# Operador pseudo-diferencial

En anàlisi matemàtica un operador pseudo-diferencial és una extensió del concepte d'operador diferencial. Els operadors pseudo-diferencials s'utilitzen àmpliament en la teoria d'equacions diferencials parcials i en la teoria quàntica de camps, per exemple, en models matemàtics que inclouen equacions pseudo-diferencials ultramètriques en un espai no arquimède.

## Història

L'estudi dels operadors pseudo-diferencials va començar a mitjans dels anys 60 amb el treball de Kohn, Nirenberg, Hörmander, Unterberger i Bokobza.
Van tenir un paper influent en la segona demostració del teorema de l'índex Atiyah-Singer mitjançant la teoria K. Atiyah i Singer van agrair a Hörmander l'ajuda per entendre la teoria dels operadors pseudo-diferencials.

## Motivació
### Operadors diferencials lineals amb coeficients constants

Considereu un operador diferencial lineal amb coeficients constants,
$P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }$
que actua sobre funcions suaus $u$ amb suport compacte en R$^n$. Aquest operador es pot escriure com una composició d'una transformada de Fourier, una simple multiplicació per la funció polinòmica (anomenada símbol)
$P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },$
i una transformada de Fourier inversa, de la forma:
    $\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi$         (1)

### Representació de solucions d'equacions en derivades parcials

Per resoldre l'equació en derivades parcials
$P(D)\,u=f$
apliquem (formalment) la transformada de Fourier a ambdós costats i obtenim l'equació algebraica
$P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).$
Si el símbol P ( ξ ) mai és zero quan ξ ∈ R $^n$, llavors és possible dividir per P ( ξ ):
${\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )$
Per la fórmula d'inversió de Fourier, una solució és
$u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

## Definició d'operadors pseudo-diferencials

Aquí veiem els operadors pseudo-diferencials com una generalització dels operadors diferencials. Ampliem la fórmula (1) de la següent manera. Un operador pseudo-diferencial P (x,D) a R$^n$ és un operador el valor del qual a la funció u(x) és la funció de x:
    $\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi$         (2)
on ${\hat {u}}(\xi )$ és la transformada de Fourier de u i el símbol P ( x, ξ ) de l'integrand pertany a una classe de símbols determinada. Per exemple, si P(x,ξ) és una funció infinitament derivable en R$^n$×R$^n$ amb la propietat
$|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}$
per a tot x, ξ ∈ R$^n$, tots els multiíndexs α, β, algunes constants C$_{α,β}$ i algun nombre real m, aleshores P pertany a la classe de símbols $\scriptstyle {S_{1,0}^{m}}$ d'Hörmander. L'operador corresponent P(x, D) s'anomena operador pseudo-diferencial d'ordre m i pertany a la classe $\Psi _{1,0}^{m}.$

## Referències

* ↑ «PSEUDODIFFERENTIAL OPERATORS» (en anglès). [Consulta: 11 agost 2024].
* ↑ «Lectures on Pseudodifferential operators» (en anglès). [Consulta: 10 agost 2024].
* ↑ «[https://www.math.univ-toulouse.fr/~bouclet/Notes-de-cours-exo-exam/M2/cours-2012.pdf An introduction to pseudo-differential operators]» (en anglès). [Consulta: 10 agost 2024].
* ↑ «An Introduction to Pseudo-Differential Operators | Series on Analysis, Applications and Computation» (en anglès). DOI: 10.1142/9074. [Consulta: 11 agost 2024].