# Operació binària

Una operació binària és aquella que està aplicada a dos objectes. En operar dos elements, se n'obté un tercer. Els símbols que representen les operacions binàries són diversos i sovint s'escriuen enmig dels dos elements a operar.
Formalment una operació binària en el conjunt A és una aplicació d'elements del producte cartesià A×A en A. Siguin x, y elements de A; si l'operació binària es representa amb el símbol ∗ llavors es denota la imatge del parell (x,y) per l'operació com x∗y.
Uns exemples comuns d'operació binària són:
* Al conjunt dels nombres enters, la suma i el producte.
* La unió i la intersecció de dos conjunts.
* Al conjunt de funcions amb el domini igual al codomini, la composició.
* Al conjunt de matrius quadrades n×n: La suma de matrius i el producte.

## Conseqüències de la definició d'operació binària

* Com que l'operació binària és una funció, només se li assigna un element anomenat resultat.
* En agafar un element del conjunt A i realitzar-li una operació binària amb un altre element del mateix conjunt A, tots els resultats d'aquesta operació han d'estar definits; és a dir, ha d'existir un resultat per cada operació.

## Propietats que poden complir

Una operació binària (A,∗) definida al conjunt A pot complir propietats com les següents:
* Propietat associativa: Si per a qualssevol x, y, z de A es verifica que: x∗(y∗z) = (x∗y)∗z. Aquesta propietat permet estendre l'operació a més de dos operands.
* Propietat commutativa: Si per a qualssevol x, y de A es verifica que x∗y = y∗x.
* Element neutre: És un element e de A tal que per a tot element x de A es verifica que x∗e = e∗x =x
* Element invers: Si l'operació té element neutre e, donat un element x de A, es diu que té element invers si existeix un altre element, x′ tal que x∗x′ = x′∗x = e.

## Exemples

* Sigui (ℕ,+):
** Compleix la propietat associativa: a+(b+c) = (a+b)+c (Exemple: 1+(3+8) = (1+3)+8);
** compleix la propietat commutativa: a+b = b+a (Exemple: 5+4 = 4+5);
** el zero és el seu element neutre: 0+a = a+0 = a (Exemple: 0+7 = 7+0 = 7);
** no té element invers.
* Sigui M el conjunt de matrius quadrades n×n. El producte de matrius és una operació binària a M que:
** Compleix la propietat associativa: A·(B·C) = (A·B)·C;
** no compleix la propietat commutativa, A·B no és el mateix que B·A;
** la matriu identitat I és el seu element neutre car compleix A·I = I·A = A;
** alguns elements A de M tenen un invers A$^{−1}$ tal que A·A$^{−1}$ = A$^{−1}$·A = I. Per tant, el conjunt de matrius quadrades invertibles n×n, forma un grup no commutatiu.
* Sigui X el conjunt de funcions reals d'una variable real ℝ → ℝ que són bijectives. L'operació ∘ de composició de funcions és una operació interna a X. Compleix la propietat associativa, no és commutativa, té element neutre que és la funció identitat i totes les funcions tenen funció inversa per ser bijectives. Per tant, (X, ∘) és un grup no commutatiu.

## Referències

* ↑ «Binary Operation Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 17 febrer 2022].
* ↑ Binary Operation. MathWorld
* ↑ Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.
* ↑ A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.
* ↑ «Definition of a Binary Operation». Arxivat de l'original el 2021-12-09. [Consulta: 17 febrer 2022].
* ↑ «Binary Operation - Properties, Table, Definition, Examples» (en anglès). [Consulta: 14 febrer 2022].
* ↑ «1.1: Binary operations» (en anglès), 25-01-2018. [Consulta: 14 febrer 2022].
* ↑ «Binary Operations». [Consulta: 17 febrer 2022].

## Vegeu també

* Estructura algebraica
* Operació matemàtica
* Operació nul·lària
* Operació ternària
* Operació unària
* Operador
* Relació binària

## Enllaços externs

* Binary operation - Planetmath