# Distribució de Bates

En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Bates, que duu el nom de Grace E. Bates, és la distribució de probabilitat de la mitjana de n variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval unitat [0,1]. Aquesta distribució està relacionada amb la distribució d'Irwin–Hall, que és la distribució de la suma de n variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval [0,1], i, a vegades, es confonen ambdues. Malgrat els noms de Bates, Irwing i Hall, aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770 i per Nicolai Lobatxevski el 1832, i redescobertes per nombrosos autors.

## Definició i funció de densitat

Siguin $U_{1},\dots ,U_{n}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Designem per $M_{n}$ la mitjana d'aquestes variables: $M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}U_{j}.$ La distribució de $M_{n}$ és coneguda com a distribució de Bates. És una distribució contínua amb funció de densitat$f_{M_{n}}(x)={\begin{cases}{\dfrac {n^{n}}{(n-1)^{n}}}\displaystyle {\sum _{k=0}^{[nx]}}(-1)^{k}{\dbinom {n}{k}}{\Bigx-{\dfrac {k}{n}}{\Big )}^{n-1},&\ {\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}$on $[r]$ és la part entera del nombre real $r$ .
Alternativament $f_{M_{n}}(x)={\frac {n^{n}}{(n-1)^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Bigx-{\frac {k}{n}}{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [0,1],$on $r_{+}^{m}={\begin{cases}r^{m},&{\text{si}}\ r>0\\0,&{\text{en cas contrari}}.\end{cases}}$Ambdues expressions són equivalents, ja que a la segona expressió, per a $j=[nx]+1,\dots ,n$, tenim que $x-j/n<0$.
Sigui $S_{n}$ la suma de $U_{1},\dots ,U_{n}$ : $S_{n}=\sum _{j=1}^{n}U_{j},$ que té una distribució d'Irwin-Hall, i designem per $f_{S_{n}}(x)$ la seva funció de densitat. Tenim que $M_{n}={\frac {1}{n}}\,S_{n}.$Per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat tenim que $f_{M_{n}}(x)=n\,f_{S_{n}}(nx).$Per tant, la fórmula de $f_{M_{n}}(x)$ es dedueix de la $f_{S_{n}}(x)$ a la pagina de la distribució d'Irwin-Hall on també hi ha les demostracions corresponents.
Totes les propietats de la distribució de Bates (moments, funció característica,....) es dedueixen de les corresponents propietats de les distribucions uniformes i de la independència de $U_{1},\dots ,U_{n}$.

## Generalització

Com a la secció anterior, designem per $f_{M_{n}}(x)$ la funció de densitat de Bates
Siguin $V_{1},\dots ,V_{n}$ variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval $[a,b]$, amb $a<b$, sigui $f_{M_{n}}(x;a,b)$ la funció de densitat de la mitjana ${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{n}$ aleshores $f_{M_{n}}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{M_{n}}{\Big{\frac {x-a}{b-a}}{\Big )},\ x\in [a,b].$

## Aproximació normal

Tal com mostra el gràfic del principi de la pàgina, a l'augmentar $n$, la distribució de Bates s'assembla cada cop més a una distribució normal. Això és degut al fet que podem aplicar el teorema central del límit. Concretament, considerem el cas general que hem considerat a l'apartat anterior amb $V_{1},\dots ,V_{n}$ amb distribució uniforme en l'interval $[a,b]$, i $M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{j}\quad {\text{i}}\quad S_{n}=\sum _{j=1}^{n}V_{j}.$Atès que $E[V_{j}]={\frac {a+b}{2}}\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(V_{j})={\frac {(b-a)^{2}}{12}},$tindrem que $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {12n}}\,\,{\frac {M_{n}-(a+b)/2}{b-a}}=Z,\ {\text{en distribució}},$on $Z$ te una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ . També es diu que $M_{n}$ és asimptòticament normal amb mitjana $(a+b)/2$ i variància $(b-a)^{2}/(12n)$ : $M_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg{\frac {a+b}{2}},{\frac {(b-a)^{2}}{12n}}{\bigg )}.$

## El cas de Lobatxevski

Lobatxevski considera el cas $b=1$ i $a=-1$ , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$, que interpreta com els errors en prendre mesures repetides de determinada quantitat (en unes unitats no especificades). Llavors la densitat de la seva mitjana és$f_{M_{n}}(x;-1,1)={\frac {n}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Bignx+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-1,1].$ Vegeu Renyi per a l'expressió de la densitat de la suma de variables independents uniformes en [-1,1].
D'acord amb Maistrov , Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar, tenint en compte els errors de mesura, si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que $180^{\circ }$, amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana hiperbòlica. Vegeu Brylevskaya.

## Vegeu també

* Distribució d'Irwin-Hall
* Distribució normal
* Teorema del límit central
* Distribució uniforme contínua

## Referències

* ↑ Bates, Grace E. «Joint Distributions of Time Intervals for the Occurrence of Successive Accidents in a Generalized Polya Scheme». The Annals of Mathematical Statistics, 26, 4, 1955, pàg. 705–720. ISSN: 0003-4851.
* 1 2 Jonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, Section 26.9. 2nd Edition, Wiley ISBN 0-471-58494-0
* ↑ «The thing named "Irwin-Hall distribution" in d3.random is actually a Bates distribution · Issue #1647 · d3/d3» (en anglès). [Consulta: 17 abril 2018].
* ↑ Lagrange, Mémiore sur l'utilité de la méthode de prendre le milieu entre les résultats de plusierurs observations. Miscellania Tourinencia, t. V, 1770-1772. Reproduït a Oeuvres de Lagrange, (M. J.-A. Serret), Vol. 2, pp. 173-234, Gauthier-Villars, Paris, 1868
* ↑ Lobatschewsky, Probabilité des résultats moyens tirés d'observations répetées. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1842, no. 24, 1842, pp. 164-170.
* ↑ Seal, H. L., Spot the prior reference, The Journal of the Institute of Actuaries Students' Society, 1950. https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/7A07C679478E54AD8D92AD2AA4B04046/S0020269X00004606a.pdf/div-class-title-spot-the-prior-reference-div.pdf
* ↑ Jonhson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, p.297. 2nd Edition, Wiley ISBN 0-471-58494-0
* ↑ Feller, William. Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Volumen II. Segunda edición. Mèxico: Editorial Limusa, 1978, p. 55.
* ↑ Rényi, A.. Calcul des probabilités. París: Dunod, 1966, p. 182.
* ↑ Maĭstrov, L. E.. Probability theory: a historical sketch (en engrus). New York: Academic Press, 1974, p. 167. ISBN 978-0-12-465750-2.
* ↑ Brylevskaya, Larisa I. «Lobachevsky's geometry and research of geometry of the universe». Publications of the Astronomical Observatory of Belgrade No. 85, 2008, pàg. 129-134.

## Bibliografia

* Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2. 2a edició. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0.