# Matemàtiques (nivell ESO)/Equacions de segon grau/Un examen resolt
## Pregunta 1

1. Resol les equacions de segon grau següents:
* $x^{2}+17x=-70\$
* $x^{2}=-x-1\$
* $27-3x^{2}=0\$
* $-x^{2}+13x=0\$
* $2\cdot (x^{2}+4)-3\cdot (2x-4)=40\$
* $(x-5)^{2}=36\$
Resolem la primera equació passa per passa:
* Passam abans tots els termes a un costat:
       $x^{2}+17x+70=0\$
* Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
       $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$
* Per això identificam les lletres $a=1$, $b=17$ i $c=70$
* Substituim a la fórmula anterior i operam:
       $x={\frac {-17\pm {\sqrt {17^{2}-4\cdot 1\cdot 70}}}{2\cdot 1}}\$
       $={\frac {-17\pm {\sqrt {289-280}}}{2}}$
       $={\frac {-17\pm 3}{2}}$
* Distigim les dues solucions:
       $x={\frac {-17+3}{2}}=-7$ i $x={\frac {-17-3}{2}}=-10$
Resolem la segona equació passa per passa:
* Passam abans tots els termes a un costat:
       $x^{2}+x+1=0\$
* Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
       $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$
* Per això identificam les lletres $a=1$, $b=1$ i $c=1$
* Substituim a la fórmula anterior i operam:
       $x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}}\$
       $={\frac {-1\pm {\sqrt {1-4}}}{2}}$
       $={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$
* Com que el discriminant és negatiu (-3), l'equació de segon grau és incompatible.
Resolem la tercera equació passa per passa:
* Tots els termes ja estan al mateix costat.
* Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
       $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$
* Per això identificam les lletres $a=-3$, $b=0$ i $c=27$
* Substituim a la fórmula anterior i operam:
       $x={\frac {-0\pm {\sqrt {0^{2}-4\cdot (-3)\cdot 27}}}{2\cdot (-3)}}\$
       $={\frac {\pm {\sqrt {324}}}{-6}}$
       $={\frac {\pm 18}{-6}}$
* Distigim les dues solucions:
       $x={\frac {+18}{-6}}=-3$ i $x={\frac {-18}{-6}}=+3$
Resolem la quarta equació passa per passa:
* Tots els termes ja estan al mateix costat
* Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:
       $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$
* Per això identificam les lletres $a=-1$, $b=13$ i $c=0$
* Substituim a la fórmula anterior i operam:
       $x={\frac {-13\pm {\sqrt {13^{2}-4\cdot (-1)\cdot 0}}}{2\cdot (-1)}}\$
       $={\frac {-13\pm {\sqrt {169}}}{-2}}$
       $={\frac {-13\pm 13}{-2}}$
* Distigim les dues solucions:
       $x={\frac {-13+13}{-2}}=0$ i $x={\frac {-13-13}{-2}}=+13$

## Pregunta 3

3. Un terreny rectangular de 30 x 40 metres és travessat per un camí recte que és el més llarg possible. Quina distància té aquest camí?
Resolem el problema passa a passa:
* El terreny correspon a una figura geomètrica d'un rectangle.
* El camí que ens demanen és la diagonal d'aquest rectangle.
* La diagonal divideix el terreny en dos triangles rectangles.
* La hipotenusa mesura el mateix que la diagonal.
* El triangle rectangle té com a catets 30 i 40.
* Diguem $x$ a la hipotenusa, que serà també la diagonal.
* Aplicam la fórmula del teorema de Pitàgores:
    $h^{2}=a^{2}+b^{2}$
* Substituim pels valors concrets i obtenim:
    $x^{2}=30^{2}+40^{2}$
* Operam i aïllam la incògnita:
    $x^{2}=900+1600$
    $x^{2}=2500$
    $x=\pm {\sqrt {2500}}=\pm 50$
* Descartam el valor negatiu perquè es tracta d'una longitud (positiva).
* Per tant, la hipotenusa fa 50 metres. I també el camí que ens demanen.

## Pregunta 4

4. Calcula dos nombres sabent que es diferencien en 10 unitats i el seu producte és 144.
Resolem el problema passa a passa:
* Fem el plantejament en termes d'equacions. Com que han de ser dos nombres diferents en 10 unitats, un d'ells serà $x$ i l'altre serà $x+10$
* L'enunciat diu que el seu producte és 144 i per tant obtenim l'equació
       $x\cdot (x+10)=144$
* Operam fent servir la propietat distributiva:
       $x^{2}+10x=144$
* Passam tots els termes a un costat:
       $x^{2}+10x-144$
* Aprofitam la fórmula de l'equació de segon grau.
    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
* Identificam les lletres $a=1$, $b=10$ i $c=-144$
* Substituim i operam:
    $x={\frac {-10\pm {\sqrt {10^{2}-4\cdot 1\cdot (-144)}}}{2\cdot 1}}$
    $={\frac {-10\pm {\sqrt {100+576}}}{2}}$
    $={\frac {-10\pm 26}{2}}$
* Distingim les dues solucions: $x={\frac {-10+26}{2}}=+8$ i $x={\frac {-10-26}{2}}=-18$
* Per a cada una de les solucions, hem de trobar el segon nombre.
* Per al valor $x=+8$ obtenim $x+10=+8+10=+18$
* Per al valor $x=-18$ obtenim $x+10=-18+10=-8$
* En conclusió veiem que les solucions són
** $+8$ i $+18$
** $-18$ i $-8$

## Pregunta 5

5. Calcula els costats d'un triangle rectangle si sabem que compleix aquestes dues coses:
* La hipotenusa mesura 10 unitats més que el catet menor.
* El catet major mesura 5 unitats més que el catet menor.
Resolem el problema passa per passa:
* Els costats d'un triangle rectangle es calculen amb el teorema de Pitàgores.
* Diguem $x$ al catet menor.
* Aleshores:
    $(x+10)^{2}=(x+5)^{2}+x^{2}\$
* Desenvolupam la igualtat emprant una de les identitats notables:
    $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\$
* El resultat queda:
    $x^{2}+20x+100=x^{2}+10x+25+x^{2}\$
    $x^{2}+20x+100-x^{2}-10x-25-x^{2}=0\$
* Simplificam i passam tots els termes a un costat:
    $-x^{2}+10x+75=0$
* Aplicam la fórmula de l'equació de segon grau:
    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$
* Posam valors a les lletres: $a=-1$, $b=10$ i $c=75$
* Com a solució, obtenim $x=15$ i $-5$ però descartam la negativa perquè es tracta de longituds (positives).
* En conclusió, els costats d'aquest triangle mesuren 15, 20 i 25.

## Pregunta 6

6. Contesta les preguntes teòriques següents:
* Defineix què és el discriminant d'una equació de segon grau.
* Escriu una equació de segon grau que sigui incompatible i diferent de les del primer exercici.
El discriminant és l'expressió algebraica que apareix sota el signe de l'arrel dins la fórmula que resol l'equació de segon grau i serveix per determinar el nombre de solucions d'una equació de segon grau. Concretament, si l'equació de segon grau té la forma
       $ax^{2}+bx+c=0\$
aleshores el discriminant és
       $b^{2}-4ac\$
Ara si el discriminant és estrictament positiu, l'equació de segon grau tendrà 2 solucions. Si és estrictament negatiu, no tendrà cap solució. I si és igual a zero, només tendrà una solució.
Com a exemples d'equacions de segon grau inconmpatibles, podem escriure qualsevol que tengui discriminant negatiu. Per exemple:
* $x^{2}+9=0$
* $2x^{2}+2x+2=0$
* $x^{2}-3x+10=0$