# Distribució F

En Teoria de probabilitat i Estadística, la distribució F és la distribució de probabilitat definida del quocient de dues variables aleatòries independents amb distribucions khi quadrat, cadascuna dividida pel seu nombre de graus de llibertat. També se la coneix com a distribució F de Snedecor (per George Snedecor) o com a distribució F de Fisher-Snedecor. És fonamental en molts contrasts d'hipòtesis, especialment en els de l'Anàlisi de la variància. La referència bàsica d'aquesta pàgina és Johnson et al.

## Definició, funció de densitat i funció de distribució

Sigui $S_{1}\sim \chi _{d_{1}}^{2}$ i $S_{2}\sim \chi _{d_{2}}^{2}$ , independents, amb $d_{1}>0$ i $d_{2}>0$. La variable aleatòria $X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$es diu que segueix una distribució $F$ amb $d_{1}$ i $d_{2}$ graus de llibertat.. S'escriu $X\sim F(d_{1},d_{2})$.
La seva funció de densitat és$f(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}x+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}},\quad x>0,$on $B(a,b)$ és la funció beta.
La funció de distribució per a $x\geq 0$ es pot escriure $F(x)=I_{m(x)}(d_{1}/2,\,d_{2}/2),\quad {\text{amb}}\quad m(x)={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}},$on $I_{\alpha }(a,b)$ és una funció beta incompleta regularitzada. Per a $x<0$ , $F(x)=0$ .
Comentari sobre els graus de llibertat. El cas més habitual d'una distribució $\chi ^{2}$ és quan el nombre $d$ de graus de llibertat és un nombre natural i llavors es pot interpretar com la suma dels quadrats de $d$ variables aleatòries normals estàndard independents. Però mitjançant la funció de densitat es pot definir una distribució $\chi ^{2}$ que tingui com a graus de llibertat qualsevol nombre real estrictament positiu $d\in (0,\infty )$, nombre que continua anomenat-se els graus de llibertat de la distribució. En conseqüència, pot definir-se la distribució $F$ amb graus de llibertat qualsevol nombres $d_{1},\,d_{2}\in (0,\infty )$.
$G={\frac {S_{1}}{S_{2}}}.$
$(S_{1},S_{2})\mapsto (G,S_{2})$
$G$
$S_{1}$
$S_{2}$
$(S_{1},S_{2})$
$f_{(S_{1},S_{2})}(u,v)=Cu^{d_{1}/2-1}\,v^{d_{2}/2-1}e^{-(u+v)/2},\quad u>0,\,v>0.$
$C={\frac {2^{-(d_{1}+d_{2})/2}}{\Gamma (d_{1}/2)\Gamma (d_{2}/2)}}.$
$h:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}$
$h(u,v)={\bigg{\frac {u}{v}},\,v{\bigg )}.$
$g=h^{-1}:(0,\infty )^{2}\rightarrow (0,\infty )^{2}$
$g(x,v)=(xv,v).$
$g$
$J_{g}=v$
$(G,S_{2})$
$f_{(G,S_{1})}(x,v)=Cx^{d_{1}/2-1}v^{(d_{1}+d_{2})/2-1}e^{-v(1+x)/2},\quad x>0,\,v>0.$
$f_{G}(x)=\int _{0}^{\infty }f_{G,S_{1}}(x,v)\,dv=Cx^{d_{1}/2-1}\int _{0}^{\infty }v^{(d_{1}+d_{2})/2}e^{-v(1+x)/2}\,dv.$
$C$
$f_{G}(x)={\frac {1}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\,{\frac {x^{d_{1}/2-1}}{(1+x)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}.$
$X={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,G,$
$Y$
$f_{Y}$
$R=aY$
$a>0$
$f_{R}(x)={\frac {1}{a}}f_{Y}{\bigg{\frac {x}{a}}{\bigg )}.$
$x\geq 0$
$F(x)={\frac {d_{1}^{d_{1}/2}\,d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,\,d_{2}/2)}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{d_{1}/2-1}}{(d_{1}t+d_{2})^{(d_{1}+d_{2})/2}}}\,dt.$
$t={\frac {d_{2}}{d_{1}}}\,{\frac {y}{1-y}},$

## Funció característica

Phillips dona la següent expressió de la funció característica de $X\sim F(d_{1},d_{2})$: $\varphi (t)={\frac {\Gamma {\big(d_{1}+d_{2})/2{\big )}}{\Gamma (d_{2}/2)}}\,U{\bigg{\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},it{\frac {d_{2}}{d_{1}}}{\bigg )},$on $U(a,b,z)$ és la funció hipergeomètrica confluent de 2a. classe. Vegeu Johnson et al. per a un desenvolupament en sèrie de la funció característica.

## Moments

Sigui $X\sim F(d_{1},\,d_{2})$. Llavors $X$ té moment d'ordre $n$ si i només si $n<d_{2}/2$ . En aquest cas,
$E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)\,\Gamma (d_{2}/2-n)}{\Gamma (d_{1}/2)\,\Gamma (d_{2}/2)}}={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}\,{\frac {d_{1}(d_{1}+2)\cdots (d_{1}+2n-2)}{(d_{2}-2)(d_{2}-4)\cdots (d_{2}-2n)}}.$ En particular, si $d_{2}>2$, llavors $X$ te esperança i val $E[X]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}.$ Si $d_{2}>4$, $X$ te moment de 2n ordre $E[X^{2}]={\frac {d_{2}^{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-2)(d_{2}-4)}}$ i ${\text{Var}}(X)={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}.$
$S_{1}$
$S_{2}$
$E[X^{n}]={\frac {d_{2}^{n}}{d_{1}^{n}}}E[S_{1}^{n}]\,E[S_{2}^{-n}].$D'una banda, per les propietats de les distribucions khi quadrat, $E[S_{1}^{n}]=2^{n}\,{\frac {\Gamma (d_{1}/2+n)}{\Gamma (d_{1}/2)}}.\qquad (1)$D'altra banda, $E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\,\Gamma (d_{2}/2)}}\int _{0}^{\infty }x^{d_{2}/2-n-1}e^{-x/2}\,dx.$La integral de la dreta és del tipus funció Gamma, i llavors, si $n<d_{2}/2$, tenim que $E[S_{2}^{-n}]={\frac {1}{2^{d_{2}/2}\Gamma (d_{2}/2)}}\,{\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{(1/2)^{d_{2}/2-n}}}={\frac {\Gamma (d_{2}/2-n)}{2^{n}\Gamma (d_{2}/2)}}.\qquad (2)$Si $n\geq d_{2}/2$ , aleshores la integral val infinit.
$n<d_{2}/2$

## Entropia

$h=\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}},$ on $\psi (z)$ és la funció digamma. Vegeu Lazo and Rathie.

## Referències

* 1 2 Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chap. 27». A: Continuous univariate distributions. 2. 2. ed. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 978-0-471-58494-0.
* ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994, p. 417. ISBN 0-471-58495-9.
* ↑ Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261–264 JSTOR 2335882
* ↑ National Institute of Standards and Technology. «Formula 13.4.4». A: Olver, F. W., Lozier, D., Boisvert R., Clark, C. W.. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge New York Melbourne: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-14063-8.
* ↑ Lazo, A.V.; Rathie, P. «On the entropy of continuous probability distributions». IEEE Transactions on Information Theory. IEEE, 24, 1978, pàg. 120–122. DOI: 10.1109/tit.1978.1055832.

## Vegeu també

* Test F