# Física bàsica de la medicina nuclear/Llei de la desintegració radioactiva

| Del llibre Física bàsica de la medicina nuclear | ◀   Anterior: Proposta d’una campanya per disminuir les conductes de risc i estudiar la seva eficàcia | Següent: Unitats de mesura de la radiació   ▶ |
Al capítol anterior es va descobrir la desintegració radioactiva des d'una perspectiva fenomenològica. En aquest capítol, en canvi, es considerarà el tema des d'una perspectiva d'anàlisi més general.
La raó per fer-ho és desenvolupar una manera de pensar que ens ajudarà a entendre el que està passant en un sentit matemàtic i de caràcter quantitatiu. Coneixerem conceptes com la constant de desintegració i la vida mitjana, així com les unitats utilitzades per a la mesura de la radioactivitat. També es presentaran, amb caràcter d'avaluació de la comprensió, tres preguntes sobre aquest tema.

## Supòsits

El punt de partida habitual en la majoria de formes d'anàlisi en el camp de la física és fer diversos supòsits que simplifiquin la situació. En fer-ho, es poden ometre efectes irrellevants que tendeixen a complicar les coses; malgrat que a vegades la simplicitat del fenomen el converteixi en quelcom massa abstracte i aparentment difícil d'entendre.
Per això tractarem de relacionar el tema de la desintegració radioactiva a una situació més comuna que utilitzarem com a analogia i que facilitar el fet de superar la característica abstracta de la matèria. L'analogia que utilitzarem aquí és la de fer crispetes de blat de moro. Així que imaginarem el procés afegint una mica d'oli en una olla i posteriorment el blat de moro, escalfant el recipient i veient què passa.
Per a la situació de desintegració radioactiva, en primer lloc considerem que partim d'una mostra que conté un gran nombre de nuclis radioactius tots de la mateixa classe. Aquest el relacionarem amb el nostre blat de moro en estat inicial, en el que es troba sense rebentar dins del pot.
En segon lloc, se suposa que tota la desintegració radioactiuva dels nuclis es regeixi pel mateix procés — ja es tracti de radiacions alfa, beta o gamma —. En altres paraules, tot el nostre blat de moro explotarà en un moment determinat el procés d'escalfament i no en diferents esdeveniments al llarg del temps.
Per últim, fóra bo reflexionar sobre el fet que només podem considerar realment el que està passant des d'un punt de vista estadístic. Si ens fixem en crispeta individual, es pot esbrinar quan va a aparèixer? La resposta és que no. Però sí que es pot concloure que un gran nombre d'aquestes han aparegut després d'un període concret. Així que en lloc de fer front a les entitats individuals, es considera el que succeeix a una escala major i és d'aquí d'on provenen les estadístiques de què disposem. Podem dir que la desintegració radioactiva és un procés d'un sol tret estadístic, és a dir, quan un nucli s'ha desintegrat, no pot repetir el procés de nou. En altres paraules, quan un tros de blat de moro s'ha convertit en crispetes no es pot repetir el procés; no hi ha marxa enrere.
A més a més, sempre que un nucli radioactiu no s'ha desintegrat, la probabilitat de fer-ho a l'instant següent egueix sent la mateixa. Extrapolant-ho al nostre exemple, si les crispetes no han aparegut en un cert temps, la possibilitat que apareguin en el següent segon és la mateixa que en el segon anterior.
Tampoc podem dur aquesta analogia massa lluny perquè si s'hi busquen les febleses, un es pot adonar que la velocitat a la que esclaten les crispetes ve delimitada per la calor que s'aplica a l'olla (entre altres factors). Aquest fet es contraposa al cas dels nuclis, en què no hi ha res que s'hi pugui fer per controlar el què està passant. La velocitat a la qual els nuclis van esclatant (o tècnicament, es desintegren) no pot ser influenciada per cap de les raons següents:
* L'escalfament o el refredament de la mostra.
* El sotmetiment de la matèria a grans pressions.
* Un canvi del medi ambient gravitacional
Ni tampoc canviant qualsevol altre aspecte del seu entorn físic. L'única cosa que determina si un nucli individual es desintegrarà sembla ser el propi nucli. Però de mitjana, podem assegurar que en un moment o altre es desintegrarà.

## Llei de la desintegració radioactiva

Si, considerant ara alguns símbols i tècniques matemàtiques per a descriure d'una manera més visual el què succeeix, en una mostra de material radioactiu hi ha N nuclis que no s'han desintegrat en un moment determinat (t)... Llavors, què passa en el pròxim període breu de temps? Alguns nuclis es desintegraran segur. Però, quants?
Sobre la base descrita en el raonament anterior, es pot dir que el nombre que es desintegrarà dependrà de la quantitat total de nuclis (N) i també de la longitud del breu període. En altres paraules, com més nuclis hi hagi i com més llargs siguin els períodes més nuclis es desintegraran. Així doncs, es denota com dN el nombre de nuclis desintegrats i dt com l'interval de temps.
D'aquesta manera, el nombre de nuclis radioactius que es desintegren durant l'interval de temps des de t fins a t + dt ha de ser proporcional a N i dt. En símbols, per tant:
$-dN\propto N\cdot dt\,\!$
on el signe negatiu que N és decreixent.
Convertint, alhora, la proporcionalitat d'aquesta equació en una equivalència s'obté:
$-dN=\lambda N\cdot dt\,\!$
on la constant de proporcionalitat, λ, s'anomena constant de desintegració.
Dividint entre N es pot reescriure la línia anterior com:
$-{\frac {dN}{N}}=\lambda \cdot dt$
Aquesta equació descriu la situació per a qualsevol interval de temps breu (dt). Per a saber el que passa en tots els períodes de temps, s'ha de realitzar una integració de l'equació anterior. En altres paraules, es pot dir que per al període des de t = 0 fins a qualsevol moment t, el nombre de nuclis radioactius es reduirà de N$_0$ a N$_t$, de manera que:
$-\int _{N_{0}}^{N_{t}}{\frac {dN}{N}}=\lambda \int _{0}^{t}dt$
Resolent les integrals a cada costat de l'equació aquesta s'escriu com:
$\ln \left({\frac {N_{t}}{N_{0}}}\right)=-\lambda \cdot t$
Si s'extreu el logaritme neperià transformant-lo en una exponencial a l'altre costat del signe d'igualació:
${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)$
En què aillant el valor N$_{ts'obtéfinalment:}$
$N_{t}=N_{0}\cdot {\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)$
N$_t$ és el nombre de nuclis radioactius (menor) transcorregut un temps N$_0$ és el nombre inicial de nuclis radioactius (major) t és el temps transcorregut
Aquesta última expressió es coneix com la Llei de la desintegració radioactiva, i descriu com el nombre de nuclis radioactius disminueix de forma exponencial amb el temps amb una ràtio de descens que ve controlada per la constant de desintegració. S'expressa gràficament de la següent manera:
El gràfic traça el nombre de nuclis radioactius en qualsevol moment (N$_t$) vers el temps (t). Podem veure que el nombre de nuclis radioactius decreix ràpidament quan N$_0$ és el nombre de nuclis a t = 0, mentre que després decreix més lentament en el que es considera una corba exponencial clàssica.
La influència de la constant de desintegració es pot veure a la següent figura:
Les tres corbes representades al gràfic són exponencials en la naturalesa; només la constant de desintegració és diferent. S'hi observa que quan la constant λ té un valor baix, la corba disminueix de forma relativament lenta i quan λ és gran, ho fa molt ràpidament.
D'aquí es dedueix que λ és característica de cada radionúclid. Alguns com l'urani-238 tenen un valor petit — i per tant el material es desintegra bastant lentament durant un llarg període. Altres nuclis com el tecneci-99m, en canvi, tenen una constant de desintegració relativament gran i es descomponen molt més ràpid.
Per altra banda, també és possible considerar la llei de la desintegració radioactiva des d'una altra perspectiva, traçant el logaritme de N$_t$ vers el temps. Partint del següent punt de l'anàlisi anterior amb l'expressió:
$\ln \left({\frac {N_{t}}{N_{0}}}\right)=-\lambda t$
S'aconsegueix la resolució:
$\ln N_{t}=-\lambda t+\ln N_{0}\,\!$
Observem que aquesta expressió és una linealització logarítimica de l'exponencial anterior, i es mostra com una equació de la recta de la forma:
$y=mx+c$
y és el valor de l'eix de les ordenades x és el valor de l'eix de les abscisses m és el pendent de la recta i equival a la constant de desintegració λ
Com a resultat d'això, les gràfiques anterior adoptarien la forma següent:
Aquestes transformacions linealitzades són sovint útils quan es vol considerar una situació sense tenir en compte la complicació que suposa el comportament exponencial.

## Vida mitjana

Molts fenòmens naturals mostren comportaments exponencials. No obstant, la majoria de les formes de pensament es conceben com a canvis lineals i, com a conseqüència, pot resultar força difícil comprendre la llei de la desintegració radioactiva intuïtivament. Per aquesta raó, de la llei se'n deriva un indicador que ens ajuda a pensar més clarament sobre el que està passant.
Aquest indicador s'anomena vida mitjana i expressa la longitud de temps necessària per la radioactivitat d'un radioisòtop per a decréixer la meitat. Des d'un punt de vista gràfic, es pot representar segons la imatge de la dreta.
Hem de tenir en compte que la vida mitjana no expressa quant de temps es mantindrà un material radioactiu, sinó que determina simplement la longitud de temps que ha de transcórrer perquè la seva radioactivitat es redueixi a la meitat. A la següent taula es mostren exemples de la vida mitjana d'alguns elements radioisòtops:
| Radioisòtop | Vida mitjana (aprox.) |
| $^{81m}$Kr | 13 segons |
| $^{99m}$Tc | 6 hores |
| $^{131}$I | 8 dies |
| $^{51}$Cr | 1 mesos |
| $^{137}$Cs | 30 anys |
| $^{241}$Am | 462 anys |
| $^{226}$Ra | 1620 anys |
| $^{238}$U | 4.51 x 10$^9$ anys |
Veiem que alguns d'ells tenen una vida mitjana relativament curta; i justament són els que s'utilitzen amb fins de diagnòstic mèdic, ja que no romanen radioactius durant molt de temps després de l'administració a un pacient i, per tant, resulten en una dosi de radiació relativament baixa però adequada al tractament en qüestió:
Per altra banda, matemàticament, la gràfica mostrada abans s'expressa de la següent manera:
$N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$
N$_t$ és el nombre de nuclis radioactius (menor) transcorregut un temps t$_{1/2}$, que és la vida mitjana
El concepte de vida mitjana aplicat a la medicina pot presentar certs problemes logístics quan no tenim una planta de producció de radioisòtops a prop. Per exemple, suposem que volem utilitzar $^{99m}$Tc per a l'estudi d'un pacient i la instal·lació nuclear més propera per a facilitar-nos aquest isòtop concret es troba a 5000 km. Podria ser que el pacient en qüestió estigués hospitalitzat a Barcelona i la planta de producció estigués ubicada a Sidney. Ja sabeu (gràcies a la taula anterior) que la vida mitjana del $^{99m}$Tc és de 6 hores. Però comptant el temps de transport en camió del material fins a l'aeroport de Sidney, i el posterior vol — amb alguna possible escala —, possiblement el radioisòtop hagi patit una desintegració substancial que el faci fins i tot inútil de cara al tractament que havíem plantejat. I què passa si volem emprar $^{81m}$Kr? La gestió d'aquests 13 segons com es duu a terme? En els propers capítols d'aquest llibre veurem que els desafiaments logístics com aquest han donat lloc a solucions molt innovadores.
I de la mateixa manera que hem vist que hi ha radioisòtops de vida mitjana curta útils per a finalitat mèdiques, també n'hi ha que pateixen un procés de desintegració considerablement llarg. Per exemple, el $^{226}$Ra té una vida mitjana de més de 1500 anys. Aquest isòtop s'utilitzava en el passat per a aplicacions terapèutiques en medicina. Penseu en els problemes logístics en aquest cas: òbviament no tenen res a veure amb el transport del material des del punt de producció fins al punt d'ús. Es refereixen a com es manté el material després de la seva arribada al punt d'ús. Hauríem de tenir una instal·lació d'emmagatzematge de manera que el material es pogués mantenir de forma segura durant un llarg període. Però, per quant de temps? Una regla general per a les quantitats de radioactivitat utilitzades en medicina és que la radioactivitat roman significativa durant unes 10 vides mitjanes. És a dir, hauríem de tenir un ambient segur per a l'emmagatzematge del $^{226}$Ra durant prop de 16000 anys! A més a més, més enllà de tot aquest temps de gestió, la instal·lació hauria d'estar protegida de molts esdeveniments imprevisibles, com ara terratrèmols, bombardejos... i s'hauria de mantenir de manera que molts segles de generacions properes fossin conscients del significat de la construcció.

## Relació entre la radioactivitat i la vida mitjana

A partir de tot el que hem vist fins ara, podem ser capaçps d'apreciar que existeix una relació entre la desintegració constant i la vida mitjana. Quan la constant de desintegració és petita, la vida mitjana és fa major; i en conseqüència quan la desintegració constant és gran, la vida mitjana decreix. Però, quina és exactament la naturalesa d'aquesta relació?
La resposta a aquesta pregunta es pot trobar mitjançant l'ús de la definició de la vida mitjana i la seva aplicació a la Llei de la desintegració radioactiva.
Un cop més, la llei ens diu que en qualsevol moment t:
$N_{t}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t)\,\!$
I, en segon lloc, la definició relativa a la vida mitjana és:
$N_{t}={\frac {N_{0}}{2}}$
quan es dóna que:
$t=t_{\frac {1}{2}}$
Ara ja es pot reescriure l'expressió de la Llei de la desintegració radioactiva substituint N$_t$ i t com es mostra a continuació:
${\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}\ {\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$
Ara s'elimina N$_0$ passant-lo a l'altre costat de l'expressió:
${\frac {1}{2}}={\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$
L'equivalència entre forma fraccionària i forma exponencial resulta en:
$2^{-1}={\text{exp}}\,(-\lambda t_{\frac {1}{2}})$
Un cop més, emprant la definició del logaritme l'expressió queda com:
$\ln 2^{-1}=-\lambda t_{\frac {1}{2}}$
Que eliminant el signe negatiu a banda i banda de l'equació s'obté:
$\ln 2=\lambda t_{\frac {1}{2}}$
I resolent el logaritme de 2:
$0.693=\lambda t_{\frac {1}{2}}$
Ara lambda passa a l'altre costat:
$t_{\frac {1}{2}}={\frac {0.693}{\lambda }}$
S'obté de forma definitiva (a través del canvi de cantó de les dues variables) aquesta relació:
$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}$
t$_{1/2}$ és la vida mitjana
Aquesta última equació expressa la relació entre la desintegració constant i la vida mitjana. És especialment útil en la resolució de qüestions numèriques relacionades amb la radioactivitat, i sol constituir el primer pas per a resoldre un problema numèric.

## Unitats de la radioactivitat

La unitat mètrica o del SI pren el seu nom del físic francès Antoine Henri Becquerel, descobridor de la radioactivitat. S'anomena becquerel (Bq) i es defineix com la quantitat de substància radioactiva que dóna lloc a una taxa d'atenuació d'1 desintegració nuclear en una certa quantitat de substància per segon.
En el treball de diagnòstic mèdic, 1 bequerel és una quantitat força petita de radioactivitat. De fet, és fàcil de recordar la seva definició si pensem que és una quantitat ínfima de radioactivitat. Per aquesta raó, s'utilitzen amb més freqüència els kilobecquerels (kBq) i megabecquerels (MBq).
Per altra banda, la unitat tradicional de la radioactivitat ret honor a la polonesa Marie Curie i rep el nom de curie (Ci). El curie es defineix com la quantitat de substància radioactiva que dóna lloc a una taxa de desintegració de 3,7 x 10$^{10}$ desintegracions per segon. En altres paraules, 37 mil milions de desintegracions per segon, que com es pot apreciar és una quantitat substancial de radioactivitat. Per contra del que passava amb el becquerel, en aquest cas pel treball de diagnòstic mèdic no es magnifiquen les unitats, sinó que es redueixen, per la qual cosa s'utilitzen amb més freqüència el milicurie (MCI) i el microcurie (Ci).
Per què emprar dues unitats? És, en essència, el que passa amb la resta de les unitats de mesura: depèn en quina part del món se les esmenta. Per exemple, els quilòmetres són àmpliament utilitzats a Europa i Austràlia com a unitat de la distància, mentre que als Estats Units la unitat utilitzada és la milla. Així que si estem llegint un llibre de text d'Amèrica, és probable que trobem el curie utilitzat com a unitat de radioactivitat, mentre que si ho fem amb un llibre d'Austràlia, és molt habitual que es refereixi a becquerels. A Europa, al seu torn, possiblement trobem utilitzades les dues unitats indistintament. Per tant, doncs, és lògic que vulguem conéixer totes les possibilitats d'aquest ventall d'unitats.

## Activitats

A continuació es presenten 3 problemes per ajudar-vos a desenvolupar de manera pràctica els continguts treballats al llarg d'aquest capítol.
(a) La vida mitjana del $^{99m}$Tc és de 6 hores. Després de quant temps 1/16 del radioisòtop seguirà present?
$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0.693}{6}}=0.1155\ {\text{hr}}^{-1}$
Ara apliquem la Llei de la desintegració radioactiva:
$N_{t}=N_{0}\ \cdot {\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)\,\!$
La qual es pot reescriure (passant N$_0$ a l'altra banda) de la següent forma:
${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)$
L'enunciat ens diu que N$_0$ s'ha reduït fins a 1/16 del seu valor incial. Això es pot representar com:
${\frac {N_{t}}{N_{0}}}={\frac {1}{16}}$
Per tant, si unim les dues expressions anteriors partim de:
${\frac {1}{16}}={\text{exp}}\,(-0.1155\cdot t)$
A la qual hem de resoldre el valor t i que comencem per representar la forma exponencial d'1/16:
$16^{-1}={\text{exp}}\,(-0.1155\cdot t)$
Usant, com en altres ocasions, la definició del logaritme, fem el canvi següent:
$-\ln 16=-0.1155\cdot t\,\!$
I ara només s'ha d'aïllar la variable i obtenim el valor numèric demanat:
$t={\frac {\ln 16}{0.1155}}=24\ {\text{hores}}$
En definitiva, caldran 24 hores per a que només romangui 1/16 de la radioactivitat inicial.
(b) Una altra manera de verificar la resposta anterior és mitjançant l'ús de la definició de vida mitjana. Se'ns diu que la vida mitjana del $^{99m}$Tc és de 6 hores. Per tant, transcorregut aquest temps es mantindrà la meitat de la radioactivitat.
De la mateixa manera, després de 12 hores es mantindrà un quart; després de 18 hores una vuitena part i passades les 24 hores en quedarà un setzè. Aquest raonament ens condueix a la mateixa resposta que en l'apartat (a).
$\lambda ={\frac {0.693}{t_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0.693}{1620}}=4.28\cdot 10^{-4}\ {\text{anys}}^{-1}$
El resultat anterior, per mitjà d'un factor de conversió d'anys a segons, és equivalent a:
$\lambda =1.36\cdot 10^{-11}s^{-1}$
Veiem que la durada d'un any utilitzada en la conversió és de 365,25 dies a fi de tenir en compte els anys de traspàs. A més a més, la raó de la conversió a segons és perquè en unitats del SI, la radioactivitat s'expressa com el nombre de nuclis en desintegració per segon.
En segon lloc, podem calcular que 1 gram de $^{226}$Ra conté:
$N={\frac {({\text{nº d'Avogadro}})\cdot ({\text{Massa}})}{\text{Nombre màssic}}}={\frac {(6.023\cdot 10^{23})\cdot (1g)}{226}}=2.7\cdot 10^{21}\ {\text{nuclis}}$
En tercera instància, necessitem expressar la Llei de la desintegració radioactiva com el nombre de nuclis en desintegració per unit de temps. Aquesta operació es resol a través d'una derivada de l'equació següent:
$N=N_{0}\ \cdot {\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)$
Seguint la propietat de la linealitat de la derivació, el resultat és el següent, que amb una primera simplificació dóna:
${\frac {dN}{dt}}=N_{0}\cdot -\lambda \ \cdot {\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)=-\lambda N_{0}\ \cdot {\text{exp}}\,(-\lambda \cdot t)$
I si seguim amb el procés de simplificació:
${\frac {dN}{dt}}=-\lambda \cdot N$
Se sap que el resultat serà decreixent (els nuclis radioactius van disminuint amb el temps), per la qual cosa es pot situar l'expressió en termes de valor absolut a fi d'eliminar el signe negatiu:
$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda \cdot N$
Ja podem substituir pels valors de lambda i N trobats anteriorment:
$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=(1.36\cdot 10^{-11})(2.7\cdot 10^{21})$
Que resolta la multiplicació presenta el valor final de:
$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=3.6\cdot 10^{10}\ {\text{Bq}}$
Així doncs, la radioactivitat d'un 1 gram de radi-226 és de 3.6 x 10$^{10}$ Bequerels (o desintegracions per segon), que com hem vist anteriorment equival pràcticament a 1 curie.
$\lambda ={\frac {0.693}{6}}=0.1155\ {\text{hour}}^{-1}=3.21\cdot 10^{-5}$
La qüestió ens diu que la radioactivtat és d'1 MBq. Si sabem que 1 MBq = 1 x 10$^6$ desintegracions per segon, el pas a seguir serà la mateixa derivada que en el problema 2, i que ens donarà com a resultat:
$\left|{\frac {dN}{dt}}\right|=\lambda \cdot N=1\cdot 10^{6}\ {\text{desintegracions per segon}}$
En què aïllant el valor N obtenim el seu valor:
$N={\frac {\left|{\frac {dN}{dt}}\right|}{\lambda }}={\frac {1\cdot 10^{6}}{3.21\cdot 10^{-5}}}=3.116\cdot 10^{10}$
Finalment, i a partir dels valor dels passos anteriors, la massa d'aquests nuclis pot ser calculada com es mostra a continuació:
${\text{Massa de N nuclis}}={\frac {({\text{nº de nuclis}})({\text{Nombre màssic}})}{\text{nº d'Avogadro}}}={\frac {(3.116\cdot 10^{10})\cdot (99)}{6.023\cdot 10^{23}}}=5.122\cdot 10^{-12}\ {\text{g}}$