# Augment de mostreig (processament del senyal)

En el processament de senyals digitals, el mostreig superior, l'expansió i la interpolació són termes associats amb el procés de remostreig en un sistema de processament de senyal digital multivelocitat. El mostreig superior pot ser sinònim d' expansió, o pot descriure tot un procés d' expansió i filtrat (interpolació). Quan es realitza un sobremostreig en una seqüència de mostres d'un senyal o una altra funció contínua, es produeix una aproximació de la seqüència que s'hauria obtingut mostrant el senyal a una velocitat més alta (o densitat, com en el cas d'una fotografia). Per exemple, si l'àudio d'un disc compacte a 44.100 mostres/segon s'augmenta per un factor de 5/4, la freqüència de mostreig resultant és de 55.125.

## Mostra superior per un factor sencer

L'augment de la taxa d'un factor L es pot explicar com un procés de 2 passos, amb una implementació equivalent que és més eficient:
* Expansió: crea una seqüència, $x_{L}[n],$ que inclou les mostres originals, $x[n],$ separats per L−1 zeros. Una notació per a aquesta operació és: $x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.$
* Interpolació: suavitzar les discontinuïtats amb un filtre de pas baix, que substitueix els zeros.
En aquesta aplicació, el filtre s'anomena filtre d'interpolació i el seu disseny es discuteix a continuació. Quan el filtre d'interpolació és de tipus FIR, la seva eficiència es pot millorar, ja que els zeros no aporten res als seus càlculs de producte puntual. És fàcil ometre-los tant del flux de dades com dels càlculs. El càlcul realitzat per un filtre FIR d'interpolació múltiple per a cada mostra de sortida és un producte puntual:
    $y[j+nL]=\sum _{k=0}^{K}x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j=0,1,\ldots ,L-1,$ i per qualsevol $n$         (Eq.1)
on la seqüència h [•] és la resposta d'impuls del filtre d'interpolació, i K és el valor més gran de k per al qual h [j+kL] és diferent de zero. En el cas L=2, h [•] es pot dissenyar com un filtre de mitja banda, on gairebé la meitat dels coeficients són zero i no cal incloure'ls en els productes de punts. Els coeficients de resposta a impulsos presos a intervals de L formen una subseqüència, i hi ha L aquestes subseqüències (anomenades fases) multiplexades juntes. Cada una de les L fases de la resposta d'impuls està filtrant els mateixos valors seqüencials del flux de dades x [•] i produeix un dels L valors de sortida seqüencials. En algunes arquitectures multiprocessador, aquests productes de punts es realitzen simultàniament, en aquest cas s'anomena filtre polifàsic.

## Disseny del filtre d'interpolació

Deixar $X(f)$ sigui la transformada de Fourier de qualsevol funció, $x(t),$ les mostres de les quals en algun interval, $T,$ igual a $x[n]$ seqüència. Aleshores, la transformada de Fourier en temps discret (DTFT) de la $x[n]$ La seqüència és la representació de la sèrie de Fourier d'una suma periòdica de $X(f).$Quan $T$ té unitats de segons, $f$ té unitats de hertz (Hz). Mostreig $L$ vegades més ràpid (a intervals $T/L$) augmenta la periodicitat en un factor de $L:$
    ${\frac {L}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k\cdot {\frac {L}{T}}\right),$         (Eq.3)
que també és el resultat desitjat de la interpolació. Un exemple d'aquestes dues distribucions es mostra als gràfics primer i tercer de la figura 2.

## Referències

* ↑ «Upsampling and Downsampling» (en anglès). https://ccrma.stanford.edu,+02-06-2020.+[Consulta: 27 maig 2023].
* ↑ EETimes. «EETimes - Multirate DSP, Part 1: Upsampling and Downsampling» (en anglès). https://www.eetimes.com,+21-04-2008.+[Consulta: 27 maig 2023].
* ↑ «what is better: up- or downsampling?» (en anglès). https://dsp.stackexchange.com,+2020.+[Consulta: 27 maig 2023].
* ↑ «Multirate Signal Processing: Upsampling - Wolfram Demonstrations Project» (en anglès). http://demonstrations.wolfram.com,+01-08-2012.+[Consulta: 27 maig 2023].