# Mecanisme de quatre barres

En enginyeria mecànica, un mecanisme de quatre barres o quadrilàter articulat és un mecanisme format per tres barres mòbils i una quarta barra fixa (per exemple, el sòl), unides mitjançant nusos articulats (unions de revoluta o pivots). Les barres mòbils estan unides a la fixa mitjançant pivots. Usualment les barres es numeren de la següent manera:
* Barra 2. Barra que proporciona moviment al mecanisme.
* Barra 3. Barra superior.
* Barra 4. Barra que rep el moviment.
* Barra 1. Barra imaginària que vincula la unió de revoluta de la barra 2 amb la unió de revoluta de la barra 4 amb el terra.

## Llei de Grashof

La Llei de Grashof és una fórmula utilitzada per analitzar el tipus de moviment que farà el mecanisme de quatre barres: perquè existeixi un moviment continu entre les barres, la suma de la barra més curta i la barra més llarga no pot ser major que la suma de les barres restants.

## Anàlisi de posició

Per mesures físiques fàcilment es poden tenir les longituds de les barres 1, 2, 3, 4. Ja que la barra 1 és estacionària, el seu angle és fix. Es diu que l'angle de la barra 2 respecte a l'horitzontal és una variable controladora. Per tant, les incògnites són els angles de les barres 3 i 4.
Equació vectorial:
    ${\bar {l}}_{2}+{\bar {l}}_{3}={\bar {l}}_{1}+{\bar {l}}_{4}$
    $L_{2}\cos \theta _{2}i+l_{2}\sin \theta _{2}j+l_{3}\cos \theta _{3}i+l_{3}\sin \theta _{3}j=l_{1}\cos \theta _{1}i+l_{1}\sin \theta _{1}j+l_{4}\cos \theta _{4}i+l_{4}\sin \theta _{4}j$
Separant les equacions en direcció "i" i direcció "j"
Equació en "i": $l_{2}\cos \theta _{2}+l_{3}\cos \theta _{3}=l_{1}\cos \theta _{1}+l_{4}\cos \theta _{4}$
Equació en "j": $l_{2}\sin \theta _{2}+l_{3}\sin \theta _{3}=l_{1}\sin \theta _{1}+l_{4}\sin \theta _{4}$
Com es coneixen l'angle de la barra 2 i l'angle de la barra 1, és possible simplificar realitzant els següents canvis de variable:
    $A=l_{2}\cos \theta _{2}-l_{1}\cos \theta _{1}$
    $B=l_{2}\sin \theta _{2}-l_{1}\sin \theta _{1}$
Amb la qual cosa queda el sistema d'equacions com:
    $A+l_{3}\cos \theta _{3}=l_{4}\cos \theta _{4}$
    $B+l_{3}\sin \theta _{3}=l_{4}\sin \theta _{4}$
En elevar els termes al quadrat i sumar les dues equacions, tenint en compte que $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$, se simplifica de la següent manera:
    $A^{2}+2Al_{3}\cos \theta _{3}+B^{2}+2Bl_{3}\sin \theta _{3}+l_{3}^{2}=l_{4}^{2}$
    $A\cos \theta _{3}+B\sin \theta _{3}={\frac {l_{4}^{2}-l_{3}^{2}-A^{2}-B^{2}}{2l_{3}}}$
És possible tornar a simplificar fent el següent canvi de variable:
$C={\frac {l_{4}^{2}-l_{3}^{2}-A^{2}-B^{2}}{2l_{3}}}$
Utilitzant les identitats trigonomètriques
$\sin \theta \ ={\frac {2\tan {\frac {1}{2}}\theta \ }{1+\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta \ }}$, $\cos \theta \ ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta \ }{1+\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta \ }}$
i substituint les identitats en l'equació:
${\frac {A\left(1-\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta _{3}\right)+B\left(2\tan {\frac {1}{2}}\theta _{3}\right)}{1+\tan ^{2}{\frac {1}{2}}\theta _{3}}}=C$
s'obté una equació quadràtica. En utilitzar la fórmula general per resoldre el sistema s'obté:
$\tan {\frac {1}{2}}\theta _{3}={\frac {B\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}-C^{2}}}}{C+A}}$
El valor per l'angle de la barra 3 és el següent:
$\theta _{3}=2\tan ^{-1}\left({\frac {B\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}-C^{2}}}}{C+A}}\right)$
Per obtenir el valor de l'angle de la barra 4 és el mateix procediment, definint el següent canvi de variable:
$D={\frac {l_{3}^{2}-l_{4}^{2}-A^{2}-B^{2}}{2l_{4}}}$
El valor de l'angle de la barra 4 resulta:
$\theta _{4}=2\tan ^{-1}\left({\frac {B\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}-D^{2}}}}{D+A}}\right)$
NOTA: els dos valors que es poden obtenir per a cada angle representen les diferents configuracions del sistema.

## Anàlisi de velocitat

Aquest mecanisme s'ha d'analitzar mitjançant el mètode de la velocitat relativa
Dades d'entrada
* L'única dada referit a velocitat que es coneix en un mecanisme de quatre barres és la velocitat angular de la barra 2.
* Mitjançant una anàlisi prèvia de posició es coneix la informació de les barres.
Per a l'anàlisi es procedirà a buscar la velocitat del punt B (unió de la barra 3 i 4). Per a aquest punt hi ha dues trajectòries possibles: des $O_{2}\,$ fins B i des $O_{4}\,$ fins B. Per començar es defineix la velocitat de B pel que fa a la barra 4
${\bar {V}}_{B}={\bar {\omega }}_{4}\times \ {\bar {l}}_{4}=\omega _{4}l_{4}\cos \theta _{4}{\hat {j}}-\omega _{4}l_{4}\sin \theta _{4}{\hat {i}}$
Ara es definirà la velocitat del punt B respecte a l'altra trajectòria.
${\bar {V}}_{B}={\bar {V}}_{B|A}+{\bar {V}}_{A}={\bar {\omega }}_{3}\times \ {\bar {l}}_{3}+{\bar {\omega }}_{2}\times \ {\bar {l}}_{2}$
${\bar {V}}_{B}=\omega _{3}l_{3}\cos \theta _{3}{\hat {j}}-\omega _{3}l_{3}\sin \theta _{3}{\hat {i}}+\omega _{2}l_{2}\cos \theta _{2}{\hat {j}}-\omega _{2}l_{2}\sin \theta _{2}{\hat {i}}$
Igualant les equacions per ${\bar {V}}_{B}\,$ i separant els components, s'obté un sistema de dues equacions amb dues incògnites.
${\hat {i}}\rightarrow -\omega _{4}l_{4}\sin \theta _{4}=-\omega _{3}l_{3}\sin \theta _{3}-\omega _{2}l_{2}\sin \theta _{2}$
${\hat {j}}\rightarrow \omega _{4}l_{4}\cos \theta _{4}=\omega _{3}l_{3}\cos \theta _{3}+\omega _{2}l_{2}\cos \theta _{2}$

## Anàlisi d'acceleració

Aquest mecanisme s'ha d'analitzar mitjançant el mètode d'acceleració relativa les fórmules són:

## Simuladors gratuïts

de 4 Barres Gràfica la posició, velocitat i acceleració. (Només per a Windows)
Kima (R) v2.5 Suite de programes per a calcular la posició, velocitat i acceleració dels mecanismes: quatre barres, maneta corredissa i inversió tipus I de maneta corredissa. Funciona en mode interactiu i en mode paramètric, facilitant la interacció amb Matlab (R). Ús lliure per a fins acadèmics.

## Vegeu també

* Mecanisme
* Llei de Grashof
* Pantògraf