# Desenvolupament de fractals mitjançant el mètode de Mandelbrot

El mètode de Mandelbrot és un mètode dissenyat per a desenvolupar "objectes fractals" i que fou va ser creat per Benoît Mandelbrot a la dècada dels anys 70, mentre treballava a IBM.

## Bases generals del mètode

Consisteix en, per cada punt del pla complex C=(Cx,Ciy), iterar una funció arbitrària sumant en cada iteració aquest punt. Així doncs : F$_{n+1}$(x,iy) = F$_n$(x,iy) + (Cx,Ciy) Totes les iteracions parteixen dels punts x=0, iy=0, i quan la iteració convergeix s'acoloreix d'un color sòlid. La divergència a infinit és acolorida mitjançant un patró cromàtic progressiu.
El fractal derivat de la funció iterativa Z = Z$^2$ + C s'anomena conjunt de Mandelbrot.

## Z = Z$^m$ + C

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z$^m$ + C, segons el mètode de Mandelbrot.
Exemples de fractals del tipus Mandelbrot: Z = Z$^m$ + C
* Z = Z$^2$ + CConjunt de Mandelbrot
* Z = Z$^3$ + C
* Z = Z$^4$ + C
* Z = Z$^5$ + C
* Z = Z$^6$ + C
* Z = Z$^7$ + C
* Z = Z$^8$ + C
* Z = Z$^9$ + C
* Z = Z$^{10}$ + C
* Z = Z$^{11}$ + C
* Z = Z$^{12}$ + C
* Z = Z$^{12}$ + C x 8
* Z = Z$^{20}$ + C
* Z = Z$^{20}$ + C x 10
* Z = Z$^{48}$ + C
* Z = Z$^{48}$ + C x 20
* Z = Z$^{96}$ + C
* Z = Z$^{96}$ + C x 40
Tal com es pot veure en els exemples representats, el nombre de lòbuls es L = m - 1

### Un breu viatge a les profunditats del fractal de Mandelbrot Z = Z$^2$ + C

A continuació anem a endinsar-nos en el fractal clàssic de Mandelbrot, utilitzant el microscopi de molt elevada resolució que ens proporciona el càlcul iteratiu. Totes les ampliacions vénen precedides d'una imatge del fractal a escala 1:1 on podem apreciar la zona ampliada.

#### Ampliació zona 1

Centre de coordenades : Cx = 0.291811, Cy = 0.0144686
* x 1
* x 732

#### Ampliació zona 2

Centre de coordenades : Cx = -0.165643411, Cy = 0.656685704
* x 1
* x 3855

#### Ampliació zona 3

Centre de coordenades : Cx = -0.755625, Cy = 0.06328125
* x 1
* x 180

#### Ampliació zona 4

Centre de coordenades : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuació baixarem a gran profunditat, amb una ampliació de més de 2 milions i amb un nombre màxim de 6000 iteracions per pixel !
* x 1
* x 2,369,369

#### Ampliació zona XX

Centre de coordenades : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ara ens endinsarem en un lloc amb estranyes formes i colors, però a on podem apreciar perfectament les Formes del fractal de Mandelbrot ...
* x 5,598

## Z = Z$^{-m}$ + C

Exemples de fractals del tipus de Mandelbrot, amb potències negatives de Z.
* Z = Z-2 + C Z = Z$^{-2}$ + C
* Z = Z$^{-3}$ + C
* Z = Z$^{-4}$ + C
* Z = Z$^{-5}$ + C

## Z = Z$^m$ + C$^p$

Pero, què passa quan fem Z = Z$^m$ + C$^p$ ?. Tal com podeu veure en els següents exemples, el nombre de lòbuls és L = (m - 1) * p
* Z = Z$^2$ + C$^2$ L = (2 - 1)* 2 = 2
* Z = Z$^2$ + C$^3$ L = (2 - 1)* 3 = 3
* Z = Z$^2$+C$^6$ - 1 L = (2 - 1)* 6 = 6
* Z = Z$^3$ + C$^2$ L = (3 - 1)* 2 = 4
* Z = Z$^3$ + C$^3$ L = (3 - 1)* 3 = 6
* Z = Z$^4$ + C$^4$ L = (4 - 1)* 4 = 12

## Z = Z$^p$ / (1 + Z$^q$) + C

* Z = Z$^2$ / (1 + Z) + C
* Z = Z$^3$ / (1 + Z$^2$) + C
* Z = Z$^3$ / (1 + Z) + C
* Z = Z$^3$ / (1 + Z + Z$^2$) + C
* Z = [(1 + Z) / Z$^2$] + C

## Z = Z$^m$ + Z + C

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z$^m$ + Z + C, segons el mètode de Mandelbrot.
* Z = Z$^2$ + Z + C
* Z = Z$^3$ + Z + C
* Z = Z$^4$ + Z + C
* Z = Z$^9$ + Z + C

## Z = Z$^m$ - Z + C

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z$^m$ - Z + C, segons el mètode de Mandelbrot.
* Z = Z$^3$ - Z + C
* Z = Z$^4$ - Z + C
* Z = Z$^5$ - Z + C
* Z = Z$^9$ - Z + C

## Z = Z$^m$ + 1/C

També es pot transformar cada punt del pla complex, d'acord a una funció arbitrària, abans de ser adicionat a la funció iterativa, segons la següent equació Z = Z$^m$ + F(C) . Veiem que passa quan la transformació és del tipus: F(C) = 1 / C
Ejemples de fractals del tipus Mandelbrot: Z = Z$^m$ + 1/C, a on cada punt C del pla complex es transforma a 1/C, abans d'entrar en la iteració de la potència de Z. Zo = (0,0i). El nombre de vèrtexs és V = (m - 1)
* Z = Z$^2$ + 1/C
* Z = Z$^3$ + 1/C
* Z = Z$^4$ + 1/C
* Z = Z$^5$ + 1/C
* Z = Z$^6$ + 1/C
* Z = Z$^7$ + 1/C
Pero, què passa quan fem Z = Z$^m$ + (1 / C$^2$) ?. Doncs quelcom molt semblant, com podeu veure en els següents exemples, ara el nombre de vèrtexs és V = (m - 1) * p
* Z = Z$^2$ + 1 / C$^2$ V = (2 - 1)* 2 = 2
* Z = Z$^3$ + 1 / C$^2$ V = (3 - 1)* 2 = 4
* Z = Z$^4$ + 1 / C$^2$ V = (4 - 1)* 2 = 6
* Z = Z$^5$ + 1 / C$^2$ V = (5 - 1)* 2 = 8
* Z = Z$^6$ + 1 / C$^2$ V = (6 - 1)* 2 = 10
* Z = Z$^7$ + 1 / C$^2$ V = (7 - 1)* 2 = 12
* Z = Z$^2$ + 1 / C$^3$ V = (2 - 1)* 3 = 3
* Z = Z$^2$ + 1 / (C$^3$+1) V = (2 - 1)* 3 = 3

### Integrant en el mateix fractal una funció de C i la seva inversa Z = Z$^m$ + C .. i .. Z = Z$^m$ + 1/C

La zona en color BLANC intens és l'àrea d'intersecció dels 2 sets.
* Z = Z$^2$ + 1 / C Z = Z$^2$ + C
* Z = Z$^2$ + 1 / C Z = Z$^3$ + C
* Z = Z$^3$ + 1 / C Z = Z$^2$ + C
* Z = Z$^3$ + 1 / C Z = Z$^3$ + C
* Z = Z$^4$ + 1 / C Z = Z$^4$ + C
* Z = Z$^4$ + 1 / C Z = Z$^3$ + C

## Z = ( Z$^m$ / C$^m$ ) + C

* Z = (Z$^4$ / C$^4$) + C
* Z = (Z$^8$ / C$^8$) + C

## Z = Z$^m$ + C + C$^p$ + 1/ C + 1/ C$^q$

També podem afegir más sumants a la funció Z$^m$, combinant C, C$^m$, 1/C y 1/C$^p$ en grups de 2, 3 o 4, veiem que passa si agrupem C,C$^2$, 1/C i 1/C$^2$ en 2, 3 i 4 ..:
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$
* Z = Z + C + 1/C
* Z = Z$^2$ + C + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C$^2$+ 1/C
* Z = Z$^2$ + C$^2$ + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + 1/C + 1/ C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$ + 1/C
* X = Z$^2$ + C + C$^2$ + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + 1/C + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C$^2$ + 1/C + 1/C$^2$
* Z = Z$^2$ + C + C$^2$ + 1/C + 1/C$^2$
A continuació més combinacions amb altres exponents:
* Z = Z$^2$ + C + 1/ C$^3$

## Z = Z$^m$ + polinomi de C

* Z=Z$^2$ + C /(C$^2$+1) + C Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + C /(C$^2$-1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + C$^2$ /(C$^4$ + 0.1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + C$^2$ / (C$^4$ - 0.25) Zo = (0,0i)

### El cas de la funció: Z=Z$^2$ + 1 /(C$^m$-1)

* Z=Z$^2$ + 1 /(C$^2$-1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1 /(C$^3$-1) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1 /(C$^4$-1) Zo = (0,0i)

## Z = Z$^m$ + polinomi mixt de C i Z

Podem sumar a Z$^m$ polinomis mixtes de C i Z, veiem què passa:

### Z = Z$^2$ + C/ (Z$^2$ + k)

* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$- 0.001) Zo = (0,0i) x 1000
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$- 0.01) Zo = (0,0i) x 100
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$- 0.1) Zo = (0,0i) x 10
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$+ 0.1) Zo = (0,0i) x 10
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$+ 0.01) Zo = (0,0i) x 100
* Z=Z$^2$ + C / (Z$^2$+ 0.001) Zo = (0,0i) x 24,900

### Z = Z$^m$ + C$^p$/Z$^q$ + C

* Z=Z$^2$ + (C$^2$ /Z$^2$) + C Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
* Z=Z$^2$ + (C$^4$ /Z$^2$) + C Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
* Z=Z$^2$ + (C$^4$ /Z$^4$) + C Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
* Z=Z$^2$ + (C$^6$ /Z$^6$) + C Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
* Z=Z$^4$ + (C$^2$ /Z$^4$) + C Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

### Z= [(Z$^m$+C-1) / (m*Z$^{m-1}$+C- m)]$^2$

* Z= [(Z$^2$+C-1) / (2*Z+C-2)]$^2$ Zo = (0,0i) MAGNET
* Z= [(Z$^2$+C$^2$-1) / (2*Z+C$^2$ -2)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z$^2$+C$^3$-1) / (2*Z+C$^3$ -2)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z$^3$+C-1) / (3*Z$^2$+C-3)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z$^4$+C-1) / (4*Z$^3$+C-4)]$^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$-1) / C$^m$]$^2$

* Z= [(Z + C -1) / C]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$-1) / C$^2$]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$-1) / C$^3$]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^4$-1) / C$^4$]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^5$-1) / C$^5$]$^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$-1) / C$^m$]$^3$

* Z= [(Z + C -1) / C ]$^3$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$-1) / C$^2$]$^3$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$-1) / C$^3$]$^3$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$+1) / (C$^m$ - 1)]$^2$

* Z= [(Z + C +1) / (C -1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$ +1) / (C$^2$ -1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$ +1) / (C$^3$ -1)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^4$ +1) / (C$^4$ -1)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^5$ +1) / (C$^5$ -1)]$^2$ Zo = (0,0i)

### Z= [(Z + C$^m$-1) / (C$^m$ + 1)]$^2$

* Z= [(Z + C -1) / (C +1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^2$ -1) / (C$^2$ +1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^3$ -1) / (C$^3$ +1]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^4$ -1) / (C$^4$ +1)]$^2$ Zo = (0,0i)
* Z= [(Z + C$^5$ -1) / (C$^5$ +1)]$^2$ Zo = (0,0i)

### Altres combinacions de Z i C

* Z=Z$^2$ + C$^2$ / (Z$^2$+C) + C Zo = (0,0i)

## Més funcions de variable complexa

Però hi ha una àmplia varietat de funcions, en el domini dels nombres complexos, que poden ser iterades segons el mètode de Mandelbrot.
Vaig a citar aquí alguns exemples, explicitant la part real i la imaginària:
Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2), Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2), Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y), Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)), (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x))i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2)i]

### Z = Z$^m$ + F(C)

A continuació alguns exemples de fractals per iteració de Z$^2$, pero transformant C segons les funcions descrites anteriorment:
* Z=Z$^2$ + Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + 1/CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Tan(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CoTan(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + TanH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CoTanH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Sin(C)/CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CosH(C)/Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Cos(C)/SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + SinH(C)/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Sin(C)/SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + SinH(C)/Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + Cos(C)/CosH(C) Zo = (0,0i)
* Z=Z$^2$ + CosH(C)/Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z= Z$^2$ + ATan(C) Zo = (0,0i)
* Z= -0.5*Z$^2$ + Sqr(C) Zo = (0,0i)
* Z= -0.5*Z$^3$ + Sqr(C) Zo = (0,0i)

## Fractals per iteració de Exp(Z)

La funció e$^Z$ es descompon en una part real i una imaginària: [Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

### Com a funció iterativa

* Z = Exp(Z)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z * Exp(Z)+ C Zo = (0,0i)

### Com a funció transformadora de C

* Z = Z$^2$ + Exp(C) Zo = (0,0i)

### Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

* Z = Exp(C$^3$/Z$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp[(Z$^2$-1.00001*Z)/Sqr(C$^3$)] Zo = (0,0i)
* Z = Exp[(Z$^2$- 1.00001*Z)/C$^3$] Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z = Exp[(Z$^2$ + k * Z) / F(C$^m$)]

Aquesta funció és molt sensible a Zo, i també a el coeficient (k) que multiplica a Z. Veiem alguns exemples interessants:
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^3$)] Zo = (1,1i) k = 1
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^3$)] Zo = (1,1i) k = -0.8
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^7$)] Zo = (1,1i) k = 0.0
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ Sqr(C$^7$)] Zo = (1,1i) k = -0.8
* Z = Exp[(Z$^2$+ k*Z)/ LN(C$^9$)] Zo = (1,1i) k = 3.0

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Exp(Z$_n$ / C $^m$)

* Z = Exp(Z /C) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^4$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^5$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^6$) Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Exp(Z$_n$ / C $^m$) + C $^p$

* Z = Exp(Z /C$^6$) + C $^3$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^8$) + C $^4$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^{10}$) + C $^5$ Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z /C$^8$) + C $^2$ Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Exp(Z$_n$$^p$ / C $^p$)

* Z = Exp(Z$^3$/C$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z$^4$/C$^4$) Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Z$_n$$^q$ * Exp(Z$_n$ / C $^p$) + C

* Z = Z$^2$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^5$ * Exp(Z/C)+ C Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Exp[ Z$_n$$^2$ / (C $^m$ + C $^p$) ]

Apareixen un nombre de lòbuls centrals = m, i un nombre d'arestes exteriors = p, sent m<p.
* Z = Exp[Z$^2$ / ( C$^5$ + C )] Zo = (0,0i)
* Z = Exp[Z$^2$ / ( C$^6$ + C$^3$ )] Zo = (0,0i)
* Z = Exp[Z$^2$ / ( C$^8$ + C$^4$ )] Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Z$_n$$^m$ * Exp[ Cos(Z$_n$)] + 1/C

Apareixen un nombre d'arestes = m,
* Z = Z$^2$* Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$* Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$* Exp[ Cos(Z)] + 1/C Zo = (0,0i)

## Fractals per iteració de Sin(Z)

Aquesta funció es descompon en una part real i una imaginària: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

### Com a funció iterativa

* Z = Sin(Z)+ C Zo = (0,0i)

### Com a funció transformadora de C

* Z = Z$^2$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^5$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^6$+Sin(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^2$+Sin(C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^3$+Sin(C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^4$+Sin(C$^2$) Zo = (0,0i)

### Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

* Z = Sin(CosH(Z)*C$^3$) Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Sin(Z$_n$ * C $^m$)

* Z = Sin(Z*C$^{0.5}$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C$^2$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C$^3$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z*C$^{10}$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z$^{0.5}$*C$^3$) Zo = (1,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Sin(Z$_n$ / C $^m$)

* Z = Sin(Z/C$^{0.5}$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C$^2$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C$^3$) Zo = (1,0i)
* Z = Sin(Z/C$^{10}$) Zo = (1,0i)

## Fractals per iteració de Cos(Z)

Aquesta funció es descompon en una part real i una imaginària: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

### Com a funció iterativa

* Z = Cos(Z)+ 1/C Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z)+ LN(C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z$^3$)+ 1/C Zo = (0.2,0.3i)

### Com a funció transformadora de C

* Z = Z$^2$ + Cos( C) Zo = (0,0i)

### Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

* Z = Cos(Z) + Cos(C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(C/Z) Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Cos(Z$_n$ * C $^m$)

* Z = Cos(Z*C$^{0.5}$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z*C$^3$) Zo = (0,0i)

#### El cas de la funció Z$_{n+1}$ = Cos(Z$_n$ / C $^m$)

* Z = Cos(Z/C$^{0.5}$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C$^2$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C$^3$) Zo = (0,0i)
* Z = Cos(Z/C$^4$) Zo = (0,0i)

## Fractals per iteració de SinH(Z)

La funció Sinus Hiperbòlic es descompon en una part real i una imaginària: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2), Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

### Com a funció iterativa

* Z = SinH(Z) + 1/C Zo = (0.91, -0.08i)
* Z = SinH(Z) + 1/C Zo = (0.90, -0.05i)
* Z = SinH(Z) + 1/C$^2$ Zo = (1, 0.1i)
* Z = SinH(Z$^2$) + 1/C Zo = (1, -1i)

### Com a funció transformadora de C

* Z = Z$^2$ + SinH(C) Zo = (0,0i)
* Z = Z$^2$ + SinH(1/ C$^3$) Zo = (0,0i)

### Com a funció iterativa i transformadora de C, simultàniament

* Z = SinH(Z / C ) Zo = (0,1i)
* Z = SinH(Z)/ C Zo = (1,0i)

## Fractals per iteració de CosH(Z)

La funció CoSinus Hiperbòlic es descompon en una part real i una imaginària: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2), Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Pot ser utilitzada com a funció iterativa o com a funció transformadora dels punts C = (Cx,Cyi), simultàniament:

### Com a funció iterativa

* Z = CosH(Z) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^2$) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^3$) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^4$) + 1/C Zo = (0,0i)
* Z = CosH(Z$^5$) + 1/C Zo = (0,0i)

## Fractals per iteració de combinacions de diferents funcions de Z o C

* Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C Zo = (0,0i)
* Z = CosH[Exp(Z$^2$)]+ C Zo = (0,0i)
* Z = Exp(Z/C$^5$)+ Ln(Z) + Z Zo = (0,0i)

## Més fractals segons el mètode de Mandelbrot

Aquí es mostra un ejemple d'iteració de dos funcions F(X) i F(Y), per ad.dició de cada un dels punts del pla C(X,Y), i la introducció d'una tercera funció F(Z) que desequilibra el punt de convergència. Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X) Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y)
Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)

## Bibliografia

* Mandelbrot, Benoît. «Forma, azar y dimensión». A: Los objetos fractales. segona edició (en castellà). Tusquets Editores, 1993. ISBN 9788472234581 [Consulta: Gener de 2014].
* Mandelbrot, Benoît. La geometría fractal de la naturaleza (en castellà). Tusquets Editores, 1997. ISBN 9788483105498 [Consulta: Gener de 2014].
* Binimelis, María Isabel. Una nueva manera de ver el mundo: La geometría fractal (en castellà). RBA Libros, 2011. ISBN 9788498679410 [Consulta: Gener de 2014].
* Gulick, Denny; Scott, Jon. Mathematical Association of America. The Beauty of Fractals: Six Different Views (en anglès), 2010. ISBN 9780883851869 [Consulta: Gener de 2014].

## Enllaços externs

* Mandelbrot Set. Wolfram Mathworld (en anglès).
* Fractal Geometry. IBM (en anglès).