# Gravetat linealitzada

En la teoria de la relativitat general, la gravetat linealitzada és l'aplicació de la teoria de la pertorbació al tensor mètric que descriu la geometria de l'espai-temps. Com a conseqüència, la gravetat linealitzada és un mètode eficaç per modelar els efectes de la gravetat quan el camp gravitatori és feble. L'ús de la gravetat linealitzada és integral per a l'estudi de les ones gravitatòries i les lents gravitacionals de camp feble.

## Aproximació de camp feble

L'equació de camp d'Einstein (EFE) que descriu la geometria de l'espai-temps es dóna com
$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$
on $R_{\mu \nu }$ és el tensor de Ricci, $R$ és l'escalar de Ricci, $T_{\mu \nu }$ és el tensor energia-impuls, $\kappa =8\pi G/c^{4}$ és la constant gravitatòria d'Einstein, i $g_{\mu \nu }$ és el tensor mètric espai-temps que representa les solucions de l'equació.
Tot i que succinta quan s'escriu utilitzant la notació d'Einstein, s'amaguen dins del tensor de Ricci i l'escalar de Ricci hi ha dependències excepcionalment no lineals del tensor mètric que fan que la perspectiva de trobar solucions exactes sigui poc pràctica en la majoria dels sistemes. Tanmateix, quan es descriuen sistemes per als quals la curvatura de l'espai-temps és petita (és a dir, els termes de l'EFE que són quadràtics en $g_{\mu \nu }$ no contribueixen significativament a les equacions de moviment), es pot modelar la solució de les equacions de camp com la mètrica de Minkowski $\eta _{\mu \nu }$ més un petit terme de pertorbació $h_{\mu \nu }$. En altres paraules:
$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.$
En aquest règim, substituint la mètrica general $g_{\mu \nu }$ perquè aquesta aproximació pertorbativa dóna lloc a una expressió simplificada per al tensor de Ricci:
$R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),$
on $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ és el rastre de la pertorbació, $\partial _{\mu }$ denota la derivada parcial respecte a la $x^{\mu }$ coordenades de l'espai-temps, i $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ és l'operador d'Alembert.
Juntament amb l'escalar de Ricci,
$R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,$
el costat esquerre de l'equació de camp es redueix a
$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).$
i per tant l'EFE es redueix a una equació diferencial parcial lineal de segon ordre en termes de $h_{\mu \nu }$.

## Referències

* ↑ «Lecture VIII: Linearized gravity» (en anglès). [Consulta: 22 setembre 2024].
* ↑ «[https://cosmo.nyu.edu/yacine/teaching/GR_2019/lectures/lecture14.pdf General Relativity Fall 2019 Lecture 11: Linearized gravity, Part I]» (en anglès). [Consulta: 22 setembre 2024].
* ↑ «Lecture 14: Linearized Gravity I: Principles and Static Limit | General Relativity | Physics» (en anglès). [Consulta: 22 setembre 2024].
* ↑ «4 Linearized gravity» (en anglès). [Consulta: 22 setembre 2024].