# Coeficients de Clebsch-Gordan

En física, els coeficients de Clebsch-Gordan o coeficients CG són nombres que sorgeixen en l'acoblament de moment angular en mecànica quàntica. Apareixen com els coeficients d'expansió dels estats propis del moment angular total en una base de producte tensor desacoblat. En termes més matemàtics, els coeficients CG s'utilitzen en la teoria de la representació, particularment dels grups compactes de Lie, per dur a terme la descomposició explícita de la suma directa del producte tensor de dues representacions irreductibles (és a dir, una representació reductible en representacions irreductibles, en els casos en què els nombres i els tipus de components irreductibles ja es coneixen de manera abstracta). El nom deriva dels matemàtics alemanys Alfred Clebsch i Paul Gordan, que es van trobar amb un problema equivalent en la teoria d'invariants.
Des d'una perspectiva de càlcul vectorial, els coeficients CG associats al grup SO(3) es poden definir simplement en termes d'integrals de productes d'harmònics esfèrics i els seus complexos conjugats. L'addició d'espins en termes de mecànica quàntica es pot llegir directament des d'aquest enfocament, ja que els harmònics esfèrics són funcions pròpies del moment angular total i la seva projecció sobre un eix, i les integrals corresponen al producte interior de l'espai de Hilbert. A partir de la definició formal del moment angular, es poden trobar relacions de recursivitat per als coeficients de Clebsch-Gordan. També existeixen fórmules explícites complicades per al seu càlcul directe.
Les fórmules següents utilitzen la notació bra-ket de Dirac i s'adopta la convenció de fase Condon–Shortley per a harmònics esfèrics.

## Revisió dels operadors de moment angular

Els operadors de moment angular són operadors autoadjunts j$_x$, j$_y$ i j$_z$ que compleixen les relacions de commutació
    ${\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}$
on ε$_{klm}$ és el símbol de Levi-Civita. Junts, els tres operadors defineixen un operador vectorial, un operador tensor cartesià de primer rang,
    $\mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).$
També es coneix com a vector esfèric, ja que també és un operador de tensor esfèric. Només per al primer rang els operadors de tensor esfèric coincideixen amb els operadors de tensor cartesians.
En desenvolupar aquest concepte encara més, es pot definir un altre operador j$^2$ com el producte intern de j amb si mateix:
    $\mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .$
Aquest és un exemple d'operador Casimir. És diagonal i el seu valor propi caracteritza la particular representació irreductible de l'àlgebra del moment angular. ${\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)$. Això s'interpreta físicament com el quadrat del moment angular total dels estats sobre els quals actua la representació.
També es poden definir operadors de pujada (j+) i de baixada (j$_−$), els anomenats operadors d'escala,
    $\mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .$

## Bases esfèriques dels estats propis del moment angular

A partir de les definicions anteriors es pot demostrar que j$^2$ commuta amb j$_x$, j$_y$ i j$_z$:
    ${\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}$
Quan dos operadors hermitians es desplacen, existeix un conjunt comú d'estats propis. Convencionalment, s'escullen j$^2$ i j$_z$. A partir de les relacions de commutació, es poden trobar els possibles valors propis. Aquests estats propis es denoten |j m> on j és el nombre quàntic del moment angular i m és la projecció del moment angular sobre l'eix z.
Comprèn la base esfèrica, són completes i satisfan les següents equacions de valors propis:
    ${\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}$
Els operadors de pujada i baixada es poden utilitzar per alterar el valor de m,
    $\mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,$
on el coeficient d'escala ve donat per:
| $C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.$ | (1) |

## Espai de producte tensor

Considerem ara sistemes amb dos moments angulars físicament diferents j$_1$ i j$_2$. Alguns exemples inclouen l'espín i el moment angular orbital d'un sol electró, o els espins de dos electrons, o el moment angular orbital de dos electrons. Matemàticament, això significa que els operadors de moment angular actuen sobre un espai $V_{1}$ de dimensió $2j_{1}+1$ i també en un espai $V_{2}$ de dimensió $2j_{2}+1$. Aleshores definirem una família d'operadors de "moment angular total" que actuen sobre l'espai del producte tensor $V_{1}\otimes V_{2}$, que té dimensió $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$. L'acció de l'operador de moment angular total sobre aquest espai constitueix una representació de l'àlgebra de Lie SU(2), però reductible. La reducció d'aquesta representació reductible en peces irreductibles és l'objectiu de la teoria de Clebsch-Gordan.
Sigui V$_1$ l'espai vectorial dimensional (2 j$_1$ + 1) abastat pels estats
    ${\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},$
i V$_2$ l'espai vectorial dimensional (2 j$_2$ + 1) abastat pels estats
    ${\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.$
El producte tensorial d'aquests espais, V$_3$ ≡ V$_1$ ⊗ V$_2$, té una base desacoblada (2 j$_1$ + 1) (2 j$_2$ + 1)-dimensional
    $|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.$
Els operadors de moment angular es defineixen per actuar sobre els estats de V$_3$ de la manera següent:
    $(\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle$
i
    $(1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,$
on 1 denota l'operador d'identitat.
Els operadors de moment angular totals es defineixen pel producte tensor de les dues representacions que actuen sobre V$_1$⊗V$_2$ ,
    $\mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.$

## Notes

* ↑ La paraula "total" pot tenir molts significats. En aquest article, "moment angular total" fa referència a una suma genèrica de dos operadors de moment angular j$_1$ i j$_2$. No s'ha de confondre amb l'altre ús comú del terme "moment angular total" que es refereix específicament a la suma de moment angular orbital i l'espín.

## Referències

* ↑ «Clebsch-Gordan coefficients, spherical harmonics and d functions» (PDF) (en anglès). [Consulta: 12 agost 2024].
* ↑ Tony Liss. «Physics 486, Lecture 21. Addition of angular momentum» (PDF) (en anglès). [Consulta: 12 agost 2024].
* ↑ «Clebsch-Gordan coefficients» (en anglès). [Consulta: 12 agost 2024].
* ↑ Weisstein, Eric W. «Clebsch-Gordan Coefficient» (en anglès). [Consulta: 12 agost 2024].