# Problemes de Smale

Els anomenats problemes de Smale són una llista de 18 problemes matemàtics no resolts proposada per Steve Smale el 1998 i republicada el 1999. Smale va compondre aquesta llista en resposta a una petició de Vladímir Arnold, llavors president de la Unió Matemàtica Internacional, que va demanar a diversos matemàtics llistar els problemes matemàtics més interessants per al segle xxi, inspirat en la llista de problemes de Hilbert proposats el 1900.

## Problemes

| # | Formulació | Estat |
| 1 | Hipòtesi de Riemann (vegeu també el 8è problema de Hilbert) |
| 2 | Conjectura de Poincaré | Demostrada per Grigori Perelmán el 2003 utilitzant el flux de Ricci |
| 3 | P = NP |
| 4 | Conjectura τ de Shub-Samle sobre les arrels senceres d'un polinomi d'una variable |
| 5 | Límits verticals de les corbes diofàntiques |
| 6 | Finitud del nombre d'equilibris relatius en mecànica celeste | Demostrat per sis cossos per A. Albouy i V. Kaloshin el 2012. |
| 7 | Distribució de punts en una 2-esfera |
| 8 | Introducció de dinàmiques en la teoria econòmica |
| 9 | Problema de la programació lineal |
| 10 | Lema de Pugh |
| 11 | És la dinàmica unidimensional generalment hiperbòlica? |
| 12 | Centralitzadors de difeomorfismes | Resolt en la topologia C¹ per C. Bonatti, S. Crovisier i Amie Wilkinson |
| 13 | 16è problema de Hilbert |
| 14 | Atractor de Lorenz | Resolt per Warwick Tucker usant aritmètica d'intervals. |
| 15 | Equacions de Navier-Stokes |
| 16 | Conjectura jacobiana (de forma equivalent, conjectura de Dixmier) |
| 17 | Resolució d'equacions polinòmiques en temps polinomial en el cas estàndard | Parcialment resolt per Carlos Beltrán Álvarez i Luis Miguel Pardo, que proposen un algorisme probabilístic amb complexitat polinòmica. Una altra resposta parcial fou publicada per Felipe Cucker i Peter Bürgisser, que van procedir a l'anàlisi suau de l'algorisme probabilístic de Beltrán-Pardo i després van mostrar l'algorisme determinista en funció del temps. |
| 18 | Límits de la intel·ligència |
* Llegenda: Problema resolt
Smale també va llistar 3 problemes addicionals:
* Problema del valor mitjà
* És la 3-esfera un conjunt mínim?
* És un difeomorfisme d'Anosov d'una varietat tancada topològicament igual que el model de grup de Lie de John Franks?

## Vegeu també

* Problemes del mil·lenni

## Referències

* 1 2 Steve Smale «Mathematical Problems for the Next Century». Mathematical Intelligencer, 20, 1998, pàg. 7–15. DOI: 10.1007/bf03025291.
* ↑ Steve Smale. «Mathematical problems for the next century». A: Mathematics: frontiers and perspectives. American Mathematical Society, 1999, p. 271–294. ISBN 0821820702.
* ↑ O'Shea, Donal. The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe. Walker & Company, 26 de desembre de 2007. ISBN 978-0802716545.
* ↑ Szpiro, George. Poincaré's Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math's Greatest Puzzles. Plume, 29 de juliol de 2008. ISBN 978-0-452-28964-2.
* ↑ Shub, Michael; Smale, Steve «On the intractability of Hilbert’s Nullstellensatz and an algebraic version of "NP≠P?"». Duke Math. J., 81, 1995, pàg. 47–54. DOI: 10.1215/S0012-7094-95-08105-8.
* ↑ Bürgisser, Peter. Completeness and reduction in algebraic complexity theory. 7. Berlin: Springer-Verlag, 2000, p. 141. ISBN 3-540-66752-0.
* ↑ A. Albouy, V. Kaloshin «Finiteness of central configurations of five bodies in the plane». Annals of Mathematics, 176, 2012, pàg. 535–588. DOI: 10.4007/annals.2012.176.1.10.
* ↑ C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson «The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer». Publications mathématiques de l'IHÉS, 109, 2009, pàg. 185–244.
* ↑ Warwick Tucker «A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem». Foundations of Computational Mathematics, 2, 1, 2002, pàg. 53–117. DOI: 10.1007/s002080010018.
* ↑ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo «On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer». Foundations of Computational Mathematics, 8, 1, 2008, pàg. 1–43. DOI: 10.1007/s10208-005-0211-0.
* ↑ Felipe Cucker, Peter Bürgisser «Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem». Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing, 2010. arXiv: 0909.2114.