# Electrodinàmica quàntica de circuits

L'electrodinàmica quàntica de circuits (circuit EDQ o cEDQ) proporciona un mitjà per estudiar la interacció fonamental entre la llum i la matèria (òptica quàntica). Igual que en el camp de l'electrodinàmica quàntica de cavitats, un sol fotó dins d'una cavitat d'un sol mode s'acobla de manera coherent a un objecte quàntic (àtom). En contrast amb la cavitat EDQ, el fotó s'emmagatzema en un xip ressonador unidimensional en i l'objecte quàntic no és un àtom natural sinó un àtom artificial. Aquests àtoms artificials solen ser dispositius mesoscòpics que presenten un espectre d'energia semblant a un àtom. El camp del circuit electrodinàmic quàntic (cEDQ) és un exemple destacat per al processament d'informació quàntica i un candidat prometedor per a la computació quàntica futura.
A finals de la dècada del 2010, els experiments amb cQED en 3 dimensions han demostrat la porta de teleportació determinista i altres operacions en múltiples Qbits.

## Ressonador

Els dispositius ressonants utilitzats per al circuit QED són ressonadors de microones de línies coplanars superconductores, que són anàlegs de les microones bidimensionals de l'interferòmetre de Fabry-Pérot. Les línies coplanars consisteixen en una línia central que transporta el senyal flanquejada per dos plans posats a terra. Aquesta estructura plana es posa sobre un substrat dielèctric mitjançant un procés fotolitogràfic. Els materials superconductors utilitzats són majoritàriament alumini (Al) o niobi (Nb). Els dielèctrics que s'utilitzen normalment com a substrats són silici oxidat superficialment (Si) o safir (Al₂O₃).
La impedància de la línia ve donada per les propietats geomètriques, que es trien per coincidir amb els 50 $\Omega$ de l'equip de microones perifèric per evitar la reflexió parcial del senyal.
El camp elèctric està bàsicament confinat entre el conductor central i els plans de terra, donant lloc a un volum de mode molt petit $V_{m}$ que dona lloc a camps elèctrics molt elevats per fotó $E_{0}$ (en comparació amb les cavitats tridimensionals). Matemàticament, el camp $E_{0}$ es pot trobar com
$E_{0}={\sqrt {\frac {\hbar \omega _{r}}{2\varepsilon _{0}V_{m}}}}$,
on $\hbar$ és la constant de Planck reduïda, $\omega _{r}$ és la freqüència angular, i $\varepsilon _{0}$ és la permitivitat de l'espai lliure.
Es poden distingir dos tipus diferents de ressonadors: $\lambda /2$ i $\lambda /4$. Els ressonadors de mitja longitud d'ona es fan trencant el conductor central en dos punts amb la distància $\ell$. La peça resultant del conductor central està d'aquesta manera acoblada capacitivament a l'entrada i la sortida i representa un ressonador amb $E$-antinodes de camp als seus extrems. Els ressonadors d'un quart d'ona són peces curtes d'una línia coplanar, que estan curtes a terra en un extrem i acoblades capacitivament a una línia d'alimentació a l'altre. Les freqüències de ressonància estan donades per
$\lambda /2:\quad \nu _{n}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{\text{eff}}}}}{\frac {n}{2\ell }}\quad (n=1,2,3,\ldots )\qquad \lambda /4:\quad \nu _{n}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{\text{eff}}}}}{\frac {2n+1}{4\ell }}\quad (n=0,1,2,\ldots )$
amb $\varepsilon _{\text{eff}}$ sent la permitivitat dielèctrica efectiva del dispositiu.

## Àtoms artificials: Qbits

El primer àtom artificial realitzat al circuit QED va ser l'anomenada «caixa de parells de Cooper», també coneguda com a «Qbit de càrrega». En aquest dispositiu, un dipòsit de parells de Cooper s'acobla a través d'unions de Josephson a una illa superconductora tancada. L'estat de la caixa de parells de Cooper (Qbit) ve donat pel nombre de parells de Cooper a l'illa ($N$ parelles de Cooper parelles per a l'estat fonamental $\mid g\rangle$ i $N+1$ per l'estat excitat $\mid e\rangle$).
Controlant l'energia de Coulomb (corrent de polarització) i l'energia de Josephson (biaix de flux), la freqüència de transició $\omega _{a}$ està afinada. A causa de la no linealitat de les unions de Josephson, la caixa del parell de Cooper mostra un espectre d'energia semblant a un àtom.
Altres exemples més recents de Qbits utilitzats al circuit QED són els anomenats Qbits transmons (més insensibles al soroll de càrrega en comparació amb la caixa de parells de Cooper) i els Qbits de flux (l'estat dels quals ve donat per la direcció d'un supercorrent en un bucle superconductor intersecat per les unions de Josephson). Tots aquests dispositius presenten moments dipolars $d$ molt grans (fins a 10$^3$ vegades més grans que $n$ àtoms de Rydberg), cosa que els qualifica com a homòlegs d'acoblament extremadament adequats per al camp de llum del circuit QED.

## Teoria

La descripció quàntica completa de la interacció matèria-llum ve donada pel model de Jaynes-Cummings. Els tres termes del model de Jaynes-Cummings es poden atribuir a un terme de cavitat, que és imitat per un oscil·lador harmònic, un terme atòmic i un terme d'interacció.
${\mathcal {H}}_{\text{JC}}=\underbrace {\hbar \omega _{r}\left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)} _{\text{cavity term}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\hbar \omega _{a}\sigma _{z}} _{\text{atomic term}}+\underbrace {\hbar g\left(\sigma _{+}a+a^{\dagger }\sigma _{-}\right)} _{\text{interaction term}}$
En aquesta formulació, $\omega _{r}$ és la freqüència de ressonància de la cavitat, i $a^{\dagger }$ i $a$ són operadors de creació i aniquilació de fotons, respectivament. El terme atòmic ve donat pel Hamiltonià d'un sistema de spin-½, amb $\omega _{a}$ sent la freqüència de transició i $\sigma _{z}$ la matriu de Pauli. Els operadors $\sigma _{\pm }$ són operadors de pujada i baixada (operadors d'escala) per als estats atòmics. Per al cas de la desintonització zero ($\omega _{r}=\omega _{a}$) la interacció augmenta la degeneració de l'estat del nombre de fotons $\mid n\rangle$ i els estats atòmics $\mid g\rangle$ i $\mid e\rangle$ i es formen parelles d'estats netes. Aquests nous estats són superposicions d'estats de cavitat i àtom
$\mid n,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mid g\rangle \mid n\rangle \pm \mid e\rangle \mid n-1\rangle \right)$
i estan dividits energèticament per $2g{\sqrt {n}}$. Si la desintonització és significativament més gran que la cavitat combinada i l'amplada de línia atòmica $\pm g^{2}/\Delta$ (amb la desintonització $\Delta =\omega _{a}-\omega _{r}$) segons l'estat atòmic. Això proporciona la possibilitat de llegir l'estat atòmic (Qbit) mesurant la freqüència de transició.
L'acoblament ve donat per $g=E\cdot d$ (per a l'acoblament dipolar elèctric). Si l'acoblament és molt més gran que la taxa de pèrdua de cavitat $\kappa ={\frac {\omega _{r}}{Q}}$ (factor de qualitat $Q$; més alt $Q$, com més temps roman el fotó dins del ressonador) així com la taxa de decoherència $\gamma$ (velocitat a la qual el Qbit es relaxa en modes diferents del mode ressonador) s'aconsegueix el règim d'acoblament fort. A causa dels camps elevats i les baixes pèrdues dels ressonadors coplanars juntament amb els grans moments dipolars i els llargs temps de decoherència dels Qbits, es pot aconseguir fàcilment el fort règim d'acoblament en el camp del circuit QED. La combinació del model de Jaynes-Cummings i les cavitats acoblades condueix al model de Jaynes-Cummings-Hubbard.

## Referències

* ↑ Schuster, 2007.
* ↑ Blais, 2004, p. 062320.
* ↑ Blumoff, 2017.
* ↑ Chou, 2018.
* ↑ Frunzio, 2005, p. 860-863.
* ↑ Göppl, 2008, p. 113904-113904-8.
* ↑ Simons, 2001.
* ↑ Wallraff, 2004, p. 162-167.
* ↑ Koch, 2007, p. 042319.
* ↑ Jaynes, 1963, p. 89-109.

## Bibliografia

* Blais, Alexandre «Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantum computing» (en anglès). Phys. Rev. A, 69(6), 2004. arXiv: cond-mat/0402216. Bibcode: 2004PhRvA..69f2320B. DOI: 10.1103/PhysRevA.69.062320.
* Blumoff, Jacob Z. «Multiqubit experiments in 3D circuit quantum electrodynamics» ( PDF) (en anglès). Tesi doctoral (PhD). Universitat Yale, desembre 2017.
* Chou, Kevin S. «Teleported operations between logical qubits in circuit quantum electrodynamics» ( PDF) (en anglès). Tesi doctoral (PhD). Universitat Yale, maig 2018.
* Frunzio, Luigi «Fabrication and Characterization of Superconducting Circuit QED Devices for Quantum Computation» (en anglès). IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 15(2), 2005, pàg. 860–863. arXiv: cond-mat/0411708. Bibcode: 2005ITAS...15..860F. DOI: 10.1109/TASC.2005.850084.
* Göppl, M. «Coplanar waveguide resonators for circuit quantum electrodynamics» (en anglès). J. Appl. Phys., 104(11), 2008. arXiv: 0807.4094. Bibcode: 2008JAP...104k3904G. DOI: 10.1063/1.3010859.
* Jaynes, E. T.; Cummings, F. W. «Comparison of Quantum and Semiclassical Radiation Theories with Application to the Beam Maser» (en anglès). Proceedings of the IEEE. IEEE, 51, 1963. DOI: 10.1109/proc.1963.1664.
* Koch, Jens «Charge insensitive qubit design derived from the Cooper pair box» (en anglès). Phys. Rev. A, 76(4), 2007. arXiv: cond-mat/0703002. Bibcode: 2007PhRvA..76d2319K. DOI: 10.1103/PhysRevA.76.042319.
* Schuster, David I. «Circuit Quantum Electrodynamics» ( PDF) (en anglès). Tesi doctoral (PhD). Universitat de Yale, maig 2007.
* Simons, Rainee N. Coplanar Waveguide Circuits, Components, and Systems (en anglès). John Wiley & Sons Inc., 2001. ISBN 0-471-16121-7.
* Wallraff, A. «Strong coupling of a single photon to a superconducting qubit using circuit quantum electrodynamics» (en anglès). Nature. Nature Publishing Group, 431, 2004. arXiv: cond-mat/0407325. Bibcode: 2004Natur.431..162W. DOI: 10.1038/nature02851(7005. PMID: 15356625.

## Vegeu també

* Radiofreqüència superconductora