# Transformada de Hadamard

La transformada de Hadamard (també coneguda com a transformada de Walsh–Hadamard, transformada de Hadamard–Rademacher–Walsh, transformada de Walsh o transformada de Walsh–Fourier) és un exemple d'una classe generalitzada de transformades de Fourier. Realitza una operació lineal ortogonal, simètrica, involutiva i sobre nombres reals de 2$^m$ (o nombres complexos o hipercomplexos, encara que les matrius de Hadamard són purament reals).
Es pot considerar que la transformada de Hadamard s'ha construït a partir de transformades discretes de Fourier (DFT) de mida 2 i, de fet, és equivalent a una DFT multidimensional de mida 2 × 2 × ⋯ × 2 × 2. Descomposa un vector d'entrada arbitrari en una superposició de funcions de Walsh.
La transformació rep el nom del matemàtic francès Jacques Hadamard (francès:), el matemàtic alemany-americà Hans Rademacher, i el matemàtic nord-americà Joseph L. Walsh.
La transformada de Hadamard H$_m$ és de 2$^m$ × Matriu de 2$^m$, la matriu de Hadamard (escalada per un factor de normalització), que transforma 2$^m$ nombres reals x$_n$ en 2$^m$ nombres reals X$_k$. La transformada de Hadamard es pot definir de dues maneres: recursivament o utilitzant la representació binària (base -2) dels índexs n i k.
Recursivament, definim l'1 × 1 Hadamard transforma H$_0$ per la identitat H$_0$=1, i després defineix H$_m$ per a m>0 per:$H_{m}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}H_{m-1}&H_{m-1}\\H_{m-1}&-H_{m-1}\end{pmatrix}}$on l'1/√2 és una normalització que de vegades s'omet.
Per a m>1, també podem definir H$_m$ per:$H_{m}=H_{1}\otimes H_{m-1}$on $\otimes$ representa el producte Kronecker. Així, a part d'aquest factor de normalització, les matrius de Hadamard estan formades completament per 1 i -1.
En el domini clàssic, es pot calcular la transformada de Hadamard $n\log n$ operacions ($n=2^{m}$), utilitzant l'algorisme de transformació ràpida de Hadamard.
La transformada de Hadamard s'utilitza àmpliament en la computació quàntica. El 2 × 2 transformacions de Hadamard $H_{1}$ és la porta de lògica quàntica coneguda com la porta Hadamard, i l'aplicació d'una porta Hadamard a cada qubit d'un registre n-qubit en paral·lel és equivalent a la transformada Hadamard $H_{n}$.
La transformada Hadamard també s'utilitza en el xifratge de dades, així com molts algorismes de processament de senyal i compressió de dades, com ara JPEG XR i MPEG-4 AVC. En aplicacions de compressió de vídeo, normalment s'utilitza en forma de suma de diferències absolutes transformades. També és una part crucial d'un nombre important d'algorismes en informàtica quàntica. La transformada de Hadamard també s'aplica en tècniques experimentals com la RMN, l'espectrometria de masses i la cristal·lografia. També s'utilitza en algunes versions de hashing sensible a la localitat, per obtenir rotacions de matrius pseudoaleatòries.

## Referències

* ↑ Kunz, H.O. IEEE Transactions on Computers, 28, 3, 1979, pàg. 267–8. DOI: 10.1109/TC.1979.1675334.
* ↑ «Walsh Hadamard Transform For Signal and Image Compression Using Matlab» (en anglès). https://www.section.io.+[Consulta: 18 novembre 2022].
* ↑ «Walsh-Hadamard Transform - MATLAB & Simulink» (en anglès). https://www.mathworks.com.+[Consulta: 18 novembre 2022].
* ↑ «Walsh-Hadamard Transform - an overview | ScienceDirect Topics» (en anglès). https://www.sciencedirect.com.+[Consulta: 18 novembre 2022].