# Forma indeterminada

En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits:
   ${\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty$
Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints. Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.

## Exemple

La indeterminació $0/0$ apareix als següents límits:
   $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}={\frac {0}{0}}\qquad \lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\ln(x)}}={\frac {0}{0}}$
Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints:
   $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}=2\qquad \lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\ln(x)}}=1$

## Indeterminació $1^{\infty }$

Existeix una fórmula per evitar la indeterminació $1^{\infty }$. Siguin $f$ i $g$ dues funcions amb límits $1$ i $\infty$ quan $x\to a$ (sent $a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$), aleshores
   $\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=1^{\infty }$
En aquest cas,
   $\lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to a}e^{g(x)\cdot (f(x)-1)}$
Per exemple,
   $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{2^{x}}}\right)^{x}=1^{+\infty }$
Aplicant la fórmula,
   $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{2^{x}}}\right)^{x}=\lim _{x\to +\infty }e^{\frac {x}{2^{x}}}=e^{0}=1$

## Indeterminació $\infty /\infty$

* Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits). Per exemple,
   $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}$
Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0:
   $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0$
Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple:
   $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln(x)}}=+\infty$
* Quocient de polinomis: quan $x\to \infty$, apareix la indeterminació $\infty /\infty$ en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin $P(x)$ i $Q(x)$ dos polinomis amb graus $\delta P$ i $\delta Q$, respectivament, aleshores:
   $\lim _{x\to +\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\begin{cases}0{\text{ si }}\delta Q>\delta P\\p/q{\text{ si }}\delta P=\delta Q\\\pm \infty {\text{ si }}\delta P>\delta Q\\\end{cases}}$
sent $p$ i $q$ els coeficients principals del polinomis $P(x)$ i $Q(x)$, respectivament.
En el tercer cas, $\delta P>\delta Q$, el signe de l'infinit és $signe(p/q)$.
En el cas $x\to -\infty$, es procedeix de manera semblant.

## Indeterminació $\infty -\infty$

Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit. Per exemple,
   $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}-{\frac {1+x}{x^{2}}}=\pm \infty -\infty$
Però,
   $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}-{\frac {1+x}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}-{\frac {1}{x^{2}}}=-\infty$

## Indeterminació $\infty ^{0}$

Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.
Per exemple,
   $\lim _{x\to +\infty }x^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to +\infty }e^{\frac {\ln(x)}{x}}=e^{0}=1$

## Taula de formes indeterminades

La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.
| Forma indeterminada | Condicions | Transformació a 0/0 | Transformació a ∞/∞ |
| $\qquad {\frac {0}{0}}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | — | $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$ |
| $\qquad {\frac {\infty }{\infty }}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$ | — |
| $\qquad 0\cdot \infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$ |
| $\qquad 1^{\infty }$ | $\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ |
| $\qquad 0^{0}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ |
| $\qquad \infty ^{0}$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$ | $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$ |
| $\qquad \infty -\infty$ | $\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$ | $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$ | $\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$ |

## Vegeu també

* Regla de L'Hôpital

## Referències

* ↑ Llopis, José L. «Indeterminación o forma indeterminada» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 14 juny 2019].
* 1 2 «Cálculo de límites» (en castellà). PyE. [Consulta: 14 juny 2019].
* ↑ Llopis, José L. «Indeterminación infinito partido infinito» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 14 juny 2019].