# Funció de despesa

En microeconomia, la funció de despesa proporciona la quantitat mínima de diners que un individu necessita gastar per aconseguir algun nivell d'utilitat, donada una funció d'utilitat i els preus dels béns disponibles.
Formalment, si hi ha una funció d'utilitat $u$ que descriu les preferències sobre n mercaderies, la funció de despesa
    $e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$
diu quina quantitat de diners es necessita per aconseguir una utilitat $u^{*}$ si els n preus estan donats pel vector de preus $p$ . Aquesta funció està definida per
    $e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x$
on
    $\geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}$
és el conjunt de tots els paquets que donen una utilitat almenys tan bona com $u^{*}$.
Expressat de manera equivalent, l'individu minimitza la despesa $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ subjecte a la limitació d'utilitat mínima que $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ donant quantitats òptimes per consumir dels diferents béns com $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ en funció de $u^{*}$ i els preus; aleshores la funció de despesa és
    $e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.$

## Característiques de les funcions de despesa

    (Propietats de la funció de despesa) Suposem que u és una funció d'utilitat contínua que representa una relació de preferència localment no saciada º sobre Rn +. Aleshores e(p, u) és
    1. Homogeni de grau un en p: per a tots i $\lambda$ >0, $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$
    2. Continua en $p$ i $u;$
    3. No disminueix en $p$ i augmenta estrictament en $u$ per $p\gg 0;$
    4. Còncava en $p$
    5. Si la funció d'utilitat és estrictament quasi còncava, hi ha el lema de Shephard.
Prova
(1) Com en la proposició anterior, tingueu en compte que
$e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $\lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $p\cdot x=\lambda e(p,u)$
(2) Continueu al domini $e$ : ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$
(3) Sigui $p^{\prime }>p$ i suposant que $x\in h(p^{\prime },u)$. Aleshores $u(h)\geq u$, i $e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x$ . Se'n desprèn que $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ .
Per a la segona afirmació, suposem al contrari que per a alguns $u^{\prime }>u$, $e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)$ Que, per a alguns $x\in h(p,u)$, $u(x)=u^{\prime }>u$, que contradiu la conclusió de "sense excés d'utilitat" de la proposició anterior.
(4) Sigui $t\in (0,1)$ i suposant $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ . Llavors, $p\cdot x\geq e(p,u)$ i $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$, tan $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$$te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ .
(5) ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$

## Despesa i utilitat indirecta

La funció de despesa és la inversa de la funció d'utilitat indirecta quan els preus es mantenen constants. És a dir, per a cada vector preu $p$ i nivell d'ingressos $I$: $^{:106}$
    $e(p,v(p,I))\equiv I$
Hi ha una relació de dualitat entre la funció de despesa i la funció d'utilitat. Si es dona una funció d'utilitat quasi còncava regular específica, el preu corresponent és homogeni i la funció de despesa augmenta monòtonament, per contra, el preu donat és homogeni i la funció de despesa augmenta monòtonament la utilitat generarà la funció d'utilitat quasi còncava regular. A més de la propietat que els preus són una vegada homogenis i la utilitat augmenta monòtonament, la funció de despesa sol assumir
(1) és una funció no negativa, és a dir, $E(P\cdot u)>O;$
(2) Per a P, no és decreixent, és a dir, $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ ;
(3)E(Pu) és una funció còncava. Això és, $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$$O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}$
La funció de despesa és un mètode teòric important per estudiar el comportament del consumidor. La funció de despesa és molt semblant a la funció de cost en la teoria de la producció. Dual al problema de maximització de la utilitat és el problema de minimització de costos

## Exemple

Suposem que la funció d'utilitat és la funció de Cobb-Douglas $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ que genera les funcions de demanda
    $x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},$
on $I$ és la renda del consumidor. Una manera de trobar la funció de despesa és trobar primer la funció d'utilitat indirecta i després invertir-la. La funció d'utilitat indirecta $v(p_{1},p_{2},I)$ es troba substituint les quantitats de la funció d'utilitat per les funcions de demanda així:
    $v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,$
on $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ Llavors ja que $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ quan el consumidor optimitza, podem invertir la funció d'utilitat indirecta per trobar la funció de despesa:
    $e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,$
Alternativament, la funció de despesa es pot trobar resolent el problema de minimitzar $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ subjecte a la restricció $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ Això produeix funcions de demanda condicionals $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ i $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ i la funció de despesa és llavors
    $e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}$

## Referències

* ↑ Whinston, Michael Dennis. Microeconomic theory.
* ↑ Jing ji xue da ci dian. Di 1 ban. Beijing Shi: Tuan jie chu ban she, 1994. ISBN 7-80061-954-0. OCLC 34287945.
* ↑ «CONSUMER CHOICE AND DUALITY».
* ↑ Varian, H. Microeconomic Analysis. 3rd. New York: W. W. Norton, 1992. , pp. 111, has the general formula.

## Bibliografia addicional

* Mas-Colell, Andreu. Microeconomic Theory, 2007, p. 59–60. ISBN 0-19-510268-1.
* Mathis, Stephen A. Microeconomic Theory: An Integrated Approach. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002, p. 132–133. ISBN 0-13-011418-9.
* Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. Second. New York: W. W. Norton, 1984, p. 121–123. ISBN 0-393-95282-7.

## Vegeu també

* Problema de minimització de la despesa
* Funció de demanda hicksiana
* Equació de Slutski
* Problema de maximització de la utilitat
* Limitació pressupostària
* Conjunt de consum
* Lema de Shephard