# Matriu de Jordan

En teoria matemàtica de matrius, un bloc de Jordan sobre un anell $A$ (les identitats del qual són el zero 0 i l'u 1) és una matriu amb entrades 0 arreu excepte a la diagonal, que conté un element fixat $\lambda \in A$, i a la superdiagonal, que conté el valor 1. Aquest concepte pren el nom de Camille Jordan.
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{pmatrix}}$
Cada bloc de Jordan està, doncs, determinat per la seva dimensió n i el seu valor propi $\lambda$, i es simbolitza per $J_{\lambda ,n}$.
Tota matriu diagonal per blocs formada per blocs de Jordan s'anomena matriu de Jordan; usant o bé la suma directa $\oplus$ o el símbol "$\mathrm {diag}$", es denota per $J_{\alpha ,l}\oplus J_{\beta ,m}\oplus J_{\gamma ,n}$ o bé $\mathrm {diag} \left(J_{\alpha ,l},J_{\beta ,m},J_{\gamma ,n}\right)$ la matriu diagonal per blocs quadrada de dimensió $(l+m+n)\times (l+m+n)$ que té per primer bloc $J_{\alpha ,l}$, per segon bloc $J_{\beta ,m}$ i per tercer bloc $J_{\gamma ,n}$.
Per exemple, la matriu
    $J=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{matrix}}\right)$
és una matriu de Jordan $10\times 10$ amb un bloc $3\times 3$ de valor propi $0$, dos blocs $2\times 2$ amb valor propi la unitat imaginària i un bloc $3\times 3$ amb valor propi 7. La seva estructura en blocs de Jordan també pot ser escrita com $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ o com $\mathrm {diag} \left(J_{0,3},J_{i,2},J_{i,2},J_{7,3}\right)$.

## Àlgebra lineal

Tota matriu quadrada $A$ de dimensió $n\times n$ amb elements d'un cos algebraicament tancat $K$ és semblant a una matriu de Jordan $J$, que també pertany a $\mathbb {M} _{n}(K)$ (l'anell de matrius quadrades $n\times n$ amb elements de $K$), i que a més és única llevat de permutacions dels seus blocs diagonals. Hom diu que $J$ és la forma canònica de Jordan d'$A$ i correspon a una generalització del procés de diagonalització. Una matriu diagonalitzable A es pot considerar un cas particular de la forma canònica de Jordan, en què tots els seus blocs són de dimensió $1\times 1$.
Més generalment, donada una matriu de Jordan $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \ldots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ (és a dir, on el bloc diagonal k-sim, $1\leq k\leq N$, és el bloc de Jordan $J_{\lambda _{k},m_{k}}$, i on els elements diagonals $\lambda _{k}$ no tenen per què ser tots diferents), la multiplicitat geomètrica de $\lambda \in K$ per la matriu $J$, simbolitzada per $\mathrm {gmul} _{J}\lambda \,$, correspon al nombre de blocs de Jordan que tenen valor propi $\lambda$. Per altra banda, l'índex d'un valor propi $\lambda$ de $J$, simbolitzat per $\mathrm {idx} _{J}\lambda \,$, es defineix com la dimensió del bloc de Jordan més gran associat a aquest valor propi.
El mateix concepte aplica per tota matriu $A$ semblant a $J$, de tal manera que $\mathrm {idx} _{A}\lambda \,$ es pot definir considerant la forma canònica de Jordan d'$A$ per qualsevol dels seus valors propis $\lambda \in \mathrm {spec} A$. En aquest cas, es pot comprovar que l'índex de $\lambda$ en $A$ és igual a la multiplicitat de $\lambda$ com a arrel del polinomi mínim d'$A$ (on, per definició, la seva multiplicitat algebraica en $A$, $\mathrm {mul} _{A}\lambda \,$, és la seva multiplicitat com a arrel del polinomi característic d'$A$, és a dir, $\det(A-xI)\in K[x]$). Una condició necessària i suficient perquè $A$ sigui diagonalitzable dins $K$ és que tots els seus valors propis tinguin índex igual a $1$, és a dir, que el seu polinomi mínim tingui només arrels simples.
Des del punt de vista d'espais vectorials, la descomposició de Jordan-Chevalley és equivalent a trobar una descomposició ortogonal (és a dir, mitjançant suma directa d'espais propis representats per blocs de Jordan) del domini format per la base dels vectors propis generalitzats associats.

## Equacions diferencials ordinàries lineals

L'exemple més senzill d'un sistema dinàmic és un sistema d'equacions diferencials ordinàries lineals amb coeficients constans. Per exemple, siguin $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ i $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$:
    ${\dot {\mathbf {z} }}(t)=A\mathbf {z} (t),$
    $\mathbf {z} (0)=\mathbf {z} _{0},$
del qual hom pot calcular explícitament la seva solució, mitjançant l'exponencial d'una matriu:
    $\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.$
Una altra manera, suposant que la solució està restringida a l'espai de Lebesgue de camps vectorials de dimensió $n$, $\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$, és usar la seva transformada de Laplace $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$. En aquest cas
    $\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.$
La funció matricial $\left(A-sI\right)^{-1}$ s'anomena matriu resolvent de l'operador diferencial ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A$. És meromorfa respecte al paràmetre complex $s\in \mathbb {C}$ perquè els elements de la matriu són funcions racionals amb denominadors iguals a tots els $\det(A-sI)$. Els pols de singularitat són els valors propis d'$A$, l'ordre dels quals són el seu índex, és a dir, $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$.

## Notes

* ↑ Per la majoria d'aplicacions, podeu prendre l'anell $A$ com el conjunt dels nombres reals o el dels nombres complexos, i el 0 i l'1 amb els seus significats habituals.

## Vegeu també

* Descomposició de Jordan–Chevalley
* Forma canònica de Jordan
* Càlcul funcional holomorf
* Sistema dinàmic
* Espai d'estats