# Forma quadràtica definida

En matemàtiques, i més particularmentment en àlgebra lineal, una forma quadràtica definida és una forma quadràtica definida sobre el cos dels nombres reals que satisfà una propietat de positivitat o negativitat; es parla aleshores de forma quadràtica definida positiva o de forma quadràtica definida negativa, respectivament. El mateix concepte s'aplica a les matrius simètriques amb coeficients reals. En el cas de coeficients complexos hi ha un concepte anàleg per a les formes hermítiques.

## Definició per a formes quadràtiques i formes hermítiques

Sigui $V$ un espai vectorial real o complex, $g\colon V\times V\to \mathbb {R}$ una forma bilineal simètrica, o bé $g\colon V\times V\to \mathbb {C}$ una forma hermítica. Denotem-la per $(x|y)=g(x,y)$. Recordem que en el cas real g defineix una forma quadràtica per Q(v)=(v|v), i que en el cas hermític sempre es compleix que $(v|v)$ és real. Es diu que g, o la forma quadràtica Q, és:
    definida positiva si, per a tot v diferent de zero, $(v|v)>0$ semidefinida positiva si, per a tot v, $(v|v)\geq 0$ definida negativa si, per a tot v diferent de zero, $(v|v)<0$ semidefinida negativa si, per a tot v, $(v|v)\leq 0$ indefinida si no és semidefinida
Observem doncs que la forma és indefinida sii hi ha un u tal que $(u|u)<0$ i un v tal que $(v|v)>0$. L'única forma que és alhora semidefinida positiva i semidefinida negativa és la forma nul·la.
Una forma definida positiva es diu producte escalar. Per exemple producte escalar estàndard sobre $\mathbb {R} ^{n}$ (o $\mathbb {C} ^{n}$) és definit positiu.

## Definició per a matrius simètriques i matrius hermítiques

Cada matriu A quadrada simètrica amb coeficients reals (o matriu hermítica amb coeficients complexos) defineix una forma bilineal simètrica sobre $V=\mathbb {R} ^{n}$ (o bé una forma hermítica sobre $V=\mathbb {C} ^{n}$). En qualsevol dels casos es diu que la matriu és definida positiva, etc., si ho és la forma corresponent. Així doncs, en el cas real, A es diu:
    definida positiva si, per a tot x diferent de zero, $x^{\top }Ax>0$ semidefinida positiva si, per a tot x, $x^{\top }Ax\geq 0$ definida negativa si, per a tot x diferent de zero, $x^{\top }Ax<0$ semidefinida negativa si, per a tot x, $x^{\top }Ax\leq 0$ indefinida si no és semidefinida
on x és un vector columna arbitrari.
En el cas complex les expressions anteriors canvien lleugerament: en lloc del vector fila transposat $x^{\top }$ cal posar el vector fila adjunt (transposat i conjugat), $x^{*}\;={\overline {x}}^{\top }$.

## Criteris de definició per a matrius simètriques i matrius hermítiques
### Valors propis

Una matriu quadrada simètrica (o bé hermítica) és:
    definida positiva si tots els seus valors propis són estrictament positius; semidefinida positiva si tots els valors propis són més grans o iguals que zero; definida negativa si tots els seus valors propis són estrictament negatius; semidefinida negativa si tots els valors propis són més petits o iguals que zero; indefinida si té valors propis estrictament positius i estrictament negatius.
En principi, doncs, caldria calcular (o estimar) els valors propis de la matriu. Tanmateix, és suficient conèixer el signe d'aquests vectors propis, problema més fàcilment resoluble.

### Menors principals

Una matriu simètrica (o hermítica) $A$ és definida positiva sii tots els seus menors principals dominants són estrictament positius. Anàlogament, com que $A$ és definida negativa sii $-A$ és definida positiva, resulta que $A$ és definida negativa sii aquests menors es van alternant de signe (els d'ordre imparell són negatius i els d'ordre parell positius). Més detalladament:
Sigui $A=(a_{ij})$ una matriu simètrica real, o una matriu hermítica complexa. Considerem els menors principals dominants de A:
$\Delta _{1}=a_{11},\quad \Delta _{2}=\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|,\quad \ldots ,\quad \Delta _{n}=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{array}}\right|$
Llavors
* A és definida positiva sii $\Delta _{i}>0$ per a $1\leq i\leq n$.
* A és definida negativa sii $(-1)^{i}\Delta _{i}>0$ per a $1\leq i\leq n$.
Observacions
* Per a matrius semidefinides no hi ha criteri de menors principals.
* Aquest criteri rep el nom de criteri de Sylvester. A vegades també s'anomena criteri de Hurwitz.

### Mètode d'eliminació de Gauss

Una matriu quadrada simètrica real $A=(a_{i,k})_{i,k=1}^{n}$ és definida positiva quan s'hi pot aplicar el mètode de reducció de Gauss sense canvis de línia, amb pivots positius.

### Factorització de Cholesky

Una matriu simètrica $A$ és definida positiva quan se'n pot fer una factorització de Cholesky $A=GG^{T}$ amb $G$ matriu triangular inferior invertible.

### Matrius amb diagonal dominant

Una matriu $A$ simètrica, amb diagonal estrictament dominant, i amb tots els elements diagonals positius, és definida positiva.
El recíproc és fals. La matriu següent és definida positiva però no amb diagonal dominant:
    ${\begin{pmatrix}1&2\\2&100\\\end{pmatrix}}$

## Importància

* La restricció d'una forma definida positiva a un subespai és encara definida positiva, i en particular no degenerada. Aquest fet permet descompondre l'espai en suma directa d'un subespai i el seu complement ortogonal.
* El caràcter definit d'una forma quadratica té un paper fonamental en l'estudi i classificació dels punts crítics d'una funció $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, és a dir, en el càlcul d'extrems.

## Referències

* ↑ IEEE: On Sylvester's criterion for positive-semidefinite matrices, Trans. Automatic Control, 1973 (anglès)
* ↑ Spezielle Matrixeigenschaften, Richard Reiner, 9126720, Gruppe: Next Generation (alemany)