# Cusinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u cusinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa.
Di manera generali, u cusinu d'un angulu $\alpha$, aspressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da $\alpha$, custruita usendu a circumfarenza unitaria.
Difiniscendu com'è $\cos(x)$ u valori di u cusinu in l'angulu $x$, s'otteni a funzioni cusinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

## Difinizioni

In u triangulu rossu nantu à a figura, u cusinu di x hè datu da: $\cos {x}={\overline {OC}}$ Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una circumfarenza di raghju unitariu è una mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu $x$ incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu $x$ hè difinitu cusì com'è u valori di a cuurdinata $x$ di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu $OC$).
A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:
| $x$ in radianti | 0 | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {\pi }{2}}$ | $\pi$ | ${\frac {3\pi }{2}}$ | $2\pi$ |
| $x$ in gradi | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| $\cos(x)$ | 1 | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ | ${\frac {1}{2}}$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu $x$ hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori $i$, virsori di l'assu $x$, ghjiratu di $x$.

## Funzioni cusinu

A funzioni cusinu hè difinita assucendu à $x$ u cusinu di l'angulu $x$ (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù $f(x)=\cos {x}$. Apposta ch'è $x$ è $x+2k\pi$ difiniscini u stessu angulu par qualsiasi $k$ intreiu, a funzioni cusinu hè una funzioni piriodica di periodu $2\pi$ (induva $2\pi$ hè l'angulu ghjiru). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata cusinusoidi. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè $[-1,1]$, veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà $-1$ è $1$, estremi inclusi.

## Cusinu è sinu

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta equazioni fundamintali di a trigunumitria, o unità guniumetrica:
    $\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1,$
chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora.

## Prubità analitichi di u cusinu

A dirivata di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua: $(\cos x)^{\prime }=-\sin x.$
Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di prustaferesi par calculà a limita di u rapportu incrimintali di u cusinu:
    ${\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}={\frac {-2\sin {\frac {2x+h}{2}}\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right){\underset {h\rightarrow 0}{\longrightarrow }}-\sin x$.
A dirivata siconda di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:
    $(\cos x)^{\prime \prime }=-\cos x,$
par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni sinu) risolvi l'equazioni diffarinziali
    $y^{\prime \prime }+y=0$,
chì discrivi u motu d'un uscillatori armonicu ideali libaru.
A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti $|y^{(k)}|\leq 1$ per ogni $k$), ed hè par via di cunsiquenza analitica; a so espansioni in seria di Taylor hè: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$ $=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$
par ogni $x$ riali.
In analisa matematica 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

## Equazioni fundamintali rilativi à u cusinu

Vali a siguenti formula d'addizioni (è suttrazzioni) d'archi:
    $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,$
è in particulari a formula di duplicazioni
    $\cos {(2x)}=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1.$
I siguenti sò i furmuli di prustaferesi rilativi à u cusinu:
    $\cos {x}+\cos {y}=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}},$
    $\cos {x}-\cos {y}=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}.$
Vali ancu a catena di disugualità:
    $0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ par }}\quad 0<x<{\frac {\pi }{2}}.$
Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii $0<x<\pi /2$, com'è nantu à a figura.
Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu $x$ (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni $P$ di a mezaretta incù a circumfarenza sò $(\cos x,\sin x)$. Si traccia u sigmentu chì unisci $P$ à u puntu $A=(1,0)$. Sii inoltri $T$ u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa $1$ (assu di i tangenti). $T$ hà cuurdinati $(1,\tan x)$.
Si nota ch'è u triangulu $POA$ hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari $POA$, u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu $TOA$. Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è $x$ hè l'angulu, aspressu in radianti):
    $0<{\frac {1}{2}}\sin x<{\frac {1}{2}}x<{\frac {1}{2}}{\frac {\sin x}{\cos x}},$
veni à dì
    $0<\sin x<x<{\frac {\sin x}{\cos x}}.$
Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è $0<\sin x<x$, mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par $\sin x$ (ciò chì hè pussibuli parchì $\sin x>0$), s'utteni:
    $1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},$
veni à dì
    $\sin x\cos x<x\cos x<\sin x,$
induva à a fini s'hè multiplicatu par $\sin x$ è par $\cos x$, ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati,
$0<x\cos x<\sin x<x.$
Q.E.D..
Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni tangenti:
    $\cos {x}={\frac {1-\tau ^{2}}{1+\tau ^{2}}}\quad {\text{ incù }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}$.
st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta $\tau$. Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i primitivi di funzioni guniumetrichi.

## Difinizioni currilati

* U reciprocu di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a secanti:
       $\sec x={\frac {1}{\cos x}}.$
* A funzioni cusinu hè iniettiva nantu à l'intarvallu $[0,\pi ]$ è hà dunqua una inversa, chjamata arcucusinu (indicatu incù $\arccos$ o incù $\cos ^{-1}$ chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa).

## Urighjina di u nomu

U terminu cusinu stà par "cumplimintariu di u sinu". Infatti, par anguli trà $0$ è $\pi /2$, u cusinu d'un angulu hè u sinu di l'angulu cumplimintariu, veni à dì :$\cos {x}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\pm x\right).$ sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni $x$; eppuri a nuzioni giumetrica d'angulu cumplimintariu s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà $0$ è $\pi /2$.

## Noti

* ↑ L'ultimu passaghju faci usu di u limita nutevuli: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$ chì si pò dimustrà giumitricamenti.
* ↑ Infatti s'hà, in virtù di l'unità guniumetrica è dividendu par $\cos {x}$ (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità $\cos {(2x)}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}={\frac {\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}}{\cos ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}}}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}$.

## Da veda dinò

* Sinu
* Leghji di u cusinu
* Cusinusoidi
* Funzioni trigunumetrica
* Tangenti (matematica)
* Arcucusinu
* Circumfarenza guniumetrica
* Formula di Eulero
* Formuli di duplicazioni
* Formuli di bisizzioni
* Formuli di prustaferesi
* Formuli di Werner
* Funzioni piriodica
* Funzioni altirnata
* Cusinu iperbolicu

## Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.