# Espai euclidià

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.

## Primera aproximació

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides. Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.
En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

## Definicions matemàtiques
### Espai vectorial euclidià

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre $\mathbb {R}$, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.
En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:
    $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,u_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}$.
Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:
    $\lVert \mathbf {u} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$,
i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real $\theta$ comprès entre 0 i π, tal que:
    $\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}$

### Espai afí euclidià

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.
S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

### Exemples d'espai vectorial euclidià

* L'espai $\mathbb {R} ^{n}$, amb el producte escalar euclidià:
    $\langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},$
és un espai vectorial euclidià de dimensió n.
* L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
** amb el producte escalar euclidià:
    $\left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}$
és un espai euclidià de dimensió $n+1$.
** amb el producte escalar:
    $\langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt$
és també un espai euclidià amb una norma diferent.

## Propietats dels espais euclidians

* En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si $(u_{1},u_{2},...,u_{n})\,$ és una base de $\mathbf {E}$, existeix una base $(v_{1},v_{2},...,v_{n})\,$ ortonormal, tal que per a tot $k$ entre 1 i n, es compleix que:
    $\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle =\langle v_{1},v_{2},...,v_{k}\rangle \,$,
en què s'entén per $\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle \,$ la varietat lineal engendrada per aquells $k$ elements de la base.
* Tot espai vectorial euclidià de dimensió $n$ és isomorf a $\mathbb {R} ^{n}$.
* Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.
* Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial $\mathbf {F}$ d'un espai euclidià $\mathbf {E}$ es pot associar un únic subespai $\mathbf {F} ^{\bot }$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de $\mathbf {F}$, que és el seu ortogonal.
* Si $x\,$ és un vector de $\mathbf {E}$, l'aplicació producte escalar per $x\,$,$s_{x}:y\mapsto <x,y>$ és una forma lineal. L'aplicació que associa $x\,$ a $s_{x}\,$ és un isomorfisme de l'espai vectorial $\mathbf {E}$ en el seu dual $\mathbf {E} ^{*}$.
* Si $f\,$ és un endomorfisme de $\mathbf {E}$, existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per $f^{*}\,$ i anomenat adjunt de $f\,$, tal que:
    $\forall x,y\in \mathbf {E} ,<f(x),y>=<x,f^{*}(y)>$
Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si $f=f^{*}\,$, i endomorfisme antisimètric si $f=-f^{*}\,$.
En una base ortonormal, la matriu de $f^{*}\,$ és la transposada de $u\,$.

## Referències

* ↑ «Espai euclidià». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
* ↑ Lino Cabezas Gelabert, Luis Felipe Ortega De uhler. Anàlisi gràfica i representació geomètrica. Edicions Universitat Barcelona, 1999, p. 22. ISBN 8483381192.