# Sumatori de Riemann

En matemàtiques, un sumatori de Riemann és un mètode per aproximar l'àrea entre el gràfic d'una corba i l'eix x; és a dir una aproximació de la integral. Prenent el límit quan el nombre de termes tendeix a infinit es pot fer servir per a definir l'operació d'integració,
El sumatori de Riemann, rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Bernhard Riemann.

## Definició

Sia la funció f: D → R, on D és un subconjunt del conjunt dels nombres reals R, i sia I = [a, b] un interval tancat contingut a D. Un conjunt finit de punts {x$_0$, x$_1$, x₂, ... x$_n$} tals que a = x$_0$ < x$_1$ < x₂ ... < x$_n$ = b Crea una partició
    P = {[x$_0$, x$_1$), [x$_1$, x₂), ... [x$_{n-1}$, x$_n$]}
de I.
si P és una partició amb n elements de I, llavors el sumatori de Riemann de f sobre I amb la partició P es defineix com
    $S=\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(x_{i}-x_{i-1})$
on x$_{i-1}$ ≤ y$_i$ ≤ x$_i$. La selecció de y$_i$ en aquest interval és arbitrària. Si y$_i$ = x$_{i-1}$ per a tot i, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann esquerrà. Si y$_i$ = x$_i$, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann dret. Si y$_i$ = (x$_i$+x$_{i-1}$)/2, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann mig. Calculant la mitja dels sumatoris de Rieman dret i esquerre s'obté l'anomenat sumatori trapezoïdal.
Si es té
    $S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})$
on v$_i$ és el suprem de f sobre [x$_{i-1}$, x$_i$]; llavors S és per definició un sumatori de Riemann superior. De manera similar, si v$_i$ és l'ínfim de f sobre [x$_{i−1}$, x$_i$], llavors S é un sumatori de Riemann inferior.
Qualsevol sumatori de Riemann en una partició donada (és a dir, per a qualsevol elecció de y$_i$ between x$_{i-1}$ i x$_i$) està entre els sumatoris de Riemann inferior i superior. Una funció és Riemann integrable si els sumatoris de Riemann inferior i superior esdevenen cada cop més propers a mesura que la partició es fa més i més fina. Aquest fet també es pot fer servi en integració numèrica.

## Mètodes

Tal com s'ha establert més amunt, hi ha quatre mètodes habituals per a calcular els sumatoris de Riemann: esquerra, dreta, mig i trapezoïdal. Tot seguit s'estudiaran pel cas senzill en el que les particions es construeixen amb intervals de la mateixa mida. Així, si es divideix l'interval [a, b] en n subintervals, cada un tindrà longitud Q = (b − a) / n. Els punts de la partició seran
    a, a + Q, a + 2Q, ..., a + (n−2)Q, a + (n−1)Q, b.

### Sumatori de Riemann esquerra

En el sumatori de Riemann esquerra la funció s'aproxima pel valor que té al punt extrem de l'esquerra de l'interval. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent això per i = 0, 1, ..., n−1, i sumant les àrees resultants s'obté
    $Q\left[f(a)+f(a+Q)+f(a+2Q)+\cdots +f(b-Q)\right].\,$
Els sumatori de Riemann esquerra serà una sobre estimació si f és monòtona decreixent a l'interval, i una subestimació si és monòtona creixent.

### Sumatori de Rieman dret

Aquí, per a cada interval s'aproximarà f pel valor que té a l'extrem dret. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent-ho per i = 1, 2, ..., n−1, n, i sumant les àrees que en resulten s'obté
    $Q\left[f(a+Q)+f(a+2Q)+\cdots +f(b)\right].\,$
El sumatori de Riemann dret serà una sobreestimació di la funció f és monòtona creixent, i una subestimació si és monòtona decreixent.

### Sumatori mig

En aquest cas s'agafa com aproximació de f a cada interval e seu valor al punt mitjà. Pel primer interval es té f(a + Q/2), pel següent f(a + 3Q/2), i així fins a arribar a f(b-Q/2). Sumant les àrees, es troba
    $Q\left[f(a+Q/2)+f(a+3Q/2)+\cdots +f(b-Q/2)\right].$
L'error d'aquesta fórmula serà
    $\left\vert \int _{a}^{b}f(x)-A_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{(24n^{2})}},$
on $M_{2}$ és el valor màxim del valor absolut de $f^{\prime \prime }(x)$ a l'interval.

### Sumatori trapezoïdal

En aquest cas, els valors de la funció f en un interval s'aproximaran per la mitja aritmètica dels valors que pren la funció als extrems esquerra i dret de l'interval. De forma similar a l'anterior, un simple càlcul emprant la fórmula de l'àrea $A=h(b_{1}+b_{2})/2$ per un trapezi de cares paral·leles b$_1$, b₂ i alçada h es troba que el sumatori de Riemann és
    ${\frac {1}{2}}Q\left[f(a)+2f(a+Q)+2f(a+2Q)+2f(a+3Q)+\cdots +f(b)\right].$
L'error d'aquesta aproximació per la integral és
    $\left\vert \int _{a}^{b}f(x)-A_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{(12n^{2})}},$
on $M_{2}$ és el valor màxim del valor absolut de $f^{\prime \prime }(x).$

## Vegeu també

* Integral de Riemann-Stieltjes
* Integral de Lebesgue
* Mètode de Simpson

## Enllaços externs

* Una simulació que mostra la convergència dels sumatoris de Riemann