# Suavitat d'una funció

En l'anàlisi matemàtica, la suavitat d'una funció és una propietat mesurada pel nombre de derivades contínues que té sobre algun domini, anomenada classe de derivabilitat. Com a mínim, una funció es podria considerar suau si és diferenciable a tot arreu (per tant, contínua). A l'altre extrem, també podria tenir derivats de tots els ordres del seu domini, en aquest cas es diu que és infinitament derivable i es coneix com a funció C-infinit (o $C^{\infty }$ funció).

## Classes de diferenciabilitat

La classe de diferenciabilitat és una classificació de funcions segons les propietats de les seves derivades. És una mesura de l'ordre de derivada més alt que existeix i és contínua per a una funció.
Cal Pensar en un conjunt obert $U$ sobre la línia real i una funció $f$ definit a $U$ amb valors reals. Sigui k un nombre enter no negatiu. La funció $f$ es diu que és de classe de diferenciabilitat $C^{k}$ si els derivats $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ existeixen i són continus $U$. Si $f$ és $k$ - diferenciable en $U$, llavors és almenys a la classe $C^{k-1}$ des que $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ són contínues $U$. La funció $f$ es diu que és infinitament diferenciable, suau o de classe $C^{\infty }$, si té derivats de totes les ordres $U$. (Per tant, totes aquestes derivades són funcions contínues $U$). La funció $f$ es diu que és de classe $C^{\omega }$, o analític, si $f$ és suau (és a dir, $f$ està a la classe $C^{\infty }$) i la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de qualsevol punt del seu domini convergeix a la funció d'algun veïnatge del punt. $C^{\omega }$ està, per tant, estrictament contingut $C^{\infty }$. Les funcions test són exemples de funcions a $C^{\infty }$ però no dins $C^{\omega }$.
Per dir-ho d'una altra manera, la classe $C^{0}$ consta de totes les funcions contínues. La classe $C^{1}$ consta de totes les funcions diferenciables la derivada de les quals és contínua; aquestes funcions s'anomenen derivables contínuament. Així, a $C^{1}$ La funció és exactament una funció la derivada de la qual existeix i és de classe $C^{0}$. En general, les classes $C^{k}$ es pot definir recursivament declarant $C^{0}$ per ser el conjunt de totes les funcions contínues, i declarant $C^{k}$ per a qualsevol nombre enter positiu $k$ per ser el conjunt de totes les funcions derivables la derivada de les quals està en $C^{k-1}$. En particular, $C^{k}$ està continguda a $C^{k-1}$ per cada $k>0$, i hi ha exemples per demostrar que aquesta contenció és estricta ($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$). La classe $C^{\infty }$ de funcions infinitament diferenciables, és la intersecció de les classes $C^{k}$ com $k$ varia sobre els nombres enters no negatius.

## Referències

* ↑ Weisstein, Eric W. «Smooth Function» (en anglès). mathworld.wolfram.com. Arxivat de l'original el 2019-12-16. [Consulta: 13 desembre 2019].
* ↑ «Smooth (mathematics)» (en anglès). TheFreeDictionary.com. Arxivat de l'original el 2019-09-03. [Consulta: 13 desembre 2019].
* ↑ «Smooth function - Encyclopedia of Mathematics» (en anglès). www.encyclopediaofmath.org. Arxivat de l'original el 2019-12-13. [Consulta: 13 desembre 2019].
* ↑ Warner, Frank W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (en anglès). Springer, 1983, p. 5 [Definition 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6.
* ↑ «differential geometry - Smoothness of function» (en anglès). https://math.stackexchange.com.+[Consulta: 18 març 2023].
* ↑ «Determining Smoothness Of A Function» (en anglès). https://www.physicsforums.com.+[Consulta: 18 març 2023].