# Distribució estable

En teoria de la probabilitat, es diu que una distribució és estable si una combinació lineal de dues variables aleatòries independents amb aquesta distribució té la mateixa distribució, fins als paràmetres de localització i escala. Es diu que una variable aleatòria és estable si la seva distribució és estable. La família de distribucions estables també es coneix de vegades com la distribució alfa-estable de Lévy, després de Paul Lévy, el primer matemàtic que la va estudiar.
Dels quatre paràmetres que defineixen la família, la major atenció s'ha centrat en el paràmetre d'estabilitat, $\alpha$ (veure panell). Les distribucions estables tenen $0<\alpha \leq 2$, amb el límit superior corresponent a la distribució normal, i $\alpha =1$ a la distribució de Cauchy. Les distribucions tenen variància indefinida per $\alpha <2$, i significa indefinida per $\alpha \leq 1$ }. La importància de les distribucions de probabilitat estables és que són "atractors" per a sumes correctament normades de variables aleatòries independents i distribuïdes de manera idèntica (iid). La distribució normal defineix una família de distribucions estables. Segons el teorema del límit central clàssic, la suma correctament normada d'un conjunt de variables aleatòries, cadascuna amb variància finita, tendirà cap a una distribució normal a mesura que augmenta el nombre de variables. Sense el supòsit de variància finita, el límit pot ser una distribució estable que no sigui normal. Mandelbrot es va referir a aquestes distribucions com a "distribucions paretianes estables", després de Vilfredo Pareto. En particular, es va referir a aquells que s'han esbiaixat al màxim en la direcció positiva $1<\alpha <2$ com a "distribucions de Pareto-Lévy", que considerava millors descripcions dels preus de les accions i de les mercaderies que les distribucions normals.

## Definició

Una distribució no degenerada és una distribució estable si compleix la propietat següent:
Siguin X1 i X2 realitzacions independents d'una variable aleatòria X. Aleshores es diu que X és estable si per a qualsevol constant a > 0 i b > 0 la variable aleatòria aX1 + bX2 té la mateixa distribució que cX + d per a algunes constants c > 0 i d. Es diu que la distribució és estrictament estable si això es compleix amb d = 0.
Com que la distribució normal, la distribució de Cauchy i la distribució de Lévy tenen totes la propietat anterior, es dedueix que són casos especials de distribucions estables.
Aquestes distribucions formen una família de quatre paràmetres de distribucions de probabilitat contínues parametritzades pels paràmetres de localització i escala μ i c, respectivament, i dos paràmetres de forma $\beta$ i $\alpha$, corresponent aproximadament a mesures d'asimetria i concentració, respectivament (vegeu les figures).
La funció característica $\varphi (t)$ de qualsevol distribució de probabilitat és la transformada de Fourier de la seva funció de densitat de probabilitat $f(x)$ . La funció de densitat és, per tant, la transformada de Fourier inversa de la funció característica:$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.$

## Referències

* ↑ Mandelbrot, B. «"The Pareto–Lévy Law and the Distribution of Income"». International Economic Review, 1, 2, 1960, pàg. 79–106. DOI: 10.2307/2525289. JSTOR: 2525289.
* ↑ Lévy, Paul. Calcul des probabilités (en francès). París: Gauthier-Villars, 1925. OCLC 1417531.
* ↑ Mandelbrot, B. «"Stable Paretian Random Functions and the Multiplicative Variation of Income"». Econometrica, 29, 4, 1961, pàg. 517–543. DOI: 10.2307/1911802. JSTOR: 1911802.
* ↑ Mandelbrot, B. «"The Variation of Certain Speculative Prices"». The Journal of Business, 36, 4, 1963, pàg. 394–419. DOI: 10.1086/294632. JSTOR: 2350970.
* ↑ Fama, Eugene F. «"Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis"». The Journal of Business, 36, 4, 1963, pàg. 420–429. DOI: 10.1086/294633. JSTOR: 2350971.
* ↑ Mandelbrot, B. «"New methods in statistical economics"». International Economic Review, 1, 2, 1960, pàg. 79–106. DOI: 10.2307/2525289. JSTOR: 2525289.
* ↑ Mandelbrot, B. «"Stable Distributions – Models for Heavy Tailed Data"». The Journal of Political Economy, 71, 5, 1963, pàg. 421–440. DOI: 10.1086/258792.
* ↑ Siegrist, Kyle. «Stable Distributions» (en anglès). www.randomservices.org. [Consulta: 18 octubre 2018].