# Matemàtiques (nivell ESO)/Operacions amb esdeveniments

Amb els esdeveniments d'un experiment aleatori es poden efectuar diferents operacions. Donats dos esdeveniments A i B podem definir les operacions d'unió, intersecció, diferència i complementari.

## Unió

La unió de A i B és l'esdeveniment format per tots els esdeveniments elementals de A i de B. Es verifica quan succeeix A o succeeix B o tots dos. S'indica:
       $A\cup B$
Taula per a la unió:
| Pertany a A | Pertany a B | Pertany al resultat $A\cup B$ |
| Sí | Sí | Sí |
| Sí | No | Sí |
| No | Sí | Sí |
| No | No | No |

## Intersecció

La intersecció de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals comuns a A i B. Es verifica quan ocorren A i B a la vegada. S'indica:
       $A\cap B$
Taula per a la intersecció:
| Pertany a A | Pertany a B | Pertany al resultat $A\cap B$ |
| Sí | Sí | Sí |
| Sí | No | No |
| No | Sí | No |
| No | No | No |
Per exemple
$A=\{5,6,7,8,9,10\}$
$B=\{9,10\}$
$A\cap B=\{9,10\}$

## Diferència

La diferència de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals de A que no pertanyen a B. Es verifica si succeeix A però no succeeix B. S'indica:
       $A-B$
Per exemple: $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4,5,6\}$
El conjunt $A-B$ ha d'estar format pels elements de A, però eliminant els que també estiguin dins B.
Aleshores de la llista de nombres 1, 2 que estan dins A, hem d'eliminar els de B, que són 2, 5, 6. Per tant eliminam el 2, però no fem res amb 5 i 6 perquè tanmateix no són dins A.
| $A=\{$ | ${\color {green}1}$ | ${\color {green}2}$ | | | | | $\$ |
| $B=\{$ | | ${\color {red}2}$ | | ${\color {red}4}$ | ${\color {red}5}$ | ${\color {red}6}$ | $\$ |
| | $\downarrow$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | |
| $A-B=\{$ | ${\color {green}1}$ | | | | | | $\$ |
Per tant $A-B=\{1\}$
Taula per a la diferència:
| Pertany a A | Pertany a B | Pertany al resultat $A-B$ |
| Sí | Sí | No |
| Sí | No | Sí |
| No | Sí | No |
| No | No | No |

## Complementari

El complementari de A es defineix com $\Omega -A$. S'indica:
       ${\overline {A}}$ o també $A^{c}$
Per exemple si $A=\{1,2\}$
${\overline {A}}$ ha d'estar format per tots els elements de l'univers que no apareguin dins A.
Taula per al complementari:
| Pertany a A | Pertany al resultat ${\bar {A}}$ |
| Sí | No |
| No | Sí |
Escrivim la llista completa de nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Eliminam aquells nombres que estan dins A, és a dir, esborram 1, 2, de forma que queden 3, 4, 5, 6
| $\Omega =\{$ | ${\color {green}1}$ | ${\color {green}2}$ | ${\color {green}3}$ | ${\color {green}4}$ | ${\color {green}5}$ | ${\color {green}6}$ | $\$ |
| $A=\{$ | ${\color {red}1}$ | ${\color {red}2}$ | | | | | $\$ |
| | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | $\downarrow$ | $\downarrow$ | $\downarrow$ | $\downarrow$ | |
| ${\overline {A}}=\{$ | | | ${\color {green}3}$ | ${\color {green}4}$ | ${\color {green}5}$ | ${\color {green}6}$ | $\$ |
Per tant ${\overline {A}}=\{3,4,5,6\}$

## Quadre resum

| Símbol | Operació | Resultat |
| $A\cup B$ | Unió | els elements que són de A, juntament amb els que són de B, sense repetir-los |
| $A\cap B$ | Intersecció | els elements que són de A i al mateix temps de B |
| $A-B$ | Diferència | els elements que són de A però no estan dins B |
| $A^{c}$, ${\overline {A}}$ | Complementari | els elements de l'espai mostral que no estan dins A |

## Algunes propietats

La diferència compleix la igualtat: $A-B=A\cap {\overline {B}}$.

## Exemples

Si consideram l'univers $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:
* $A=\{1,2\}$
* $B=\{4,6\}$
* $C=\{2,5,6\}$
Aleshores com es descriuen les operacions següents?

### Què és $A\cup C$

$A\cup C$ ha d'estar format per tots els elements de A i tots els elements de C, però sense repetir-los.
Aleshores escrivim 1, 2 que provenen de A i també 5, 6 del C, però no tornam a escriure 2 perquè ja l'hem inclòs.
| $A=\{$ | ${\color {green}1}$ | ${\color {orange}2}$ | | | | | $\$ |
| $C=\{$ | | ${\color {orange}2}$ | | ${\color {green}4}$ | ${\color {green}5}$ | ${\color {green}6}$ | $\$ |
| | $\downarrow$ | $\downarrow$ | ${\color {red}\times }$ | $\downarrow$ | $\downarrow$ | $\downarrow$ | |
| $A\cup C=\{$ | ${\color {green}1}$ | ${\color {orange}2}$ | | ${\color {green}4}$ | ${\color {green}5}$ | ${\color {green}6}$ | $\$ |
Per tant $A\cup C=\{1,2,5,6\}$

### Què és $A\cap C$?

$A\cap C$ ha d'estar format només per aquells elements de A que també estiguin dins C.
Aleshores escrivim el 2 perquè pertany a A i també a C, però no escrivim 1 perquè només està dins A, ni tampoc 5, 6 perquè només estan dins C.
| $A=\{$ | ${\color {red}1}$ | ${\color {green}2}$ | | | | | $\$ |
| $C=\{$ | | ${\color {green}2}$ | | ${\color {red}4}$ | ${\color {red}5}$ | ${\color {red}6}$ | $\$ |
| | ${\color {red}\times }$ | $\downarrow$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | ${\color {red}\times }$ | |
| $A\cap C=\{$ | | ${\color {green}2}$ | | | | | $\$ |
Per tant $A\cap C=\{2\}$

### Què és ${\overline {A}}$
## Practica

Considerem l'univers $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:
* $A=\{1,2\}$
* $B=\{4,6\}$
* $C=\{2,5,6\}$
Calcula el resultat de cada una de les operacions.
$A\cup B$ :
| $A\cup B$  $A\cup B=\{1,2,4,6\}$ | $A\cup C$  $A\cup C=\{1,2,5,6\}$ | $B\cup C$  $B\cup C=\{2,4,5,6\}$ |
| $A\cap B$  $A\cap B=\{\}$ | $A\cap C$  $A\cap C=\{2\}$ | $B\cap C$  $B\cap C=\{6\}$ |
| $A-B$  $A-B=\{1,2\}$ | $B-A$  $B-A=\{4,6\}$ | $A-C$  $A-C=\{1\}$ |
| $C-A$  $C-A=\{5,6\}$ | $B-C$  $B-C=\{4\}$ | $C-B$  $C-B=\{2,5\}$ |
| ${\overline {A}}$  ${\overline {A}}=\{3,4,5,6\}$ | ${\overline {B}}$  ${\overline {B}}=\{1,2,3,5\}$ | ${\overline {C}}$  ${\overline {C}}=\{1,3,4\}$ |

## Compatibilitat

En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que es poden verificar a la vegada i d'altres que no.
Dos esdeveniments són:
* Compatibles si tenen algun esdeveniment elemental comú. En aquest cas $A\cap B\neq \emptyset$: es poden verificar a la vegada.
* Incompatibles si no tenen cap esdeveniment elemental en comú: en aquest cas $A\cap B=\emptyset$ i no es poden verificar a la vegada.
Un esdeveniment i el seu contrari són sempre incompatibles, però dos esdeveniments incompatibles no sempre són contraris, com es pot comprovar al següent exemple.

### Exemple 1

Si consideram l'espai mostral $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ i esdeviments $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$, aleshores $A$ i $B$ són incompatibles (no tenen cap nombre en comú), però $A$ i $B$ no són contraris (hi faltarien els nombres 5, 6, 7, 8).

### Exemple 2

Continuant amb l'exemple del dau de 6 cares, serien incompatibles els esdeveniments següents:
* $A$ i $B$
* $A$ i $B\cap C$
* $A$ i $B-A$