da u centru di u tubu à u centru di u toru è $r>0$ hè u raghju di u tubu.
L'equazioni in cuurdinati cartesiani, chì individueghja un toru induva l'assi di simitria cuincidi incù l'assi z, hè data da:
    $\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}$

### Prubità metrichi

L'aria esterna è u vulumu di u toru sò dati rispittivamenti da:
    $A=2\pi r\ 2\pi R=4\pi ^{2}Rr$,
    $V=\pi r^{2}\ 2\pi R=2\pi ^{2}Rr^{2}.$

## Tupulugia di u toru
### Custruzzioni

Un toru tupulogicu hè un spaziu tupulogicu omeumorfu à un toru in u spaziu euclideu. Quiddu pò essa difinitu com'è u pruduttu di dui circumfarenzi S$^1$ × S$^1$. L'equazioni parametrichi ch'è avemu datu par u toru in R$^3$ individueghjani un omeumurfisimu incù l'insemu S$^1$ × S$^1$.
Un modu equivalenti par custruiscia un toru tupulogicu hè quiddu di cunsidarà un quatratu è "incuddà" i lati opposti. Quissa currispondi à difiniscia nantu à u quatratu
    Q = [0,1] × [0,1] ⊆ R$^2$
a rilazioni d'equivalenza $\sim _{T}$ tali chì/ch'è $x\sim _{T}y$ s'è è solu s'è $x=y$ hè un unicu puntu internu oppuri $x$ è $y$ sò annantu à dui lati opposti è ani una cuurdinata uguali. Incù sta rilazioni d'equivalenza si pò difiniscia u spaziu quuzienti $Q/\sim _{T}$ chì hè par appuntu un toru tupulogicu.
Un antru modu par difiniscia u toru tupulogicu hè quiddu di custruiscia u spaziu quuzienti di u R$^2$ rispettu à u sottugruppu Z$^2$.

### Prubità tupulogichi

* U toru hè una superficia, dunqua una varietà diffarinzevuli di diminsioni 2.
* U toru hè cumpattu, cunnessu, ma ùn simpliciamenti cunnessu. Infatti u so gruppu fundamintali hè $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.
* A carattaristica d'Euleru di u toru hè zeru.
* U genaru di u toru hè 1.
* Nantu à u toru ùn s'appiegani micca molti tiuremi di a giumitria piana. Par asempiu, ùn privali micca u tiurema di i quattru culori. In u dissegnu à fiancu u toru hè statu divisu in setti rigioni, à dui à dui tutti cunfinanti: sò dunqua nicissarii setti culori diffarenti affinch'è dui rigioni cunfinanti ùn aghjini micca listessu culori. Hè stata dimustrata una generalisazioni di u Tiurema di i quattru culori da aquali cunsegui chì setti culori sò sufficienti par culurà qualsiasi suddivisioni di u toru.

## U toru solidu

U toru solidu hè l'ughjettu tridiminsiunali dilimitatu da u toru (toru inclusu). Si tratta veni à dì di a purzioni di spaziu cuntinuta à l'internu di u toru inclusa a parti di spaziu chì a dilimiteghja. Tupulugicamenti, si tratta d'un spaziu omeumorfu à u pruduttu $D\times S^{1}$ di u discu bidiminsiunali
    $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}$
incù a circumfarenza $S^{1}$. Si tratta d'una 3-varietà incù bordu; u bordu cunsisti par appuntu in u toru. U so gruppu fundamintali hè $\mathbb {Z}$.
U toru solidu hè un ughjettu impurtanti in u studiu di i 3-varietà è più in generali in a tupulugia di a diminsioni bassa.

## Da veda dinò

* Superficia (matematicu)
* Cilindru (giumitria)
* Sfera
* Superficia torica

## Liami esterni

* I sizioni circulari d'un toru Archiviu 2016-03-06 at the Wayback Machine
* Torus Games: ghjochi (scarichevuli gratuitamenti) chì illustrani a tupulugia di u toru è di a butteglia di Klein

## Da vede dinò

* Giumitria piana
* Angulu rettu
* Catetu
* Mezaretta
* Perimetru
* Sigmentu
* Triangulu isusceli
* Triangulu equilateru
* Tiurema di Pitagora
* Iputenusa
* Tangenti
* Trigunumitria
* Triangulu
* Uttaedru

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.