# Introducció

Es presentaran els mètodes estadístics bàsics per avaluar l'associació entre dues variables. En la taula següent es resumeixen les proves estadístiques bàsiques per les tres combinacions possibles, segons si les dues variables són qualitatives, una qualitativa i l'altre quantitativa o les dues quantitatives ( pàg. 271):
| Tipus de variables | Prova estadística | Condicions d'aplicació | Conclusions possibles |
| 2 qualitatives | Khi-quadrat | Efectius teòrics suficientment grans | Existència d'associació entre les dues variables. |
| 1 qualitativa 1 quantitativa | Anàlisi de la variància (o t-Student si la variable qualitativa només te dos valors possibles). | Pels diferents valors de la variable qualitativa, la quantitativa te que presentar una distribució normal de la mateixa variància. | Existència d'associació entre les dues variables. La diferència entre les mitjanes informa sobre la importància de l'associació. |
| 2 quantitatives | Recta de regressió o correlació. | La variable dependent ha de tenir una distribució normal amb una variància constant pels diferents valors de la variable independent. | Existència d'associació lineal entre les dues variables. Si s'utilitza un model de regressió lineal, el coeficient de determinació (R$^{2}$) informa sobre el grau d'associació. |
| Font: D. Schwartz 1994 pàg. 271. ||||
A continuació, i en el mateix ordre que el presentat a la taula, es comentarà com es realitzaran aquestes proves amb el R.

# Relació entre dues variables qualitatives
## Dades independents: Prova de la khi quadrat

El fitxer de dades Aids2 del paquet MASS conté les dades de la mortalitat dels malalts diagnosticats de sida a Austràlia abans de 1991. Si es vol determinar si les dones s'han mort més que les homes, s'han de comparar la proporció de defuncions de les dones amb la dels homes. Les dades són:
| Sexe | Vius | Morts |
| Dones | 36 | 53 |
| Homes | 1046 | 1708 |
Per avaluar l'associació estadística entre dues variables qualitatives amb una taula de contingència de l línies i c columnes mitjançant la prova de la khi quadrat, primer es calcula per cada casella els efectius esperats sota la hipòtesis de que les dues variables són independents. Els efectius esperats és calculen multiplicant el total de la fila de la casella pel total de la columna, dividit per total general de la taula. Un cop calculats els esperats de cada casella, l'estadístic χ$^2$ es calcula amb el sumatori:
    $\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{(O_{i}-E_{i})^{2} \over E_{i}},$
on:
    $\chi ^{2}$ = és l'estadístic que s'apropa asimptòticament a una distribució χ$^2$;
    $O_{i}$ = la freqüència observada;
    $E_{i}$ = la freqüència esperada;
    $n$ = el nombre de cel·les.
L'estadístic permet estimar el valor de p sota la hipòtesi de que no existeix associació entre les dues variables (la hipòtesi nul·la és certa):
* Si el valor de p és ≥ 0,05, no es pot rebutjar la hipòtesis nul·la i es conclou que no existeix associació estadística entre les dues variables.
* Si el valor de p és < 0,05, es rebutja la hipòtesi nul·la i es conclou que existeix una associació estadística entre les dues variables (pot ser real o no).
Aquest mètode només és vàlid si:
* Tots els efectius esperats calculats són com a mínim de 5. Si són més petits, es pot utilitzar la prova de Fisher.
* Les dades són independents, és a dir, els dos grups que es comparen (en l'exemple, el sexe) no estan relacionats i per cada individu d'un dels dos grups a comparar, no hi ha cap individuo sistemàticament similar en l'altre grup.
No existeix en R una funció que sigui similar al proc freq del SAS o del crosstabs del SPSS. Però el Grup de Bioestadística i Biomatemàtica de la Universitat de Lleida ha modificat una funció prèvia que funciona de forma molt similar als procediments del SAS i del SPSS. S'utilitzarà per analitzar les dades anteriors. La descripció de les dades es pot fer:
Per realitzar la prova de la khi quadrat es pot executar el codi:
El valor de p és de 0,64, major de 0,05 i, per tant, no es pot rebujar la hipotesi nul·la de que no existeix associació entre el sexe i la defunció. Es concluirà que la mortalitat és la mateixa per les dones i els homes.
Per obtenir els percentatges de morts en homes i dones, es pot executar l'ordre anterior amb l'opció de que mostri la proporció de les files:
El percentatge de defuncions en les dones és de 60% i el dels homes de 62%. Aquesta diferència no és estadísticament signigicativa. Moltes vegades és útil conexer els efectius esperats de cada casella sota la hipòtesi nul·la. Es poden obtenir amb l'ordre:
Si la hipòtesi nul·la fos certa, s'espererien 55,13 defuncions en les dones i s'observen 53. Aquesta diferència és molt petita.
Si es volguessin conèixer els percentatges de les columnes, es pot executar:
Si es desitga la prova de Fisher, s'obté amb l'ordre:

## Mesures d'associació: tau de Kendall

XXX http://www.r-tutor.com/gpu-computing/correlation/kendall-rank-coefficient XXX

# Relació entre una variable qualitativa i una quantitativa

Quan es parla de la comparació d'una variable quantitativa (p. ex., l'edat) i una variable qualitativa (p. ex., el sexe), en general es vol determinar si la distribució dels valors de la variable quantitativa és la mateixa pels grups definits pels valors de la variable qualitativa (p. ex., dones i homes).
En el paquet Epicalc, hi han les dades d'una enquesta (transversal) comunitària sobre la pressió arterial i els seus determinants (en aquest cas, el consum de sal). La taula de dades s'anomena BP. És un estudi transversal amb dades independents. Aquest darrer detall és important ja que determina el tipus d'anàlisi a realitzar. Les dades són aquestes:
La pregunta és si les persones que solen afegir sal al que mengen (saltadd = yes) tenen la pressió arterial més alta.

## Estadística descriptiva

El primer pas seria visualitzar la pressió arterial segons el nivell de consum de sal. Es pot fer un Diagrama de caixa:
En el diagrama es pot veure clarament que la pressió arterial diastòlica (la "mínima") és més elevada en els que prenen sal.
Amb la funció tapply es poden visualitzar els estadístiques bàsiques de cada un dels dos grups: nombre de persones, mitjana, mediana o variància. Els arguments d'aquesta funció són la variable quantitativa, la qualitativa i la funció resum que es desitja: tapply(variable quantitativa, variable qualitativa, funció resum):
També amb la funció tapply es poden visualitzar els estadístics amb una sola ordre ( pàg. 81,):
El codi es pot millorar amb etiquetes dels estadístics:
Ni la ordre és intuïtiva ni el el format de sortida és molt clar (es pot millorar programant). Tanmateix, es veu, per cada grup, el nombre d'observacions (37 i 43), la mitjana (89 i 105) i la mediana (86 i 105).
La diferència, tant de la mitjana com de la mediana, és molt important (entre 15 i 20 punts). És aquesta diferència estadísticament significativa? Dit d'un altre manera, si a la població d'on s'extret aquesta mostra, la pressió arterial diastòlica és la mateixa es prengui o no sal, és probable que en una mostra d'aquesta mida la pressió arterial diastòlica dels que prenent sal sigui tant diferent de la que no en prenen? Per contestar a aquesta pregunta cal fer una prova d'hipòtesi de comparació de les dues mitjanes. Per poder determinar quina prova estadística cal (o es pot) utilitzar, primer s'ha de determinar si es versemblant suposar que la pressió arterial diastòlica en la població segueix una llei normal.
Primer es pot fer un histograma amb la corba normal superposada par estimar la forma de la distribució:
El codi és complicat a fi d'evitar que la corba de normal quedi tallada. L'explicació es pot trobar a llibre de Dalgaard ( pàg. 42-43). Si no és volgués la línia normal, seria suficient les ordres:
La distribució de la pressió arterial diastòlica és aproximadament normal pels entrevistats que no afegien sal, però és més dubtós pels altres.
Tanmateix, si es consulta l'ajuda del R de l'ordre hist (help(hist)), es pot llegir:
    "Comparing data with a model distribution should be done with qqplot!"
Els diagrames q-q representen en l’eix d’ordenades els quantils de la variable estudiada i en l’eix d’abscisses els quantils teòrics o de la distribució normal. Si la variable té una distribució normal o gairebé normal, la línia de punts del diagrama q-q es troba sobre la diagonal. En canvi, en distribucions asimètriques, els punts que s’aparten de la diagonal. El diagrama de comparació quartil-quartil normal es pot fer amb les ordres:
Si les dades presentessin una distribució normal, els punts estarien sobre la recta de 45°. No queda clar si aquestes dades són compatibles amb una distribució normal de la pressió a la població. Es pot fer una prova de normalitat amb l'ordre shapiro.test:
En cap d'elles el valor de p és menor a 0,05. Per tant no es rebutja la hipòtesi de que a la població la pressió presenta una distribució normal i, a la pràctica, s'accepta que la distribució és normal. Per tant, es podrà fer servir proves d'hipòtesi paramètriques, concretament la prova t de Student.

## Prova t de Student per dades independents

La comparació de dues mitjanes m$_1$ i m$_2$ observades en dues mostres independents de mida n$_1$ i n$_2$ es basa en el valor de:
    $t~=~{\frac {\displaystyle m_{1}-m_{2}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {\displaystyle s^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\displaystyle s^{2}}{n_{2}}}}}}}$
on s$^2$ és l'estimació de la variància comuna i que s'estima:
    $s^{2}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}.$
on s$_1$$^2$ i s$_2$$^2$ són els variàncies de la mostra 1 i 2, respectivament.
Si |t| es superior a un determinat valor crític per un risc del 5%, la diferència de les mitjanes és estadísticament significativa.
La prova només es pot utilitzar si la variable quantitativa estudiada es distribueix, en les dues poblacions d'on provenen les mostres, segons una llei normal de variància igual. Per tant, per poder-la utilitzar cal que:
* Les mostres siguin independents.
* La distribució de la variable quantitativa sigui normal pels dues grups.
* La variància sigui la mateixa. Si no ho són, existeix una opció en l'ordre de la prova t de Student per poder fer la prova amb variàncies diferents.
Per realitzar la prova t de Student per dades independents s'utilitza l'ordre t.test:
Les dades comentades en l'apartat anterior sobre el consum de sal i hipertensió, compleixin els dos primers requisits (els dos grups a comparar són independents i la distribució de la pressió arterial ja s'ha verificat que era normal mitjançant la ordre shapiro.test).