# Model de mitjana mòbil

En l'anàlisi de sèries temporals, el model de mitjana mòbil (model MA), també conegut com a procés de mitjana mòbil, és un enfocament comú per modelar sèries temporals univariants. El model de mitjana mòbil especifica que la variable de sortida té una correlació creuada amb una variable aleatòria no idèntica a ella mateixa.
Juntament amb el model autoregressiu (AR), el model de mitjana mòbil és un cas especial i un component clau dels models més generals de sèries temporals ARMA i ARIMA, que tenen una estructura estocàstica més complicada. Contràriament al model AR, el model MA finit és sempre estacionari.
El model de mitjana mòbil no s'ha de confondre amb la mitjana mòbil, un concepte diferent malgrat algunes similituds.

## Definició

La notació MA( q ) fa referència al model de mitjana mòbil d'ordre q :
$X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}=\mu +\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\varepsilon _{t},$
on $\mu$ és la mitjana de la sèrie, la $\theta _{1},...,\theta _{q}$ són els paràmetres del model </link> i el $\varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},...,\varepsilon _{t-q}$ són termes d'error de soroll blanc. El valor de q s'anomena ordre del model MA. Això es pot escriure de manera equivalent en termes de l'operador de retrocés B com
$X_{t}=\mu +(1+\theta _{1}B+\cdots +\theta _{q}B^{q})\varepsilon _{t}.$
Així, un model de mitjana mòbil és conceptualment una regressió lineal del valor actual de la sèrie contra els termes d'error de soroll blanc actuals i anteriors (observats) o xocs aleatoris. Se suposa que els xocs aleatoris en cada punt són mútuament independents i provenen de la mateixa distribució, normalment una distribució normal, amb una ubicació a zero i escala constant.

## Interpretació

El model de mitjana mòbil és essencialment un filtre de resposta d'impuls finit aplicat al soroll blanc, amb alguna interpretació addicional. El paper dels xocs aleatoris en el model MA difereix del seu paper en el model autoregressiu (AR) de dues maneres. En primer lloc, es propaguen directament als valors futurs de la sèrie temporal: per exemple, $\varepsilon _{t-1}$ apareix directament a la part dreta de l'equació per $X_{t}$. En canvi, en un model AR $\varepsilon _{t-1}$ no apareix a la part dreta de la $X_{t}$ equació, però apareix a la part dreta de la $X_{t-1}$ equació, i $X_{t-1}$ apareix a la part dreta de la $X_{t}$ equació, donant només un efecte indirecte de $\varepsilon _{t-1}$ activat $X_{t}$ . En segon lloc, en el model MA un xoc afecta $X$ valors només per al període actual i q períodes en el futur; en canvi, en el model AR afecta un xoc $X$ valors infinitament llunyans en el futur, perquè $\varepsilon _{t}$ afecta $X_{t}$, que afecta $X_{t+1}$, que afecta $X_{t+2}$, i així successivament per sempre (vegeu Resposta d'impuls).

## Referències

* ↑ Shumway, Robert H.. Time series analysis and its applications : with R examples (en anglès). ISBN 3-319-52451-8. OCLC 966563984.
* ↑ «2.1 Moving Average Models (MA models) | STAT 510» (en anglès). PennState: Statistics Online Courses. [Consulta: 27 febrer 2023].
* ↑ Shumway, Robert H.. Time series analysis and its applications : with R examples (en anglès). ISBN 3-319-52451-8. OCLC 966563984.
* ↑ Box, George E. P.. Time series analysis : forecasting and control (en anglès). 5th. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Incorporated, 2016, p. 53. ISBN 978-1-118-67492-5. OCLC 908107438.