# Model de Plummer

El model de Plummer o esfera de Plummer és una llei de densitat usada per primer cop per H. C. Plummer Per observar Cúmuls globulars. Ara sovint és utilitzat com a model simplificat en Simuladors dinàmics de partícules de sistemes estel·lars.

## Descripció del model

El perfil de densitat 3D segons Plummer ve donat per
    $\rho _{P}(r)={\frac {3M}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},$
On M és la massa total del Cúmul, i a és el radi Plummer, un paràmetre d'escala que posa la mida del nucli de grup. El potencial corresponent és
    $\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},$
On G és la constant de la gravitació de Newton. La dispersió de velocitat és
    $\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.$
La funció de distribució és
    $f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},$
Si $E<0$, i$f({\vec {x}},{\vec {v}})=0$ altrament, on$E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)$ és l'energia específica.

## Propietats

La massa tancada dins dels radis $R$ és donada per
    $M(r<R)=4\pi \int _{0}^{R}r^{2}\rho _{P}(r)\,dr=M{\frac {R^{3}}{(R^{2}+a^{2})^{3/2}}}.$
Moltes altres propietats del model Plummer es descriuen a l'article de Herwig Dejonghe.
Radi de nucli $r_{c}$, on les gotes de densitat de la superfície a mig el seu valor central, és a .$r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a$
Radi de mitja-massa és$r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.$
El radi Virial és .$r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a$
Els punts de gir radial d'una òrbita caracteritzada per l'energia específica $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ i el moment angular específic $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$ venen donats per les arrels positives de l'equació cúbica
    $R^{3}+{\frac {GM}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GMa^{2}}{E}}=0,$
On $R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}$, de manera que$r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}$. Aquesta equació té tres arrels reals per$R$ : dos valors positius i un negatiu, donat que$L<L_{c}(E)$, on $L_{c}(E)$ és el moment angular específic per una òrbita circular per la mateixa energia. Aquí $L_{c}$ pot ser calculada de l'arrel real simple del discriminant de l'equació cúbica, la qual és una altra equació cúbica
    ${\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,$
A On el parametres subratllats són Adimensionals en unitats Henon definides com ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM)$, ,${\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}$ i ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$.

## Aplicacions

El model Plummer ens acosta a representar els perfils de densitat observats de cúmuls estel·lars [cal citació], tot i que la ràpida caiguda de la densitat a radis grans ($\rho \rightarrow r^{-5}$) no és una descripció bona per a aquests sistemes.
El comportament de la densitat prop del centre no s'assembla a les observacions de galàxies el·líptiques, les quals típicament exhibeixen una densitat central divergent .
La facilitat amb què l'esfera Plummer pot ser abordada com a model Monte-Carlo l'ha fet favorit d'Experiments de física de partícules, malgrat la manca de realisme del model.

## Referències

* ↑ Plummer, H. C. (1911), On the problem of distribution in globular star clusters, Mon. Not. R. Astron. Soc. 71, 460.
* ↑ Dejonghe, H. (1987), A completely analytical family of anisotropic Plummer models. Mon. Not. R. Astron. Soc. 224, 13.
* ↑ Aarseth, S. J., Henon, M. and Wielen, R. (1974), A comparison of numerical methods for the study of star cluster dynamics. Astronomy and Astrophysics 37 183.