# Relació d'Einstein (Teoria cinètica)

A la física (en concret, en la teoria cinètica) la relació d'Einstein (també coneguda com a relació Einstein-Smoluchowski) és una connexió prèviament inesperada revelada de manera independent per Albert Einstein el 1905 i per Marian Smoluchowski el 1906 en els seus treballs sobre el moviment brownià. La forma més general de l'equació és
    $D=\mu \,k_{B}T$
On:
* D és la constant de difusió;
* μ és la "mobilitat", o la relació de la velocitat de la partícula terminal a la deriva a una força aplicada μ = v$_d$ / F;
* k$_B$ és la constant de Boltzmann;
* T és la temperatura absoluta.
Aquesta equació és un exemple primerenc d'una relació de fluctuació- dissipació .
Dos casos importants d'ús freqüent són:
    $D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}$ (Equació de la mobilitat elèctrica, per a la difusió de partícules carregades))
    $D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}$ ("Equació de Stokes-Einstein", per a la difusió de les partícules esfèriques mitjançant líquid de baix nombre de Reynolds).
on:
* q és la càrrega elèctrica de la partícula
* μ$_q$ la mobilitat elèctrica de la partícula carregada
* η és la viscositat
* r és el radi de la partícula esfèrica

## Casos especials
### Equació de la mobilitat elèctrica

Per a una partícula amb càrrega elèctrica q, μq és la seva mobilitat elèctrica i està relacionada amb la seva mobilitat generalitzada μ, per l'equació μ = μq / q. El paràmetre μq és la relació de la velocitat de la partícula terminal a la deriva a un camp elèctric aplicat. Per tant, l'equació en el cas d'una partícula carregada es dona com:
    $D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}$

### Equació Stokes-Einstein

En el límit de baix nombre de Reynolds, la mobilitat μ és la inversa del coeficient d'arrossegament $\zeta$. Una constant d'amortiment $\gamma =\zeta /m$, s'utilitza amb freqüència per al temps de relaxació impuls (temps necessari perquè el moment d'inèrcia a ser insignificant en comparació amb les quantitats de moviment aleatori) de l'objecte difusiu. Per partícules esfèriques de radi r, la llei de Stokes dona:
    $\zeta =6\pi \,\eta \,r,$
On $\eta$ és la viscositat en el medi. Així, els resultats de la relació Einstein-Smoluchowski a la relació de Stokes-Einstein:
    $D={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{6\pi \,\eta \,r}}$
En el cas de la difusió rotacional $\zeta _{\mathrm {r} }=8\pi \eta r^{3}$ i la fricció és i la constant de difusió rotacional $D_{\mathrm {r} }$ és:
    $D_{\mathrm {r} }={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}$

### Semiconductor

En un semiconductor amb una densitat arbitrària d'estats la relació d'Einstein és
    $D={\frac {\mu _{q}\,p}{q{\frac {dp}{d\eta }}}}$
on $\eta$ és el potencial químic i p el nombre de partícules.

## Prova de cas general

Aquesta és una prova en una dimensió, però és idèntica a una prova en dues o tres dimensions (només reemplaçar d / dx per $\nabla$) Essencialment la mateixa prova es troba en molts llocs, per exemple, veure Kubo.
Suposem que alguna energia potencial U crea una força sobre la partícula $F=-dU/dx$ (per exemple, una força elèctrica). Suposem que la partícula respongui movent-se amb velocitat $v=\mu F$. Ara suposem que hi ha un gran nombre d'aquestes partícules, amb concentració local $\rho (x)$ com una funció de la posició. Després d'algun temps, s'assoleix l'equilibri: Les partícules "s'apilen" al voltant de les àrees amb menor U, però encara en gran part s'estenen en certa manera a causa de la difusió aleatòria. En aquest punt, no hi ha flux net de partícules: La tendència de les partícules a aconseguir enredar-se a la baixa U (anomenada "deriva actual") és igual i oposada a la tendència de les partícules a estendre’s a causa de la difusió (anomenada la difusió "actual ").
El flux net de partícules a causa del corrent de deriva és només:
    $J_{\mathrm {drift} }(x)=\mu \,F(x)\,\rho (x)=-\rho (x)\mu {\frac {dU}{dx}}$
(És a dir, el nombre de partícules que flueixen més enllà d'un punt és la concentració multiplicada per la velocitat mitjana de partícules.)
El flux net de partícules a causa del corrent de difusió per si sola és, per les lleis de Fick:
    $J_{\mathrm {diffusion} }(x)=-D{\frac {d\rho }{dx}}$
(El signe menys significa que el flux de partícules de major concentració baixa).
L'equilibri requereix:
    $0=J_{\mathrm {drift} }+J_{\mathrm {diffusion} }=-\rho (x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {d\rho }{dx}}$
En l'equilibri, podem aplicar la termodinàmica, en particular, les estadístiques de Boltzmann, per inferir que:
    $\rho (x)=Ae^{-U/(k_{B}T)}$
on A és una constant relacionada amb el nombre total de partícules. Per tant, per la regla de la cadena,
    ${\frac {d\rho }{dx}}=-{\frac {1}{k_{B}T}}{\frac {dU}{dx}}\rho (x).$
Finalment, relacionem això amb:
    $0=J_{\mathrm {drift} }+J_{\mathrm {diffusion} }=-\rho (x)\mu {\frac {dU}{dx}}+{\frac {D}{k_{B}T}}{\frac {dU}{dx}}\rho (x)=-\rho (x){\frac {dU}{dx}}\left(\mu -{\frac {D}{k_{B}T}}\right)$
Atès que aquesta equació s'ha de mantenir a tot arreu
    $\mu ={\frac {D}{k_{B}T}}.$

## Referències

* ↑ Introduction to Nanoscience by Stuart Lindsay, p243, google books link
* ↑ Einstein, A. «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen» (en alemany). Annalen der Physik, 322, 8, 1905, pàg. 549-560. Bibcode: 1905AnP...322..549E. DOI: 10.1002/andp.19053220806.
* ↑ von Smoluchowski, M. «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen» (en alemany). Annalen der Physik, 326, 14, 1906, pàg. 756-780. Bibcode: 1906AnP...326..756V. DOI: 10.1002/andp.19063261405.
* ↑ Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology by Dill and Bromberg google books link
* ↑ "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani,
* ↑ Principles of Semiconductor Devices online textbook by Van Zeghbroeck, Chapter 2.7, link Arxivat 2021-05-06 a Wayback Machine.
* ↑ Ashcroft,N. W., and Mermin, N. D.. Solid State Physics. Nova York (USA): Holt, Rineheart and Winston, 1988, p. 826.
* ↑ Kubo, R. «The fluctuation-dissipation theorem». Rep. Prog. Phys., 29, 1966, pàg. 255–284. Bibcode: 1966RPPh...29..255K. DOI: 10.1088/0034-4885/29/1/306.