# Forma de curvatura

En geometria diferencial, la forma de curvatura descriu la curvatura d'una connexió de Cartan en un fibrat principal.
Pot ser considerada com una alternativa o una generalització del tensor de curvatura en geometria riemanniana.

## Definició

Sigui G un grup de Lie amb àlgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$, i P → B un G-fibrat principal. Sigui ω una connexió d'Ehresmann sobre P (la qual és una forma 1-diferencial en P avaluada a ${\mathfrak {g}}$).
Llavors la forma de curvatura és la forma 2-diferencial de valor-${\mathfrak {g}}$ en P definida per
    $\Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .$
Aquí $d$ representa la derivada exterior, .$[\cdot \wedge \cdot ]$ és una forma diferencial avaluada a l'àlgebra de Lie, i D denota la derivada covariant exterior. És a dir, degut a que
    $[\omega \wedge \omega ](X,Y)=([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])$
on X, Y són vectors tangents a P, llavors utilitzant la fórmula anterior obtenim que
    $\,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].$
Existeix també una altra expressió per a Ω: Si X, Y són camps vectorials horitzontals a P, llavors
    $2\Omega (X,Y)=-[hX,hY]+h[X,Y]$
on hZ representa el component horitzontal de Z i a la dreta identifiquem un camp de vector vertical i un element d'àlgebra de Lie que el genera (camp vectorial fonamental), degut a que
    $\sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).$
Una connexió és anomenada plana si la seva curvatura val zero: Ω = 0. Equivalentment, una connexió és plana si el grup d'estructura pot ser reduït al mateix grup subjacent però amb la topologia discreta.

### Forma de curvatura en un fibrat de vectors

Si E → B és un fibrat de vectors, aleshores es pot considerar ω com una matriu d'1-formes i la fórmula superior esdevé l'equació d'estructura d'E. Cartan:
    $\,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,$
On $\wedge$ és el producte "wedge". Més concretament, si $\omega _{\ j}^{i}$ i $\Omega _{\ j}^{i}$ denoten components de ω i Ω respectivament, ($\omega _{\ j}^{i}$ és una 1-forma i $\Omega _{\ j}^{i}$ és un 2-forma) llavors
    $\Omega _{\ j}^{i}=d\omega _{\ j}^{i}+\sum _{k}\omega _{\ k}^{i}\wedge \omega _{\ j}^{k}.$
Per exemple, per al fibrat tangent d'una varietat riemanniana, el grup d'estructura és O(n) i Ω és un 2-forma amb valors en l'àlgebra de Lie de O(n), i.e. les matrius antisimètriques. En aquest cas la forma Ω és una descripció alternativa del tensor de curvatura, i.e.
    $\,R(X,Y)=\Omega (X,Y),$
Utilitzant la notació estàndard per al tensor de curvatura de Riemannian.

## Identitats de Bianchi

Si $\theta$ és l'1-forma de valors vectorials canònica en el marc del fibrat, la torsió $\Theta$ de la forma de connexió $\omega$ és la 2-forma de valors vectorials definida per l'equació d'estructura
    $\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,$
on, com a dalt, D denota la derivava covariant exterior.
La primera identitat de Bianchi pren la forma
    $D\Theta =\Omega \wedge \theta .$
La segona identitat de Bianchi pren la forma
    $\,D\Omega =0$
que és vàlida de manera general per a qualsevol connexió d'un fibrat principal.

## Bibliografia

* Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu (1963) Fundacions de Geometria Diferencial, Vol.I, Capítol 2.5 "Curvature form and structure equation", p 75, Wiley Interscience.

## Vegeu també

* Teoria de gauge