# Equació d'Allen-Cahn

L'equació d'Allen-Cahn (anomenada així en honor de John W. Cahn i Sam Allen), és una equació de reacció-difusió de física matemàtica que descriu el procés de separació de fases en sistemes d'aliatges de diversos components, incloses les transicions d'ordre-desordre.
L'equació descriu l'evolució temporal d'una variable d'estat escalar-valorada $\eta$ en un domini $\Omega$ durant un interval de temps ${\mathcal {T}}$, i està donat per:
    ${{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]\quad {\text{on }}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta ={\bar {\eta }}\quad {\text{on }}\partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}},$
    $\quad -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q\quad {\text{on }}\partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta =\eta _{o}\quad {\text{on }}\Omega \times \{0\},$
on
* $M_{\eta }$ és la mobilitat,
* $f$ és la densitat d'energia lliure,
* ${\bar {\eta }}$ és el control de la variable d'estat a la part de el límit
* $\partial _{\eta }\Omega$, $q$ és el control de font en $\partial _{q}\Omega$,
* $\eta _{o}$ és la condició inicial, i
* $m$ és el normal a l'exterior $\partial \Omega$.
és el flux de gradient L² de l'energia lliure de Ginzburg – Landau – Wilson funcional. Està estretament relacionada amb l'equació de Cahn-Hilliard. En una dimensió espacial, Xinfu Chen dona una descripció molt detallada d'un article.

## Referències

* ↑ Allen, S. M; Cahn, J. W «Ground State Structures in Ordered Binary Alloys with Second Neighbor Interactions» (en anglès). Acta Metall., 20(3), 1972, pàg. 423–433. DOI: 10.1016/0001-6160(72)90037-5.
* ↑ Allen; Cahn, J. W «A Correction to the Ground State of FCC Binary Ordered Alloys with First and Second Neighbor Pairwise Interactions» (en anglès). Scripta Metallurgica, 7(12), 1973, pàg. 1261–1264. DOI: 10.1016/0036-9748(73)90073-2.
* ↑ Veerman, Frits. «What is the L² gradient flow?» (en anglès). MathOverflow, 08-03-2016.
* ↑ Chen, Xinfu «Generation, propagation, and annihilation of metaestable patterns» (en anglès). Journal of Differential Equations, 206(2), 2004, pàg. 399–437. Bibcode: 2004JDE...206..399C. DOI: 10.1016/j.jde.2004.05.017.

## Bibliografia

* «Allen-Cahn Equation» (en anglès).
* Allen, S. M; Cahn, J. W «Coherent and Incoherent Equilibria in Iron-Rich Iron-Aluminum Alloys» (en anglès). Acta Metall, 23(9), 1975, pàg. 1017. DOI: 10.1016/0001-6160(75)90106-6.
* Allen, S. M; Cahn, J. W «On Tricritical Points Resulting from the Intersection of Lines of Higher-Order Transitions with Spinodals» (en anglès). Scripta Metallurgica, 10 (5), 1976, pàg. 451–454. DOI: 10.1016/0036-9748(76)90171-x.
* Allen, S. M; Cahn, J. W «Mechanisms of Phase Transformation Within the Miscibility Gap of Fe-Rich Fe-Al Alloys» (en anglès). Acta Metall, 24(5), 1976, pàg. 425–437. DOI: 10.1016/0001-6160(76)90063-8.
* Allen, S. M; Cahn, J. W «A Microscopic Theory of Domain Wall Motion and Its Experimental Verification in Fe-Al Alloy Domain Growth Kinetics» (en anglès). Journal de Physique, 38, 1977, pàg. C7–51.
* Allen, S. M; Cahn, J. W «A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening» (en anglès). Acta Metall., 27(6), 1979, pàg. 1085–1095. DOI: 10.1016/0001-6160(79)90196-2.
* Bronsard, L; Reitich, F «On three-phase boundary motion and the singular limit of a vector valued Ginzburg–Landau equation» (en anglès). Arch. Rat. Mech. Anal., 124(4), 1993, pàg. 355–379. Bibcode: 1993ArRMA.124..355B. DOI: 10.1007/bf00375607.