# Hipòtesi de Lindelöf

En matemàtiques, la hipòtesi de Lindelöf és una conjectura formulada pel matemàtic finlandès Ernst Leonard Lindelöf (vegeu Lindelöf (1908)) sobre la taxa de creixement de la funció zeta de Riemann en la línia crítica i que està implicada per la hipòtesi de Riemann.
Aquesta postula que, per a qualsevol ε > 0,
    $\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right){\mbox{ és }}{\mathcal {O}}(t^{\varepsilon }),$
quan t tendeix a infinit (vegeu notació de Landau). Ja que ε pot ser reemplaçat per un valor menor, aquesta conjectura també pot postular-se com:
Per a qualsevol nombre real positiu ε,
    $\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right){\mbox{ és }}o(t^{\varepsilon }).$

## La funció μ

Si σ és real, llavors μ(σ) es defineix com l'ínfim de tots els nombres reals a tals que ζ(σ + iT) = O(T$^a$)). És trivial el observar que μ(σ) = 0 per a σ > 1, i l'equació funcional de la funció zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmén-Lindelöf implica també que μ és convexa. La hipòtesi de Lindelöf assegura que μ(1/2) = 0, el que juntament amb les propietats esmentades abans de μ impliquen que μ(σ) és 0 per a σ ≥ 1/2, i 1/2 − σ per a σ σ ≤ 1/2.
El resultat de convexitat de Lindelöf juntament amb μ(1) = 0 y μ(0) = 1/2 impliquen que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El límit superior de 1/4 va ser rebaixat per Hardy i Littlewood a 1/6 mitjançant l'aplicació del mètode de Weyl d'estimació de sumes exponencials per a l'equació funcional aproximada de la funció zeta. Des de llavors, aquest límit ha estat rebaixat significativament a una quantitat menor que 1/6 per diversos autors, usant llargues i complexes demostracions, com indica la següent taula:
| μ(1/2) ≤ | μ(1/2) ≤ | Autor |
| 1/4 | 0,25 | Lindelöf (1908) | Límit de convexitat |
| 1/6 | 0,1667 | Hardy & Littlewood (?) |
| 163/988 | 0,1650 | Walfisz (1924) |
| 27/164 | 0,1647 | Titchmarsh (1932) |
| 229/1392 | 0,164512 | Phillips (1933) |
| | 0,164511 | Rankin (1955) |
| 19/116 | 0,1638 | Titchmarsh (1942) |
| 15/92 | 0,1631 | Min (1949) |
| 6/37 | 0,16217 | Haeneke (1962) |
| 173/1067 | 0,16214 | Kolesnik (1973) |
| 35/216 | 0,16204 | Kolesnik (1982) |
| 139/858 | 0,16201 | Kolesnik (1985) |
| 32/205 | 0,1561 | Huxley (2002) |

## Relació amb la hipòtesi de Riemann

Backlund (1918-1919) va mostrar que la hipòtesi de Lindelöf és equivalent al següent enunciat sobre els zeros de la funció zeta:
Per a cada ε > 0, el nombre de zeros amb part real com a mínim 1/2 + ε i la part imaginària T i T + 1 és o(log (T)) quan T tendeix a infinit. La hipòtesi de Riemann implica que no hi ha cap zero en aquesta regió, així doncs implica a la hipòtesi de Lindelöf. Se sap que el nombre de zeros amb part imaginària T i T + 1 és O(log(T)), així que la hipòtesi de Lindelöf sembla només una mica més fort que el que ja ha estat demostrat, però tot i això, segueix resistint a tots els intents de demostració, sent aquests ja molt complicats.

## Mitjana de les potències de la funció zeta

La hipòtesi de Lindelöf és equivalent a l'afirmació que
    $\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=O(T^{1+\varepsilon })$
per a tots els enters positius k i per a tots els nombres reals positius ε. Aquesta afirmació ha estat demostrada per k = 1 o 2, però el cas k = 3 sembla més complex i encara es troba com un problema obert.
Hi ha una més precisa conjectura sobre el comportament asimptòtic d'aquesta integral: Es creu que
    $\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt=T\sum _{j=0}^{k^{2}}c_{k,j}\log(T)^{k^{2}-j}+o(T)$
per a algunes constants c$_{k,j}$. Això va ser demostrat per John Edensor Littlewood per k = 1 i per Heath-Brown (1979) per k = 2 (estenent un resultat de Ingham (1926) el qual va trobar el terme principal).
Conrey & Ghosh (1998) va suggerir el valor $(42/9!)\prod _{p}\left((1-p^{-1})^{4}(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)$ per al coeficient principal quan k és 6, i Keating & Snaith (2000) van usar teoria de matrius aleatòries per suggerir algunes conjectures sobre els valors dels coeficients per a valors de k grans. Els coeficients principals ha estat conjecturats per ser el producte d'un factor elemental, un certa producte sobre nombres primers, i el nombre de n per n en taules de Young donat per la següent seqüència:
* 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, (successió A039622 a l'OEIS).

## Altres conseqüències

Denotant com p$_n$ el n-èsim nombre primer, un resultat donat per Albert Ingham, mostra que la hipòtesi de Lindelöf implica que, per qualsevol ε > 0,
    $p_{n+1}-p_{n}\ll p_{n}^{1/2+\varepsilon }\,$
si n es prou gran. No obstant això, aquest resultat és molt pitjor que l'àmplia conjectura de l'espai entre primers consecutius.

## Referències

* Backlund, R. (1918–1919), "Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion", Ofversigt Finska Vetensk. Soc. 61 (9)
* Conrey, J. B.; Farmer, D. W. & Keating, Jonathan P. et al. (2005), "Integral moments of L-functions", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 91 (1): 33–104, MR 2149530, ISSN 0024-6115, DOI 10.1112/S0024611504015175
* Conrey, J. B.; Farmer, D. W. & Keating, Jonathan P. et al. (2008), "Lower order terms in the full moment conjecture for the Riemann zeta function", Journal of Number Theory 128 (6): 1516–1554, MR 2419176, ISSN 0022-314X, DOI 10.1016/j.jnt.2007.05.013
* Conrey, J. B. & Ghosh, A. (1998), "A conjecture for the sixth power moment of the Riemann zeta-function", International Mathematics Research Notices 1998 (15): 775–780, MR 1639551, ISSN 1073-7928, DOI 10.1155/S1073792898000476
* Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, Nova York: Dover Publications, MR 0466039, ISBN 978-0-486-41740-0
* Heath-Brown, D. R. (1979), "The fourth power moment of the Riemann zeta function", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 38 (3): 385–422, MR 532980, ISSN 0024-6115, DOI 10.1112/plms/s3-38.3.385
* Huxley, M. N. (2002), "Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function", Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000), A K Peters, pàg. 275–290, MR 1956254
* Huxley, M. N. (2005), "Exponential sums and the Riemann zeta function. V", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 90 (1): 1–41, MR 2107036, ISSN 0024-6115, DOI 10.1112/S0024611504014959
* Ingham, A. E. (1928), "Mean-Value Theorems in the Theory of the Riemann Zeta-Function", Proc. London Math. Soc. s2-27: 273–300, DOI 10.1112/plms/s2-27.1.273
* Ingham, A. E. (1940), "On the estimation of N(σ,T)", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series 11: 291–292, MR 0003649, ISSN 0033-5606, DOI 10.1093/qmath/os-11.1.201
* Karatsuba, A. A. & Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, vol. 5, de Gruyter Expositions in Mathematics, Berlin: Walter de Gruyter & Co., MR 1183467, ISBN 978-3-11-013170-3
* Keating, Jonathan P. & Snaith, N. C. (2000), "Random matrix theory and ζ(1/2+it)", Communications in Mathematical Physics 214 (1): 57–89, MR 1794265, ISSN 0010-3616, DOI 10.1007/s002200000261
* Lindelöf, Ernst (1908), "Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)", Bull. Sci. Math. 32: 341–356
* Motohashi, Yõichi (1995), "A relation between the Riemann zeta-function and the hyperbolic Laplacian", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV 22 (2): 299–313, MR 1354909, ISSN 0391-173X, <http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_2_299_0>
* Motohashi, Yõichi (1995), "The Riemann zeta-function and the non-Euclidean Laplacian", Sugaku Expositions 8 (1): 59–87, MR 1335956, ISSN 0898-9583
* Titchmarsh, Edward Charles. The theory of the Riemann zeta-function. 2a. The Clarendon Press Oxford University Press, 1986. MR 882550. ISBN 978-0-19-853369-6.
* «Lindelöf hypothesis» (en anglès). Encyclopaedia of Mathematics. Springer.