# Homeomorfisme

* No s'ha de confondre amb homomorfisme.
En matemàtiques, i més precisament en topologia, un homeomorfisme és un isomorfisme topològic; és a dir, una aplicació entre dos espais topològics que en preserva les respectives topologies. Un homeomorfisme és doncs una bijecció contínua amb inversa contínua; per això també s'anomenen aplicacions bicontínues. El terme homeomorfisme prové de les paraules gregues ὅμοιος (homoios) = similar i μορφή (morphē) = forma.
Els homeomorfismes preserven les propietats topològiques dels espais que relacionen. Dos espais topològics es diuen homeomorfs quan existeix un homeomorfisme entre ells: des del punt de vista topològic, tenen les mateixes propietats. La topologia és precisament la branca de la matemàtica que estudia les propietats dels objectes que no canvien en aplicar-los homeomorfismes.
Si pensem en un espai topològic com un objecte geomètric, un homeomorfisme és una transformació que permet deformar-lo: estirar-lo, arronsar-lo, doblegar-lo... Un acudit prou conegut afirma que un topòleg és aquell matemàtic que no distingeix un dònut d'una tassa de cafè.

## Definició

Siguin X i Y espais topològics. Una aplicació f: X → Y és un homeomorfisme quan compleix les propietats següents:
* f és bijectiva
* f és contínua
* La seva inversa f$^{-1}$ és contínua (o, cosa que és el mateix, f és una aplicació oberta).
En tal cas, es diu que X i Y són homeomorfs, i sovint s'escriu X≅Y.

## Exemples

* L'interval obert I =]−1,+1[ és homeomorf a la recta real R. Utilitzeu la funció $f(x)={\frac {2x-1}{x(x-1)}},$, x és a I.
* Un disc i un quadrat (subconjunts del pla R²) són homeomorfs.
* L'esfera S₂, privada d'un punt, és homeomorfa al pla R².
* L'espai producte S$_1$ × S$_1$ de dues circumferències és homeomorf a un tor bidimensional.
* Dos espais mètrics isomètrics són homeomorfs.
* Dues varietats diferenciables difeomorfes són homeomorfes.
* R$^n$ i R$^m$ no són homeomorfs si n≠m (teorema de la invariància de la dimensió).
* Una bijecció contínua pot no ser un homeomorfisme, ja que no té per què ser oberta. Alguns exemples:
** L'aplicació f: [0,2π[ → S$_1$ tal que f(t) = (cost,sint).
** L'aplicació identitat Id: X$_1$ → X₂ en un conjunt X de més d'un element, on X$_1$ té la topologia discreta i X₂ té la topologia grollera.

## Propietats

L'aplicació identitat d'un espai topològic, la composició de dos homeomorfismes, i l'aplicació inversa d'un homeomorfisme, són totes elles homeomorfismes. En particular, el conjunt dels homeomorfismes d'un espai topològic X en ell mateix és un grup, a vegades representat per Homeo(X).
Una bijecció contínua i oberta, o contínua i tancada, és un homeomorfisme. La darrera condició es compleix automàticament en alguns casos: si f: X → Y és una bijecció contínua, X és quasicompacte, i Y és separat, llavors f és tancada i doncs un homeomorfisme.
Qualsevol difeomorfisme entre varietats diferencials és un homeomorfisme entre els espais topològics subjacents. Tanmateix existeixen homeomorfismes que no són difeomorfismes, per exemple l'aplicació $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ definida per $f(x)=x^{3}$.
Un homeomorfisme és en particular una equivalència homotòpica.

## Vegeu també

* Isomorfisme
* Difeomorfisme
* Homeomorfisme local
* Homotopia

## Referències

* N. Bourbaki, Élements de mathématique. Topologie générale, Hermann, Paris, 1971.
* William S. Massey, Algebraic topology: an introduction, 1967.