# Superfície de revolució

Una superfície de revolució és la que es genera mitjançant la rotació d'una corba plana, o generatriu, al voltant d'una recta directriu, anomenada eix de rotació, la qual es troba en el mateix pla que la corba. Exemples comuns d'una superfície de revolució són:

## Aplicacions

La utilització de superfícies de revolució és essencial en diversos camps de la física i l'enginyeria, així com en el disseny, quan es dibuixen objectes digitalment, les seves superfícies poden ser calculades d'aquesta manera sense necessitat de mesurar la longitud o el radi de l'objecte.
La terrisseria, i el tornejat industrial, modelen i modelen volums amb variades superfícies de revolució de gran utilitat i ús quotidià.

## Àrea d'una superfície de revolució

Si la corba està definida per les funcions $x(t)$ i $y(t)$, pertanyent $t$ a un interval $[a,b]$ i sent l'eix de revolució l'eix coordenat $y$, l'àrea $A$ estarà donada, doncs, per la integral
    $A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt$
sent $x(t)$ sempre positiva. Aquesta equació és equivalent al Teorema del centroide de Pappus. Així mateix, la quantitat
    $\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}$
es deriva del teorema de Pitàgores i representa un segment diferencial de l'arc de la corba, com en l'equació de la longitud d'arc. La quantitat $2\pi x(t)$ és el camí descrit pel centroide d'aquest segment girant al voltant de l'eix de revolució.
Si la corba està definida per la funció $y=f(x)$, la integral es transforma en
    $A=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$
per a una corba que gira al voltant de l'eix de les abscisses, i
    $A=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy$
per a una corba que gira al voltant de l'eix de les ordenades.
Com a exemple, l'esfera, amb un radi unitari, està generada per la corba $x(t)=sin(t)$ i $y(t)=cos(t)$ quan $t$ pren valors en l'interval $[0,\pi ]$. La seva àrea, per tant, serà
    $A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,dt=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt=4\pi$.

## Geometria diferencial de superfícies de revolució

Una superfície de revolució pot ser parametritzada mitjançant una coordenada al llarg de la seva generatriu o i una coordenada angular v de tal manera que:
$\mathbf {r} (u,v)=(\rho (u)\cos v,\rho (u)\sin v,h(u))$ par $v\in [0,2\pi )$
Les corbes amb o = constant, són cercles anomenats paral·lels, mentre que les línies amb v = constant, anomenats meridiàs són línies geodèsicas de longitud i curvatura mínimes. A més els coeficients de la primera forma fondamental o tensor mètric d'una superfície resulten ser:
    $I_{kl}(u,v)={\begin{pmatrix}E(u,v)&F(u,v)\\F(u,v)&G(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\rho (u)^{2}(u)+h(u)^{2}(u)&0\\0&\rho ^{2}(u)\end{pmatrix}}$
Pel que la mètrica és diagonal. Quant a la segona forma fondamental relacionada amb la curvatura de la superfície també pren una forma particularment simple:
    $II_{kl}(u,v)={\begin{pmatrix}L(u,v)&M(u,v)\\M(u,v)&N(u,v)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\rho _{u}h_{uu}-\rho _{uu}h_{u}}{\sqrt {E}}}&0\\0&{\frac {\rho h_{u}}{\sqrt {E}}}\end{pmatrix}}$

## Vegeu també

* Sòlid de revolució
* Banya de Gabriel

## Enllaços externs

* Weisstein, Eric W., «Superfície de revolució» a MathWorld (en anglès).