# Mètode de Descartes

El mètode de Descartes és un mètode introduït en 1637 pel matemàtic francès René Descartes en la seva obra La Géométrie, per a la resolució de l'equació de quart grau que, a diferència amb el mètode de Ferrari, tracta de factoritzar l'equació quàrtica reduïda en dos polinomis quadràtics per tal d'arribar a les solucions de l'equació original.

## Estratègia general

Sigui l'equació de quart grau
    $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$,
s'ha de reduir a la seva forma reduïda, fent una transformació de Tschirnhaus, per tant això resulta en el següent:
    $w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,$,
on
    $r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}$
    $s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}$
    $t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}$
Aquesta equació de quart grau es factoritza en dos polinomis quadràtics:
    $(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,$
A l'efectuar el producte i relacionar-lo amb l'equació quàrtica reduïda, obtenim el següent sistema d'equacions:
    ${\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}$
En aquest sistema, després de diverses operacions, obtenim una equació que aparentment és de sisè grau:
    $\alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0$,
que en termes d' $\alpha ^{2}$ és una equació cúbica, per tant substituïm $\alpha ^{2}$ per $y$.
    $\alpha ^{2}=y\rightarrow y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0$,
que pot ser resolta pel mètode de Cardano (en cas que l'equació tingui dues o tres arrels reals, es pren la primera arrel com a primera prioritat), on $y$ ha de ser una arrel real positiva de l'equació cúbica resolvent.
Després de fer càlculs posteriors, obtenim les quatre solucions de l'equació original:
    $x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$
    $x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$
    $x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$
    $x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

## Demostració del mètode de Descartes

Donada l'equació quàrtica
    $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$
Dividim l'equació inicial per la component quàrtica, obtenint:
    $x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0\,$
Procedim a substituir $x=w-{\frac {b}{4a}}\,$ per eliminar el terme cúbic:
    $\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}=0$,
on
    $\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}=w^{4}-{\frac {bw^{3}}{a}}+{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}-{\frac {b^{3}w}{16a^{3}}}+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}$
    ${\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}={\frac {bw^{3}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {3bw^{3}}{16a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{4}}}$
    ${\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}={\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}$
    ${\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)={\frac {dw}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}$
En efecte, al desenvolupar la suma algebraica dels resultats dels productes presents, el terme $-{\frac {b}{a}}w^{3}\,$ està compensat igualment per ${\frac {b}{a}}w^{3}\,$, per la qual cosa es cancel·larà el terme $w^{3}\,$. Per tant, el resultat d'aquesta suma algebraica és:
    $w^{4}+{\frac {cz^{2}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {2b^{3}w}{16a^{3}}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {dw}{a}}+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0$
Indiquem factor comú en els termes amb $w$:
    $w^{4}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)w^{2}+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)w+\left({\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}\right)=0$
Llavors, d'acord a les definicions recentment introduïdes, escriurem l'expressió simplement com
    $w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,$
on aquesta expressió és l'equació quàrtica reduïda, les components es donen per:
    $r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}$
    $s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}$
    $t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}$
En aquest moment, la idea important és factoritzar l'anterior en $(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,$, acció que és possible ja que no està present el terme cúbic en el polinomi, i que al desenvolupar la multiplicació distributivament ve donada de forma explícita per les següents raons:
    $w^{4}+(\beta +\gamma -\alpha ^{2})w^{2}+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma \,=0$.
A l'identificar l'anterior amb els termes $r$, $s$ i $t$, obtenim les següents relacions:
    $\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\,$,
    $\alpha (\gamma -\beta )=s\,$,
    $\beta \gamma =t\,$.
Si volem trobar el valor de $\alpha$ primerament, considerem les relacions exposades com un sistema d'equacions de tres incògnites:
    ${\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}$
Passem $\alpha ^{2}$ al membre dret de la primera equació, obtenint:
    $\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}$
Passem $\alpha$ al membre dret de la segona equació, obtenint:
    $\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}$
Amb els resultats obtinguts, formem un nou sistema d'equacions.
    ${\begin{cases}\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}$
Sumem i restem les dues equacions del nou sistema, i unim els resultats en un altre nou sistema:
    ${\begin{cases}2\beta =r+\alpha ^{2}-{\frac {s}{\alpha }}\\2\gamma =r+\alpha ^{2}+{\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}$
Multipliquem les equacions de sistema recent, obtenint:
    $4\beta \gamma =\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}$
Ens adonem que existeix $\beta \gamma$, per tant el reemplacem per $t$:
    $4t=\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}$
Passem $4t$ a l'altre membre de la igualtat amb signe oposat, això dona:
    $\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}-4t=0$
Com que hi ha un terme fraccionari, procurem multiplicar l'equació per $\alpha ^{2}$:
    $\alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+r^{2}\alpha ^{2}-s^{2}-4t\alpha ^{2}=0$
Finalment, indiquem factor comú en $r^{2}\alpha ^{2}$ i $4t\alpha ^{2}$:
    $\alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0$
Fem la substitució $\alpha ^{2}=y$ (obtenint una equació cúbica resolvent):
    $y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0\,$
Llavors, sigui $y$ una arrel positiva de l'equació cúbica resolvent. Solucionem per $\alpha$:
    $\alpha ^{2}=y\rightarrow \alpha ={\sqrt {y}},y>0$
Per tant, hem trobat la solució per $\alpha$. Per tant, reemplaçant $\alpha$ en el sistema anterior al recent, obtenim les solucions $\beta$ i $\gamma$:
    $2\beta =r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \beta ={\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}$
    $2\gamma =r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \gamma ={\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}$
Reemplacem els valors d' $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ les dues equacions quadràtiques:
    $(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0$
    $\left(w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)\left(w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=0$
Apliquem la llei del producte nul en tots dos factors, això els separa en dues equacions quadràtiques diferents:
    $w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0$
    $w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0$
Calculem el discriminant de cada equació quadràtica:
    $\Delta _{a}=b^{2}-4ac=\left({\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}$
    $\Delta _{b}=b^{2}-4ac=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}$
Resolem les dues equacions per separat:
    $w_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{a}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$
    $w_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{b}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$
Llavors les solucions de l'equació cuártica reduïda són:
    $w_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$
    $w_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$
    $w_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$
    $w_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}$
I al mateix temps les solucions de l'equació original són:
    $x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$
    $x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$
    $x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$
    $x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}$

## Referències

* ↑ «The Quartic Formula (Descartes)» ( PDF) (en anglès). Kentucky Mathematical Association of Two Year Colleges.
* ↑ «Solución de la ecuación cuártica por el método de Descartes. Demostración» (en castellà). YouTube.