# Sobre la teoria de la relativitat especial i general
## Pròleg

El present llibret pretén donar una idea el més exacta possible de la teoria de la relativitat, pensant en aquells que, sense dominar l'aparell matemàtic de la física teòrica, tenen interès en la teoria des del punt de vista científic o filosòfic general. La lectura exigeix una formació de batxillerat aproximadament i -malgrat la brevetat del librito- no poca paciència i voluntat per part del lector. L'autor ha posat tot la seva obstinació a ressaltar amb la màxima claredat i senzillesa les idees principals, respectant en general l'ordre i el context que realment van sorgir. En nom de la claredat em va semblar inevitable repetir-me sovint, sense reparar gens ni mica en l'elegància expositiva; em vaig atenir obstinadamente al precepte del genial teòric L. Boltzmann, de deixar l'elegància per als sastres i sabaters. Les dificultats que radiquen en la teoria pròpiament aquesta creo no haver-se-les ocultat al lector, mentre que les bases físiques empíriques de la teoria les he tractat deliberatament amb certa negligència, perquè al lector allunyat de la física no li ocorri el que al caminant, a qui els arbres no li deixen veure el bosc. Espero que el llibret ofereixi a més d'un algunes hores d'alegre entreteniment.
    Albert Einstein
    Desembre de 1916.

## Primera part - Sobre la teoria de la relativitat especial
### 1 El contingut físic dels teoremes geomètrics

Segur que també tu, estimat lector, vas entaular de nen coneixement amb el superb edifici de la Geometria de Euclides i recordes, potser amb més respecte que amor, la imponent construcció per les altes escalinates de la qual et van passejar durant hores sense conte els meticulosos professors de l'assignatura. I segur que, en virtut d'aquest el teu passat, castigaries amb el menyspreu a qualsevol que declarés fals fins i tot el més recòndit teoremita d'aquesta ciència. Però és molt possible que aquest sentiment d'orgullosa seguretat t'abandonés immediatament si algú et preguntés: « Què entens tu a l'afirmar que aquests teoremes són veritables?». Detinguem-nos una estona en aquesta qüestió. La Geometria parteix de certs conceptes bàsics, com el de plànol, punt, recta, als quals estem en condicions d'associar representacions més o menys clares, així com de certes proposicions simples (axiomes) que, sobre la base d'aquelles representacions, ens inclinem a donar per «veritables». Tots els altres teoremes són llavors referits a aquells axiomes (és a dir, són demostrats) sobre la base d'un mètode lògic la justificació del qual ens sentim obligats a reconèixer. Un teorema és correcte, o «veritable», quan es deriva dels axiomes a través d'aquest mètode reconegut. La qüestió de la «veritat» dels diferents teoremes geomètrics remitent, doncs, a la de la «veritat» dels axiomes. No obstant això, se sap des de fa molt que aquesta última qüestió no només no és resoluble amb els mètodes de la Geometria, sinó que ni tan sols té sentit en si. No es pot preguntar si és veritat o no que per dos punts només passa una recta. Únicament cap dir que la Geometria euclidiana tracta de figures a les quals flama «rectes» i a les quals assigna la propietat de quedar unívocament determinades per dues dels seus punts. El concepte de «veritable» no s'aplica a les proposicions de la Geometria pura, perquè amb la paraula «veritable» solem designar sempre, en última instància, la coincidència amb un objecte «real»; la Geometria, no obstant això, no s'ocupa de la relació dels seus conceptes amb els objectes de l'experiència, sinó només de la relació lògica que guarden aquests conceptes entre si. El qual, malgrat tot, ens sentim inclinats a qualificar de «veritables» els teoremes de la Geometria té fàcil explicació. Els conceptes geomètrics es corresponen més o menys exactament amb objectes en la naturalesa, que són, sense cap gènere de dubtes, l'única causa de la seva formació. Encara que la Geometria es 4 distanciï d'això per a donar al seu edifici el màxim rigor lògic, la veritat és que el costum, per exemple, de veure un segment com dos llocs marcats en un cos pràcticament rígid està molt establerta en els nostres hàbits de pensament. I també estem acostumats a percebre tres llocs com situats sobre una recta quan, mitjançant adequada elecció del punt d'observació, podem fer coincidir les seves imatges al mirar amb un sol ull. Si, deixant-nos dur pels hàbits de pensament, vam afegir ara als teoremes de la Geometria euclidiana un únic teorema més, el que a dos punts d'un cos pràcticament rígid els correspon sempre la mateixa distància (segment), independentment de les variacions de posició que sotmetem el cos, llavors els teoremes de la Geometria euclidiana es converteixen en teoremes referents a les possibles posicions relatives de cossos pràcticament rígids. La Geometria així ampliada cal contemplar-la com una branca de la física. Ara sí cap preguntar-se per la «veritat» dels teoremes geomètrics així interpretats, perquè és possible preguntar si són vàlids o no per a aquells objectes reals que hem assignat als conceptes geomètrics. Encara que amb certa imprecisió, podem dir, doncs, que per «veritat» d'un teorema geomètric entenem en aquest sentit la seva validesa en una construcció amb regla i compàs. Naturalment, la convicció que els teoremes geomètrics són «veritables» en aquest sentit descansa exclusivament en experiències fart incompletes. D'entrada donarem per suposada aquesta veritat dels teoremes geomètrics, per a després, en l'última part de l'exposició (la teoria de la relativitat general), veure que aquesta veritat té els seus límits i precisar quins són aquests.

### 2. El sistema de coordenadas

Basant-nos en la interpretació física de la distància que acabem d'assenyalar estem també en condicions de determinar la distància entre dos punts d'un cos rígid per mitjà de mesuraments. Per a això necessitem un segment (regla S) que puguem utilitzar una vegada per sempre i que serveixi d'escala unitat. Si A i B són dos punts d'un cos rígid, la seva recta d'unió és llavors construible segons les lleis de la Geometria; sobre aquesta recta d'unió, i a partir de, vam dur el segment S tantes vegades com sigui necessari per a arribar A B. El nombre de repeticions d'aquesta operació és la mesura del segment AB. Sobre això descansa tota mesurament de longituds. Qualsevol descripció espacial del lloc d'un succés o d'un objecte consisteix a especificar el punt d'un cos rígid (cos de referència) amb el qual coincideix el succés, i això val no només per a la descripció científica, sinó també per a la vida quotidiana. Si analitzo l'especificació de lloc «a Berlín, en la Plaça de Potsdam», veig que significa el següent. El sòl terrestre és el cos rígid al que es refereix l'especificació de lloc; sobre ell, «Plaza de Potsdam a Berlín» és un punt marcat, proveït de nom, amb el qual coincideix espacialment el succés. Aquesta primitiva manera de localització només atén a llocs situats en la superfície de cossos rígids i depèn de l'existència de punts distingibles sobre aquella. Vegem com l'enginy humà s'allibera d'aquestes dues limitacions sense que l'essència del mètode de localització sofreixi modificació alguna. Si sobre la Plaça de Potsdam sura per exemple un núvol, la seva posició, referida a la superfície terrestre, cabrà fixar-la sense més que erigir en la plaça un masteler vertical que arribi fins al núvol. La longitud del masteler amidada amb la regla unitat, juntament amb l'especificació del lloc que ocupa el peu del masteler, constituïxen llavors una localització completa. L'exemple ens mostra de quina manera es va anar refinant el concepte de lloc: a) Es perllonga el cos rígid al que es refereix la localització, de manera que el cos rígid ampliat arribi fins a l'objecte a localitzar. b) Per a la caracterització del lloc s'utilitzen nombres, i no la nomenclatura de punts notables (en el cas anterior, la longitud del masteler amidada amb la regla). c) Se segueix parlant de l'altura del núvol tot i que no s'erigeixi un masteler que arribi fins a ella. En el nostre cas, es determina mitjançant fotografies del núvol des de diversos punts del sòl i tenint en compte les propietats de propagació de la llum, quina longitud caldria donar al masteler per a arribar al núvol. D'aquestes consideracions es tira de veure que per a la descripció de llocs és avantatjós independitzar-se de l'existència de punts notables, proveïts de noms i situats sobre el cos rígid al que es refereix la localització, i utilitzar en lloc d'això nombres. La física experimental cobreix aquest objectiu emprant el sistema de coordenades cartesianes. Aquest sistema consta de tres parets rígides, planes, perpendiculars entre si i lligades a un cos rígid. El lloc de qualsevol succés, referit al sistema de coordenades, ve descrit (en essència) per l'especificació de la longitud de les tres verticals o coordenades (x, i, z) (cf. Fig. 2, p. 33) que poden traçar-se des del succés fins a aquestes tres parets. Les longituds d'aquestes tres perpendiculars poden determinar-se mitjançant una successió de manipulacions amb regles rígides, manipulacions que vénen prescrites per les lleis i mètodes de la Geometria euclidiana. En les aplicacions no solen construir-se realment aquestes parets rígides que formen el sistema de coordenades; i les coordenades tampoc es determinen realment per mitjà de construccions amb regles rígides, sinó indirectament. Però el sentit físic de les localitzacions ha de buscar-se sempre en concordança amb les consideracions anteriors, sota pena de que els resultats de la física i l'astronomia es dilueixin en la falta de claredat. La conclusió és, per tant, la següent: tota descripció espacial de successos se serveix d'un cos rígid al que cal referir-los espacialment. Aquesta referència pressuposa que els «segments» es regeixen per les lleis de la Geometria euclidiana, venint representats físicament per dues marques sobre un cos rígid.

### 3. Espai i temps en la Mecànica clàssica

Si formulo l'objectiu de la Mecànica dient que «la Mecànica ha de descriure com varia amb el temps la posició dels cossos en l'espai», sense afegir grans reserves i prolixes explicacions, carregaria sobre la meva consciència alguns pecats cabdals contra el sagrat esperit de la claredat. Indiquem primer de tot aquests pecats. No està clar què ha d'entendre's aquí per «posició» i «espai». Suposem que estic apuntat a la finestreta d'un vagó de ferrocarril que duu una marxa uniforme, i deixo caure una pedra a la via, sense donar-li cap impuls. Llavors veig (prescindint de la influència de la resistència de l'aire) que la pedra cau en línia recta. Un vianant que assisteixi a la fechoría des del terraplé observa que la pedra cau a terra segons un arc de paràbola. Jo pregunto ara: les «posicions» que recorre la pedra estan «realment» sobre una recta o sobre una paràbola? D'altra banda, què significa aquí moviment en el «espai»? La resposta és evident després del que s'ha dit en epígraf 2. Deixem de moment a un costat la fosca paraula «espai», que, per a ser sincers, no ens diu absolutament gens; en lloc d'ella posem «moviment respecte a un cos de referència pràcticament rígid». Les posicions en relació amb cos de referència (vagó del tren o vies) han estat ja definides explícitament en l'epígraf anterior. Introduint en lloc de «cos de referència» el concepte de «sistema de coordenades», que és útil per a la descripció matemàtica, podem dir: la pedra descriu, en relació amb un sistema de coordenades rígidament unit al vagó, una recta; en relació amb un sistema de coordenades rígidament lligat a les vies, una paràbola. En aquest exemple es veu clarament que en rigor no existeix una trajectòria5, sinó només una trajectòria en relació amb un cos de referència determinat. Ara bé, la descripció completa del moviment no s'obté sinó a l'especificar com varia la posició del cos amb el temps, o el que és el mateix, per a cada punt de la trajectòria cal indicar en quin moment es troba allí el cos. Aquestes dades cal completar-los amb una definició del temps en virtut de la qual puguem considerar aquests valors temporals com magnituds essencialment observables (resultats de mesuraments). Nosaltres, sobre el sòl de la Mecànica clàssica, satisfem aquesta condició -en relació amb exemple anterior- de la següent manera. Imaginem dos rellotges exactament iguals; un d'ells ho té l'home en la finestreta del vagó de tren; l'altre, l'home que està dempeus en el terraplé. Cadascun d'ells verifica en quin lloc del corresponent cos de referència es troba la pedra en cada instant marcat pel rellotge que té en la mà. Ens abstenim d'entrar aquí en la imprecisió introduïda pel caràcter finit de la velocitat de propagació de la llum. Sobre aquest extrem, i sobre una segona dificultat que es presenta aquí, parlarem detingudament més endavant.

### 4. El sistema de coordenades de Galileu

Com és sabut, la llei fonamental de la Mecànica de Galileu i Newton, coneguda per la llei d'inèrcia, diu: un cos suficientment allunyat d'altres cossos persisteix en el seu estat de repòs o de moviment rectilini uniforme. Aquest principi es pronuncia no només sobre el moviment dels cossos, sinó també sobre quins cossos de referència o sistemes de coordenades són permissibles en la Mecànica i poden utilitzar-se en les descripcions mecàniques. Alguns dels cossos als quals sens dubte cap aplicar amb gran aproximació la llei d'inèrcia són les estrelles fixes. Ara bé, si utilitzem un sistema de coordenades solidari amb la Terra, cada estrella fixa descriu, en relació amb ell i al llarg d'un dia (astronòmic), una circumferència de ràdio enorme, en contradicció amb l'enunciat de la llei d'inèrcia. Així doncs, si un s'até a aquesta llei, llavors els moviments només cap referir-los a sistemes de coordenades en relació amb els quals les estrelles fixes no executen moviments circulars. Un sistema de coordenades l'estat de les quals de moviment és tal que en relació amb ell és vàlida la llei d'inèrcia ho cridem «sistema de coordenades de Galileu». Les lleis de la Mecànica de Galileu-Newton només tenen validesa per a sistemes de coordenades de Galileu.

### 5. El principi de la relativitat (en sentit restringit)

Per a aconseguir la major claredat possible, tornem a l'exemple del vagó de tren que duu una marxa uniforme. El seu moviment diem que és una translació uniforme («uniforme», perquè és de velocitat i adreça constants; «translació», perquè encara que la posició del vagó varia pel que fa a la via, no executa cap gir). Suposem que per l'aire vola un corb en línia recta i uniformement (respecte a la via). No hi ha dubte que el moviment del corb és -respecte al vagó en marxa- un moviment de diferent velocitat i diferent adreça, però segueix sent rectilini i uniforme. Expressat de manera abstracta: si una massa m es mou en línia recta i uniformement respecte a un sistema de coordenades K, llavors també es mou en línia recta i uniformement respecte a un segon sistema de coordenades K', sempre que aquest executi respecte a K un moviment de translació uniforme. Tenint en compte el que s'ha dit en el paràgraf anterior, es desprèn d'aquí el següent: Si K és un sistema de coordenades de Galileu, llavors també ho és qualsevol altre sistema de coordenades K' que respecte a K es trobi en un estat de translació uniforme. Les lleis de la Mecànica de Galileu-Newton valen tant respecte a K' com respecte a K Donem un pas més en la generalització i enunciem el següent principi: Si K' és un sistema de coordenades que es mou uniformement i sense rotació respecte a K, llavors els fenòmens naturals transcorren pel que fa a K' segons idèntiques lleis generals que pel que fa a K. Aquesta proposició és el que cridarem el «principi de relativitat» (en sentit restringit). Mentre es va mantenir la creença que tots els fenòmens naturals es podien representar amb ajuda de la Mecànica clàssica, no es podia dubtar de la validesa d'aquest principi de relativitat. No obstant això, els recents avenços de la Electrodinámica i de l'Òptica van fer veure cada vegada més clarament que la Mecànica clàssica, com base de tota descripció física de la naturalesa, no era suficient. La qüestió de la validesa del principi de relativitat es va tornar així perfectament discutible, sense excloure la possibilitat que la solució anés en sentit negatiu. Existeixen, amb tot, dos fets generals que d'entrada parlen molt a favor de la validesa del principi de relativitat. En efecte, encara que la mecànica clàssica no proporciona una base suficientment ampla per a representar teòricament tots els fenòmens físics, ha de posseir un contingut de debò molt important, doncs dóna amb admirable precisió els moviments reals dels cossos celestes. Per aquest motiu en el camp de la Mecànica hagi de ser vàlid amb gran exactitud el principi de relativitat. I que un principi de generalitat tan gran i que és vàlid, amb tanta exactitud, en un determinat camp de fenòmens fracassi en altre camp és, a priori, poc probable. El segon argument, sobre el qual tornarem més endavant, és el següent. Si el principi de relativitat (en sentit restringit) no és vàlid, llavors els sistemes de coordenades de Galileu K , K', K", etc., que es mouen uniformement uns respecte als altres, no seran equivalents per a la descripció dels fenòmens naturals. En aquest cas no tindríem més remei que pensar que les lleis de la naturalesa només poden formular-se amb especial senzillesa i naturalitat si d'entre tots els sistemes de coordenades de Galileu triéssim com cos de referència u (K0) que tingués un estat de moviment determinat. A aquest ho qualificaríem, i amb raó (pels seus avantatges per a la descripció de la naturalesa), de «absolutament en repòs», mentre que dels altres sistemes galileanos K diríem que són «mòbils». Si la via fos el sistema K0, posem per cas, llavors el nostre vagó de ferrocarril seria un sistema K respecte al com regirien lleis menys senzilles que respecte a K0. Aquesta menor simplicitat caldria atribuir-la que el vagó K es mou respecte a K0 (és a dir, «realment»). En aquestes lleis generals de la naturalesa formulades respecte a K haurien d'ocupar un paper el mòdul i l'adreça de la velocitat del vagó. Seria d'esperar, per exemple, que el to d'un tub d'òrgan fos distint quan el seu eix fos paral·lel a l'adreça de marxa que quan estigués perpendicular. Ara bé, la Terra, a causa de el seu moviment orbital al voltant del Sol, és equiparable a un vagó que viatgés a uns 30 km per segon. Per tant, cas de no ser vàlid el principi de relativitat, seria d'esperar que l'adreça instantània del moviment terrestre intervingués en les lleis de la naturalesa i que, per tant, el comportament dels sistemes físics depengués de la seva orientació espacial respecte a la Terra; perquè, com la velocitat del moviment de rotació terrestre varia d'adreça en el transcurs de l'any, la Terra no pot estar tot l'any en repòs respecte a l'hipotètic sistema K0 . Malgrat la cura que s'ha posat a detectar una tal anisotropía de l'espai físic terrestre, és a dir, una no equivalència de les diferents adreces, mai ha pogut ser observada. La qual cosa és un argument de pes a favor del principi de la relativitat.

### 6. El teorema d'addició de velocitats segons la Mecànica clàssica

Suposem que el nostre tan portat i dut vagó de ferrocarril viatja amb velocitat constant v per la línia, i imaginem que pel seu interior camina un home en l'adreça de marxa amb velocitat w. Amb quina velocitat W avança l'home respecte a la via al caminar? L'única resposta possible sembla desprendre's de la següent consideració: Si l'home es quedés parat durant un segon, avançaria, respecte a la via, un tros v igual a la velocitat del vagó. Però en aquest segon recorre a més, respecte al vagó, i per tant també respecte a la via, un tros w igual a la velocitat amb que camina. Per tant, en aquest segon avança en total el tros
$W=v+w$
respecte a la via. Més endavant veurem que aquest raonament, que expressa el teorema d'addició de velocitats segons la Mecànica clàssica, és insostenible i que la llei que acabem d'escriure no és vàlida en realitat. Però mentre edificarem sobre la seva validesa.

### 7. L'aparent incompatibilitat de la llei de propagació de la llum amb el principi de la relativitat

Tot just hi ha en la física una llei més senzilla que la de propagació de la llum en l'espai buit. Qualsevol escolar sap (o creu saber) que aquesta propagació es produïx en línia recta amb una velocitat de c = 300.000 km/s. En qualsevol cas, sabem amb gran exactitud que aquesta velocitat és la mateixa per a tots els colors, perquè si no fos així, el mínim d'emissió en l'eclipsi d'una estrella fixa per la seva companya fosca no s'observaria simultàniament per als diversos colors. A través d'un raonament similar, relatiu a observacions de les estrelles dobles, l'astrònom holandès De Sitter va aconseguir també demostrar que la velocitat de propagació de la llum no pot dependre de la velocitat del moviment del cos emissor. La hipòtesi que aquesta velocitat de propagació depèn de l'adreça «en l'espai» és de seu improbable. Suposem, en resum, que l'escolar creu justificadamente en la senzilla llei de la constància de la velocitat de la llum c (en el buit). Qui diria que aquesta llei tan simple ha sumit als físics més concienzudos en grandísimas dificultats conceptuals? Els problemes sorgeixen de la manera següent. Com és natural, el procés de la propagació de la llum, com qualsevol altre, cal referir-lo a un cos de referència rígid (sistema de coordenades). Tornem a triar com a tal les vies del tren i vam imaginar que l'aire que havia per sobre d'elles ho hem eliminat per bombament. Suposem que al llarg del terraplé s'emet un llamp de llum el vèrtex de la qual, segons l'anterior, es propaga amb la velocitat c respecte a aquell. El nostre vagó de ferrocarril segueix viatjant amb la velocitat v, en la mateixa adreça que es propaga el llamp de llum, però naturalment molt més a poc a poc. El que ens interessa esbrinar és la velocitat de propagació del llamp de llum respecte al vagó. És fàcil veure que el raonament de l'epígraf anterior té aquí aplicació, doncs l'home que corre pel que fa al vagó ocupa el paper del llamp de llum. En lloc de la seva velocitat W respecte al terraplé apareix aquí la velocitat de la llum respecte a aquest; la velocitat w que busquem, la de la llum respecte al vagó, és per tant igual a:
$w=c-v$
Així doncs, la velocitat de propagació del llamp de llum respecte al vagó resulta ser menor que c . Ara bé, aquest resultat atenta contra el principi de la relativitat exposat en epígraf 5, perquè, segons aquest principi, la llei de propagació de la llum en el buit, com qualsevol altra llei general de la naturalesa, hauria de ser la mateixa si prenem el vagó com cos de referència que si triem les vies, la qual cosa sembla impossible segons el nostre raonament. Si qualsevol llamp de llum es propaga respecte al terraplé amb la velocitat c, la llei de propagació respecte al vagó sembla que ha de ser, per això mateix, altra distinta... en contradicció amb el principi de relativitat. A la vista del dilema sembla ineludible abandonar, o bé el principi de relativitat, o bé la senzilla llei de la propagació de la llum en el buit. El lector que hagi seguit atentament les consideracions anteriors esperarà segurament que sigui el principi de relativitat -que per la seva naturalitat i senzillesa s'imposa a la ment com alguna cosa gairebé ineludible- el qual es mantingui en peus, substituint en canvi la llei de la propagació de la llum en el buit per una llei més complicada i compatible amb el principi de relativitat. No obstant això, l'evolució de la física teòrica va demostrar que aquest camí era impracticable. Les innovadores investigacions teòriques d'H. A. Lorentz sobre els processos electrodinámicos i òptics en cossos mòbils van demostrar que les 10 experiències en aquests camps conduïxen amb necessitat imperiosa a una teoria dels processos electromagnètics que té com a conseqüència irrefutable la llei de la constància de la llum en el buit. Per això, els teòrics d'avantguarda es van inclinar més aviat per prescindir del principi de relativitat, malgrat no poder trobar ni un sol fet experimental que ho contradigués. Aquí és on va entrar la teoria de la relativitat. Mitjançant una anàlisi dels conceptes d'espai i temps es va veure que en realitat no existia cap incompatibilitat entre el principi de la relativitat i la llei de propagació de la llum, sinó que, atenint-se un sistemàticament a aquestes dues lleis, s'arribava a una teoria lògicament impecable. Aquesta teoria, que per a diferenciar-la de la seva ampliació (comentada més endavant) cridem «teoria de la relativitat especial», és la qual exposarem a continuació en les seves idees fonamentals.

### 8. Sobre el concepte de temps en la Física

Un llamp ha caigut en dos llocs molt distants A i B de la via. Jo afegeixo l'afirmació que ambdós impactes han ocorregut simultàniament. Si ara et pregunto, estimat lector, si aquesta afirmació té o no sentit, em contestaràs amb un «sí» contundent. Però si després t'importuno amb el prec que m'expliquis amb més precisió aquest sentit, advertiràs després de certa reflexió que la resposta no és tan senzilla com sembla a primera vista. Al cap d'algun temps potser t'acudeixi a la ment la següent resposta: «El significat de l'afirmació és clar de per si mateix i no necessita de cap aclariment; no obstant això, hauria de reflexionar un poc si se m'exigeix determinar, mitjançant observacions, si en un cas concret els dos successos són o no simultanis». Però amb aquesta resposta no puc donar-me per satisfet, per la següent raó. Suposant que un expert meteoròleg hagués trobat, mitjançant agudísimos raonaments, que el llamp ha de caure sempre simultàniament en els llocs A i B, es plantejaria el problema de comprovar si aquest resultat teòric es correspon o no amb la realitat. Una mica anàleg ocorre en totes les proposicions físiques en les quals intervé el concepte de «simultani». Per al físic no existeix el concepte mentre no es brindi la possibilitat d'esbrinar en un cas concret si és veritable o no. Fa mancada, per tant, una definició de simultaneïtat que proporcioni el mètode per a decidir experimental-ment en el cas present si els dos llamps han caigut simultàniament o no. Mentre no es compleixi aquest requisit, m'estaré lliurant com físic (i també com no físic!) a la il·lusió de creure que puc donar sentit a aquesta afirmació de la simultaneïtat. (No segueixis llegint, estimat lector, fins a concedir-me això plenament convençut.) Després d'algun temps de reflexió fas la següent proposta per a constatar la simultaneïtat. S'amida el segment d'unió AB al llarg de la via i es col·loca al punt mig M a un observador proveït d'un dispositiu (dos miralls formant 90° entre si, per exemple) que li permet la visualització òptica simultània d'ambdós llocs A i B. Si l'observador percep els dos llamps simultàniament, llavors és que són simultanis. Encara que la proposta em satisfà molt, segueixo pensant que la qüestió no queda aclarida del tot, doncs m'assec empès a fer la següent objecció: «La teva definició seria necessàriament correcta si jo sabés ja que la llum que la percepció dels llamps transmet a l'observador en M es propaga amb la mateixa velocitat en el segment A I M que en el segment B I M . No obstant això, la comprovació d'aquest supòsit només seria possible si es disposés ja dels mitjans per al mesurament de temps. Sembla, doncs, que ens movem en un cercle lògic». Després de reflexionar altra vegada, em llances amb tota raó una mirada una mica despectiva i em dius: «Malgrat tot, mantinc la meva definició anterior, perquè en realitat no pressuposa gens sobre la llum. A la definició de simultaneïtat solament cal imposar-li una condició, i és que en qualsevol cas real permeti prendre una decisió empírica sobre la pertinència o no pertinència del concepte a definir. Que la meva definició cobreix aquest objectiu és innegable. Que la llum triga el mateix temps a recórrer el camí A I M que en el segment B I M no és en realitat cap supòsit previ ni hipòtesi sobre la naturalesa física de la llum, sinó una estipulació que puc fer a discreció per a arribar a una definició de simultaneïtat». Està clar que aquesta definició es pot utilitzar per a donar sentit exacte a l'enunciat de simultaneïtat, no només de dos successos, sinó d'un nombre arbitrari d'ells, sigui com anàs la seva posició pel que fa al cos de referència. Amb això s'arriba també a una definició del «temps» en la Física. Imaginem, en efecte, que en els punts A, B, C de la via (sistema de coordenades) existeixen rellotges d'idèntica constitució i amatents de tal manera que les posicions de les manilles siguin simultàniament (en el sentit anterior) les mateixes. S'entén llavors per «temps» d'un succés l'hora (posició de les manilles) marcada per aquell d'aquests rellotges que està immediatament contigu (espacialment) al succés. D'aquesta manera se li assigna a cada succés un valor temporal que és essencialment observable. Aquesta definició comporta altra hipòtesi física de la validesa de la qual, en absència de raons empíriques en contra, no es podrà dubtar. En efecte, se suposa que tots els rellotges marxen «igual de ràpid» si tenen la mateixa constitució. Formulant-lo exactament: si dos rellotges col·locats en repòs en diferents llocs del cos de referència són posats en hora de tal manera que la posició de les manilles de l'un sigui simultània (en el sentit anterior) a la mateixa posició de les manilles de l'altre, llavors posicions iguals de les manilles són en general simultànies (en el sentit de la definició anterior).

### 9. La relativitat de la simultaneïtat

Fins a ara hem referit els nostres raonaments a un determinat cos de referència que hem cridat «terraplé» o «vies». Suposem que pels carrils viatja un tren molt llarg, amb velocitat constant v i en l'adreça assenyalada en la Fig.1.
Les persones que viatgen en aquest tren trobaran avantatjós utilitzar el tren com cos de referència rígid (sistema de coordenades) i referiran tots els successos al tren. Tot succés que es produïx al llarg de la via, es produïx també en un punt determinat del tren. Fins i tot la definició de simultaneïtat es pot donar exactament igual pel que fa al tren que respecte a les vies. No obstant això, es planteja ara la següent qüestió: Dos successos (p. ex., els dos llamps A i B) que són simultanis respecte al terraplé, són també simultanis respecte al tren? De seguida demostrarem que la resposta ha de ser negativa. Quan diem que els llamps A i B són simultanis respecte a les vies, volem dir: els llamps de llum que surten dels llocs A i B es reuneixen en el punt mig M del tram de via A-B. Ara bé, els successos A i B es corresponen també amb llocs A i B en el tren. Sigui M' el punt mig del segment A-B del tren en marxa. Aquest punt M' és cert que en l'instant de la caiguda dels llamps coincideix amb el punt M, però, com s'indica en la figura, es mou cap a la dreta amb la velocitat v del tren. Un observador que estigués assegut en el tren en M' , però que no posseís aquesta velocitat, romandria constantment en M, i els llamps de llum que parteixen de les espurnes A i B ho arribarien a simultàniament, és a dir, aquests dos llamps de llum es reunirien precisament en ell. La realitat és, no obstant això, que (jutjant la situació des del terraplé) aquest observador va a la trobada del llamp de llum que ve de B, fugint en canvi del que avança des de. Per tant, veurà abans la llum que surt de B que la qual surt de. Comptat i debatut, els observadors que utilitzen el tren com cos de referència han d'arribar a la conclusió que l'espurna elèctrica B ha caigut abans que l'A. Arribem així a un resultat important: Successos que són simultanis respecte al terraplé no ho són respecte al tren, i viceversa (relativitat de la simultaneïtat). Cada cos de referència (sistema de coordenades) té el seu temps especial; una localització temporal té només sentit quan s'indica el cos de referència al que remet. Abans de la teoria de la relativitat, la Física suposava sempre implícitament que el significat de les dades temporals era absolut, és a dir, independent de l'estat de moviment del cos de referència. Però vam acabar de veure que aquest supòsit és incompatible amb la definició natural de simultaneïtat; si prescindim d'ell, desapareix el conflicte, exposat en epígraf 7, entre la llei de la propagació de la llum i el principi de la relativitat. En efecte, el conflicte prové del raonament de l'epígraf 6, que ara resulta insostenible. Inferim allí que l'home que camina pel vagó i recorre el tros w en un segon, recorre aquest mateix tros també en un segon respecte a les vies. Ara bé, atès que, en virtut de les reflexions 'anteriors, el temps que necessita un procés pel que fa al vagó no cap igualar-lo a la durada del mateix procés jutjada des del cos de referència del terraplé, tampoc es pot afirmar que l'home, al caminar respecte a les vies, recorri el tros w en un temps que, jutjat des del terraplé, és igual a un segon. Diguem de passada que el raonament de l'epígraf 6 descansa a més en un segon suposat que, a la llum d'una reflexió rigorosa, es revela arbitrari, la qual cosa no lleva perquè abans d'establir-se la teoria de la relativitat, fos acceptat sempre (de manera implícita).

### 10. Sobre la relativitat del concepte de distància espacial

Observem dos llocs concrets del tren que viatja amb velocitat v per la línia i ens preguntem quina distància hi ha entre ells. Sabem ja que per a amidar una distància es necessita un cos de referència respecte al com fer-lo. El més senzill és utilitzar el propi tren com cos de referència (sistema de coordenades). Un observador que viatja en el tren amida la distància, transportant en línia recta una regla sobre el sòl dels vagons, per exemple, fins a arribar des d'un dels punts marcats a l'altre. El nombre que indica quantes vegades va transportar la regla és llavors la distància buscada. Altra cosa és si es vol amidar la distància des de la via. Aquí s'oferix el mètode següent. Siguin A' i B' els dos punts del tren de la distància del qual es tracta; aquests dos punts es mouen amb velocitat v al llarg de la via. Preguntem-nos primer pels punts A i B de la via per on passen A' i B' en un moment determinat t (jutjat des de la via). En virtut de la definició de temps donada en epígraf 8, aquests punts A i B de la via són determinables. A continuació s'amida la distància entre A i B transportant repetidament el metre al llarg de la via. A priori no està dit que aquest segon mesurament hagi de proporcionar el mateix resultat que la primera. La longitud del tren, amidada des de la via, pot ser distinta que mesura des del propi tren. Aquesta circumstància es traduïx en una segona objecció que oposar al raonament, aparentment tan meridià, d'epígraf 6. Doncs si l'home en el vagó recorre en una unitat de temps el tros w amidat des del tren, aquest tros, amidat des de la via, no té per quina ser igual a w.

### 11. La transformació de Lorentz

Les consideracions fetes en els tres últims epígrafs ens mostren que l'aparent incompatibilitat de la llei de propagació de la llum amb el principi de relativitat en epígraf 7 està deduïda a través d'un raonament que prenia a préstec de la Mecànica clàssica dues hipòtesi injustificades; aquestes hipòtesis són: 1. L'interval temporal entre dos successos és independent de l'estat de moviment del cos de referència. 2. L'interval espacial entre dos punts d'un cos rígid és independent de l'estat de moviment del cos de referència. Si eliminem aquestes dues hipòtesis, desapareix el dilema d'epígraf 7, perquè el teorema d'addició de velocitats deduït en epígraf 6 perd la seva validesa. Davant nosaltres sorgeix la possibilitat que la llei de la propagació de la llum en el buit sigui compatible amb el principi de relativitat. Arribem així a la pregunta: com cal modificar el raonament d'epígraf 6 per a eliminar l'aparent contradicció entre aquests dos resultats fonamentals de l'experiència? Aquesta qüestió conduïx a una altra d'índole general. En el raonament d'epígraf 6 apareixen llocs i temps en relació amb tren i en relació amb les vies. Com es troben el lloc i el temps d'un succés en relació amb tren quan es coneixen el lloc i el temps del succés pel que fa a les vies? Aquesta pregunta té alguna resposta d'acord amb la qual la llei de la propagació en el buit no contradigui al principi de relativitat? O expressat d'una altra manera: cap trobar alguna relació entre les posicions i temps dels diferents successos en relació amb ambdós cossos de referència, de manera que tot llamp de llum tingui la velocitat de propagació c respecte a les vies i respecte al tren? Aquesta pregunta conduïx a una resposta molt determinada i afirmativa, a una llei de transformació molt precisa per a les magnituds espai-temporals d'un succés al passar d'un cos de referència a un altre. Abans d'entrar en això, intercalem la següent consideració. Fins a ara solament hem parlat de successos que es produïen al llarg de la via, la qual ocupava la funció matemàtica d'una recta. Però, seguint l'indicat en l'epígraf 2, cap imaginar que aquest cos de referència es perllonga cap als costats i cap amunt per mitjà d'un andamiaje de varetes, de manera que qualsevol succés, ocorri on ocorri, pot localitzar-se respecte a aquest andamiaje. Anàlogament, és possible imaginar que el tren que viatja amb velocitat v es perllonga per tot l'espai, de manera que qualsevol succés, per llunyà que estigui, també pugui localitzar-se respecte a la segona bastida. Sense incórrer en defecte teòric, podem prescindir del fet que en realitat aquestes bastides es destrossarien un contra l'altre a causa de la impenetrabilidad dels cossos sòlids. En cadascun d'aquestes bastides vam imaginar que s'erigeixen tres parets mútuament perpendiculars que denominem «plànols coordenados» («sistema de coordenades»). AL terraplé li correspon llavors un sistema de coordenades K, i al tren altre K'. Qualsevol succés, onsevulla que ocorri, ve fixat espacialment respecte a K per les tres perpendiculars x, i, z als plànols coordenados, i temporalment per un valor t. Aquest mateix succés ve fixat espai-temporalment respecte a K' per valors corresponents x', i', z', t ', que, com és natural, no coincideixen amb x, i, z, t. Ja vam explicar abans amb detall com interpretar aquestes magnituds com resultats de mesuraments físics. Fig 2 És evident que el problema que tenim plantejat es pot formular exactament de la manera següent: Donades les quantitats x, i, z, t d'un succés respecte a K, quins són els valors x', i', z', t' del mateix succés respecte a K'? Les relacions cal triar-les de tal manera que satisfacin la llei de propagació de la llum en el buit per a un i el mateix llamp de llum (i a més per a qualsevol llamp de llum) respecte a K i K'. Per a l'orientació espacial relativa indicada en el dibuix de la figura 2, el problema queda resolt per les equacions:
$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
$y'=y\,$
$z'=z\,$
$t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Aquest sistema d'equacions es designa amb el nom de «transformació de Lorentz». Ara bé, si en lloc de la llei de propagació de la llum haguéssim pres com base els supòsits implícits en la vella mecànica, relatius al caràcter absolut dels temps i les longituds, en comptes de les anteriors equacions de transformació hauríem obtingut aquestes altres:
$x{\mbox{ }}'=x-vt$
$y{\mbox{ }}'=y$
$z{\mbox{ }}'=z$
$t{\mbox{ }}'=t$
sistema que sovint es denomina «transformació de Galileu». La transformació de Galileu s'obté de la de Lorentz igualant en aquesta la velocitat de la llum c a un valor infinitament gran. El següent exemple mostra clarament que, segons la transformació de Lorentz, la llei de propagació de la llum en el buit es complix tant respecte al cos de referència K com respecte al cos de referència K'. Suposem que s'envia un senyal lluminós al llarg de l'eix x positiu, propagant-se l'excitació lluminosa segons l'equació
$x=ct,$
és a dir, amb velocitat c . D'acord amb les equacions de la transformació de Lorentz, aquesta senzilla relació entre x i t determina una relació entre x ' i t'. En efecte, substituint x pel valor ct en les equacions primera i quarta de la transformació de Lorentz obtenim:
$x'={\frac {(c-v)t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
$t'={\frac {(1-{\frac {v}{c}})t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
d'on, per divisió, resulta immediatament
$x{\mbox{ }}'=ct{\mbox{ }}'$
La propagació de la llum, referida al sistema K', es produïx segons aquesta equació. Es comprova, per tant, que la velocitat de propagació és també igual a c respecte al cos de referència K'; i anàlogament per a llamps de llum que es propaguin en qualsevol altra adreça. La qual cosa, naturalment, no és d'estranyar, perquè les equacions de la transformació de Lorentz estan derivades amb aquest criteri.

### 12. El comportament de regles i rellotges mòbils

Col·loco una regla d'un metre sobre l'eix x' de K', de manera que un extrem coincideixi amb el punt x' = 0 i l'altre amb el punt x ' = 1. Quin és la longitud de la regla respecte al sistema K? Per a esbrinar-lo podem determinar les posicions d'ambdós extrems respecte a K en un moment determinat t . De la primera equació de la transformació de Lorentz, per a t = 0, s'obté per a aquests dos punts:
$x_{\mathrm {(origen\ de\ l'escala)} }=0\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
$x_{\mathrm {(extrem\ de\ l'escala)} }=1\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
aquests dos punts disten entre si.
$x={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
Ara bé, el metre es mou respecte a K amb la velocitat v, d'on es deduïx que la longitud d'una regla rígida d'un metre que es mou amb velocitat v en el sentit de la seva longitud és de
${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
metres. La regla rígida en moviment és més curta que la mateixa regla quan està en estat de repòs, i és tant més curta quan més ràpidament es mogui. Per a la velocitat $v=c$ seria
${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=0$
per a velocitats encara majors l'arrel es faria imaginària. D'aquí vam inferir que en la teoria de la relativitat la velocitat c ocupa el paper d'una velocitat límit que no pot arribar a ni sobrepassar cap cos real. Afegim que aquest paper de la velocitat c com velocitat límit se segueix de les pròpies equacions de la transformació de Lorentz, perquè aquestes perden tot sentit quan v es tria major que c . Si haguéssim procedit al revés, considerant un metre que es troba en repòs respecte a K sobre l'eix x, hauríem comprovat que en relació a K' té la longitud de
$x={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
la qual cosa està totalment d'acord amb el principi de la relativitat, en el qual hem basat les nostres consideracions. A priori és evident que les equacions de transformació tenen alguna cosa que dir sobre el comportament físic de regles i rellotges, perquè les quantitats x, i, z, t no són altra cosa que resultats de mesures obtingudes amb rellotges i regles. Si haguéssim pres com base la transformació de Galileu, no hauríem obtingut un acortamiento de longituds com a conseqüència del moviment. Imaginem ara un rellotge amb segundero que reposa constantment en l'origen (x' = 0) de K'. Siguin t' = 0 i t ' = 1 dos senyals successives d'aquest rellotge. Per a aquests dos tics, les equacions primera i quarta de la transformació de Lorentz donaran:
$t=0$
$t'={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$
Juzgado desde K, el reloj se mueve con la velocidad v ; respecto a este cuerpo de referencia, entre dos de sus señales transcurre, no un segundo, sino
${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
segons, o sigui un temps una mica major. Com a conseqüència del seu moviment, el rellotge marxa una mica més a poc a poc que en estat de repòs. La velocitat de la llum c ocupa, també aquí, el paper d'una velocitat límit inassolible.

### 13. Teorema d'addició de velocitats. Experiment de Fizeau

Atès que les velocitats amb que en la pràctica podem moure rellotges i regles són petites enfront de la velocitat de la llum c, és difícil que puguem comparar els resultats de l'epígraf anterior amb la realitat. I ja que, d'altra banda, aquests resultats li semblaran al lector fart singulars, vaig a extreure de la teoria altra conseqüència que és molt fàcil de deduir de l'anteriorment exposat i que els experiments confirmen brillantment. En l'epígraf 6 hem deduït el teorema d'addició per a velocitats de la mateixa adreça, tal com resulta de les hipòtesis de la Mecànica clàssica. El mateix es pot deduir fàcilment de la transformació de Galileu (epígraf 11). En lloc de l'home que camina pel vagó introduïm un punt que es mou respecte al sistema de coordenades K' segons l'equació
$x{\mbox{ }}'=wt{\mbox{ }}'$
Aquesta obra (o l'original en cas de ser una traducció) es troba en el domini públic als Estats Units d'Amèrica per haver estat publicada abans de l'1 de gener de 1929. Fora dels Estats Units podria tenir copyright.(Més informació...)