# Nombre de Prandtl turbulent

El nombre de Prandtl turbulent (Pr$_t$) és un nombre adimensional definit com el ràtio entre la difusió turbulenta deguda del moment i la difusió turbulenta de la transmissió tèrmica. És útil per resoldre el problema de transmissió tèrmica en fluxos turbulents a la capa límit. El model més simple per Pr$_t$ és el de l'analogia de Reynolds, que dona un valor per nombre de Prandtl turbulent d'1. Segons dades experimentals, Pr$_t$ té un valor mitjà de 0.85, però va de 0.7 a 0.9 en funció del nombre de Prandtl del fluid en qüestió.

## Definició

La introducció de la difusivitat turbulenta i el conseqüent nombre de Prandtl turbulent és una manera de definir una relació simple entre la tensió tallant extra i el flux tèrmic que hi ha en un flux turbulent. Si la difusivitat tèrmica i la del moment són zero (no hi ha tensió tallant turbulent ni flux tèrmic aparentment), llavors les equacions de flux turbulent se simplifiquen a les equacions laminars. Es poden definir les difusions turbulentes per la transferència de moment $\varepsilon _{M}$ i transmissió tèrmica $\varepsilon _{H}$ com:
    $-{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}$ i $-{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}$
on $-{\overline {u'v'}}$ és la tensió tallant turbulent aparent i $-{\overline {v'T'}}$ és el flux tèrmic turbulent aparent. El nombre de Prandtl turbulent és llavors definit com:
    $\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.$
S'ha demostrat que en general el nombre de Prandtl turbulent no és igual a la unitat (e.g. Malhotra i Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot i Taylor, 1996; i Churchill, 2002). Està íntimament rekacionat amb el nombre de Prandtl molecular entre altres paràmetres de l'analogia de Reynolds: no és aplicable quan el nombre de Prandtl molecular difereix significativament de la unitat. and Churchill

## Aplicació

L'equació del moment en una capa límit turbulent és:
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].$
L'equació tèrmica en una capa límit turbulent és:
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).$
Substituint les difusions turbulentes en les equacions anteriors, s'obté:
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]$
i:
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$
Finalment, se substitueix en l'equació tèrmica usant la definició del nombre de Prandtl turbulent i s'acaba obtenint:
    ${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$

## Conseqüències

En el cas especial en què el nombre de Prandtl i el nombre de Prandtl turbulent són tots dos iguals a la unitat (com en l'analogia de Reynolds), el perfil de velocitats i el perfil de temperatures són idèntics. Això simplifica molt la solució del problema de transmissió tèrmica. Si el nombre de Prandtl i el nombre de Prandtl turbulent són diferents a la unitat, llavors existeix una solució si se sap el nombre de Prandtl turbulent, solucionant les equacions tèrmica i del moment.
En un cas general de turbulència en tres dimensions, el concepte de viscositat turbulenta i difusitivitat turbulenta no són vàlids. En conseqüència, el nombre de Prandtl turbulent no té cap significat.

## Referències

* ↑ Malhotra, Ashok, & KANG, S. S. 1984. Turbulent Prandtl number in circular pipes. Int. J. Heat and Mass Transfer, 27, 2158-2161
* ↑ McEligot, D. M. & Taylor, M. F. 1996, The turbulent Prandtl number in the near-wall region for Low-Prandtl-number gas mixtures. Int. J. Heat Mass Transfer., 39, pp 1287--1295
* ↑ Churchill, S. W. 2002; A Reinterpretation of the Turbulent Prandtl Number. Ind. Eng. Chem. Res., 41, 6393-6401. CLAPP, R. M. 1961.
* ↑ Kays, W. M. «Turbulent Prandtl Number—Where Are We?». Journal of Heat Transfer, 116, 2, 1994, pàg. 284–295. DOI: 10.1115/1.2911398.

## Bibliografia

* Kays, William; Crawford, M.; Weigand, B.. Convective Heat and Mass Transfer, Fourth Edition. McGraw-Hill, 2005. ISBN 978-0-07-246876-2.