# Llista de grups petits

Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.
Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.

## Terminologia

El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.
* C$_n$: el grup cíclic d'ordre n (es correspon amb el grup additiu de ℤ/nℤ, denotat de vegades ℤ$_n$).
* D$_n$: el grup dièdric d'ordre 2n (de vegades s'usa la notació D$_{2n}$ o D$_{2,n}$)
* S$_n$: el grup simètric que conté les n! permutacions d'un conjunt de n elements.
* A$_n$: el grup alternat amb les n!/2 permutacions de S$_n$ que tenen signe parell.
* Dic$_n$: el grup dicíclic d'ordre 4n.
La notació G × H indica el producte directe de dos grups; G$^n$ indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. $G\rtimes H$ vol dir el producte semidirecte on H actua sobre G; si l'acció particular de H sobre G s'omet és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat d'isomorfisme.
S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics C$_n$, per a n primer).
L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.
A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.

## Llista de grups abelians petits

Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.
| Ordre | Grup | Subgrups | Propietats | Graf dels cicles |
| 1 | grup trivial = C$_1$ = S$_1$ = A₂ | - | trivialment té propietats diverses | Graf dels cicles per al grup trivial |
| 2 | C₂ = S₂ = D$_1$ | - | simple, el grup no trivial més petit | Graf dels cicles per al grup C2 |
| 3 | C₃ = A₃ | - | simple | Graf dels cicles per al grup C3 |
| 4 | C₄ | C₂ | | Graf dels cicles per al grup C4 |
| 4 | Grup de Klein = C₂ × C₂ = D₂ | C₂ (3) | el grup no cíclic més petit | Graf dels cicles per al grup de Klein D2 |
| 5 | C₅ | - | simple | Graf dels cicles per al grup C5 |
| 6 | C₆ = C₃ × C₂ | C₃, C₂ | | Graf dels cicles per al grup C6 |
| 7 | C₇ | - | simple | Graf dels cicles per al grup C7 |
| 8 | C₈ | C₄, C₂ | | Graf dels cicles per al grup C8 |
| 8 | C₄ × C₂ | C₂², C₄ (2), C₂ (3) | | Graf dels cicles per al grup C4 × C2 |
| 8 | C₂$^3$ | C₂² (7), C₂ (7) | | Graf dels cicles per al grup C2^3 |
| 9 | C$_9$ | C₃ | | C9 |
| 9 | C₃² | C₃ (4) | | Graf dels cicles per al grup C3^2 |
| 10 | C$_{10}$ = C₅ × C₂ | C₅, C₂ | | C10 |
| 11 | C$_{11}$ | - | simple | C11 |
| 12 | C₁₂ = C₄ × C₃ | C₆, C₄, C₃, C₂ | | C12 |
| 12 | C₆ × C₂ = C₃ × C₂² | C₆ (3), C₃, C₂ (3), C₂² | | Graf dels cicles per al grup C3 × C2^2 |
| 13 | C$_{13}$ | - | simple | C13 |
| 14 | C$_{14}$ = C₇ × C₂ | C₇, C₂ | | C14 |
| 15 | C$_{15}$ = C₅ × C₃ | C₅, C₃ | | C15 |
| 16 | C$_{16}$ | C₈, C₄, C₂ | | C16 |
| 16 | C₂$^4$ | C₂ (15), C₂² (35), C₂$^3$ (15) | | Graf dels cicles per al grup C2^4 |
| 16 | C₄ × C₂² | C₂ (7), C₄ (4), C₂² (7), C₂$^3$, C₄ × C₂ (6) | | Graf dels cicles per al grup C4 × C2^2 |
| 16 | C₈ × C₂ | C₂ (3), C₄ (2), C₂², C₈ (2), C₄ × C₂ | | Graf dels cicles per al grup C8 × C2 |
| 16 | C₄² | C₂ (3), C₄ (6), C₂², C₄ × C₂ (3) | | Graf dels cicles per al grup C4^2 |

## Llista de grups no abelians petits

| Ordre | Grup | Subgrups | Propietats | Graf dels cicles |
| 6 | S₃ = D₃ | C₃, C₂ (3) | el grup no abelià més petit | S3 |
| 8 | D₄ | C₄, C₂² (2), C₂ (5) | | D4 |
| 8 | Grup dels quaternions, Q₈ = Dic₂ | C₄ (3), C₂ | el grup hamiltonià més petit | Grup dels quaternions Q8 |
| 10 | D₅ | C₅, C₂ (5) | | D5 |
| 12 | D₆ = D₃ × C₂ | C₆, D₃ (2), C₂² (3), C₃, C₂ (7) | | D6 |
| 12 | A₄ | C₂², C₃ (4), C₂ (3) | el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.) | A4 |
| 12 | Dic₃ = $C_{3}\rtimes C_{4}$ | C₂, C₃, C₄ (3), C₆ | | Dic3 |
| 14 | D₇ | C₇, C₂ (7) | | D7 |
| 16 | D₈ | C₈, D₄ (2), C₂² (4), C₄, C₂ (9) | | D8 |
| 16 | D₄ × C₂ | D₄ (2), C₄ × C₂, C₂$^3$ (2), C₂² (11), C₄ (2), C₂ (11) | | D4 × C2 |
| 16 | Grup generalitzat dels quaternions Q$_{16}$ = Dic₄ | | | Grup generalitzat dels quaternions Dic4 |
| 16 | Q₈ × C₂ | | grup hamiltonià | Q8 × C2 |
| 16 | El grup quasidièdric d'ordre 16 | | | Grup quasidièdric d'ordre 16 |
| 16 | El grup d'Iwasawa d'ordre 16 | | | grup d'Iwasawa d'ordre 16 |
| 16 | $C_{4}\rtimes C_{4}$ | | | C4 ⋊ C4 |
| 16 | El grup generat per les matrius de Pauli | | | grup generat per les matrius de Pauli |
| 16 | G$_{4,4}$ = $C_{2}^{2}\rtimes C_{4}$ | | | C2^2 ⋊ C4 |

## Llibreria de grups petits

Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. Actualment aquesta llibreria conté els grups següents:
* Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422.
* Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups.
* Els d'un ordre lliure de quadrats.
* Els d'ordre p$^n$ per a n fins a 6 i p un nombre primer.
* Els d'ordre p$^7$ per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups.
* Els d'ordre q$^n$⋅p on q$^n$ divideix 2$^8$, 3⁶, 5⁵ o 7$^4$ i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q.
* Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.
Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.

## Vegeu també

* Grup (matemàtiques)
* Introducció a la teoria de grups
* Teoria de grups
* Grup finit
* Grup abelià finit
* Grup simple
* Llista de grups finits simples

## Enllaços externs

* Pedersen, John. «Groups of small order» (en anglès). Arxivat de l'original el 2006-12-05. [Consulta: 14 febrer 2010].
* Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès).
* Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. The Groups of Order 2$^n$ (n ≤ 6) (en anglès). Macmillan, 1964. «Un catàleg exhaustiu dels 340 grups amb ordre divisor de 64.»

## Referències

* ↑ Wild, Marcel «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (en anglès). American Mathematical Monthly, 01-01-2005. Arxivat de l'original el 23 de setembre 2006 [Consulta: 14 febrer 2010]. Arxivat 23 de setembre 2006 a Wayback Machine.
* ↑ Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès). [Consulta: 14 febrer 2010].