# Matemàtiques (nivell ESO)/Matemàtiques interdisciplinars/Inversions econòmiques

Quina diferència hi ha entre interès simple i interès compost?
Per què augmenta tant la quantitat a retornar amb l'interès compost?

## Interès simple

Comencem amb un exemple pràctic
Una entitat financera ofereix un préstec de 1000 € a un rèdit del 5% a interès simple amb pagament mensual. Na Joana demana el préstec. Si no retorna els doblers, de quant serà el deute al cap d'un mes? I al cap de cada mes fins arribar a mig any?
Primera pregunta
Per contestar a la primera pregunta, s'ha de tenir en compte que na Joana ha de retornar els 100 € i també els interessos al 5%. Per tant, s'ha de calcular el 5% dels 1000 € i aquesta quantitat seran els interessos del deute:
5% de 1000 = $5\cdot 1000\div 100=50$
El deute és la suma del capital prestat 1000 € i els interessos 50 €. Això és 1050 €.
Al cap de 2 mesos
Per al 2n mes, es calcula el 5% novament sobre el capital inicial de 1000 €. Per tant, l'interès tornarà a ser de 50 €. Aleshores el deute total de na Joana estarà format pel capital inicial, els interessos del primer mes i els interessos del segon mes.
$1000+50+50=1100$
Al cap de 3 mesos
Per al 3r mes, es torna a calcular el 5% del capital inicial de 1000 €. Per tant, el deute total és de:
$1000+50+50+50=1150$
Durant el primer mig any
Emplenam la taula següent amb els deutes acumulats després de finalitzar cada mes.
| Mes | Capital inicial | Interessos | Deute acumulat |
| 1r | 1000 | 50 | $1000+50=1050$ |
| 2n | 1000 | 50 | $1000+50\cdot 2=1100$ |
| 3r | 1000 | 50 | $1000+50\cdot 3=1150$ |
| 4t | 1000 | 50 | $1000+50\cdot 4=1200$ |
| 5è | 1000 | 50 | $1000+50\cdot 5=1250$ |
| 6è | 1000 | 50 | $1000+50\cdot 6=1300$ |

## Interès compost

Canviam les condicions de l'exemple pràctic
Una entitat financera ofereix un préstec de 1000 € a un rèdit del 5% a interès compost amb pagament mensual. Na Joana demana el préstec. Si no retorna els doblers, de quant serà el deute al cap d'un mes? I al cap de cada mes fins arribar a mig any?
Primera pregunta
Per contestar a la primera pregunta, s'ha de tenir en compte que na Joana ha de retornar els 100 € i també els interessos al 5%. Per tant, s'ha de calcular el 5% dels 1000 € i aquesta quantitat seran els interessos del deute:
5% de 1000 = $5\cdot 1000\div 100=50$
El deute és la suma del capital prestat 1000 € i els interessos 50 €. Això és 1050 €. En aquest cas, l'interès compost coincideix amb l'interès simple.
Al cap de 2 mesos
Per al 2n mes, es calcula el 5% sobre el capital que es deu, que és de 1050 €. Per tant, l'interès serà de
$5\cdot 1050\div 100=52.5$
Aleshores el deute total de na Joana estarà format pel deute del primer mes i l'interès del segon mes.
$1050+52.5=1102.5$
Al cap de 3 mesos
Per al 3r mes, es torna a calcular el 5% del capital que es deu, que ara és de 1102.5 €.
$5\cdot 1102.5\div 100=55.125$
Per tant, el deute total és de:
$1102.5+55.125=1155.625$
Durant el primer mig any
Emplenam la taula següent:
| Mes | Capital inicial | Interessos | Deute acumulat |
| 1r | 1000 | $5\cdot 1000\div 100=50$ | $1000+50=1050$ |
| 2n | 1050 | $5\cdot 1050\div 100=52.5$ | $1050+52.5=1102.5$ |
| 3r | 1102.5 | $5\cdot 1102.5\div 100=55.125$ | $1102.5+55.125=1157.625$ |
| 4t | 1157.625 | $5\cdot 1157.625\div 100=57.88125$ | $1157.625+57.88125=1215.50625$ |
| 5è | 1215.50625 | $5\cdot 1215.50625\div 100=60.7753125$ | $1215.50625+60.7753125=1276.2815625$ |
| 6è | 1276.2815625 | $5\cdot 1276.2815625\div 100=63.814078125$ | $1276.2815625+63.814078125=1340,095640625$ |

## Comparació de resultats

| Interès simple | Interès simple | Interès simple | Interès compost | Interès compost | Interès compost |
| Mes | Capital inicial | Deute acumulat | Mes | Capital inicial | Deute acumulat |
| 1r | 1000 | $1000+50=1050$ | 1r | 1000 | $1000+50=1050$ |
| 2n | 1000 | $1000+50\cdot 2=1100$ | 2n | 1050 | $1050+52.5=1102.5$ |
| 3r | 1000 | $1000+50\cdot 3=1150$ | 3r | 1102.5 | $1102.5+55.125=1157.625$ |
| 4t | 1000 | $1000+50\cdot 4=1200$ | 4t | 1157.625 | $1157.625+57.88125=1215.50625$ |
| 5è | 1000 | $1000+50\cdot 5=1250$ | 5è | 1215.50625 | $1215.50625+60.7753125=1276.2815625$ |
| 6è | 1000 | $1000+50\cdot 6=1300$ | 6è | 1276.2815625 | $1276.2815625+63.814078125=1340,095640625$ |

## Conclusions

L'interès simple només té en compte el capital inicial per calcular l'interès de cada període de capitalització, mentre l'interès compost té en compte tot el deute acumulat (capital inicial i interessos acumulats).
De fet, les fórmules per al càlcul de l'interès simple i el compost són diferents:
* Interès simple: $I={\dfrac {C\cdot r\cdot t}{100}}$
* Interès compost: $C_{f}=C\cdot \left(1+{\dfrac {r}{100}}\right)^{t}$
El deute augmenta molt més amb l'interès compost que amb el simple. Per tant, a l'interès compost convé retornar el deute quant abans millor.